专题03 换元法（专题训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题03 换元法 方法讲解 一、核心定义 换元法：把式子中复杂的整体代数式用一个新字母（等）代替，简化式子结构，将复杂方程、分式、根式、多项式转化为基础题型求解，是化繁为简、转化思想的核心方法。 二、适用题型 1.高次方程（三次、四次方程） 2.分式方程（分母含相同多项式） 3.根式方程（含重复根号式子） 4.复杂多项式因式分解 5.重复结构的代数式求值、化简 三、常见换元类型 1. 整体换元（最常用） 将重复出现的多项式看作整体换元。例：，令 ，原式简化为： 2. 倒数换元 式子含互为倒数的代数式，适用于分式方程。例：，令 ，简化计算。 3. 均值换元 式子含两个数的和为定值，设中间量换元，多用于代数式化简、方程组。 4. 局部换元 单独对根号、复杂小括号内式子换元，多用于无理方程。例：，令 t=x(t≥0)，转化为整式方程： 四、标准解题步骤 1.观察：找出题干中重复出现的整体式子； 2.设元：令复杂整体=新字母（注明取值范围，如根号、分母）； 3.代换：代入原式，化简为简单方程/多项式； 4.求解：先解新字母的未知数； 5.回代：把新字母结果换回原代数式，解出原未知数； 6.检验：分式方程：检验分母不为0；根式方程：检验被开方数非负、结果符合范围。 五、易错点提醒 1.换元后必须回代，不能只求新字母的值直接作答； 2.根式换元、绝对值换元，需标注自变量取值范围，避免增根； 3.分式方程换元求解后，一定要验根； 4.高次方程换元降次，不要遗漏多组解。 典型例题 【例1】关于的方程组的解为且，则为（   ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解得出，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴的解为， 将两式相加，得， 即， 所以 故选：A． 【例2】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 则方程，可化为， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：B． 【例3】如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 根据一次函数与二元一次方程组的关系可得方程组的解是，对比方程组，可得第二方程组中与第一个方程组中对应，第二方程组中与第一个方程组中对应，故，由此解答即可． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是． ∴在方程组中，， 解得 故选D． 【例4】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程看作关于的一元一次方程，则，从而得到y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程的解为， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【例5】如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过设点法，设出、、、，表示出的面积，再借助整体换元思想，令，求出t值即可． 【详解】解：如图所示，分别过点A、B作y轴垂线，交点分别为G、F，过点B作x轴垂线，交点为E， 设、，则、，，， 则 令，则，代入， 则， 解得，（舍） 则的值为． 故选：C． 【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义与换元思想，解题的关键是正确应用k的几何意义． 基础过关 1．若关于m的方程的解为，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】对比两个方程可知，结合即可求出的解． 【详解】解：将方程看着关于的一元一次方程， 而关于m的方程的解为， ∵， ∴， 解得：，， 故选C． 【点睛】本题主要考查了换元法解方程，解题的关键是用好整体的思想方法． 2．若关于的方程的解是，则关于的方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设，则关于y的方程可化为，从而可得，然后解方程，再一步计算解答即可． 【详解】设，则关于y的方程可化为 方程的解是， ， 检验：当时， 是原方程的根， ， 故选：B． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握换元法是解决本题的关键． 3．换元法是一种重要的转化方法，如：解方程，设，原方程转化为．已知m，n是实数，满足，则n的取值范围是（    ） A．n≤0 B．n≥4 C．n≥2 D．n≥3 【答案】D 【分析】先将原等式左边变形，再利用换元法思想求出n关于x的二次函数，确定x的范围后再确定n的范围即可． 【详解】解：原等式变形可得， 令， 则， 该抛物线开口向上，对称轴为， ∵， n的最小值为， ∴n的取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题考查了用换元法的思想确定变量的取值范围，涉及到了解一元二次方程和二次函数的图象与性质，解题关键是正确运用换元法，同时能熟练运用二次函数的知识求出最值． 4．若关于x的方程的解为，，则抛物线＋c与x轴的交点的横坐标为______． 【答案】 0和4 【分析】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，理解两者的关系是解题关键． 将看作一个整体，通过整体换元，由方程的解确定换元后的抛物线与x轴的交点，再代换求解即可． 【详解】解：令， 则抛物线 ， ∵关于x的方程 的解为 ，， ∴方程的解为，， ∴，或， 解得或， 故抛物线 与x轴的交点的横坐标为0和4， 故答案为：0和4． 5．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解法，利用换元法得出是解题关键． 将关于y的一元一次方程两边同时乘以，可化为，得到和x的一元一次方程的形式，由此得出：，由此即可解题． 【详解】解： 两边同时乘以，可化为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：． 6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，通过换元法，将第二个方程转化为与第一个方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解： ，解为， 可化为； 设，则 ， 化为， 所以， 此方程与第一个方程形式相同，因此， 即， 解得 故答案为． 7．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是_________． 【答案】 【分析】本题考查了换元法、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，利用换元法将原方程化为关于y的方程，再通过去分母得到整式方程，即可得出答案． 【详解】解：， ，， 原方程可化为， 去分母，得：， 整理得：， 原方程可化为关于y的整式方程是． 故答案为：． 8．如果，且，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出，，的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：设， 则，，， ， ， ， ，，， ； 故答案为． 能力提升 1．若n满足关系式，则代数式 的值是 ______． 【答案】 【分析】设，则可得，，根据完全平方公式即可求出的值，即的值． 【详解】设，， 则， ． ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，并且灵活运用换元法是解题的关键． 2．已知，则____________． 【答案】或 【分析】设，再把方程同时除以，即可得到关于的一元二次方程，解方程后检验即可． 【详解】设，则 ∵， ∴， ， ∴， 整理得， 解得 当，即时，去分母整理得到，，此方程有解； 当，即时，去分母整理得到，，此方程有解； 综上所述，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．解题的关键是除以构造与相关的方程．也考查解一元二次方程及分式方程． 3．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是 _____ 【答案】 【分析】根据题意可得出，解一元一次方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，观察出两个方程之间的联系，并得出是解题关键． 4．若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为_______． 【答案】/ 【分析】先观查两个方程组的特征可知，再把代入求解即可． 【详解】解：依题意得：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的概念，仔细观查得到方程组的相同点是解题的关键． 5．用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为___． 【答案】 【分析】把用y代入后，整理即可得整式方程． 【详解】原方程可化为：， 方程两边乘2y，并整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的特殊解法：换元法，根据题目特点合理引入新的未知数是换元法的特点，从而把复杂的算式或方程转化为简单的算式或方程，利用问题的解决． 6．计算 =_____________. 【答案】 【分析】设a=，b=，对原式进行化简，计算即可求解． 【详解】解：设a=，b=， 则原式=a(1+b)-b(1+a)=a+ab-b-ab=a-b =- =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用整体思想、换元思想进行计算，能正确地设a=，b=是解决此题的关键． 7．阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：_____，_____； (2)知识迁移：①若关于的方程的解为，求的值； ②解分式方程： (3)拓展提升：若关于的方程的解为，求的值． 【答案】(1)4；； (2)①56；②，（）； (3) 【分析】（1）根据材料中的方法求解即可； （2）①由题意可得，，再由完全平方公式可得即可解答； ②方程两边同时乘以 2，得，整理得，令 ，则方程变为：，该方程的解为 或 （） ，再分别求解即可． （3）将原式变形为，设，方程为，根据材料中的方法得，，还原为，，根据题意得，，即将目标代数式等量变换得即可解答． 【详解】（1）解：∵的解为 ∴的解为，； （2）①解：∵方程的解为， ∴，， ∴； ②解： 方程两边同时乘以 2，得， 令 ，则方程变为：， 该方程的解为 或 （） ， 当 时， ，解得 ， 当 时， ，解得 ， ∴方程的解为，（）； （3）解：∵， ∴， ∴， 设，方程变形为， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ 【点睛】本题考查了分式方程的解，完全平方公式，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 8．阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）仿照材料可知，即可求解； （2）仿照材料可知或，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：，解得：， 故答案为：，； （2）∵关于x的方程的解是或， ∴方程中或， 当时，， 当时，； 故方程的解为或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程及含绝对值的方程，利用换元的思想是解决问题的关键． 9．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并的结果是______． (2)已知，求的值． (3)拓展探索：已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）利用整体法的思想进行求解即可得； （2）利用整体法可得，代入即可求解； （3）将原式整理成，然后将已知整体代入式子的值即可求解． 【详解】（1）解：（1） ． 故答案为：. （2）解：， ， 原式． （3）解： ， ，，， 原式． 【点睛】本题考查求代数式的值，理解整体法是解题的关键． 10．关于x的方程． (1)已知a，c异号，试说明此方程根的情况． (2)若该方程的根是，，试求方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号判断即可求解． （2）根据将作为整体，根据一元二次方程的解的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵a、c异号， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：方程可变为： ， 令，则原方程可变为， ∵方程的两个根为，， ∴方程的两个根为： ，， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程的解，换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的判别式，一元二次方程的解的定义是解题的关键． 11．[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A 还原即可； （2）设 ，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先计算，再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， 原式 ； （2）令， 则 ； （3） ， ∵n为正整数， ∴正整数． ∴， 即代数式的值一定是某个整数的平方． 【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 12． 【答案】，，， 【分析】利用换元法解这个方程，先设，.求得t的值后再代回，求解x. 【详解】解：设，则原方程化为： ， ， 或， 当时，， 解此方程得或， 当时，， 解此方程得或， ∴原方程得解为，，，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用换元法解方程可以把较为复杂的一元二次方程化为简单的方程从而得解. 拓展拔高 1．对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法． 【答案】，． 【分析】此题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解本题的关键．根据设出的与，将方程组变形，求出解确定出与的值，进而求出与的值． 【详解】解：∵设，， ∴整理成， 将各个式子去分母化简为：， 由由得： ， ， ， ， 将代入①中得：，即， ∴综上． ∵将代入，中， 整理得， 由③④得： ， ， ， 将代入③中得：，即， ∴综上． 2．阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 【答案】(1)①，② (2)①，② 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式，阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式是解题的关键． （1）①设实数m，n，根据题意列方程，即可求解；②先提取2，设实数m，n，根据题意列方程，即可求解． （2）①令，再用十字相乘法因式分解，再将A代入即可求解；②令，再用十字相乘法因式分解，再将B代入，再用十字相乘法对因式进行一次因式分解，即可求解． 【详解】（1）①设存在实数m，n，使得，解得， 则； ②， 设存在实数m，n，使得，解得， 则． （2）①令， 故， 将代入得． ②， 令， 则， 将代入，得． 3．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为________；并证明你的猜想． (3)已知关于x的方程的两根，请结合（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2) ， (3)两根分别为和 【分析】（1）根据“友好方程”的定义，，直接写出式子即可； （2）①根据（1）得出的“友好方程”，解出两根即可；②分析刚才得出的原方程和“友好方程”的两根，猜想关系，利用韦达定理证明猜想：设原方程两根为，其“友好方程”两根为，​，通过比较韦达定理的表达式推导关系； （3）应用第（2）问的结论可得，“友好方程”的两根，令，则方程的解为，即可求解． 【详解】（1）解：一元二次方程中， ， 则“友好方程”为． 故答案为． （2）①的“友好方程”是， ， 十字相乘法得， 解得：或， 故答案为． ②猜测：，， 原方程， ， ， “友好方程”， ，； ，， ，是的两根， 即，． 故答案为，． （3）关于x的方程的两根， “友好方程”的两根， 令，则方程变形为， ， 或 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根与系数的关系（韦达定理）、新定义应用及代数证明，关键在于理解“友好方程”的定义，发现根之间的倒数关系，灵活应用韦达定理，易错点在于代换过程中符号错误． 4．整体法解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查一元一次方程求解，运用整体换元思想，将设为整体简化方程，关键是通过换元转化为简单方程，易错点为换元后回代计算时的符号或运算错误； 解题思路是设为整体，将原方程转化为关于该整体的方程，求解后回代得的值． 【详解】设，原方程可转化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得， 即， 解得． 5．阅读与应用 计算时，若把与分别各看成一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的应用； （1）根据例题的方法设为，为，进而根据分配律进行计算即可求解； （2）根据发现的规律将所求式子变形，同（1）的方法，利用分配律进行运算，即可求解． 【详解】（1）设为，为， 原式 ； （2）设为，为， 原式 . 6．如图1所示是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2请你写出，，之间的等量关系是_______________________； (2)根据（1）中的结论，若，，则_________________； (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2)29 (3)3 【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示，即可得出答案． （2）由（1）可得出，将，，整体代入，即可得出答案； （3）设，，则，， ，再利用（1）中的结论即可求解； 本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，小长方形的长为b，宽为a， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即． 故答案为：； （2）解:∵，， 由（1）中结论可得， ∴． 故答案为：29； （3）解：设，， 则，． ． 7．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了指数幂的运算以及换元法，解题的关键在于正确利用换元法将分数指数幂转化为整数指数幂． 【详解】令 则 故答案为：． 8．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为…①， 解这个方程得：． 当时，．∴； 当时，，∴ 所以原方程有四个根： ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为 ；并求出x (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果； （2）设把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x的值． 【详解】（1）解：设，原方程可变形为：， ∴因式分解为：， ∴或， ∴或， 对于方程， 解得：，， 对于方程， 移项得：， ∵， ∴上述方程无解， ∴原方程的解为：，． 故答案为：． （2）设，则， 原方程变形为：， 去分母，得， 即， 解得，， 经检验，是分式方程的根． ∴， 即：， 解得：，． 经检验， 是上述分式方程的根． ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根． 9．阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如，我们分析，，可以采用“换元法”来解：设，，原方程组转化为，解得，∴，，由倒数定义得，原方程组的解为． (1)直接写出满足方程的一个解______； (2)解方程组． 【答案】(1)（答案不确定，满足方程即可） (2) 【分析】（1）根据方程解的定义，先假定x等于一个数，再求出对应的y即可； （2）仿照例题，设，，，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，求出m，n的值，进而求出方程组的解． 【详解】（1）解：当时，方程成立， 故方程的解可以是：， 故答案为：（答案不确定，满足方程即可） （2）设，，原方程组转化为， 解得， ∴，由倒数定义得，原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m，n的方程组是解此题的关键． 10．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代的它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，则方程组的解为 ． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案. 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为， ，解得：. 【点睛】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便，快捷. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 换元法 方法讲解 一、核心定义 换元法：把式子中复杂的整体代数式用一个新字母（等）代替，简化式子结构，将复杂方程、分式、根式、多项式转化为基础题型求解，是化繁为简、转化思想的核心方法。 二、适用题型 1.高次方程（三次、四次方程） 2.分式方程（分母含相同多项式） 3.根式方程（含重复根号式子） 4.复杂多项式因式分解 5.重复结构的代数式求值、化简 三、常见换元类型 1. 整体换元（最常用） 将重复出现的多项式看作整体换元。例：，令 ，原式简化为： 2. 倒数换元 式子含互为倒数的代数式，适用于分式方程。例：，令 ，简化计算。 3. 均值换元 式子含两个数的和为定值，设中间量换元，多用于代数式化简、方程组。 4. 局部换元 单独对根号、复杂小括号内式子换元，多用于无理方程。例：，令 t=x(t≥0)，转化为整式方程： 四、标准解题步骤 1.观察：找出题干中重复出现的整体式子； 2.设元：令复杂整体=新字母（注明取值范围，如根号、分母）； 3.代换：代入原式，化简为简单方程/多项式； 4.求解：先解新字母的未知数； 5.回代：把新字母结果换回原代数式，解出原未知数； 6.检验：分式方程：检验分母不为0；根式方程：检验被开方数非负、结果符合范围。 五、易错点提醒 1.换元后必须回代，不能只求新字母的值直接作答； 2.根式换元、绝对值换元，需标注自变量取值范围，避免增根； 3.分式方程换元求解后，一定要验根； 4.高次方程换元降次，不要遗漏多组解。 典型例题 【例1】关于的方程组的解为且，则为（   ） A．1 B． C．0 D．2024 【例2】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【例3】如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（   ）    A． B． C． D． 【例4】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【例5】如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 基础过关 1．若关于m的方程的解为，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 2．若关于的方程的解是，则关于的方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．换元法是一种重要的转化方法，如：解方程，设，原方程转化为．已知m，n是实数，满足，则n的取值范围是（    ） A．n≤0 B．n≥4 C．n≥2 D．n≥3 4．若关于x的方程的解为，，则抛物线＋c与x轴的交点的横坐标为______． 5．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 7．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是_________． 8．如果，且，则的值为______． 能力提升 1．若n满足关系式，则代数式 的值是 ______． 2．已知，则____________． 3．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解是 _____ 4．若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为_______． 5．用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为___． 6．计算 =_____________. 7．阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：_____，_____； (2)知识迁移：①若关于的方程的解为，求的值； ②解分式方程： (3)拓展提升：若关于的方程的解为，求的值． 8．阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 9．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)尝试应用：把看成一个整体，合并的结果是______． (2)已知，求的值． (3)拓展探索：已知，，，求的值． 10．关于x的方程． (1)已知a，c异号，试说明此方程根的情况． (2)若该方程的根是，，试求方程的根． 11．[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 12． 拓展拔高 1．对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法． 2．阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 3．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为________；并证明你的猜想． (3)已知关于x的方程的两根，请结合（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 4．整体法解方程：． 5．阅读与应用 计算时，若把与分别各看成一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： (1)； (2)． 6．如图1所示是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2请你写出，，之间的等量关系是_______________________； (2)根据（1）中的结论，若，，则_________________； (3)拓展应用：若，求的值． 7．若，则__________． 8．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为…①， 解这个方程得：． 当时，．∴； 当时，，∴ 所以原方程有四个根： ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为 ；并求出x (2)利用换元法解方程：． 9．阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如，我们分析，，可以采用“换元法”来解：设，，原方程组转化为，解得，∴，，由倒数定义得，原方程组的解为． (1)直接写出满足方程的一个解______； (2)解方程组． 10．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代的它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，则方程组的解为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $