精品解析：辽宁省丹东市鹰桥实验学校2025-2026学年九年级下学期结束课程考数学试题

2025—2026学年九年级结束课程考试 数学试卷 时间：120分钟 满分120分 第一部分 选择题（共计30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 2. 据统计，2023年国内全年出游人次为亿，则数据4890000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中装有个球，其中有个黑球、个白球、个红球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 红球 D. 黄球 6. 如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有个杏，可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点D为斜边的中点，点E在上，连接、，点F在上，且，，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 10. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第二部分 非选择题（共计90分） 二．填空题（每小题3分，共计15分） 11. 因式分解：________． 12. 如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为 _____． 13. 若关于的分式方程的解为非负数，则实数的最小值为___________． 14. 如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 15. 如图，在中，有如下操作： （1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点M，N； （2）直线交，于点D，E； （3）以点A为圆心，任意长为半径画弧交，于点G，H； （4）分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，在的内部交于点P； （5）射线交直线于点Q，交于点F．现有以下结论： ①若，，则； ②点D为中点； ③若，，则的面积是的面积的2倍； ④若，，，的面积为，则的长为1． 其中正确的结论序号是__________． 三．解答题（共计75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．． 下面给出了部分信息： 九年级20名学生的竞赛成绩为： 100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57． 八年级B等级的学生竞赛成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82． 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 87.5 90 a 100.05 八年级 87.5 b 88 63.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）该校八年级有1200名学生、九年级有900名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少？ 18. 某校准备带领九年级同学参加物理和化学的实验考试，需要准备甲，乙两种手套，学校计划前往商场购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：副） 总费用（单位：元） 甲种手套 乙种手套 30 25 135 29 40 178 （1）甲种手套，乙种手套每副各多少元？ （2）该学校决定购买甲乙两种手套共1000副，且总费用不超过2450元，那么该中学最少可以购买甲种手套多少副？ 19. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：根据以上数据，解决下列问题： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； （2）求出满足条件的函数表达式． 20. 项目学习 项目背景：某中学数学兴趣小组在学校化学实验室围绕“计算导气管的长度”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 导气管长度的测量与计算 驱动任务 如何利用三角函数计算导气管的长度 活动过程 方案说明 图1是小组成员安装的化学实验室装置，图2是抽象出的平面示意图，点为试管口，为试管，为铁杆，为试管口与铁杆的水平距离为导气管，为水槽壁，为试管的倾斜角，，点在同一条直线上，图中所有的点在同一平面内 测量数据 经测量得 计算 …… 交流展示 …… 请根据表中数据，计算的长度．（结果精确到，参考数据：，，， 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 22. 【问题情境】 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径，解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． （1）【初步探究】 如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，则的度数为______； （2）【类比探究】 如图②，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长； （3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，与互余，、为对角线，且满足，若，，求的长． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年九年级结束课程考试 数学试卷 时间：120分钟 满分120分 第一部分 选择题（共计30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】解题思路为：依据有理数大小比较规则，即负数小于，小于正数，来比较这四个数的大小，找出最小数 ．本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握“负数小于，小于正数”的大小比较规则是解题的关键． 【详解】解：有理数大小比较规则：负数正数． 对于、、、这四个数， 是负数，是零，、是正数， ， 即最小的数是． 故选：． 2. 据统计，2023年国内全年出游人次为亿，则数据4890000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据4890000000用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方法则、单项式除以单项式法则，对各选项逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解： A、同底数幂相乘，底数不变指数相加，，故此选项不符合题意； B、∵ 与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C、积的乘方等于各因式分别乘方，，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 5. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中装有个球，其中有个黑球、个白球、个红球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 红球 D. 黄球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、用频率估计概率，关键是频率的稳定值即为概率；根据大量反复试验下频率的稳定值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， ∵抽到黑球的概率为，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是白球， 故选：B ． 6. 如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 7. 《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有个杏，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，第一种分法中，分掉的杏数为个，因此总牧童人数为，第二种分法中，分掉的杏数为个，因此总牧童人数为，根据牧童总人数不变，即可列出方程． 【详解】解：设共有个杏，牧童总人数不变， ∴． 8. 一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据一次函数和正比例函数的图象判断k和b的符号，然后进行比较求解即可． 【详解】解：一次函数中，，则一次函数图象y随x的增大而增大，故A、B选项符合，C、D选项不符合， 当时，一次函数与y轴交于正半轴，正比例函数的图象在第一、三象限，A选项符合题意； 当时，一次函数与y轴交于负半轴，正比例函数的图象在第二、四象限，B选项不符合题意． 9. 如图，在中，点D为斜边的中点，点E在上，连接、，点F在上，且，，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，而，所以，则，根据直角三角形斜边上的中线的性质得，根据平行线分线段成比例得，所以，再根据中位线的性质得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，点D为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理等知识，证明是解题的关键． 10. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 第二部分 非选择题（共计90分） 二．填空题（每小题3分，共计15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 12. 如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角形的性质得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：， ， 与位似， ， ， ， ， 的面积为4， 的面积为9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 13. 若关于的分式方程的解为非负数，则实数的最小值为___________． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，解分式方程得到解，根据解为非负数和分母不为零的条件，确定a的取值范围，进而求出a的最小值。 【详解】解：， 解得， ∵解为非负数，得，即； 又， ∴， ∴，即， ∴且， 故a的最小值为1， 故答案为：1． 14. 如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， 点在反比例函数的图象上，轴 ， 点在反比例函数图象上， ， ， 点与点关于原点对称， ， ． 15. 如图，在中，有如下操作： （1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点M，N； （2）直线交，于点D，E； （3）以点A为圆心，任意长为半径画弧交，于点G，H； （4）分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，在的内部交于点P； （5）射线交直线于点Q，交于点F．现有以下结论： ①若，，则； ②点D为中点； ③若，，则的面积是的面积的2倍； ④若，，，的面积为，则的长为1． 其中正确的结论序号是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理可判断故①符合题意；连接，如图，证明，结合当为的中点，则，可得，可得，可判断②不符合题意；设到的距离为，到的距离为，证明，可得，可判断③符合题意；求解，可得，可判断④符合题意； 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； 连接，如图， 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 当为的中点，则， ∴， ∴， ∴， 与题干条件矛盾，故②不符合题意； 设到的距离为，到的距离为， ∵平分， ∴， ∴， ∴的面积是的面积的2倍；故③符合题意； ∵，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴；故④符合题意； 综上可知：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线，线段的垂直平分线的作图，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，等腰三角形的性质，理解作图含义是解本题的关键. 三．解答题（共计75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值，计算立方根，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂，然后从左到右进行计算即可； （2）先进行括号内的通分，然后将除法转化成乘法，对分子分母进行因式分解后，进行约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．． 下面给出了部分信息： 九年级20名学生的竞赛成绩为： 100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57． 八年级B等级的学生竞赛成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82． 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 87.5 90 a 100.05 八年级 87.5 b 88 63.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）该校八年级有1200名学生、九年级有900名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少？ 【答案】（1）90，88.5，45 （2）我认为九年级学生的竞赛成绩较好，理由见解析 （3）估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共1035人 【解析】 【分析】（1）根据众数定义结合九年级20名学生的成绩得到，对于八年级，先计算得到八年级C等级、D等级的人数，然后计算出A等级人数，最后根据中位数定义求出，由此次一共抽取了八年级20名学生的竞赛成绩，A等级人数为9人，求出； （2）在平均数相同的情况下，根据九年级学生竞赛成绩中位数90大于八年级学生竞赛成绩中位数88.5，得出九年级学生的竞赛成绩较好； （3）根据九年级20名学生中，A等级人数有11人，八年级20名学生中，A等级人数有9人，进行估计即可． 【小问1详解】 解：∵九年级20名学生的竞赛成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57． ∴九年级20名学生的竞赛成绩的众数为90， 即， ∵此次一共抽取了八年级20名学生的竞赛成绩， 又∵C等级、D等级分别占、， ∴C等级人数：（人）， D等级人数：（人）， ∵B等级人数为8人， ∴A等级人数：（人）， 将成绩从高至低排列，第10人的成绩为89，第11人的成绩为88， ∴八年级20名学生的竞赛成绩的中位数为， 即， ∵此次一共抽取了八年级20名学生的竞赛成绩，A等级人数为9人， ∴， ∴， ∴，，； 故答案为：90，88.5，45； 【小问2详解】 解：我认为九年级学生的竞赛成绩较好，理由如下： 在八年级和九年级学生的竞赛成绩平均数均为87.5的情况下，九年级学生竞赛成绩中位数90大于八年级学生竞赛成绩中位数88.5，所以九年级学生的竞赛成绩较好； 【小问3详解】 解：∵九年级20名学生中，A等级人数有11人， 又∵八年级20名学生中，A等级人数有9人， ∴估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数：（人）， 答：估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共1035人． 【点睛】本题考查了调查数据的分析与整理，准确地理解相关概念是解题的关键． 18. 某校准备带领九年级同学参加物理和化学的实验考试，需要准备甲，乙两种手套，学校计划前往商场购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：副） 总费用（单位：元） 甲种手套 乙种手套 30 25 135 29 40 178 （1）甲种手套，乙种手套每副各多少元？ （2）该学校决定购买甲乙两种手套共1000副，且总费用不超过2450元，那么该中学最少可以购买甲种手套多少副？ 【答案】（1）甲种手套每副2元，乙种手套每副3元 （2）最少可以购买甲种手套550副 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设甲种手套每副x元，乙种手套每副y元，根据表格数据列方程组，进而解方程组即可求解； （2）设购买甲种手套为m副，则购买乙种手套副，根据题意列不等式，然后解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种手套每副x元，乙种手套每副y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种手套每副2元，乙种手套每副3元； 【小问2详解】 解：设购买甲种手套为m副，则购买乙种手套副， 根据题意，得 ， 解得， 答：该中学最少可以购买甲种手套550副． 19. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：根据以上数据，解决下列问题： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； （2）求出满足条件的函数表达式． 【答案】（1）230，45 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：由测得的数据可知：当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是． ∵当水平距离和时的函数值都为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∴当时的函数值与当的函数值相同． ． 【小问2详解】 解：设， 把代入中得， ，解得， ∴满足条件的函数表达式为． 20. 项目学习 项目背景：某中学数学兴趣小组在学校化学实验室围绕“计算导气管的长度”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 导气管长度的测量与计算 驱动任务 如何利用三角函数计算导气管的长度 活动过程 方案说明 图1是小组成员安装的化学实验室装置，图2是抽象出的平面示意图，点为试管口，为试管，为铁杆，为试管口与铁杆的水平距离为导气管，为水槽壁，为试管的倾斜角，，点在同一条直线上，图中所有的点在同一平面内 测量数据 经测量得 计算 …… 交流展示 …… 请根据表中数据，计算的长度．（结果精确到，参考数据：，，， 【答案】的长度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，求出，根据，求得，再求得的长度，证四边形是矩形，得到，根据是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 答：的长度约为． 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即可得到是的切线； （2）由直径性质可得，推出，利用勾股定理得到，根据，得到． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 【问题情境】 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径，解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． （1）【初步探究】 如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，则的度数为______； （2）【类比探究】 如图②，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长； （3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，与互余，、为对角线，且满足，若，，求的长． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据旋转的性质易得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，证明，设正方形边长为，则，，结合勾股定理即可解题； （3）将绕点逆时针旋转至，连接，证明，最后用勾股定理即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：，， 为等腰直角三角形， ． 【小问2详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质可得，，，， ， ∴，，三点共线． ， ． ，， ． ． ， ． 设正方形的边长为，则，， 在中，，即， 解得，（负值舍去）． ∴正方形的边长为6． 【小问3详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转至，连接， 由旋转的性质可得，，，， ． 又，， ． ． ． ， ． ， ． ． ∴． ∴． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①，最大值为；②存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）①先求出直线的解析式为：，设，则，用含的代数式表示的面积，进而即可求解；②分两种情况：①；②，讨论即可． 【小问1详解】 解：把、代入得 ， 解之得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图， 设直线的解析式为， 把、代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴， ∴， ， ∴对称轴， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴； ②当时，如图： ∴， ∴轴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得舍去，， ∴， 当时， ， 过点作于， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由①得，， ∴， 解得（舍去），， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）注意需要分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $