专题05 待定系数法（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题05 待定系数法 方法讲解 一、核心概念 待定系数法是初中数学经典建模思想解题方法，先根据函数、多项式、等式的固定结构，设出含有未知系数的完整表达式，再利用已知条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而确定完整解析式的解题方法。 二、适用范围 1.一次函数、反比例函数、二次函数解析式求解 2.多项式因式分解、整式恒等变形 3.分式拆分、恒等式参数求解 4.几何函数综合题求解析式 5.含参数方程、比例式定值问题 6.规律题型中代数式通用表达式推导 三、常用待定系数法类型 1. 函数型待定系数法 根据函数类型设对应一般式，代入点坐标求系数，为中考高频考点。 2. 恒等式待定系数法 两个多项式恒等，则对应项系数分别相等，列方程求解参数。 3. 分解型待定系数法 用于二次三项式、高次多项式因式分解，设分解形式反求系数。 4. 比例型待定系数法 结合比例、分式关系设参数，利用等量条件求未知系数。 四、通用解题步骤 1.定类设式：判断题型类型，依据结构设出含待定系数的式子； 2.代入条件：将已知点坐标、数值、等量关系代入所设式子； 3.列解方程：得到关于待定系数的方程（组），求解系数； 4.回代写式：把求出的系数代回原式，写出完整解析式； 5.检验验证：代入已知条件验算，确保等式、坐标满足要求。 五、重点注意事项 1.设式必须匹配题型，函数类型不可混淆一般式； 2.恒等变形中，同类项系数必须对应相等； 3.代入坐标计算时，注意符号、括号，避免计算失误； 4.多个待定系数时，方程个数需与未知数个数保持一致； 5.二次函数需区分一般式、顶点式、交点式，灵活选用简化计算。 六、常考典型应用 1.一次函数：设，代入两点坐标求； 2.二次函数：根据已知条件灵活选用三种表达式求解解析式； 3.恒等求值：利用对应项系数相等，求代数式中参数的值； 4.因式分解：假设分解结果，通过待定系数确定因式； 5.实际应用题：结合实际情境，求函数模型，解决最值、范围问题。 典型例题 【例1】阅读理解应用：待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成x3﹣1＝（x﹣1）（x2+ax+b）．展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等，a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1，可以求出a＝1，b＝1，所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）． （1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+3恒成立，则a＝　 　； （2）已知多项式3x3+x2+4x﹣4有因式3x﹣2，请用待定系数法求出该多项式的另一因式． 【答案】（1）1；（2）x2+x+2，见解析 【分析】（1）直接对比系数得出答案即可； （2）3x3+x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x2+ax+2）进一步展开对比系数得出答案即可． 【详解】解：（1）∵x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+3， ∴3﹣a＝2， ∴a＝1； 故答案为：1； （2）设3x3+x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x2+ax+2）＝3x3+（3a﹣2）x2+（6﹣2a）x﹣4， ∴3a﹣2＝1， ∴a＝1， 多项式的另一因式是x2+x+2． 【点睛】此题考查因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键. 【例2】分式可以化为分母分别为x与x+2且分子都是常数的两个分式的和，为解决这个问题，可设（为常数），由.可得，由此可得,解得,所以，像这样的方法叫待定系数法. 请用待定系数法将化为分母分别为与且分子都是常数的两个分式的和. 【答案】 【分析】仿照例题，假设，对右边化简整理，将系数对应列出方程组求解即可. 【详解】设 由 ∴ ∴ 解得： ∴ 【点睛】本题考查了待定系数法的应用及分式的混合运算，解题的关键是将左边和右边的代数式中的对应项的系数加以对比后，列方程组求解． 【例3】在数学课外活动中，待定系数法是分解因式的重要方法．根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数的方法叫待定系数法．例如：分解因式 解：，不妨设 则 ， (1)若，则的值是________； (2)分解因式： ； ； (3)若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或8 【分析】本题考查因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键． （1）把式子展开，然后直接对比系数得出a，b的值，然后再求出的值即可； （2）根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件确定或消去所设待定系数，进而得出因式分解的式子； （3）根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件确定或消去所设待定系数，进而得出因式分解的式子，得出，再根据多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，推导出，则，因为m、n为整数，所以是2的整数因数对，2的整数因数对有，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ； （2）解：①，不妨设 则， ， ， ； ②，不妨设 则， ， ， ； （3）解：设， ， 多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴m，n为整数， 由可得，代入得： ， ， ， ， 因为m、n为整数，所以是2的整数因数对，2的整数因数对有 当时， ，则． 当时， ，则． 当时， ，则． 当时， ，则． 综上，a的值为2或8． 【例4】1637年笛卡尔（R．Descartes，1596-1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：．观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积．令：，而，因等式两边同次幂的系数相等，则有：，得，从而 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）若是多项式的因式，求的值并将多项式分解因式． （2）若多项式含有因式及，求的值． 【答案】（1）a=0，；（2）， 【分析】（1）直接对比系数利用待定系数法得出答案即可； （2）由材料可知，x=-1，x=2是方程3x4+ax3+bx-34=0的解，代入求出a，b的值． 【详解】（1）， ∴，解得 ∴； （2）∵多项式含有因式及 ∴设（其中为二次整式）， 由材料可知，，是方程的解， ∴ ∴求得，. 【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握待定系数法求解是解题的关键． 【例5】阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式． 有这样一个问题：直线的表达式为，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式． 下面是小明的解题思路，请补充完整． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标，与轴的交点的坐标； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标； 第四步：由点，点的坐标，利用待定系数法，即可求出直线的表达式． 小明求出的直线的表达式是． 请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题： (1)若直线与直线关于直线对称，则直线的表达式是　 　； (2)若点在直线上，将直线绕点顺时针旋转．得到直线，求直线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出、两点的坐标关于直线的对称点为，，再利用待定系数法解题即可． （2）过点作直线，交轴于点，作轴于点．设，则，，，求出点的坐标再用待定系数法解题即可． 由勾股定理得 【详解】（1）解：直线的表达式为， 直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为． 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的表达式为：． ，， 、两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的表达式为：． 故答案为：； （2）过点作直线，交轴于点，作轴于点． 点在直线上， ， ， ，， ． 设，则，，， 由勾股定理得：， 解得： ． 设直线的表达式 把，代入得： 直线的表达式． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，能够运用对称的性质求点的坐标是解题关键． 基础过关 1. 关于x的一次二项式的值随x的变化而变化，分析下表列举的数据，若，则x的值是（ ） x 0 1 1 2 A. 3 B. C. 6 D. 不存在 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，以及代数式求值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．设，把和代入求出a与b的值，即可求出所求． 【解答】解：设， 把和代入得 解得 ， 解得：． 故选C． 2. 分解因式：的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，解答此题可采用待定系数法，解答此题可设，然后展开比较可得关于a，b的方程组，从而可得a，b的值，即可分解多项式，从而可得结论． 【解答】解， 可设， 即，a、b为待定系数， 解得，， 原式． 故选B． 3. 已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】本题考查依次函数的应用，属于中档题．首先把分别代入一次函数和，求出m，n的值，则求出两个函数的解析式；然后求出B、C两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出的面积． 【解答】解：与的图象都过点， 可得，， ，， 两函数表达式分别为，， 直线与与y轴的交点分别为，， ． 故选C． 4. 已知y与x的函数关系式是由两部分的和组成，一部分与成正比，另一部分是常数，且y与x的对应关系如表，则y与x的函数关系式为（ ） x 2 y 3 A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求h函数的解析式解题的关键是根据题意设函数解析式，然后将x、y的值代入所设解析式即可求出待定的系数即可作出判断． 【解答】解：由题意设y与x的解析式为， 把，和，代入得 ，解得， 与x的函数关系式为． 故选A． 5. 正比例函数，当x每增加3时，y就减小4，则k=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为，然后把一个点的坐标代入求出k即可得到正比例函数解析式．由于自变量增加3，函数值相应地减少4，则，然后展开整理即可得到k的值． 【解答】解：根据题意得， ， 而， 所以， 解得． 故选D． 6．根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：为何值时，多项式有一个因式是？ 解：设它的另一个因式为（为常数）， 则 ， 比较两边的系数，得，解得； (1)已知多项式有一个因式是，求的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值 (3)已知是的一个因式，请用待定系数法将分解因式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的乘法，分解因式，分式的加减法等知识，理解题意并正确进行计算是关键； （1）由题意设它的另一个因式为 ，则，再利用多项式的乘法法则展开，比较系数即可求解； （2）把等式右边两个分式通分相加，再比较两边分子的系数即可求得A、B的值，从而可求解； （3）由题意设它的另一个因式为（为常数），则，再把右边展开，合并同类项，比较系数即可． 【详解】（1）解：设它的另一个因式为 ， 则 比较两边的系数，得， 解得， ； （2）解：， ， ， 比较分子的系数得，解得， ； （3）解：设它的另一个因式为（为常数） 则 ， 比较两边的系数，得，解得， ． 7．学习一次函数后，小宁知道：若已知直线上两个点的坐标，就能用待定系数法求出该直线的解析式．例如：已知直线的解析式为，分别与轴，轴交于点，点．求直线关于轴的对称直线的解析式．解题思路为： 第一步：求出，两点的坐标； 第二步：求出点关于轴的对称点的坐标； 第三步：由，两点的坐标，用待定系数法，即可求出直线的解析式． 阅读以上材料，完成下列任务． (1)直接写出点的坐标； (2)若直线与直线关于轴对称； ①求出直线的解析式； ②在①的条件下，若点为直线上的一个动点，当点的横、纵坐标之和为3时，求点的坐标； ③在②的条件下，将直线向下平移个单位长度后得到直线，若直线与轴的交点为，且满足时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，一次函数的平移与轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）令，得出，即可求解； （2）①先求出与轴交点坐标为，，则与轴对称的点坐标为，，然后利用待定系数法即可求解； ②设，根据点的横、纵坐标之和为3，求得，即可求解； ③设直线的解析式求得，进而根据，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：直线的解析式为， 当时， ∴ （2）①解：由得，当时，当时，， ∴与轴交点坐标为，， ∴与轴对称的点坐标为，， 设直线关于轴对称的直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线关于轴对称的直线的解析式； ， ②设， ∵点的横、纵坐标之和为3 ∴ 解得： ∴ ③设直线的解析式 当时， ∴ ∵ ∴ 解得： 能力提升 1．【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数解析式． 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为； 小谢认为平移前后直线中的“k”值不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式． 在分享交流中，老师肯定了他们的做法．小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究： 【解决问题】 （1）小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为 ，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为 （2）小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数解析式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； 【拓展应用】 （3）如果直线与直线关于y轴对称，求这条直线的函数解析式． 【答案】（1）；（2），下，6；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形变换-平移，轴对称，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点． （1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解； （2）平移后的直线的解析式的不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移 3 个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得，也就求得了所求的直线解析式； （3）根据上述方式在直线上找两点，求出其关于y轴对称的坐标，再根据待定系数法直线解析式即可． 【详解】解：（1）点向上平移 3 个单位后的点的坐标为， 设平移后的直线解析式为， 代入得，则， 所以过点的直线的解析式为； 故答案为：； （2）可设平移后的直线解析式为， ∵原直线经过点， ∴点向左平移 3 个单位后点， 代入新直线解析式得：， ， ∴平移后直线的解析式为：， 由（1）可知，另外直接将直线向下平移 6 个单位也能得到直线； 故答案为：，下，6； （3）当时，，直线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，直线与轴的交点坐标为， 点关于轴的对应点的坐标分别为， 把分别代入得， 解得， ∴直线的表达式为． 2．【阅读材料】 将关于的多项式因式分解． （1）若，求的值． 解：等式右边， （2）若分解后有一个因式为，求的值． 解：设另一个因式为，则 等式右边 由左右两边各项系数分别相等，可得解之得 上述方法叫做待定系数法，其一般思路是先假设出某一代数式（含待定系数），然后根据已知条件列出关于这些系数的方程（组），最后解这些方程（组），确定系数的值． 【初探方法】 （1）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，其中，，是正整数，则的值为____________（写出满足条件的一个值即可）； （2）若将多项式因式分解，其中一个因式为，求的值； 【拓展应用】 （3）一个分式往往可以写成几个分子均为常数的分式的和的形式，如； 请用待定系数法将分式化成几个分子均为常数的分式和的形式． 【答案】（1）16（或19、49均可）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确理解题意，运用待定系数法进行因式分解． （1），则，再由，是正整数确定的值； （2）设多项式的另一个因式为 ，则， 展开左边得，再对比左右两边多项式的系数求解即可； （3）设（，，为常数） 则 ，那么得到 ，对比左右两边多项式的系数，得 ，即可求解． 【详解】（1）解： ，即 ，是正整数 取，；或或 则或或， ∴的值为16或49或19； （2）解：设多项式的另一个因式为 ， 则， 展开左边得， 对比左右两边多项式的系数，得 解得 ； （3） 解： 设（，，为常数） ∴ ∴ ∴ ， 对比左右两边多项式的系数，得 解得 ． 3．阅读下列材料 1637年笛卡尔（R．Descartes，1596-1650）在其（几何学）中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理． 他认为，若一个高于二次的关于的多项式能被整除，则其一定可以分解为与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，是关于的这个方程的一个根． 例如：多项式可以分解为与另外一个整式的乘积，即，令时，可知为该方程的一个根． 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积． 令：， 而， 因等式两边同次幂的系数相等，则有：，得， 从而． 此时，不难发现是方程的一个根． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)若取任意值，等式恒成立，则的值为________． (2)若多项式含有因式及，求的值． (3)若多项式可以分解为两个一次因式之积，求的值并将该多项式分解因式． 【答案】(1)3 (2) (3)， 【分析】本题主要考查因式分解和利用待定系数法解方程， （1）有题干得对应系数相等即可求得答案； （2）根据题意可得原方程的解，代入即可求得其包含的系数，即可求得代数式的值； （3）由多项式可得部分因式之积，根据笛卡尔的“待定系数法”原理，可得设分解为两个一次因式之积，即可求得对应系数，进一步将多项式分解因式． 【详解】（1）解：根据题意得，解得； （2）根据题意得，则和为的解，即可得 ，解得， ∴． （3）∵， ∴可以分解为， 则， ∴，解得 则 ． 4．[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数表达式， 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；小谢认为平移前后直线中的“k”不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式． 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小雯继续进行探究验证： [解决问题] （1）小雯用小谢的方法进行了尝试：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为 ； （2）小雯又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； [拓展应用] （3）对于平面直角坐标系内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式． 【答案】（1），；（2），下， 6；（3）将直线进行两次“斜平移”后的函数解析式为 【分析】本题考查了坐标与图形变换－平移，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点． （1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解； （2）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移3个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得m，也就求得了所求的直线解析式； （3）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，找到点进行两次“斜平移”后的对应点的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得n，也就求得了所求的直线解析式． 【详解】（1）点向上平移3个单位后的点的坐标为， 设平移后的直线解析式为， 代入得，则， 所以过点的直线的解析式为； 故答案为：，； （2）可设新直线解析式为， ∵原直线经过点， ∴点O向左平移3个单位后点， 代入新直线解析式得：， ∴， ∴平移后直线的解析式为：， 由（1）可知，另外直接将直线向下平移6个单位也能得到直线； 故答案为：，下，6； （3）直线上的点，进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为，进行两次“斜平移”后的对应点的坐标为， 设两次斜平移后的直线的解析式为， 代入得，， 则， 所以，两次斜平移后的直线的解析式为． 5．用待定系数法求下列二次函数的解析式： (1)二次函数的图象经过点，，． (2)二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点． (3)二次函数的图象与x轴的交点为，，且经过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握二次函数各类解析式是解题的关键. （1）已知三个点的坐标，可以设一般式来求解； （2）已知图象的顶点坐标，可以设顶点式来求解； （3）已知图象与x轴的交点，可以设交点式来求解． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为． 把三点的坐标分别代入解析式， 得，解得． 故二次函数的解析式为． （2）解：设二次函数的解析式为． 把代入解析式，得 解得． 故二次函数的解析式为． （3）解：设二次函数的解析式为． 把代入解析式，得； 解得． 故二次函数的解析式为． 6．如图所示的是一次函数的图象，与x轴，y轴分别交于A，B两点 (1)若，，用待定系数法求直线l的解析式； (2)若将直线l向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，发现图象回到l的位置，求k的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换及一次函数图象与系数的关系，掌握平移规律是解题的关键． （1）把，代入解析式解答即可． （2）根据平移规律列出关于k的方程，求出k的值即可． 【详解】（1）解：把，代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：将直线l先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到的直线解析式为． 所以， 解得． 7．小明在解方程时，他是这样求解的：移项得,两边同时加4得,∴,∴,∴,,这种解方程的方法称为（   ） A．待定系数法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】B 【分析】根据配方法解方程的步骤即可得. 【详解】先把常数项移到等号的右边，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边即可变成完全平方，右边是常数项，再开方，这种解方程的方法称为配方法. 故选B. 【点睛】本题考查一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题的关键. 拓展拔高 1．待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中为常数，则的值为___________． 【答案】29 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据在化学反应中，铁原子的个数相等列式，以及氧原子的个数相等，得出方程组，再解出，即可作答． 【详解】解：依题意， 解得， ∴， 故答案为：29． 2．已知a、b为整数，可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为和，求的值．（待定系数法） 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，设，得出，代入后求值即可求出结论． 【详解】解：设， 则， ， 解得， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)请用待定系数法求出直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）根据解析式求出B点坐标，根据A点和B点坐标计算面积即可； 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为：． （2）解：把代入得：， 解得：， ∴点B的坐标为：， ∴． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的图象和性质是解题的关键． 4．甲乙两车沿直路同向匀速行驶，甲、乙两车在行驶过程中离乙车出发地的路程与出发的时间的函数关系加图1所示，两车之间的距离与出发的时间的函数关系如图2所示. （1）图2中__________，__________； （2）请用待定系数法求、关于的函数解析式；（不用写自变量取值范围） （3）出发多长时间，两车相距？ 【答案】（1）100，500；（2）、；（3）出发，两车相距. 【分析】（1）结合图1和图2即可知道，两车开始距离为b=500，两车相遇时间为a=100 (2)利用待定系数法即可求出、关于的函数解析式，将点（500，0）和点（100，2500）代入的解析式，将点（100，2500）代入的解析式，解方程即可 【详解】解：（1）100，500 （2）设，， 由题意得，，. 解得，. ∴、关于的函数解析式分别为、. （3）由题意可知，. ∵. 解得， 出发，两车相距. 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键. 5．已知抛物线经过E(4，5)，F（2，－3），G（－2，5），H（1，－4）四个点，选取其中两点用待定系数法能求出该抛物线解析式的是（  ） A．E，F B．F，G C．F，H D．E，G 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，则可判断H（1，－4）点为抛物线的顶点，于是可设顶点式y=a（x－1）2－4，然后把E点或F点或G点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式． 【详解】解：根据题意，点E(4，5)，G（－2，5）在抛物线上， ∴点E和G是抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为：， ∴点H（1，－4）是抛物线的顶点， ∴设抛物线的解析式为：y=a（x－1）2－4， 然后把点F（2，－3）代入解析式，得 ，解得：， ∴； 故选择：C. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 待定系数法 方法讲解 一、核心概念 待定系数法是初中数学经典建模思想解题方法，先根据函数、多项式、等式的固定结构，设出含有未知系数的完整表达式，再利用已知条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而确定完整解析式的解题方法。 二、适用范围 1.一次函数、反比例函数、二次函数解析式求解 2.多项式因式分解、整式恒等变形 3.分式拆分、恒等式参数求解 4.几何函数综合题求解析式 5.含参数方程、比例式定值问题 6.规律题型中代数式通用表达式推导 三、常用待定系数法类型 1. 函数型待定系数法 根据函数类型设对应一般式，代入点坐标求系数，为中考高频考点。 2. 恒等式待定系数法 两个多项式恒等，则对应项系数分别相等，列方程求解参数。 3. 分解型待定系数法 用于二次三项式、高次多项式因式分解，设分解形式反求系数。 4. 比例型待定系数法 结合比例、分式关系设参数，利用等量条件求未知系数。 四、通用解题步骤 1.定类设式：判断题型类型，依据结构设出含待定系数的式子； 2.代入条件：将已知点坐标、数值、等量关系代入所设式子； 3.列解方程：得到关于待定系数的方程（组），求解系数； 4.回代写式：把求出的系数代回原式，写出完整解析式； 5.检验验证：代入已知条件验算，确保等式、坐标满足要求。 五、重点注意事项 1.设式必须匹配题型，函数类型不可混淆一般式； 2.恒等变形中，同类项系数必须对应相等； 3.代入坐标计算时，注意符号、括号，避免计算失误； 4.多个待定系数时，方程个数需与未知数个数保持一致； 5.二次函数需区分一般式、顶点式、交点式，灵活选用简化计算。 六、常考典型应用 1.一次函数：设，代入两点坐标求； 2.二次函数：根据已知条件灵活选用三种表达式求解解析式； 3.恒等求值：利用对应项系数相等，求代数式中参数的值； 4.因式分解：假设分解结果，通过待定系数确定因式； 5.实际应用题：结合实际情境，求函数模型，解决最值、范围问题。 典型例题 【例1】阅读理解应用：待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成x3﹣1＝（x﹣1）（x2+ax+b）．展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等，a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1，可以求出a＝1，b＝1，所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）． （1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+3恒成立，则a＝　 　； （2）已知多项式3x3+x2+4x﹣4有因式3x﹣2，请用待定系数法求出该多项式的另一因式． 【例2】分式可以化为分母分别为x与x+2且分子都是常数的两个分式的和，为解决这个问题，可设（为常数），由.可得，由此可得,解得,所以，像这样的方法叫待定系数法. 请用待定系数法将化为分母分别为与且分子都是常数的两个分式的和. 【例3】在数学课外活动中，待定系数法是分解因式的重要方法．根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数的方法叫待定系数法．例如：分解因式 解：，不妨设 则 ， (1)若，则的值是________； (2)分解因式： ； ； (3)若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【例4】1637年笛卡尔（R．Descartes，1596-1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：．观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积．令：，而，因等式两边同次幂的系数相等，则有：，得，从而 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）若是多项式的因式，求的值并将多项式分解因式． （2）若多项式含有因式及，求的值． 【例5】阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式． 有这样一个问题：直线的表达式为，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式． 下面是小明的解题思路，请补充完整． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标，与轴的交点的坐标； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标； 第四步：由点，点的坐标，利用待定系数法，即可求出直线的表达式． 小明求出的直线的表达式是． 请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题： (1)若直线与直线关于直线对称，则直线的表达式是　 　； (2)若点在直线上，将直线绕点顺时针旋转．得到直线，求直线的表达式． 基础过关 1. 关于x的一次二项式的值随x的变化而变化，分析下表列举的数据，若，则x的值是（ ） x 0 1 1 2 A. 3 B. C. 6 D. 不存在 2. 分解因式：的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 已知y与x的函数关系式是由两部分的和组成，一部分与成正比，另一部分是常数，且y与x的对应关系如表，则y与x的函数关系式为（ ） x 2 y 3 A. B. C. D. 5. 正比例函数，当x每增加3时，y就减小4，则k=（ ） A. B. C. D. 6．根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：为何值时，多项式有一个因式是？ 解：设它的另一个因式为（为常数）， 则 ， 比较两边的系数，得，解得； (1)已知多项式有一个因式是，求的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值 (3)已知是的一个因式，请用待定系数法将分解因式． 7．学习一次函数后，小宁知道：若已知直线上两个点的坐标，就能用待定系数法求出该直线的解析式．例如：已知直线的解析式为，分别与轴，轴交于点，点．求直线关于轴的对称直线的解析式．解题思路为： 第一步：求出，两点的坐标； 第二步：求出点关于轴的对称点的坐标； 第三步：由，两点的坐标，用待定系数法，即可求出直线的解析式． 阅读以上材料，完成下列任务． (1)直接写出点的坐标； (2)若直线与直线关于轴对称； ①求出直线的解析式； ②在①的条件下，若点为直线上的一个动点，当点的横、纵坐标之和为3时，求点的坐标； ③在②的条件下，将直线向下平移个单位长度后得到直线，若直线与轴的交点为，且满足时，求的值． 能力提升 1．【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数解析式． 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为； 小谢认为平移前后直线中的“k”值不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式． 在分享交流中，老师肯定了他们的做法．小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究： 【解决问题】 （1）小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为 ，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为 （2）小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数解析式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； 【拓展应用】 （3）如果直线与直线关于y轴对称，求这条直线的函数解析式． 2．【阅读材料】 将关于的多项式因式分解． （1）若，求的值． 解：等式右边， （2）若分解后有一个因式为，求的值． 解：设另一个因式为，则 等式右边 由左右两边各项系数分别相等，可得解之得 上述方法叫做待定系数法，其一般思路是先假设出某一代数式（含待定系数），然后根据已知条件列出关于这些系数的方程（组），最后解这些方程（组），确定系数的值． 【初探方法】 （1）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，其中，，是正整数，则的值为____________（写出满足条件的一个值即可）； （2）若将多项式因式分解，其中一个因式为，求的值； 【拓展应用】 （3）一个分式往往可以写成几个分子均为常数的分式的和的形式，如； 请用待定系数法将分式化成几个分子均为常数的分式和的形式． 3．阅读下列材料 1637年笛卡尔（R．Descartes，1596-1650）在其（几何学）中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理． 他认为，若一个高于二次的关于的多项式能被整除，则其一定可以分解为与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，是关于的这个方程的一个根． 例如：多项式可以分解为与另外一个整式的乘积，即，令时，可知为该方程的一个根． 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积． 令：， 而， 因等式两边同次幂的系数相等，则有：，得， 从而． 此时，不难发现是方程的一个根． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)若取任意值，等式恒成立，则的值为________． (2)若多项式含有因式及，求的值． (3)若多项式可以分解为两个一次因式之积，求的值并将该多项式分解因式． 4．[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数表达式， 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；小谢认为平移前后直线中的“k”不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式． 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小雯继续进行探究验证： [解决问题] （1）小雯用小谢的方法进行了尝试：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为 ； （2）小雯又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； [拓展应用] （3）对于平面直角坐标系内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式． 5．用待定系数法求下列二次函数的解析式： (1)二次函数的图象经过点，，． (2)二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点． (3)二次函数的图象与x轴的交点为，，且经过点． 6．如图所示的是一次函数的图象，与x轴，y轴分别交于A，B两点 (1)若，，用待定系数法求直线l的解析式； (2)若将直线l向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，发现图象回到l的位置，求k的值． 7．小明在解方程时，他是这样求解的：移项得,两边同时加4得,∴,∴,∴,,这种解方程的方法称为（   ） A．待定系数法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 拓展拔高 1．待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．以黄铜矿为主要原料的火法炼铜的化学反应方程式为，其中为常数，则的值为___________． 2．已知a、b为整数，可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为和，求的值．（待定系数法） 3．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)请用待定系数法求出直线的函数表达式； (2)求的面积． 4．甲乙两车沿直路同向匀速行驶，甲、乙两车在行驶过程中离乙车出发地的路程与出发的时间的函数关系加图1所示，两车之间的距离与出发的时间的函数关系如图2所示. （1）图2中__________，__________； （2）请用待定系数法求、关于的函数解析式；（不用写自变量取值范围） （3）出发多长时间，两车相距？ 5．已知抛物线经过E(4，5)，F（2，－3），G（－2，5），H（1，－4）四个点，选取其中两点用待定系数法能求出该抛物线解析式的是（  ） A．E，F B．F，G C．F，H D．E，G 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $