精品解析：2026届宁夏回族自治区银川市第二十四中学高三一模数学试题

银川二十四中2026届高三一模 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（）为纯虚数，则 （ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知平面向量，若与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 花盆的起源可追溯至浙江余姚河姆渡文化出土的陶片，距今已有7000年的历史，为了方便堆叠和排水，花盆为上宽下窄的圆台结构.小明家有一个花盆，其上底面圆的直径为 ，下底面圆的直径为 ，高为，则该花盆的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若双曲线与的两个焦点重合，则称与互为“同心双曲线”.已知双曲线：与双曲线：互为“同心双曲线”，左、右焦点分别为，， 是上一点，若的周长为20，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直四棱柱的侧面积为，在等腰梯形 中，，，，若异面直线与所成角的余弦值为，则该直四棱柱外接球的表面积为（） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某市气象部门对本市的温度（单位：℃）与相对湿度进行研究，记录了五组数据如表所示： 温度 28 25 22 19 16 相对湿度 41 48 62 65 70 已知与线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为，则（ ） A. 与负相关 B. 经验回归直线一定经过点 C. 当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2% D. 样本相关系数 10. 若函数（ ，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的对称轴为（ ） C. 的单调递增区间为（ ） D. 当时，的最小值为 11. 已知函数与及其导函数与的定义域均为 ，的图象关于点对称，的图象关于直线 对称，且，，若，则（ ） A. B. C. 4为的周期 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，，，，若数列的前项和，则______. 13. 在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6中的一个数字填入，要求1用两次，2用三次，其余数字各用一次，且当两个1在同一行或同一列时均不相邻，则不同的填法共有______种. 14. 已知椭圆： （ ）的左、右焦点分别为，，上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为，则的离心率为______.过点的直线与交于 ，两点（均异于左、右顶点），若，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 血脂高（高脂血症）可能导致动脉硬化、心脑血管疾病、胰腺炎等健康问题，长期血脂高会引发全身多器官损伤.某市医疗机构为了研究运动与血脂的关系，从本市成年人中采用随机抽样的方法抽取了150名市民，调查他们是否得高脂血症和平时运动的情况（每日进行30分钟以上中等强度的运动，且每周运动5天以上的为“运动者”，否则为“非运动者”）.统计的部分数据如表. 运动情况 是否得高脂血症 合计 得高脂血症 未得高脂血症 “非运动者” 45 “运动者” 55 75 合计 150 （1）计算，的值，并依据 的独立性检验，判断能否认为得高脂血症与不运动有关？ （2）该医疗机构采用分层随机抽样的方法从得高脂血症的成年人中随机抽取13人，并进行饮食方面的调查，然后从这13人中随机抽取2人作饮食指导，记这2人中“运动者”的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 记的内角，，的对边分别为，， ，已知. （1）求角的大小； （2）若，求 的最小值及的面积. 17. 如图1，四边形 是边长为5的正方形，扇形中，，弧上的点 满足，中，，.现将沿进行翻折，正方形 沿进行翻折，使得点与点重合为点 ，点到达点的位置，得到如图2所示的几何体，且点满足 （）. （1）当时，证明： 平面 ； （2）若直线与平面 所成角的正弦值为，求的值. 18. 已知抛物线：上的点与焦点的距离为2，点到轴的距离也为2. （1）求的方程； （2）过点且斜率为3的直线与交于，两点，过点且斜率为的直线与交于，两点，求四边形的面积； （3）过点且倾斜角为的直线与交于，两点.点，记直线 ， 的斜率分别为，，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出及的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）证明： （）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川二十四中2026届高三一模 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，， ，， . 2. 若（）为纯虚数，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】， 因为 为纯虚数， 所以，且， 所以 . 3. 已知平面向量，若与平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，又因为与平行， 所以，即，解得． 4. 花盆的起源可追溯至浙江余姚河姆渡文化出土的陶片，距今已有7000年的历史，为了方便堆叠和排水，花盆为上宽下窄的圆台结构.小明家有一个花盆，其上底面圆的直径为 ，下底面圆的直径为 ，高为，则该花盆的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，该花盆为圆台结构，上底面圆的半径为，下底面圆的半径为 ，高为， 则该花盆的体积为. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为 ， 所以. 则 . 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的换底公式，对数的运算法则以及指数函数的单调性，通过构造函数，利用导数法求出单调性比较出的大小. 【详解】，， ，， ，， ，， 设，， ， 设，，，， 在上是单调递增函数， ，，， 在上是单调递减函数， ，，， 为上的单调递减函数，， ，， ，即. 7. 若双曲线与的两个焦点重合，则称与互为“同心双曲线”.已知双曲线：与双曲线：互为“同心双曲线”，左、右焦点分别为，，是上一点，若的周长为20，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“同心双曲线”定义求得，再由双曲线定义结合题设条件求出的值，再由余弦定理求出，再由三角形面积公式即可求得. 【详解】由可得其半焦距，且焦点在轴上， 故双曲线：即， 则其半焦距，且， 依题意，，解得或 （舍去）， 故双曲线的方程为，不妨设点为双曲线左支上一点，则①， 由的周长为20，可得，即②， 联立①② 解得， 在中，由余弦定理，， 则， 故的面积为. 8. 已知直四棱柱的侧面积为，在等腰梯形中，，，，若异面直线与所成角的余弦值为，则该直四棱柱外接球的表面积为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找出余弦值，建立关于底面边长的方程，解出其关系.再结合直四棱柱侧面积公式，列方程解出侧棱长，然后算出等腰梯形的高，找到底面等腰梯形外接圆的圆心，求出外接球的半径，最后用球的表面积公式计算结果 【详解】因为，所以异面直线与所成角等于，故. 设 ，由得 ，设直四棱柱侧棱长为. 在中，，平方化简得. 因为直四棱柱侧面积，代入、 得 整理得，解得，舍去负根， 因此 ，即， . 易得等腰梯形的高， 故可在平面建立坐标系， 设等腰梯形四个顶点坐标， 由对称性可知外接圆圆心在轴上，设为，，即，解得 ，因此. 直四棱柱外接球半径满足，因此外接球表面积为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某市气象部门对本市的温度（单位：℃）与相对湿度进行研究，记录了五组数据如表所示： 温度 28 25 22 19 16 相对湿度 41 48 62 65 70 已知与线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为，则（ ） A. 与负相关 B. 经验回归直线一定经过点 C. 当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2% D. 样本相关系数 【答案】AC 【解析】 【详解】A.由表格可知，温度越小，越大，所以与负相关，故A正确； B.，，所以经验回归直线一定经过点，故B错误； C.，得，所以，当时，， 所以当温度为时，相对湿度大约为，故C正确； D.因为与负相关，所以样本相关系数，故D错误. 10. 若函数（ ，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的对称轴为（ ） C. 的单调递增区间为（ ） D. 当时，的最小值为 【答案】AC 【解析】 【详解】由图可知，，， 则，即，则， 又函数过点，则， 即，所以， 则，又，则，即， 则， 所以函数的最小正周期为 ，故A正确； 令，得， 所以的对称轴为，故B错误； 令，得， 所以的单调递增区间为（ ），故C正确； 当时，，则， 所以，则的最小值为，故D错误. 11. 已知函数与及其导函数与的定义域均为 ，的图象关于点对称，的图象关于直线对称，且，，若，则（ ） A. B. C. 4为的周期 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据，积分后结合，求得，即可判断；对B：对，令，结合，即可判断；对C：根据关于对称，以及关系，求导后可得；再根据A中推导可得，即可求得，从而求得的周期；对D：根据的周期，求得为的周期，根据周期性，结合，即可判断. 【详解】对A：的图象关于点对称，故可得， 对其积分可得(为常数)，令，则； 由可得，故，也即，故A正确； 对B：若成立，令 ，则可得，也即 ； 而根据已知条件可知，相互矛盾，故B错误； 对C：已知，令为可得， 又关于对称，则，故，也即， 对其求导可得，也即，令为，则； 由A知：，故可得，令为，则， 再令为，则，故，故为的周期，C正确； 对D：由C推导可知，令为可得；由A推导可知， 联立可知，也即，故为的周期； 又，则，又为的周期可知：， 故，也即，故为的周期； 则，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，，，，若数列的前项和，则______. 【答案】 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 所以由， 所以， 因为， 所以. 13. 在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6中的一个数字填入，要求1用两次，2用三次，其余数字各用一次，且当两个1在同一行或同一列时均不相邻，则不同的填法共有______种. 【答案】20160 【解析】 【详解】从9个格子中选2个放入数字1的填法：， 两个1在同一行或同一列且相邻的填法：， 则从9个格子中选2个放入数字1且两个1在同一行或同一列时均不相邻的填法：， 从剩下7个格子中选3个放入数字2的填法：， 剩下4个格子3，4，5，6，共有种填法， 故满足题意的填法有种. 14. 已知椭圆： （ ）的左、右焦点分别为，，上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为，则的离心率为______.过点的直线与交于，两点（均异于左、右顶点），若，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用斜率公式、结合椭圆的定义与余弦定理求解即可. 【详解】设，上下顶点坐标分别为和， 所以，得，且， 所以，离心率； 设，，则，， 因为，所以， 则， 整理为，得， 所以，，， 中，根据余弦定理. 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 血脂高（高脂血症）可能导致动脉硬化、心脑血管疾病、胰腺炎等健康问题，长期血脂高会引发全身多器官损伤.某市医疗机构为了研究运动与血脂的关系，从本市成年人中采用随机抽样的方法抽取了150名市民，调查他们是否得高脂血症和平时运动的情况（每日进行30分钟以上中等强度的运动，且每周运动5天以上的为“运动者”，否则为“非运动者”）.统计的部分数据如表. 运动情况 是否得高脂血症 合计 得高脂血症 未得高脂血症 “非运动者” 45 “运动者” 55 75 合计 150 （1）计算，的值，并依据 的独立性检验，判断能否认为得高脂血症与不运动有关？ （2）该医疗机构采用分层随机抽样的方法从得高脂血症的成年人中随机抽取13人，并进行饮食方面的调查，然后从这13人中随机抽取2人作饮食指导，记这2人中“运动者”的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1），，能认为得高脂血症与不运动有关 （2）的分布列为： ，数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用合计数据求出，，再代入公式计算，与临界值比较判断是否有关. （2）先确定得高脂血症总人数，根据分层抽样求出抽样比，进而求解的分布列与期望. 【小问1详解】 由题意可知：总样本数为，所以非运动者合计为， 因此，运动者合计为，则， 所以  ， 因为（ 对应的临界值）， 依据 的独立性检验，能认为得高脂血症与不运动有关. 【小问2详解】 由（1）可知：得高脂血症总人数为人， 分层抽样抽取13人，抽样比为， 因此抽取的非运动者高脂血症患者为人， 运动者高脂血症患者为人， 表示抽取2人中运动者的人数，的可能取值为，则 所以的分布列为： 数学期望为：. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的最小值及的面积. 【答案】（1） （2）; 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得； （2）由向量数量积的定义求出 ，利用余弦定理与基本不等式即可求得的最小值，根据三角形面积公式求其面积. 【小问1详解】 由和正弦定理， 可得，整理得， 由余弦定理，，因，则. 【小问2详解】 由化简得 ， 由余弦定理，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为. 的面积为. 17. 如图1，四边形 是边长为5的正方形，扇形中，，弧上的点满足，中，，.现将沿进行翻折，正方形 沿进行翻折，使得点与点重合为点，点到达点的位置，得到如图2所示的几何体，且点满足 （）. （1）当时，证明： 平面 ； （2）若直线与平面 所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）因为翻折前，，四边形 是正方形， ， ， 所以翻折后 ， ， ， 所以 两两垂直， 以为原点，分别以、、的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 过点作 轴于点， 因为正方形边长为5，所以 ， 所以 ， ， ， ， ， 在直角三角形 中，因为 ， ， 所以 ， ， 又因为， 所以 ， 因为， 为锐角， 所以， 所以 ， 所以 即 ， 当时，， 因为 ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， ，平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ， 所以是平面 的一个法向量， 因为 ， 又因为 平面 ， 所以 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）建系，利用线面平行的空间向量证明方法可得答案； （2）利用线面角的空间向量计算公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 同（1）建立空间直角坐标系，过点作 轴于点， 所以 ， ， ， ， ， ， ，， 由（1）知 ， ， 所以 ，， 因为 ， ， ， 所以 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则， 取， 则 ， ， 所以平面 的一个法向量为 ， 设直线与平面 所成角为 ，， 则有：， 计算分子： ， 因为，所以 ， 计算分母：， ， ， 所以有：， 即：， 即：， ， 两边平方得： ， 即 ，即 ， 即 ，解得或 ， 因为， 所以. 18. 已知抛物线：上的点与焦点的距离为2，点到轴的距离也为2. （1）求的方程； （2）过点且斜率为3的直线与交于，两点，过点且斜率为的直线与交于，两点，求四边形的面积； （3）过点且倾斜角为的直线与交于，两点.点，记直线 ， 的斜率分别为，，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，当时， ， 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可； （2）设出直线方程与抛物线方程联立，根据三角形面积公式、点到直线距离公式、抛物线弦长公式，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系进行求解即可； （3）设出直线方程与抛物线方程联立，根据直线斜率公式，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系进行求解即可 【小问1详解】 该抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 因为点到轴的距离为2， 所以设点的坐标为，代入抛物线中，得， 因为点与焦点的距离为2， 所以，即抛物线的方程为. 【小问2详解】 直线的方程为，与抛物线方程联立，得， ， 设，则有，所以 . 直线的方程为，与抛物线方程联立，得， ， 设，则有， 显然， 点到直线的距离为， 同理点到直线的距离为， 因此四边形的面积为 . 【小问3详解】 直线的方程为，与抛物线方程联立，得， ， 设，则有，所以 ， 要想为定值，只需， 当时， ， 当时，此时不是常数， 所以存在常数，使得为常数，此时， . 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）证明： （）. 【答案】（1） （2） （3）设 ， 对取自然对数，得： ， 又 ， 于是， 构造函数 ，其中 ， 求导得：， 当 时， ，所以 在上单调递增， 则对于任意 ，有 ， 即 ， 而 ， 所以， 因此 ， ， 由于 ，所以 ， 从而 . 原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在点 处的导数就是该点切线的斜率，求出斜率后，再利用点斜式即可写出切线方程； （2）函数在某个区间上单调递减，意味着其导函数在该区间内恒小于等于0，我们先求导，然后分离参数，转化为求新函数的最值问题； （3）对于这类连乘小于的题目，常用的技巧是取自然对数，将乘积转化为求和，然后利用放缩法（如裂项相消）来证明和式小于1. 【小问1详解】 当 时，， 将代入： ， 所以切点坐标为 ； 求导得： ， 将代入导函数： ， 所以切线斜率， 所以曲线在点 处的切线方程： ， 因此，所求的切线方程为. 【小问2详解】 对求导得： ， 因为在 上单调递减， 所以对于任意 ，都有： ， 即： ， 因为 ， 即：，对于任意 恒成立， 令， ， 对于所有 ，不等式 恒成立， 只需， 对 求导：， 当时， ，则 ，所以 ，函数单调递增， 当时， ，则 ，所以 ，函数单调递减， 所以 ， 所以 ， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $