精品解析：四川攀枝花市第三高级中学校2025-2026学年高一下学期第一次调研检测数学试题

攀枝花市三中2028届高一（下）第一次调研检测数学试题 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，夹角为，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 2. 在中，，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个. A. B. C. D. 4. 若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A. 垂心，外心，内心 B. 重心，外心，内心 C. 重心，垂心，外心 D. 重心，垂心，内心 6. 点A，B在圆心为O的圆上，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 条件不足，无法计算 7. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 10. 函数的部分图象如图，下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 函数在上的值域为 D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 11. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，下列结论正确的是（ ） A. 外接圆的面积为 B. 若，则满足条件的三角形只有1个 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 13. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km. 14. 如图，在中，，，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）已知平行四边形的顶点，，，求D的坐标． 16. 已知函数，先将函数的图象所有的点纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 17. 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1至12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系符合正弦函数模型即（其中，，），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． （1）求1号座舱（A点）与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； （2）求旋转2分钟后1号座舱（A点）离地面的距离； （3）在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时t的值． 18. 已知的内角所对的边分别为，向量，，且． （1）求角的值； （2）若为锐角三角形． （ⅰ）求角的范围； （ⅱ）已知，求的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）设点P为的费马点，若，求的面积； （3）设点P为的费马点，，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 攀枝花市三中2028届高一（下）第一次调研检测数学试题 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，夹角为，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，夹角为，且，， 所以，解得：. 2. 在中，，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，由余弦定理得： ， ， ． 3. 给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确； 对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误； 对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误； 对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误. 故选：A. 4. 若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得为线段的中点，再结合三角形面积公式以及边长比例关系可得结果. 【详解】取的中点为，如下图所示： 易知，又可得； 因此可得，即三点共线，且为线段的中点， 所以； 又，所以； 所以与的面积之比为. 故选：C 5. 已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A. 垂心，外心，内心 B. 重心，外心，内心 C. 重心，垂心，外心 D. 重心，垂心，内心 【答案】D 【解析】 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 6. 点A，B在圆心为O的圆上，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 条件不足，无法计算 【答案】B 【解析】 【详解】令弦中点为，则，而， 所以. 7. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法法则和数乘向量的运算法则即可求出. 【详解】由点是线段的中点，得， 由，且四边形为平行四边形，得， 则 ， 故. 故选：A 8. 在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，由数量积的运算律得，而的最大值等于，计算后可得. 【详解】取中点，连接， 则 ， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，如图， 则， 所以的最大值是. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 【答案】BCD 【解析】 【详解】解：选项，由向量的模长公式，所以错误； 选项，由，可得，因为，则由向量共线的坐标公式， 可得，所以，因此正确； 选项，由，，当时，由向量垂直的坐标公式， 可得，所以，因此正确； 选项，由投影向量坐标公式可得在上的投影向量为，又，， 代入得投影向量，所以正确. 10. 函数的部分图象如图，下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 函数在上的值域为 D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象求函数 的解析式,即可得到选项 A 正确; 利用 可知选项 B 错误; 根据 可得 ,结合函数的单调性可知选项 C 错误；利用函数图象平移的原则可知选项 D 正确. 【详解】选项 A ：设函数的最小正周期为 ，由图可知，，故 . 因为所以. 因为函数图象最高点为 ，所以， 所以，故 ， 因为，所以，选项 A 正确. 选项 B ：由 A 可得 ， 故直线 不是函数 的对称轴，选项 错误. 选项 C ：当 时，，，， 故函数 在 上的值域为 ，选项C错误. 选项 D ：由题意得，， 将函数 的图象向左平移 个单位后的函数表达式为： ，选项D正确. 11. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，下列结论正确的是（ ） A. 外接圆的面积为 B. 若，则满足条件的三角形只有1个 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理求解判断AB；利用余弦定理，结合基本不等式求解判断CD. 【详解】对于A，外接圆半径，该圆面积为，A正确； 对于B，由正弦定理得，而，因此有两解，B错误； 对于C，由余弦定理，得， 当且仅当时取等号，因此面积的最大值为，C正确； 对于D，由选项C得，， 当且仅当时取等号，则，因此周长的最大值为. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 13. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由图知知，， 由正弦定理有. 故答案为： 14. 如图，在中，，，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，利用共线，共线，求得后把用表示，然后由数量积的运算律求解. 【详解】由题可知，， 设，则，， 因为共线，共线， 所以，解得， 所以， ， 所以. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）已知平行四边形的顶点，，，求D的坐标． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法化简计算； （2）设点坐标，利用平行四边形的性质得出，进而利用向量相等列方程组求解． 【详解】（1） ． （2）设，则，， 已知四边形是平行四边形，则，即，解得， 点D的坐标为． 16. 已知函数，先将函数的图象所有的点纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象变换规律得到的解析式； （2）作出在上的图象，借助图象求出的范围. 【小问1详解】 将函数的图象的点纵坐标伸长为原来的两倍，得， 再把横坐标缩短为原来的，得， 再向右平移个单位长度，得， 则. 【小问2详解】 函数，当时， ，， 函数的图象如下： 要使方程在区间上恰有两个实数根， 等价于函数在区间的图象与函数的图象有两个交点， 由图可知． 17. 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1至12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系符合正弦函数模型即（其中，，），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． （1）求1号座舱（A点）与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； （2）求旋转2分钟后1号座舱（A点）离地面的距离； （3）在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时t的值． 【答案】（1） （2）47 （3）或时，1号座舱与地面的距离为17米 【解析】 【分析】(1) 根据实际情境确定振幅、平衡位置和周期求，再利用时的初始条件结合​的限制求出，从而确定的解析式； (2) 将直接代入已求得的的解析式中，计算出对应的函数值即为号座舱离地面的距离； (3) 令建立三角方程，求解的值，结合的取值范围确定的可能取值，进而反解出的具体数值. 【小问1详解】 依题意1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为 依题意可得，，则．又，∴， 当时，，又，所以， 所以． 【小问2详解】 所以旋转2分钟后1号座舱（A点）离地面的距离米； 【小问3详解】 令，即，∴， ∵，∴， ∴或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 18. 已知的内角所对的边分别为，向量，，且． （1）求角的值； （2）若为锐角三角形． （ⅰ）求角的范围； （ⅱ）已知，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的性质得到等式，再利用正弦定理将边化角，最后结合三角函数的性质，即可求出角的值； （2）（ⅰ）根据三角形内角和定理以及锐角三角形的性质，即可求出角的范围； （ⅱ）利用正弦定理将表示为关于角的三角函数，再结合角的范围，即可求出的范围. 【小问1详解】 由题意，向量，，且， 所以，即， 由正弦定理，可得， 即， 所以， 由于，则，， 代入得：， 因为中，，所以， 则，即，又是三角形内角，所以或． 【小问2详解】 （ⅰ）因为为锐角三角形，所以， 所以，所以， 所以，解不等式得， 所以的范围为； （ⅱ）由正弦定理（为外接圆半径）， 又，，则，，， 因为，，所以，则， 化简可得 ， 所以 ， 又由（ⅰ）得，，所以， 又根据正切函数的图象性质，在上单调递增， 所以，即． 所以，所以，所以， 即，即. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）设点P为的费马点，若，求的面积； （3）设点P为的费马点，，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】(1) 利用正弦函数在区间内的特殊值，结合的范围，直接求解角的大小； (2) 利用费马点的角度性质，通过三个小三角形面积和等于大三角形面积得到，再结合向量数量积公式与已知条件，求出，进而计算的面积； (3) 设、将线段比转化为参数，结合费马点角度用余弦定理表示三边平方，利用勾股定理建立的关系，再通过基本不等式与二次不等式求解的取值范围. 【小问1详解】 因为，又，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由（1），所以三角形ABC的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，，，由， 得：，整理得， 则， 又，所以，所以， 故的面积为． 【小问3详解】 由（1）知，所以三角形ABC的三个角都小于， 故由点P为的费马点得， 设，，，，，，则由 得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即， 而，，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数t的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $