4 导数的四则运算（题型专练）数学北师大版选择性必修第二册

2.4导数的四则运算 题型一 导数的加法与减法法则 1．已知函数，则（    ） A．-2 B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】，则. 2．设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由已知， . 3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 4．已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导得出，利用导数的定义可得出的值，即可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，故， 所以， 可得，解得. 故选：A. 5．(多选题)一个质量为的物体做直线运动，该物体的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，且表示物体的动能，单位：，表示物体的质量，单位：，表示物体的瞬时速度，单位：），则（    ） A．该物体瞬时速度的最小值为 B．该物体瞬时速度的最小值为 C．该物体在第秒末的动能为 D．该物体在第秒末的动能为 【答案】AD 【分析】求出函数的导数后结合配方法可求瞬时速度的最小值，故可判断AB的正误，结合导数及题设中的动能公式计算后可判断CD的正误. 【详解】对于AB，由题意得， 则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误. 对于CD，由，得，所以该物体在第秒末时的动能为， 故C错误，D正确. 故选：AD. 6．已知， 则的导函数为__________. 【答案】 【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则求解即可. 【详解】由， 则. 故答案为：. 7．函数在点处的切线斜率为4，则______. 【答案】1 【分析】求导，令导数等于4求解可得. 【详解】易知，根据题意有，解得. 故答案为：1 8．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点处的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由导数的几何意义可知在点处的切线的斜率为，利用导数的运算法则求得， 再利用直线的点斜式即可求得在点处切线方程； （2）注意是过点，所以首先要设切点坐标，利用直线的点斜式写出切线方程，再结合过点求出切点坐标， 代入即可得过点处的切线方程. 【详解】（1）函数 的导函数为 ，则， 由导数的几何意义可知在点处的切线的斜率为，又， 由直线的点斜式方程可得切线方程为，即； （2）设切点坐标为，且，由（1）知， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 ， 由切线经过点，代入可得， 化简得 解得 或，又， 结合切线过点可得切线的方程为 或 . 9．如图，在长方体中，四边形的周长为12.，长方体的体积为.    (1)求函数的表达式，并写出的取值范围. (2)求函数在上的平均变化率，及在处的瞬时变化率. 【答案】(1) (2)22； 【分析】（1）由已知有，由长方体的体积公式即可求解； （2）根据即可计算平均变化率；先求，即可求在处的瞬时变化率为. 【详解】（1）有题意有：，有， 所以长方体的体积为， 所以； （2）根据题意有在上的平均变化率为, 由，所以在处的瞬时变化率为. 题型二 导数的乘法与除法法则 10．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】由题意，令，可得，则， 所以切线的斜率， 所以在处的切线方程为，即. 11．已知函数，且，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】先对函数进行展开，再根据求导公式求出，最后将代入，结合已知条件求的值. 【详解】， 所以， 所以，因为， 所以. 故选：C 12．观察导函数的部分图像，则解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图易知，导函数的图象关于原点对称，为奇函数，即， 同时，当时，；当时，. 对于A，(定义域为)，， ，即为偶函数，故A错误； 对于B，(定义域为)，， ，即为偶函数，故B错误； 对于C，(定义域为)，， ，即为奇函数， 当时，；当时，，故C正确； 对于D，(定义域为)，， 当时，；当时，，故D错误. 13．（多选题）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据导数的运算法则进行判断选项. 【详解】对于A项，，故A正确； 对于B项，，故B错误； 对于C项，，故C错误； 对于D项，，故D正确. 故选:AD 14．（多选题）当函数在处的导数为时，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由列方程来求得. 【详解】由，解得. 故选：AC 15．已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________． 【答案】 【分析】根据函数导数求出函数在某点处切线斜率即可. 【详解】由，所以， 所以曲线在处的切线斜率为：. 16．已知函数，其中是的导函数，则__________. 【答案】 【分析】对原函数求导得到含常数的导函数，再代入构造关于的一元一次方程，解方程得到最终结果. 【详解】已知原函数 ，可得 ， 将代入可得 ，即 ， 整理得 ，解得 . 【点睛】本题考查基本导数的运算，核心方法是识别函数固定点的导数值为常数，通过构造一元一次方程求解未知导数值. 17．求下列函数的导数 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） 18．已知函数． (1)求导函数； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则直接求导； （2）利用切点与切线及曲线的关系，再借助导数的几何意义即可计算得解． 【详解】（1）由， 得. （2）由（1）可得，，即切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，化简得， 所以曲线在点处的切线方程． 1．已知函数则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出切点坐标，然后求出时的解析式，求导求出斜率，代入即可得到切线方程. 【详解】当时， 当，， 所以 求导得，斜率， 所以方程为，整理得. 2．已知，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设过点的直线与相切于点，利用导数的几何意义，求出切线方程，代入点，根据关于的一元二次方程有两个不同解，利用求解即可. 【详解】因为，， 所以， 设过点的直线与相切于点， 则切线方程为， 代入， 得， 整理得， 因为有两条这样的切线， 所以此方程有两个不同解， 所以， 解得或， 所以实数的取值范围为. 3．“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得． 由曲线在处的切线的倾斜角为， 可得，解得或． 故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件． 4．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对曲线求导，结合已知求切点横坐标，进而得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值． 【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以， 所以切点的横坐标，将其代入直线方程和曲线方程，则有，即， 又，所以， 即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2． 5．如图所示，水波的半径以2m/s的速度向外扩张，当半径为10m时，这水波面的圆面积的膨胀率为（ ） A．40 m2/s B．20 m2/s C．40π m2/s D．20π m2/s 【答案】C 【分析】求出水波面的圆面积关于时间的表达式，再根据瞬时速率的意义可求得结果. 【详解】由题可知水波的半径， 圆的面积，则圆的面积的膨胀率. 当半径为10m时，即，则=. 故选：C 6．（多选题）已知是定义在上的奇函数，函数在处的切线与曲线相切于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】根据曲线过点可得即可判断A；分析可知函数在处的切线方程为，可得，即可判断C；对求导代入可得，即可判断BD. 【详解】因为曲线过点，则，即，故A正确； 因为函数是定义在上的奇函数，则， 又因为在处的切线与曲线相切于点， 由题意可知：函数在处的切线方程为， 则，即，即函数在处的切线方程为， 所以，故C正确； 对求导可得， 代入可得， 即，可得，故B错误； 所以曲线在处的切线方程为，故D正确. 7．（多选题）已知函数，则（   ） A． B．有两个零点 C．在上单调递增 D．轴是曲线的切线 【答案】ACD 【分析】计算出即可判断A；根据函数零点的定义求解判断B；根据一次函数和对数函数的单调性判断C；根据导数的几何意义求解判断D. 【详解】由，， 则，， 由于，则，故A正确； 令，解得，所以有一个零点，故B错误； 因为函数和在上单调递增， 且时，， 所以函数在上单调递增，故C正确； 由，则， 由B知，有一个零点1，即， 所以在处的切线方程为，故D正确. 故选：ACD. 8．曲线上的点到直线距离的最小值为______. 【答案】 【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】的定义域为， 求导得，令得， 即，解得或（舍去）， 当时，，此时切点为， 所以曲线上的点到直线距离的最小值 即为切点到直线的距离， 即为. 9．如图，已知是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义及复合函数求导法则计算即可. 【详解】． 由已知图象可知，直线经过点和，故． 由导数的几何意义可得，因为在曲线上，故． 故． 10．设点P是曲线上的一点，k是曲线在点P处的切线的斜率． (1)求k的取值范围； (2)求当k取最小值时，求过点P且和曲线相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，所以先对函数求导，再根据二次函数的性质求导函数的值域，从而得到切线斜率的取值范围. （2）先根据（1）求出取最小值时点的坐标，然后设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再根据点斜式写出切线方程，最后将点坐标代入切线方程求出切点坐标，进而得到切线方程. 【详解】（1）已知，对求导，可得：. 因为，所以，则，即. 所以的取值范围是. （2）当取最小值时，，解方程可得. 将代入可得，所以. 设切点为，对求导可得：，则切线斜率. 由点斜式可得切线方程为. 因为切线过点，将代入切线方程可得：， 即，即， 解得或. 当时，，切线方程为，即. 当时，，切线方程为，即. 所求切线方程为或 11．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示．已知M，N为的两个端点，点到的距离分别为20千米和5千米，点到的距离分别为4千米和25千米，分别以所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy．假设曲线符合函数（其中a，k为常数）模型． (1)求a，k的值； (2)设公路与曲线相切于点，点的横坐标为． ①求公路所在直线的方程； ②当为何值时，公路的长度最短?求如最短长度． 【答案】(1) (2)①；②，千米 【分析】（1）结合题意可得，计算即可得； （2）①借助导数的几何意义计算即可得；②借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由题意可得：，解得； （2）①曲线，， 曲线在处的切线方程为， 即， ②切线与坐标轴的交点为， 公路的长度满足:， 根据均值不等式，， 当且仅当，即时取等， 所以当时，公路的长度最短，最短长度为千米． 1．已知，函数的图象记为曲线． (1)若点在曲线上，求； (2)在（1）中的条件下，求过点与曲线相切的直线方程； (3)若时均有恒成立，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由可得出关于的方程，结合可解出的值； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程； （3）对的符号进行分类讨论，分析可知方程有一负根和一正根，可得出，然后对的取值分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为的图象记为曲线， 若点在曲线上，则，即， 因为，解得，故. （2）由（1）可得， 设切点为，， 所以切线斜率为，切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得， 整理得，即，解得或， 当时，所求切线方程为； 当时，所求切线方程为. 综上所述，所求切线方程为或. （3）对任意的，恒有，分以下几种情况讨论： ①当时，即当时，， 故当时，，不符合题意； ②当且时，即当时，对于方程，， 即方程必有两个不等的实根、，设， 由韦达定理可得，必有， 此时， 对任意的，因为，则，， 要使得恒成立，即恒成立， 只需，故方程的一个根为， 所以，因为，解得； ③当且时，即当时， 由②可知， 对任意的，，， 当时，， 当时，，不符合题意. 综上所述，. 2．已知函数，t，k为常数． (1)若，，求函数解析式； (2)若斜率为k的直线l与的图像相切，求l与图像公共点的坐标； (3)若函数在的最大值恒大于s，其中m，n为常数，求s的取值范围． 【答案】(1)或； (2)，，，； (3). 【分析】（1）求导得，则，解出即可； （2）令，解得或，再分类讨论即可； （3）记在的最大值为，利用绝对值不等式即可得，再取，验证即可. 【详解】（1）， 则根据题意得， 化简得， 则. 则或. 即或. （2）令， 可得或， ①当切点为时，， 则切线方程为， 联立 解得或，， 此时公共点为和. ②当切点为时，. 切线方程为， ， . 解得或，， 此时公共点为和， 综上所述：公共点坐标为，，，. （3）记在的最大值为. 一方面， 则 即. 另一方面，取，， ， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 易知最大值在处取得，此时. 故. 1 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4导数的四则运算 题型一 导数的加法与减法法则 1．已知函数，则（    ） A．-2 B． C．0 D．1 2．设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 5．(多选题)一个质量为的物体做直线运动，该物体的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，且表示物体的动能，单位：，表示物体的质量，单位：，表示物体的瞬时速度，单位：），则（    ） A．该物体瞬时速度的最小值为 B．该物体瞬时速度的最小值为 C．该物体在第秒末的动能为 D．该物体在第秒末的动能为 6．已知， 则的导函数为__________. 7．函数在点处的切线斜率为4，则______. 8．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点处的切线方程. 9．如图，在长方体中，四边形的周长为12.，长方体的体积为. (1)求函数的表达式，并写出的取值范围. (2)求函数在上的平均变化率，及在处的瞬时变化率. 题型二 导数的乘法与除法法则 10．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，且，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．6 12．观察导函数的部分图像，则解析式可能是（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）当函数在处的导数为时，那么可以是（    ） A． B． C． D． 15．已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________． 16．已知函数，其中是的导函数，则__________. 17．求下列函数的导数 (1)； (2) 18．已知函数． (1)求导函数； (2)求曲线在点处的切线方程． 1．已知函数则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图所示，水波的半径以2m/s的速度向外扩张，当半径为10m时，这水波面的圆面积的膨胀率为（ ） A．40 m2/s B．20 m2/s C．40π m2/s D．20π m2/s 6．（多选题）已知是定义在上的奇函数，函数在处的切线与曲线相切于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 7．（多选题）已知函数，则（   ） A． B．有两个零点 C．在上单调递增 D．轴是曲线的切线 8．曲线上的点到直线距离的最小值为______. 9．如图，已知是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则________． 10．设点P是曲线上的一点，k是曲线在点P处的切线的斜率． (1)求k的取值范围； (2)求当k取最小值时，求过点P且和曲线相切的直线方程． 11．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示．已知M，N为的两个端点，点到的距离分别为20千米和5千米，点到的距离分别为4千米和25千米，分别以所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy．假设曲线符合函数（其中a，k为常数）模型． (1)求a，k的值； (2)设公路与曲线相切于点，点的横坐标为． ①求公路所在直线的方程； ②当为何值时，公路的长度最短?求如最短长度． 1．已知，函数的图象记为曲线． (1)若点在曲线上，求； (2)在（1）中的条件下，求过点与曲线相切的直线方程； (3)若时均有恒成立，求的值． 2．已知函数，t，k为常数． (1)若，，求函数解析式； (2)若斜率为k的直线l与的图像相切，求l与图像公共点的坐标； (3)若函数在的最大值恒大于s，其中m，n为常数，求s的取值范围． 1 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.4导数的四则运算 题型一 导数的加法与减法法则 基础达标题 题型二导数的乘法与除法法则 导数的四则运算 能力提升题 拓展培优题 基础达标题 题型一导数的加法与减法法则 1.C 2.D 3.A 4.A 5.AD 6.3x2+1+c0sx 7.1 8.【详解】)函数f到=写-2+1的导函数为川到=r-2x,则了0=-， 由导数的几何意义可知在点，)处的切线的斜率为∫)-1，又f刊} 由直线的点斜式方程可得切线方程为-了-(x-,即y=-x+: (2》设切点坐标为mm-m+ 且f(0)=1,由(1)知f'(m)=m2-2m, 由直线的点斜式方程可得切线方程为y-3m-m2+1=(m2-2mj(x-m, 由切线经过点(0,1)，代入可得1- 3m3-m2+1-(m2-2mj0-m, 化简g-㎡-0解4m=0或又r1o=0)(-2×} 结合切线过点(0，可得切线的方程为y=1或y=-x+1 4 6-x>0→0<x<6, 2【详解】1)有题意有：A4=122=6-x,有x>0 2 所以长方体ABCD-A,B,C,D,的体积为V(x=AD.CD·AA,=x·2x6-x=12x2-2x3(0<x<6, 所以V(x)=12x2-2x3(0<x<6); 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 （2)根据题意有r在L,2上的平均变化率为P2）-r但12x2-2×2-12-2=2 2-1 由V'(x=24x-6x2,所以V(x)在x=5处的瞬时变化率为V'(5=24×5-6×52=-30 题型二导数的乘法与除法法则 10.D 11.C 12.C 13.AD 14.AC 16.e2-e 17.【详解】(1)y'=2xlnx+sinx+x2 -+cosx 2xInx+2xsinx+x+x2cosx (2) y(-sin x-1)-cosx-x)2xsin x-x-2xcosx+2xsin x-2xcosx+x-xsinx-2cosx x3 18.【详解】(1)由f(x)=enx+2e (+x+ e(x-1) (2)由(1)可得f1)=2e,f'(1=e,即切线斜率为e, 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-2e=e(x-1),化简得y=ex+1, 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程y=e(x+1). B 能力提升题 1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.ACD 7.ACD 8.2 9.、3 16 10.【详解】(1)已知f(x)=x3-V5x+2,对f(x)求导，可得：f(x)=3x2-√5 因为x2≥0，所以3x2≥0，则3x2-√5≥-√5，即k=f'(x)≥-√5 所以k的取值范围是[-√3，+0). (2)当k取最小值-√3时，3x2-√5=-√5，解方程可得x=0 将x=0代入f(x)可得f(0)=03-V3×0+2=2,所以P0,2) 设切点为xo,x-2x+3,对g(x)=x2-2x+3求导可得：g(x)=2x-2,则切线斜率k=g'(x)=2x。-2. 2/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由点斜式可得切线方程为y-（x-2x,+3=(2x。-2)(x-x) 因为切线过点P0,2),将P0,2)代入切线方程可得：2-(x-2x+3)=(2x。-2)(0-x), 即2-x6+2x。-3=-2x6+2x0,即x-1=0, 解得x=1或x=-1 当x。=1时，k=2x1-2=0,切线方程为y-2=0×(x-0),即y=2 当x。=-1时，k=2×-1)-2=-4,切线方程为y-2=-4(x-0),即4x+y-2=0 所求切线方程为y=2或4x+y-2=0 5=a 20 a=100 11.【详解】(1)由题意可得： 25=4 解得k=1· 4 100 (2)①曲线C:y= 5≤x≤25，y=-100 3, 曲线在x=1处的切线方程为y-100=-100 t 2r-0, 即y=-100+200 200 ②切线与坐标轴的交点为0， ,(2t,0), 公路1的长度L满足：=40000， +42, 40000.412=800, 根据均值不等式，上22平 当且仅当t2=100,即t=10时取等， 所以当t=10时，公路I的长度最短，最短长度为20√2千米. 拓展培优题 1.【详解】(1)因为f(x)=[(a-1)x-1][x2+(a-)x-2]的图象记为曲线C, 若点A2,4在曲线C上，则f2)=2a(2a-3)=4,即2a2-3a-2=0, 因为a>0,解得a=2,故f(x=（x-1x2+x-2)=x3-3x+2 (2)由(1)可得f(x)=(x-1)x2+x-2=x3-3x+2, 3/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设切点为1,3-3t+2,'(x)=3x2-1, 所以切线斜率为f"(=3-1),切线方程为y-(-31+2=3(-(x-), 将点A的坐标代入切线方程得4-t-31+2)=32-1)(2-t), 整理得-32+4=0，即(t+1)(t-2)2=0,解得1=-1或t=2, 当1=-1时，所求切线方程为y=4; 当t=2时，所求切线方程为9x-y-14=0 综上所述，所求切线方程为y=4或9x-y-14=0 (3)对任意的x>0,恒有∫(x)≥0，分以下几种情况讨论： ①当a-1=0时，即当a=1时，f(x=-x2-2）=2-x2, 故当x>√2时，f(x)=2-x2<0,不符合题意： ②当a>0且a-1>0时，即当a>1时，对于方程x2+(a-1x-2=0,△=(a-1)2+8>0, 即方程x2+(a-1x-2=0必有两个不等的实根x、七，设x<x2, 由韦达定理可得xx2=-2<0,必有x<0<x2, tf=a-x-. 对任意的x>0,因为a-1>0,则1 >0,x-x1>0, 、 要使得=a-水-x20恤成立，-》红-小≥0恒成立 只需6=威方程+0-2=0的一个根为x=。 1 所以a-+1-2=0,因为a>1,解得a=2: ③当a>0且a-1<0时，即当0<a<1时， 由②可知f(x)=[(a-1x-1](x-x)(x-x), 对任意的x>0,a-1x-1<0,x-x>0, 当0<x<x时，f(x)=[(a-1x-1](x-)(x-x)>0, 当x>x时，f(x)=[(a-1)x-1](x-x)(x-x<0,不符合题意. 4/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，a=2 2.【详解】(1)f'(x=-x2+2x+k, f'(1=-1+2t+k=0 则根据题意得 =子4+成= 4 化简得t+(1+t)(1-2=-1, 则2-2t2=0→1=士1. 即f)=-x2+x2-x-1或fx)=-x-x2+3x-3. 3 (2)令f'(x=-x2+2x+k=k, 可得x=0或x=2t, ①当切点为0，f(0)时，f(0)=k, 则切线方程为y=kx+k, y=kx+tk 联立 -1x+2=0 3 =一3x+x2+G+8 解得x=0或x=3t,f3t)=4kt, 此时公共点为(0，t)和(3t,4kt) ②当切点为2，f2)时，f2=4+3 可线方程为y=(x-2训+等+3=众+等+加， y=++ →x3-3x2+4r3=0, 1 y=-。x3+x2+kx+k 3 (x+t)(x-2t)=0 解得x=1或=2，-小=， 5/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 此时公共成为)2二+边 综上所选，公关a坐标为0，.（一r(a+如 (3)记y=x2+2mx+n在[-1，的最大值为M. 一方面，M≥-(-12+2m(-1+n=-1-2m+m M≥-12+2m1+n=1+2m+ M≥-02+2m.0+n=ln 则4M≥-1-2m+n+-1+2m+n+2n ≥-1-2m+n)+(-1+2m+n川+2 =-2+2n+l2n≥-2+2n)-2n=2 即M22 另一方面，取m=0,n= 2 2、1 2-21 r<② 2 x2-12 2’2 ≤x≤1 当-1s号时，=-分此时m方 2 当.时，y=-+分此时 1 2 当sxs1时，=-此时- 1 易知最大值在=-101处取得，此时M一号 故s<2 6/6