专题06 化归与转化思想（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题06 化归与转化法 方法讲解 一、核心概念 化归与转化法是初中数学核心思想方法，指将陌生、复杂、困难的数学问题，通过联想、变形、拆分、代换等手段，转化为熟悉、简单、基础的常规问题求解，实现化繁为简、化难为易、化未知为已知。 二、适用范围 1.代数式化简、方程与不等式求解 2.高次、分式、根式方程降次化简 3.几何图形计算、证明与图形变换 4.不规则图形周长、面积求解 5.函数综合、动点与几何压轴题型 6.实际应用题、规律探究类问题 三、常用化归与转化类型 1. 未知转化为已知 将新学题型转化为已掌握的基础模型，如多元化一元、高次化二次。 2. 复杂转化为简单 拆分复合式子、组合图形，拆解为基础小题、基础图形求解。 3. 数形相互转化 代数问题结合图像分析，几何问题通过建轴、列式代数求解。 4. 动静相互转化 动点、动线问题转化为静态特殊位置，简化分析推理。 5. 不规则转化为规则 利用割补、平移、旋转，把不规则图形转化为规则图形计算。 四、通用解题步骤 1.审题分析：明确题目难点、陌生点，锁定需要转化的部分； 2.寻找联系：联想基础公式、常见模型、同类经典题型； 3.合理转化：通过变形、代换、割补、建系等方式完成转化； 4.常规求解：在转化后的简单问题中，按基础方法计算推理； 5.还原作答：结合转化关系，还原原题条件，写出完整答案。 五、重点注意事项 1.转化前后必须保证等价性，避免增根、漏解、范围改变； 2.转化方法需贴合题型，禁止强行变形导致式子失真； 3.几何转化优先使用割补、平移、旋转，保持边长、角度不变； 4.代数转化常用配方、换元、因式分解，保证恒等变形； 5.多步骤转化题型，分步梳理逻辑，防止中间步骤出错。 六、常考典型应用 1.方程转化：分式方程化整式方程、无理方程化有理方程、高次方程降次； 2.几何转化：不规则图形割补求面积、斜三角形转化为直角三角形计算； 3.代数转化：复杂代数式拆分组合，转化为整体代入、公式模型； 4.数形转化：利用函数图像解不等式、几何最值转化为函数最值； 5.动态转化：动点问题取特殊位置，化动态为静态，快速突破难题。 典型例题 【例1】知识链接： “转化、化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决. （1）问题背景：已知：△ABC．试说明：∠A+∠B+∠C=180°. 问题解决：（填出依据） 解：（1）如图①，延长AB到E，过点B作BF∥AC． ∵BF∥AC（作图） ∴∠1=∠C（                           ） ∠2=∠A（                           ） ∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定义） ∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换） 小结反思：本题通过添加适当的辅助线，把三角形的三个角之和转化成了一个平角，利用平角的定义，说明了数学上的一个重要结论“三角形的三个内角和等于180°.” （2）类比探究：请同学们参考图②，模仿（1）的解决过程试说明“三角形的三个内角和等于180°” （3）拓展探究：如图③，是一个五边形,请直接写出五边形ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= . 【例2】综合探究： 【知识链接】“化归思想”是数学学习中一种常用的探究新知、解决问题的基本思想方法，通过“转化、化归”可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，某学习小组利用这种思想方法，发现并证明了一个有趣结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． (1)【问题发现】该学习小组首先通过对一类特殊平行四边形矩形的研究发现：如图①，在矩形中，设，则对角线的长和边长之间的数量关系为________（用含的式子表示）； (2)【问题探究】该学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究．如图②，在中，设，分别过点作边的垂线，垂足分别为．请你按照这种思路猜想对角线的长和边长之间的数量关系，并进行证明； (3)【问题拓展】 如图③，在中，是边上的中线，已知，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值． 【例3】阅读与思考 认真阅读并完成相应的任务． 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 阅读逆写为；逆写为；逆写为． 观察、发现：． 阅读2：无理方程（根号里含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如：把方程两边平方，得，解得，经检验，不是原方程的根，故原方程的解为． 任务： (1)化简： (2)化简：． (3)解方程：． 【例4】阅读下列材料，并完成探究 材料一：化归思想是一种重要的数学思想方法．其内涵是在研究和解决数学问题时，采用一定手段将问题进行变换转化，归结到已经能够解决或比较容易解决的问题中去，从而使原问题得到解决．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以便利用已有的知识和经验来解决．例如在学习二元一次方程组方程的解法时，可通过消元法转化为一元一次方程来求解．又如推导平行四边形的面积公式时，可通过割补法将平行四边形转化为长方形来求面积． 材料二：多边形：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形．组成多边形的线段至少有3条，比如三角形是最简单的多边形．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．与凸多边形相对的是凹多边形，即存在至少一条边所在直线，使得多边形的其他各边不都在这条直线的同旁．如下左图为凸四边形，下右图为凹四边形．（注意：本题以下讨论的多边形均为凸多边形） 材料三：多边形的边：组成多边形的每一条线段就是多边形的边．有几条边，就可以叫做几边形，如五条边组成的多边形是五边形，在研究多边形的一般结论时都用n边形来表示．多边形的顶点：相邻的两条线段的公共端点，叫做多边形的顶点．多边形的内角：多边形相邻两边所组成的角，称为多边形的内角．多边形的对角线：连接多边形两个不相邻顶点的线段．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角．在每一个顶点处会产生两个这样的角，它们相等，通常只取其中一个．多边形的外角和：在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，这些外角的和就是多边形的外角和． (1)我们已经学习过三角形内角和是，那么四边形的内角和是几度呢？请写出具体过程（提示：可利用化归的思想方法来研究），画出示意图 (2)我们已经学习过三角形外角和是，那么四边形的外角和是几度呢？请写出具体过程，画出示意图 (3)对于多边形的内角和与外角和，你还能探究出更一般化的结论吗？请至少得到2个结论并写出简要过程，画出示意图 【例5】我们在学习单项式（多项式）乘以多项式时，通过乘法分配律将其归结为了单项式与单项式相乘，这个过程体现的数学思想是（    ） A．化归思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．建模思想 基础过关 1．我们在解决立体图形的问题时，常常将立体图形转化为平面图形来研究和处理，这是化归思想的一种体现．请你把下列各展开图的立体图形名称写在对应展开图下面的横线上． ________ _________ _____________ 2.关于a，b的方程组有无数组解，那么k的值是． A. 2 B. 1 C. 3 D. 不存在 3.已知方程的两根分别为，则方程的根是 A. B. C. D. 4.如图，已知点，，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图象经过点点P从点A运动至点B的过程中，关于k值的变化： 甲说：“当时，点P在点A位置时，k的值最小．” 乙说：“当时，k的值先增大再减小．” 丙说：“若要使k的值逐渐增大，n的取值范围是” 三个人的结论中，判断正确的是     A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 都正确 5.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形如图，然后将剩余部分剪拼成一个矩形如图，上述操作所能验证的等式是 A. B. C. D. 6．如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“=”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合    B．方程   C．分类讨论    D．化归 7．三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，例如可构造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是（    ）    A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 能力提升 1．化归思想我们知道：23＝2×2×2，25＝2×2×2×2×2，所以23×25＝(2×2×2)×(2×2×2×2×2)＝28. (1)用与上面相同的方法计算可得53×54＝________； (2)归纳以上的探究过程，可猜测：am×an＝____________； (3)利用以上的猜测计算：102017×102018. 2．阅读下列材料，完成后面任务： 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 任务： (1)材料中运用的数学思想是__________．（填序号即可） ①整体思想；②化归思想；③公理化思想；④数形结合思想． (2)利用材料中的方法计算：． 3．阅读理解： (1)如图1，在中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE（或将绕着点D逆时针旋转180°得到），把AB，AC，2AD集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______； 问题解决： (2)如图2，在中，D是BC边上的中点，于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连结MN．求证：． 4．我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，即把待解决的问题，通过转化归结到一类已解决或比较容易解决的问题． (1)解方程： 解：原方程可变形为 所以方程的解为 ． (2)解方程： (3)如图， 已知矩形的长， 宽，点 P 在边上， 连接，；若，求的长． 5．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围，并说明理由． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把，集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断． （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点M，交于点N，连接，求证：； 6．阅读下列材料，完成下列任务．小丽在数学资料上看到这样一道题：已知，求代数式的值． 解：， ． ． ． ． 任务： (1)在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是_________． A．因式分解        B．单项式与多项式的乘法 C．平方差公式        D．完全平方公式 (2)在材料解答的过程中，主要用的方法是_________． A．整体与化归    B．分类讨论    C．数形结合 (3)已知，求的值． 7．教材呈现：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）． 教材分析：如图，是⊙O的直径，是直径所对的圆周角，根据上述定理，则，如果我们把看作是180°的圆心角，可以进一步得到的结论：，即：半圆所对的圆周角等于该半圆所对的圆心角的一半． 联想猜测：那么对于非半圆所对的圆周角，是不是也有类似的规律呢？ 探究化归：不难发现，按圆心与圆周角的位置关系分类，我们可将圆周角分为三类． （1）圆心在圆周角的一条边（直径）上，如图①．，，，． （2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．由（1）的结论， ， ．（∠ +∠ ） ． （3）圆心在圆周角外，如图③．显然我们也应将其化归为①的情形予以解决．请同学们在下面自己完成推理过程． 8．综合与实践 问题情境：数学课上，老师出示了这样一个问题：如图①，在四边形中，，对角线相交于点O． 求证：； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：求证：；小明最近迷上了思维导图，他运用思维导图使解题思维、化归过程显性化，请帮助小明完成解题思路、化归过程分析的思维导图： (3)问题解决：智慧小组在题中增加条件“延长相交于点E”，如图②． 求证：． 拓展拔高 1．阅读理解：如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的大小． 思路点拨：考虑到，，不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将绕顶点A逆时针旋转到处，此时，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件,将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出的度数，请你写出完整的解题过程．    2．大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家，化归就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法．如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算： 请用以上方法解决下列问题： （1）计算：（x3+2x2﹣3x﹣10）÷（x﹣2）； （2）若关于x的多项式2x4+5x3+ax2+b能被二项式x+2整除，且a，b均为自然数，求满足以上条件的a，b的值及相应的商． 3．“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决． (1)我们知道可以得到．如果，求、的值. (2)已知 试问多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是否与变量的取值有关？若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 化归与转化法 方法讲解 一、核心概念 化归与转化法是初中数学核心思想方法，指将陌生、复杂、困难的数学问题，通过联想、变形、拆分、代换等手段，转化为熟悉、简单、基础的常规问题求解，实现化繁为简、化难为易、化未知为已知。 二、适用范围 1.代数式化简、方程与不等式求解 2.高次、分式、根式方程降次化简 3.几何图形计算、证明与图形变换 4.不规则图形周长、面积求解 5.函数综合、动点与几何压轴题型 6.实际应用题、规律探究类问题 三、常用化归与转化类型 1. 未知转化为已知 将新学题型转化为已掌握的基础模型，如多元化一元、高次化二次。 2. 复杂转化为简单 拆分复合式子、组合图形，拆解为基础小题、基础图形求解。 3. 数形相互转化 代数问题结合图像分析，几何问题通过建轴、列式代数求解。 4. 动静相互转化 动点、动线问题转化为静态特殊位置，简化分析推理。 5. 不规则转化为规则 利用割补、平移、旋转，把不规则图形转化为规则图形计算。 四、通用解题步骤 1.审题分析：明确题目难点、陌生点，锁定需要转化的部分； 2.寻找联系：联想基础公式、常见模型、同类经典题型； 3.合理转化：通过变形、代换、割补、建系等方式完成转化； 4.常规求解：在转化后的简单问题中，按基础方法计算推理； 5.还原作答：结合转化关系，还原原题条件，写出完整答案。 五、重点注意事项 1.转化前后必须保证等价性，避免增根、漏解、范围改变； 2.转化方法需贴合题型，禁止强行变形导致式子失真； 3.几何转化优先使用割补、平移、旋转，保持边长、角度不变； 4.代数转化常用配方、换元、因式分解，保证恒等变形； 5.多步骤转化题型，分步梳理逻辑，防止中间步骤出错。 六、常考典型应用 1.方程转化：分式方程化整式方程、无理方程化有理方程、高次方程降次； 2.几何转化：不规则图形割补求面积、斜三角形转化为直角三角形计算； 3.代数转化：复杂代数式拆分组合，转化为整体代入、公式模型； 4.数形转化：利用函数图像解不等式、几何最值转化为函数最值； 5.动态转化：动点问题取特殊位置，化动态为静态，快速突破难题。 典型例题 【例1】知识链接： “转化、化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决. （1）问题背景：已知：△ABC．试说明：∠A+∠B+∠C=180°. 问题解决：（填出依据） 解：（1）如图①，延长AB到E，过点B作BF∥AC． ∵BF∥AC（作图） ∴∠1=∠C（                           ） ∠2=∠A（                           ） ∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定义） ∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换） 小结反思：本题通过添加适当的辅助线，把三角形的三个角之和转化成了一个平角，利用平角的定义，说明了数学上的一个重要结论“三角形的三个内角和等于180°.” （2）类比探究：请同学们参考图②，模仿（1）的解决过程试说明“三角形的三个内角和等于180°” （3）拓展探究：如图③，是一个五边形,请直接写出五边形ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= . 【答案】(1)(2) 见解析；（3）540° 【分析】(1)运用平行线的性质进行分析即可；（2）运用两次两直线平行，内错角相等即可;(3)连接EC、EB，转换成三个三角形的内角和即可. 【详解】解：(1)如图①，延长AB到E，过点B作BF∥AC. ∵BF∥AC（作图） ∴∠1=∠C（两直线平行，内错角相等） ∠2=∠A（两直线平行，同位角相等） ∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定义） ∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换） （2）如图②，过C作MN∥AB ∵MN∥AB ∴∠1=∠B,∠2=∠A（两直线平行，内错角相等） 又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角的定义） ∴A+∠ABC+∠C=180° （3）如图：连接EC、EB， ∵在△ABC、△ACD和△AED中， ∴∠BAC+∠B+∠ACB=180"，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°∠DAE+∠E+∠ADE=180° ∴∠BAE+∠B+∠DCB+ ∠CDE+∠E =∠BAC+∠CAD+∠DAE+∠BCA+∠ACD+∠ADE+∠ADC+∠B+∠E =(∠BAC+∠B+∠ACB)+( ∠DAC+∠ACD+∠ADC)+( ∠DAE+∠E+∠ADE) =540° 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了平行线的性质、三角形的内角和定理的证明以及运用等知识；熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键. 【例2】综合探究： 【知识链接】“化归思想”是数学学习中一种常用的探究新知、解决问题的基本思想方法，通过“转化、化归”可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，某学习小组利用这种思想方法，发现并证明了一个有趣结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． (1)【问题发现】该学习小组首先通过对一类特殊平行四边形矩形的研究发现：如图①，在矩形中，设，则对角线的长和边长之间的数量关系为________（用含的式子表示）； (2)【问题探究】该学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究．如图②，在中，设，分别过点作边的垂线，垂足分别为．请你按照这种思路猜想对角线的长和边长之间的数量关系，并进行证明； (3)【问题拓展】 如图③，在中，是边上的中线，已知，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)图见解析， 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）证明，证明是矩形，设，，则，，利用勾股定理即可得到（1）中结论； （3）延长至点，使，连接，，构造平行四边形，使用（2）中结论即可得到答案． 本题考查勾股定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质． 【详解】（1）解：∵是矩形， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想：，证明如下： 由题意可知，． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是平行四边形， ∵， ∴是矩形． 设，，则，， 在Rt中，， 在中，， ∴， 在中，，即， ∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 由（2），得， ∴， ∴． 【例3】阅读与思考 认真阅读并完成相应的任务． 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 阅读逆写为；逆写为；逆写为． 观察、发现：． 阅读2：无理方程（根号里含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如：把方程两边平方，得，解得，经检验，不是原方程的根，故原方程的解为． 任务： (1)化简： (2)化简：． (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式的运算及解无理方程，弄清题中分母有理化法则是解本题的关键． （1）观察上面解题过程，得出原式的结果即可； （2）进行分母有理化，再计算即可； （3）先将原方程两边平方，再解方程，最后再验根即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ； （3）解：方程两边平方，得， 解得． 经检验，不是原方程的根， 原方程的根是． 【例4】阅读下列材料，并完成探究 材料一：化归思想是一种重要的数学思想方法．其内涵是在研究和解决数学问题时，采用一定手段将问题进行变换转化，归结到已经能够解决或比较容易解决的问题中去，从而使原问题得到解决．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以便利用已有的知识和经验来解决．例如在学习二元一次方程组方程的解法时，可通过消元法转化为一元一次方程来求解．又如推导平行四边形的面积公式时，可通过割补法将平行四边形转化为长方形来求面积． 材料二：多边形：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形．组成多边形的线段至少有3条，比如三角形是最简单的多边形．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．与凸多边形相对的是凹多边形，即存在至少一条边所在直线，使得多边形的其他各边不都在这条直线的同旁．如下左图为凸四边形，下右图为凹四边形．（注意：本题以下讨论的多边形均为凸多边形） 材料三：多边形的边：组成多边形的每一条线段就是多边形的边．有几条边，就可以叫做几边形，如五条边组成的多边形是五边形，在研究多边形的一般结论时都用n边形来表示．多边形的顶点：相邻的两条线段的公共端点，叫做多边形的顶点．多边形的内角：多边形相邻两边所组成的角，称为多边形的内角．多边形的对角线：连接多边形两个不相邻顶点的线段．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角．在每一个顶点处会产生两个这样的角，它们相等，通常只取其中一个．多边形的外角和：在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，这些外角的和就是多边形的外角和． (1)我们已经学习过三角形内角和是，那么四边形的内角和是几度呢？请写出具体过程（提示：可利用化归的思想方法来研究），画出示意图 (2)我们已经学习过三角形外角和是，那么四边形的外角和是几度呢？请写出具体过程，画出示意图 (3)对于多边形的内角和与外角和，你还能探究出更一般化的结论吗？请至少得到2个结论并写出简要过程，画出示意图 【答案】(1)四边形的外角和是360度，过程见解析 (2)四边形的外角和是360度，过程见解析 (3)多边形的内角和为，结论2：多边形的外角和为．说明如见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角和、多边形的内角和与外角和问题，灵活运用转化思想成为解题的关键． （1）将四边形内角和转化成两个三角形内角和求解即可； （2）将四边形外角和转化成邻补角和四边形的内角和求解即可； （3）将n边形的内角和转化成n个三角形内角和与圆周角问题，将n边形的外角和转化成邻补角与n边形内角和问题解答即可． 【详解】（1）解：四边形的外角和是360度，过程如下： 如图：连接 ∵， ∴四边形的内角为： ． （2）解：四边形的外角和是360度，过程如下： ∵，， ∴ ． （3）解：结论1：多边形的内角和为，结论2：多边形的外角和为．说明如下： 结论1：如图： 将n边形分成n个三角形，则n边形的内角和为； 结论2：n边形的每个顶点由外角与相邻内角是邻补角，则n边形的外角和为： ． 【例5】我们在学习单项式（多项式）乘以多项式时，通过乘法分配律将其归结为了单项式与单项式相乘，这个过程体现的数学思想是（    ） A．化归思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．建模思想 【答案】A 【分析】本题考查了化归数学思想及整式的混合运算，根据整式的乘法混合运算过程即可求解，熟练掌握数学思想方法是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 这个过程体现的数学思想是化归思想， 故选A． 基础过关 1．我们在解决立体图形的问题时，常常将立体图形转化为平面图形来研究和处理，这是化归思想的一种体现．请你把下列各展开图的立体图形名称写在对应展开图下面的横线上． ________ _________ _____________ 【答案】 圆锥 三棱柱 长方体 【分析】根据展开图转化为立体图形即可确定． 【详解】根据展开图可确定原立体图形为：圆锥、三棱柱、长方体． 故答案为：圆锥；三棱柱；长方体． 【点睛】本题主要考查了常见空间几何体的展开图，熟练掌握常见空间几何体的平面展开图并熟练相互转化是解题的关键． 2.关于a，b的方程组有无数组解，那么k的值是． A. 2 B. 1 C. 3 D. 不存在 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组有无数组解，两式相减求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可． 【解答】解： 得，， 方程组有无数组解， ， ，故选A． 3.已知方程的两根分别为，则方程的根是 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程，涉及了转化思想和整体代入的数学方法，考查了学生的观察能力，属于中档题． 首先观察已知方程的特点，然后把方程变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根． 【解答】解：方程可以写成的形式， 方程的两根分别为a、， 方程的两根的关系式为：，， 即方程的根为：或， 故方程的根为a，， 故选D． 4.如图，已知点，，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图象经过点点P从点A运动至点B的过程中，关于k值的变化： 甲说：“当时，点P在点A位置时，k的值最小．” 乙说：“当时，k的值先增大再减小．” 丙说：“若要使k的值逐渐增大，n的取值范围是” 三个人的结论中，判断正确的是     A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 都正确 【答案】A 【分析】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．若，求出正确k的最大值与最小值即可判断甲、乙的结论；把A与B坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出n的范围． 【解答】解：当时，， 设线段AB所在直线的函数表达式为， 把和代入得： 解得： 则线段AB所在直线的函数表达式为； ， ， 当时，k取最小值，； 当时，k取最大值，， 故甲，乙的结论是正确的； 当时，，，符合k的值逐渐增大； 当时，线段AB所在直线的函数表达式为， ， 当时，k随x的增大而增大，则有， 此时； 当时，k随x的增大而增大，则有， 此时， 综上，若要使k的值逐渐增大，n的取值范围是． 故丙的结论是错误的， 则甲乙都是正确的，丙的结论是错误的， 故选A． 5.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形如图，然后将剩余部分剪拼成一个矩形如图，上述操作所能验证的等式是 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用代数式表示图形的面积，运用了转化思想，把实际问题转化成数学问题，并用数学式子表示出来．分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项． 【解答】解：因为从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：， 且拼成的长方形的面积是：， 根据剩余部分的面积相等得：， 故选B． 6．如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“=”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合    B．方程   C．分类讨论    D．化归 【答案】(1)， (2)见解析 (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴即点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【详解】（1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是为， ∵， ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）解：点表示的数即为； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． 7．三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，例如可构造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是（    ）    A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 【答案】D 【分析】依题意，一元二次方程的几何解法，构造图形解方程，体现的熟悉思想是数形结合，据此即可求解． 【详解】解：依题意，造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是数形结合思想, 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程与图形面积，数形结合是解题的关键． 能力提升 1．化归思想我们知道：23＝2×2×2，25＝2×2×2×2×2，所以23×25＝(2×2×2)×(2×2×2×2×2)＝28. (1)用与上面相同的方法计算可得53×54＝________； (2)归纳以上的探究过程，可猜测：am×an＝____________； (3)利用以上的猜测计算：102017×102018. 【答案】(1)57　(2)am＋n　(3)104035 【详解】分析：（1）利用有理数的乘方验证同底数幂的乘法法则，关键是理解乘方的意义； （2）根据（1）的计算写出结论即可； （3）根据（2）的结论计算即可. 详解：(1)53×54=(5×5×5)×(5×5×5×5)=57； (2)由（1）知，am·an=am+n ； (3) 102017×102018 =102017+2018=104035. 点睛：本题主要考查了同底数幂的乘法，利用有理数的乘方验证同底数幂的乘法法则，关键是理解乘方的意义. 2．阅读下列材料，完成后面任务： 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 任务： (1)材料中运用的数学思想是__________．（填序号即可） ①整体思想；②化归思想；③公理化思想；④数形结合思想． (2)利用材料中的方法计算：． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）结合材料，根据公理化思想即可求解； （2）利用有理数的混合运算法则即可求解； 熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：材料中运用的数学思想是③公理化思想， 故答案为：③． （2） 原式 ． 3．阅读理解： (1)如图1，在中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE（或将绕着点D逆时针旋转180°得到），把AB，AC，2AD集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______； 问题解决： (2)如图2，在中，D是BC边上的中点，于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连结MN．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可； （2）根据（1）的方法作出辅助线，延长至点，使得，连接，可得，可得，根据垂直平分线的性质可得，在中，根据三角形三边关系可得，即可证明结论 【详解】（1）延长AD到点E使，再连接BE ，， 中 （2）如图，延长至点，使得，连接， 同理可得 中， 即 【点睛】本题考查了倍长中线法证明三角形全等，三角形三边关系，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，运用转化和化归思想是解题的关键． 4．我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，即把待解决的问题，通过转化归结到一类已解决或比较容易解决的问题． (1)解方程： 解：原方程可变形为 所以方程的解为 ． (2)解方程： (3)如图， 已知矩形的长， 宽，点 P 在边上， 连接，；若，求的长． 【答案】(1)， (2)， (3)的长为， 【分析】本题主要考查了因式分解解一元二次方程和根号方程的解法，解题的关键是要注意带根号的方程要检验； （1）根据题意得到三个一元一次方程，求解即可； （2）先根据转化思想，把根号方程转化成整式方程，再进行求解即可； （3）先根据题意列出方程，根据上面的过程进行求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 经检验：是原方程的解； ∴原方程的解为： （3）解：设的长为x， 由题意可列方程为：， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， 所以的长为． 5．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围，并说明理由． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把，集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断． （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点M，交于点N，连接，求证：； 【答案】（1），详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）延长到点E使，连接，证明得到，再利用三角形三边的关系即可求解； （2）延长至点F，使，连接，证明得到，再利用线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的三边关系即可证得结论． 【详解】（1）解：延长到点E使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； （2）问题解决： 证明：延长至点F，使，连接，如图1所示： ∵是边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的三边关系，添加适当的辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键． 6．阅读下列材料，完成下列任务．小丽在数学资料上看到这样一道题：已知，求代数式的值． 解：， ． ． ． ． 任务： (1)在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是_________． A．因式分解        B．单项式与多项式的乘法 C．平方差公式        D．完全平方公式 (2)在材料解答的过程中，主要用的方法是_________． A．整体与化归    B．分类讨论    C．数形结合 (3)已知，求的值． 【答案】(1)D (2)A (3)6 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能用整体思想解决问题． （1）在材料解答过程中，主要用的数学知识是完全平方公式； （2）在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想； （3）由，可得，故． 【详解】（1）解：在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是完全平方公式； 故选：D； （2）解：在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想； 故选：A； （3）解：， ， ， ， ； 故的值为6． 7．教材呈现：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）． 教材分析：如图，是⊙O的直径，是直径所对的圆周角，根据上述定理，则，如果我们把看作是180°的圆心角，可以进一步得到的结论：，即：半圆所对的圆周角等于该半圆所对的圆心角的一半． 联想猜测：那么对于非半圆所对的圆周角，是不是也有类似的规律呢？ 探究化归：不难发现，按圆心与圆周角的位置关系分类，我们可将圆周角分为三类． （1）圆心在圆周角的一条边（直径）上，如图①．，，，． （2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．由（1）的结论， ， ．（∠ +∠ ） ． （3）圆心在圆周角外，如图③．显然我们也应将其化归为①的情形予以解决．请同学们在下面自己完成推理过程． 【答案】（2）；（3）证明见解析 【分析】（2）当圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．由（1）的结论，，，再利用角的和差关系可得答案； （3）当圆心在圆周角外，如图③．连接 延长与圆交于点由（1）的结论，再利用角的和差关系可得答案. 【详解】解：（2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径． 由（1）的结论，，． ． （3）当圆心在圆周角外，如图③．连接 延长与圆交于点 由（1）的结论， 【点睛】本题考查的是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，理解题意，形成迁移能力并解决问题是解本题的关键. 8．综合与实践 问题情境：数学课上，老师出示了这样一个问题：如图①，在四边形中，，对角线相交于点O． 求证：； (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)实践探究：求证：；小明最近迷上了思维导图，他运用思维导图使解题思维、化归过程显性化，请帮助小明完成解题思路、化归过程分析的思维导图： (3)问题解决：智慧小组在题中增加条件“延长相交于点E”，如图②． 求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析 【分析】（1）用相似三角形的判定和性质解答即可； （2）根据相似三角形的判定解答即可； （3）根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ， ； （2）要证，隐含的条件是（对顶角相等）．证夹角和的边对应成比例，即要证（（1）已证明）； （3）证明：在和中，， ， 在 和中，， ， ， 在和中，， ， 即：． 【点睛】此题考查相似三角形的综合题，熟记相似三角形的判定定理是关键．相似三角形的判断定理：两角对应相等，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似． 拓展拔高 1．阅读理解：如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的大小． 思路点拨：考虑到，，不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将绕顶点A逆时针旋转到处，此时，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件,将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出的度数，请你写出完整的解题过程．    【答案】，见详解 【分析】根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答． 【详解】解：∵， ∴，，， 由题意知旋转角， ∴为等边三角形， 那么，， 因为， 则， 所以为直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 2．大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家，化归就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法．如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算： 请用以上方法解决下列问题： （1）计算：（x3+2x2﹣3x﹣10）÷（x﹣2）； （2）若关于x的多项式2x4+5x3+ax2+b能被二项式x+2整除，且a，b均为自然数，求满足以上条件的a，b的值及相应的商． 【答案】（1）x2+4x+5；（2）当a＝0，b＝8时，此时多项式为2x4+5x3+8，商为2x3+x2﹣2x+4；当a＝1，b＝4时，此时多项式为2x4+5x3+x2+4，商为2x3+x2﹣x+2 【分析】（1）直接利用竖式计算即可； （2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可． 【详解】解：（1）列竖式如下：      （x3+2x2﹣3x﹣10）÷（x﹣2）＝x2+4x+5； （2）列竖式如下： ∵多项式2x4+5x3+ax2+b能被二项式x+2整除， ∴余式b+4（a﹣2）＝0， ∵a，b均为自然数， ∴当a＝0，b＝8时，此时多项式为2x4+5x3+8，商为2x3+x2﹣2x+4， 当a＝1，b＝4时，此时多项式为2x4+5x3+x2+4，商为2x3+x2﹣x+2， 当a＝2，b＝0时，此时多项式为2x4+5x3+2x2，商为2x3+x2． 【点睛】此题考查利用竖式计算整式的除法，解题时要注意同类项的对应． 3．“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决． (1)我们知道可以得到．如果，求、的值. (2)已知 试问多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是否与变量的取值有关？若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值. 【答案】（1）a=-1，b=2  （2）无关  3 【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到a、b的值； （2）根据 a2+b2+c2-ab-ac-bc=，代入求值． 【详解】（1）由a2+b2+2a-4b+5=0，得到：（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0， （a+1）2+（b-2）2=0， 所以有a+1=0，b-2=0， 解得a=-1，b=2； （2）多项式 a2+b2+c2-ab-ac-bc的值与变量x的取值无关．理由如下： ∵a=x+2017，b=x+2015，c=x+2016， ∴a-b=2，a-c=1，c-b=1， ∴a2+b2+c2-ab-ac-bc =（-ab+）+（-ac+）+（-cb+） = = =3． ∴多项式 a2+b2+c2-ab-ac-bc的值与变量x的取值无关，且a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是3． 【点睛】本题考查因式分解的应用、非负数的性质-偶次方，解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $