专题04 整体代入法（整体思想）（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题04 整体代入法（整体思想） 方法讲解 一、核心概念 整体代入法是数学中重要的整体思想解题方法，不单独求解单个字母的值，将题目中结构完整、数值确定的代数式看作一个整体，直接代入化简计算，避开复杂解方程步骤，简化运算、快速解题。 二、适用范围 1.整式化简与代数式求值问题 2.分式化简、分式方程相关计算 3.含参数、多字母的代数综合题型 4.几何与代数结合的求值计算 5.规律探究、配方变形类题型 6.已知条件式子复杂、无法单独求字母的题型 三、常用整体代入类型 1. 直接整体代入 题目直接给出完整代数式的值，直接整体替换代入计算。 2. 变形整体代入 对已知式子适当移项、合并、因式分解，整理出所求式子需要的整体结构。 3. 拆分组合代入 将所求代数式拆分、分组，凑出已知条件中的整体式子，分步代入。 4. 配方整体代入 利用完全平方公式变形，构造整体平方、和差形式进行代入运算。 四、通用解题步骤 1.观察式子：对比已知条件与所求代数式，寻找相同或可变形的整体结构； 2.恒等变形：通过移项、去括号、因式分解、配方，整理出整体； 3.整体替换：把已知整体的值，代入目标代数式； 4.化简求值：合并计算，得出最终结果； 5.检查验证：确认变形无误，整体替换准确，避免计算错误。 五、重点注意事项 1.核心原则：不求单个字母，只求整体式子的值； 2.式子变形必须为恒等变形，保证前后式子相等； 3.代入时注意符号、括号，防止正负号出错； 4.分式题型中，需保证整体代换后分母不为零； 5.遇倍数、倍数关系整体，注意系数同步变形。 六、常考典型应用 1.整式求值：已知、的值，求多项式代数式的值； 2.公式变形：利用完全平方公式整体代换，求解平方和、平方差； 3.分式运算：整体替换繁分式结构，简化约分计算； 4.方程综合：结合一元二次方程，利用根与系数关系整体代入； 5.实际应用：结合应用题、图表题，整体列式代入快速求解。 典型例题 【例1】“整体代入”是数学中常用的解题方法，是指将一个复杂的代数式、图形或某个部分视为一个整体，直接代入到另一个相关的数学关系中，以简化计算或推导过程．其核心作用是“化繁为简”，避免逐一求解单个变量或处理复杂细节．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，可以找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． (1)把看成一个整体，合并的结果是___________； (2)已知，求的值； (3)当时，代数式的值为6，当时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是整式的加减运算的应用，整体思想法，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把看成一个整体，再根据加减混合运算即可； （2）根据，再把代入计算即可； （3）先将代入可得，再将代入得，最后将代入计算即可． 【详解】（1）； 故答案为：； （2） ； （3）代入得， 即， ， 代入代数式 ． 【例2】问题解决： 已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用： 已知，求代数式的值； 【答案】 【分析】按照题中方法进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 则原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意运用整体思想． 【例3】阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 【例4】整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：③，把③代入②中，求得_________，_________；利用整体代入思想，已知，则_________． 【答案】 17 【分析】①②将代入即可解答；②给两边同乘以得到，再减去即可解答； 【详解】（1）解：代入式即可得到，进而得到， 故答案为； （2）解：， ②得：， ③②得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了带入消元法，加减法解代数式的值，掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 基础过关 1. 已知，则______. 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题． 将代入原式，合并即可得． 【解答】解：当时， 原式 ，故答案为：2． 2. 将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后将变形求值即可． 【解析】解：将抛物线向上平移3个单位长度后， 表达式为：， 经过点，代入得：， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式． 3. 若，则______． 【答案】 【分析】由于，将变形为的形式，整体代入计算即可求解． 本题考查了平方差公式，注意整体思想的应用． 【解析】解：， ． 故答案为：． 4. 若实数x满足，则______． 【答案】 【分析】把分解成与相加，然后把所求代数式整理成用表示的形式，然后代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故答案为． 5. 已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于由非负数的性质得出x、y的值，再代入所求代数式求解即可． 【解答】解：， ，， 即，， ， 故答案为． 6．阅读材料：“整体代入，解决问题”是数学中常见的方法，例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，“整体代入，解决问题”：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________． 【答案】23 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，完全平方公式及一元一次方程解的定义，先根据是关于的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：23． 7．对于题目：“已知，求代数式的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果． (1)设，则___________（用含的代数式表示）． (2)根据，得到，所以的值为___________． (3)尝试用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2023 (3)1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，解题的关键是将代数式变形为含已知式子的形式，利用整体代入简化计算． （1）将代数式变形为含的形式； （2）代入的值计算结果； （3）先由已知式变形得的值，再化简代数式并整体代入． 【详解】（1）解：由，得， 则. 故答案为：. （2）解：由，得，代入得 故答案为：2023． （3）解：由（），两边除以得： 化简，代入得：． 答：代数式的值为. 能力提升 1．阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照阅读材料解答即可； （2）把已知变形可得，代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 变形整理可得：， ∴． 【点睛】本题考查了整体代入计算整式的加减，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 2．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）将方程②变形，得，利用整体代入法进行求解即可； （2）利用加减消元法，消去，整体思想，求出的值即可． 【详解】（1）解： 将方程②变形，得， 即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得， 方程组的解为 （2） ，得，即， ． 3．阅读与思考：下面是磊磊同学的数学日记，请你仔细阅读，认真思考，并完成相应的任务． 2023年11月26日星期日 今天我去图书馆看书，无意间发现一本数学资料上有这样的一段话：中学数学解题思路中有一种重要的思维方式是“整体思想”，它是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关系，进行有目的，有意识的整体处理．比如整体代入，整体运算，整体处理，整体换元……，从而使问题化繁为简，化难为易．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．我觉得运用数学思想解题，可以简化计算过程，提高解决问题的效率和准确性，同时也能培养我们的创新意识． 任务一：①若，则的值为__________． ②已知，则的值为____________． 任务二：已知有理数，，在数轴上的对应点如图所示，当，，求的值． 【答案】任务一：①；②；任务二：6 【分析】本题考查整式的化简求值，绝对值化简，将原式进行正确的变形是解题的关键； 任务一：①将代入中计算即可； ②将原式变形并整理后代入计算即可； 任务二：根据数轴判断出，将绝对值化简变形并整理后将，代入计算即可； 【详解】任务一：①， ②， 任务二：根据数轴可得：，， ，， 4．计算题 “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解 例：当代数式的值为7时，求代数式的值 解：因为，所以 所以 以上方法是典型的整体代入法 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)我们知道方程的解是，现给出另个方程，请求出它的解． 【答案】(1)2023 (2) 【分析】（1）原式变形后，把已知等式代入求出值即可； （2）设，所求方程变形后求出a的值，进而求出原方程的解． 【详解】（1）， ∵， ∴原式， ∴的值为2023． （2）设，方程变形得：， 分解因式得：， 解得：或，即或， 解得：． 故答案为． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，代数式求值，以及换元法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．阅读与思考：中学数学解题思路中有一种重要的思维方式是“整体思想”，它是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关系，进行有目的，有意识的整体处理．比如整体代入，整体运算，整体处理，整体换元…，从而使问题化繁为简，化难为易．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，解决下面的问题： 任务一： （1）已知，则； 任务二： （2）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当，求的值． 任务三： （3）图1是根据幻方的相等关系设计出来的“幻圆”，即大圆、小圆、横线、竖线上的四个数字加起来的和均相等，图中给出了部分数字；图2是一扇窗户的形状（单位：m），其上部是半圆形，下部是相同的四个小长方形，图中实线部分均为窗户的装饰条，小长方形的长为a，宽为b，半圆形的半径也为a，请你直接写出由图1中的a与b的关系求出图2中装饰木条的总长度（π取3）． 【答案】（1）；（2）6；（3）15 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）变形已知，整体代入求值； （2）利用数轴确定代数式的正负，利用绝对值的性质去绝对值进行化简，再整体代入求值； （3）由图1得代数式的值，最后求出图2装饰木条的总长度，再整体代入求值． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）根据数轴可得：， ∴ ， ∵ ∴原式 ． （3）由图1的小圆、横线上的四个数字加起来的和相等可得：， 整理得． 图2中装饰木条的总长度． 故答案为：15． 6．【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理，它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用：某问题按常规不容易直接求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 类似的，若我们把看成一个整体，则有． 这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”． 【方法运用】 （1）把看成一个整体，求的值； 【拓展应用】 （2）将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④四个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y．若图中⑤号小长方形的周长为10，试求③号正方形的周长． （3）若，求代数式的值． 提示：我们知道，反之也成立．这种解决问题的方法渗透了数学中的“逆向思维”，它是解决问题的一种重要思维方式．例如：． 【答案】（1），（2），（3）3． 【分析】本题考查了整式的加减法、整体思想。解题关键是利用整体思想化繁为简， （1）把看成一个整体，直接合并同类项即可； （2）根据图形，把③、④号正方形和⑤号小长方形的边长用关于，的代数式表示，由此可得③号正方形的边长，而⑤号小长方形的周长，由此即可得出结论， （3）把看作一个整体，利用添项法，待求式变形出，然后求值，达到逐步降次化简的目的，从而得出结果. ， 【详解】解：（1） ， （2）将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④四个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y．若图中⑤号小长方形的周长为10，试求③号正方形的周长． 设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y． 由图可知： ③号正方形的边长=①号正方形的边长+②号正方形的边长， ④号正方形的边长=③号正方形的边长+①号正方形的边长， ⑤小长方形的长=③号正方形的边长+④号正方形的边长-②号正方形的边长为 ⑤小长方形的宽=②号正方形的边长-①号正方形的边长 ⑤号小长方形的周长， ∴③号正方形的周长． （3）∵， ∴， ∴ ， ， ． 拓展拔高 1．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算． （1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． 【详解】（1）解：设， 原式 ， ； （2）解：， ； （3）解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 2．【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【教材原题】如图，若，求长方形A与B的面积差． 【尝试应用】当时，代数式的值为m，当时，求代数式的值；（用含m的代数式表示） 【拓展应用】A，B两地相距60千米，某日，甲从A地出发前往B地，同时，乙从B地出发前往A地．已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过2小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距20千米的时间． 【答案】（1）长方形A与B的面积差为；（2）；（3）当行驶时间为小时或小时，两人相距20千米， 【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值； （1）先表示长方形A与B的面积差为：，再化简，再整体代入计算即可； （2）由条件得到，再把代入可得，再整体代入计算即可； （3）由2小时相遇可得，再分两种情况：当两人相遇前，相距20千米，当两人相遇后，相距20千米，再列式计算即可． 【详解】解：（1）∵长方形A与B的面积差为： ， ∵， ∴原式． （2）当时，代数式的值为m， ∴， ∴， 当时， ∴ ； （3）由题意可得：， ∴， 当两人相遇前，相距20千米， （小时）， 当两人相遇后，相距20千米， （小时）， 综上：当行驶时间为小时或小时，两人相距20千米。 3．阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法． 例：因式分解：，把“”看成整体，即， 原式＝，原式＝． 请依据上面的材料解决有关问题： (1)因式分解：________； (2)已知，则________； (3)若，求的值，写出过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算、因式分解、求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）把看作整体，利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把原式变形后把已知条件整体代入计算即可； （3）利用多项式乘以多项式法则分组计算后，把已知条件变形后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ； 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 4．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：_______； (2)计算：_______； (3)已知． ①若，求m的值； ②计算：______． 【答案】(1) (2)2024 (3)①；② 【分析】（1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）由已知推出，，①分子分母同除以，再化简求解即可；②将原式整理，将代入得到，再整理再代入得到，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：将看成一个整体，令， 则 ； 故答案为：； （2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则 ； 故答案为：2024； （3）解：∵， ∴，即， ∴，， ①∵，， ∴，即， ∴， ∴， 经检验，是方程的解； ② ． 【点睛】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是看懂例题，掌握整体思想． 5．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 【答案】(1) (2)2024 (3) 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）令，，代入计算即可； （3）首先求出，然后求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：令， ∴ ； 故答案为：； （2）解：令，， ∴ ； 故答案为：2024； （3）解：∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了因式分解，有理数的混合运算，分式的求值，整体思想的应用，解题的关键是掌握整体思想． 6．【阅读与思考】“整体思想”是数学中的重要思想，纵观全局，通过整体观察、整体设元、整体代入、整体构造等方式使问题化繁为简，化难为易、这种方法也可以应用在多项式的化简与求值中．例如：我们把看作是一个整体，则． 请你尝试用整体思想解决一下问题： (1)化简：___________； (2)若，求代数式的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)27 (3) 【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用，将式子中的某一部分看成一个整体进行运算是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可求解； （2）把看成一个整体，利用分配律化简代数式为，然后代入化简即可求解； （3）化简代数式，把看成一个整体，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：已知，可得． 把作一个整体代入： ； （3） 设 解得： ∴ 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整体代入法（整体思想） 方法讲解 一、核心概念 整体代入法是数学中重要的整体思想解题方法，不单独求解单个字母的值，将题目中结构完整、数值确定的代数式看作一个整体，直接代入化简计算，避开复杂解方程步骤，简化运算、快速解题。 二、适用范围 1.整式化简与代数式求值问题 2.分式化简、分式方程相关计算 3.含参数、多字母的代数综合题型 4.几何与代数结合的求值计算 5.规律探究、配方变形类题型 6.已知条件式子复杂、无法单独求字母的题型 三、常用整体代入类型 1. 直接整体代入 题目直接给出完整代数式的值，直接整体替换代入计算。 2. 变形整体代入 对已知式子适当移项、合并、因式分解，整理出所求式子需要的整体结构。 3. 拆分组合代入 将所求代数式拆分、分组，凑出已知条件中的整体式子，分步代入。 4. 配方整体代入 利用完全平方公式变形，构造整体平方、和差形式进行代入运算。 四、通用解题步骤 1.观察式子：对比已知条件与所求代数式，寻找相同或可变形的整体结构； 2.恒等变形：通过移项、去括号、因式分解、配方，整理出整体； 3.整体替换：把已知整体的值，代入目标代数式； 4.化简求值：合并计算，得出最终结果； 5.检查验证：确认变形无误，整体替换准确，避免计算错误。 五、重点注意事项 1.核心原则：不求单个字母，只求整体式子的值； 2.式子变形必须为恒等变形，保证前后式子相等； 3.代入时注意符号、括号，防止正负号出错； 4.分式题型中，需保证整体代换后分母不为零； 5.遇倍数、倍数关系整体，注意系数同步变形。 六、常考典型应用 1.整式求值：已知、的值，求多项式代数式的值； 2.公式变形：利用完全平方公式整体代换，求解平方和、平方差； 3.分式运算：整体替换繁分式结构，简化约分计算； 4.方程综合：结合一元二次方程，利用根与系数关系整体代入； 5.实际应用：结合应用题、图表题，整体列式代入快速求解。 典型例题 【例1】“整体代入”是数学中常用的解题方法，是指将一个复杂的代数式、图形或某个部分视为一个整体，直接代入到另一个相关的数学关系中，以简化计算或推导过程．其核心作用是“化繁为简”，避免逐一求解单个变量或处理复杂细节．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，可以找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． (1)把看成一个整体，合并的结果是___________； (2)已知，求的值； (3)当时，代数式的值为6，当时，求代数式的值． 【例2】问题解决： 已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用： 已知，求代数式的值； 【例3】阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【例4】整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：③，把③代入②中，求得_________，_________；利用整体代入思想，已知，则_________． 基础过关 1. 已知，则______. 2. 将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是______． 3. 若，则______． 4. 若实数x满足，则______． 5. 已知，则的值为________． 6．阅读材料：“整体代入，解决问题”是数学中常见的方法，例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，“整体代入，解决问题”：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________． 7．对于题目：“已知，求代数式的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果． (1)设，则___________（用含的代数式表示）． (2)根据，得到，所以的值为___________． (3)尝试用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：已知，求代数式的值． 能力提升 1．阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 2．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 3．阅读与思考：下面是磊磊同学的数学日记，请你仔细阅读，认真思考，并完成相应的任务． 2023年11月26日星期日 今天我去图书馆看书，无意间发现一本数学资料上有这样的一段话：中学数学解题思路中有一种重要的思维方式是“整体思想”，它是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关系，进行有目的，有意识的整体处理．比如整体代入，整体运算，整体处理，整体换元……，从而使问题化繁为简，化难为易．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．我觉得运用数学思想解题，可以简化计算过程，提高解决问题的效率和准确性，同时也能培养我们的创新意识． 任务一：①若，则的值为__________． ②已知，则的值为____________． 任务二：已知有理数，，在数轴上的对应点如图所示，当，，求的值． 4．计算题 “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解 例：当代数式的值为7时，求代数式的值 解：因为，所以 所以 以上方法是典型的整体代入法 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)我们知道方程的解是，现给出另个方程，请求出它的解． 5．阅读与思考：中学数学解题思路中有一种重要的思维方式是“整体思想”，它是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关系，进行有目的，有意识的整体处理．比如整体代入，整体运算，整体处理，整体换元…，从而使问题化繁为简，化难为易．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，解决下面的问题： 任务一： （1）已知，则； 任务二： （2）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当，求的值． 任务三： （3）图1是根据幻方的相等关系设计出来的“幻圆”，即大圆、小圆、横线、竖线上的四个数字加起来的和均相等，图中给出了部分数字；图2是一扇窗户的形状（单位：m），其上部是半圆形，下部是相同的四个小长方形，图中实线部分均为窗户的装饰条，小长方形的长为a，宽为b，半圆形的半径也为a，请你直接写出由图1中的a与b的关系求出图2中装饰木条的总长度（π取3）． 6．【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理，它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用：某问题按常规不容易直接求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 类似的，若我们把看成一个整体，则有． 这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”． 【方法运用】 （1）把看成一个整体，求的值； 【拓展应用】 （2）将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④四个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y．若图中⑤号小长方形的周长为10，试求③号正方形的周长． （3）若，求代数式的值． 提示：我们知道，反之也成立．这种解决问题的方法渗透了数学中的“逆向思维”，它是解决问题的一种重要思维方式．例如：． 拓展拔高 1．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 2．【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【教材原题】如图，若，求长方形A与B的面积差． 【尝试应用】当时，代数式的值为m，当时，求代数式的值；（用含m的代数式表示） 【拓展应用】A，B两地相距60千米，某日，甲从A地出发前往B地，同时，乙从B地出发前往A地．已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过2小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距20千米的时间． 3．阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法． 例：因式分解：，把“”看成整体，即， 原式＝，原式＝． 请依据上面的材料解决有关问题： (1)因式分解：________； (2)已知，则________； (3)若，求的值，写出过程． 4．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：_______； (2)计算：_______； (3)已知． ①若，求m的值； ②计算：______． 5．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 6．【阅读与思考】“整体思想”是数学中的重要思想，纵观全局，通过整体观察、整体设元、整体代入、整体构造等方式使问题化繁为简，化难为易、这种方法也可以应用在多项式的化简与求值中．例如：我们把看作是一个整体，则． 请你尝试用整体思想解决一下问题： (1)化简：___________； (2)若，求代数式的值； (3)解方程：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $