专题05探索三角形全等的条件专项训练(18大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题05探索三角形全等的条件专项训练 题型01.SSS证三角形全等 题型02.间接用SSS证全等 题型03.SAS证三角形全等 题型04.ASA/AAS证三角形全等 题型05.尺规作图作三角形 题型06.三角形与四边形稳定性应用 题型07.网格背景下全等角度计算 题型08.SSS判定与性质综合 题型09.SAS判定与性质综合 题型10.ASA/AAS判定与性质综合 题型11.全等判定方法的灵活选用 题型12.全等三角形实际应用问题 题型13.全等三角形动点问题 题型14.全等三角形多结论辨析题 题型15.全等与角平分线综合问题 题型16.全等与平行线综合问题 题型17.全等与线段和差证明题 题型18.全等条件开放探究题 解答题7题 知识点01.全等三角形基础（核心前提） 1. 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作：△ABC≅△DEF（对应顶点字母写在对应位置） 2. 核心性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等（全等是证明线段 / 角相等的核心工具） 知识点02.五大全等判定定理（期中必考核心） 判定定理 简称 文字表述 几何语言(以△ABC和△DEF) 关键注意点. 边边边 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SSS) 唯一无需角的判定，三角形稳定性的原理 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SAS) 必须是两边的夹角，SSA 不能判定全等 角边角 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 ∵​ ∴△ABC≅△DEF(ASA) 夹边是两角的公共边 .角角边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(AAS) 由 ASA 推导而来，是 ASA 的补充 直角边 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL) 知识点03.关键易错点（逢考必坑，必记） 1..SSA 不能判定全等：两边及其中一边的对角相等，无法保证三角形全等 2.对应关系错误：书写全等时，对应顶点、对应边、对应角必须一一对应，否则推理无效 3.SAS 夹角遗漏：误将 “两边及对角” 当作 SAS，是期中最常见扣分点 4.AAA 不能判定全等：三个角相等只能说明三角形相似，大小不一定相等，无法判定全等 知识点04.解题核心步骤（规范书写模板） 1.找条件：从题目中提取已知的边 / 角相等，或通过公共边、公共角、对顶角、平行线性质等推导隐含条件 2.选判定：根据已知条件，选择最合适的判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS） 3.写过程：按 “条件→结论→判定依据” 的规范格式书写，每一步都要有依据 4.用性质：由全等推出对应边 / 角相等，完成后续证明（如证垂直、平行、线段相等） SSS 三边定，SAS 夹边行，ASA 两角夹，AAS 对边成，SSA 行不通，全等判定要分清！ 专题05.已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 题型01.SSS证三角形全等 1．如图是作的尺规作图，其中三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图用尺规作出了其依据是___________ （填全等判定方法的简写） 3．如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 题型02.间接用SSS证全等 4．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 6．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 题型03.SAS证三角形全等 7．如图，已知，若要用“”证明，还需加上的一个条件可以是_________． 8．如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 9．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是___________．    题型04.ASA/AAS证三角形全等 10．如图示，点B在上．，要使，还需添加一个条件是_________________．（填上你认为适当的一个条件即可）    11．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 12．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 题型05.尺规作图作三角形 13．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ） A．两角及夹边 B．两边及夹角 C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角 14．如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 15．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 题型06.三角形与四边形稳定性应用 16．下列图形中具有稳定性的是（      ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．平行四边形 17．三角形的稳定性广泛应用于生产生活中，但有一些物品不能利用三角形稳定性，以下物品不具备三角形稳定性的是（   ） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三脚架 D．学校的伸缩大门 18．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 题型07.网格背景下全等角度计算 19．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，则__________°． 20．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC=_____． 21．如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则__________． 22．如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 题型08.SSS判定与性质综合 23．如图，在一个平分角的仪器中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是这个角的平分线．其原理是通过判定，得到，其中判定这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，点在边上，连接，点，在线段上，连接，，且，，若的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．8 D．2 25．如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为______． 题型09.SAS判定与性质综合 26．同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______． 27．如图，已知，垂足为点，，垂足为点，若，，则__________． 28．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型10.ASA/AAS判定与性质综合 29．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 30．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，，，，，，则的长为____________． 31．如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 题型11.全等判定方法的灵活选用 32．下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（    ） A．两角对应相等 B．两腰对应相等 C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等 33．全等三角形的判定是几何证明的基础，下列各组条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 34．小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 35．如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（    ） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 题型12.全等三角形实际应用问题 36．如图①是一款折叠凳，图②是该折叠凳撑开后的侧面示意图（凳腿材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是凳腿的中点．为了使该折叠凳撑开后高度舒适，厂家将点到地面的距离设计为，则由以上信息可得撑开后凳面到地面的距离为___________． 37．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，，为两个排污口．已知，，，，点，，在同一直线上，米，米，则两个排污口之间的水平距离是_____米． 38．如图，某公园有一条“Z”字形长廊ABCD，其中，在AB，BC，CD三段长廊上各有一座凉亭E，F，G，已知F是BC的中点，E，F，G在一条直线上．凉亭F与G之间有一池塘，下列长度中，与F，G之间的距离相等的是（   ） A．EF B．BE C．CF D．BF 39．小乐同学在国庆假期去方特游玩时乘坐了海盗船（如图①），如图②，当静止时，海盗船中心位于铅垂线上，转轴B到地面的距离为；当海盗船中心摇摆到A处时，于点C，此时测得A处到地面的距离为；当海盗船中心从A处摇摆到处时，于点B．求此时点到的距离． 题型13.全等三角形动点问题 40．如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 41．如图，与相交于点C，，，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ___________ ． 42．如图，在中，，点D为的中点．点P在线段上以每秒4个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且和是对应角，则a的值为（   ） A．4 B．4或2 C．6 D．4或6 43．如图，，射线，且，，点P是线段（不与点B、C重合）上的动点，过点P作交射线于点D，连接． (1)如图1，当 时，是等腰直角三角形．（请直接写出答案） (2)如图2，若平分，试猜测和的数量关系，并加以证明． 题型14.全等三角形多结论辨析题 44．如图，中，，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 45．如图，在和中，，，，，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论： ①； ②； ③OM平分； ④MO平分， 其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 46．如图，在长方形中（），点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．如图，在中，平分．连接和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 题型15.全等与角平分线综合问题 48．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为_________． 49．如图，平分，，，延长交于点E，则________度． 50．如图，已知平分，点D、E分别在上，，求证：． 题型16.全等与平行线综合问题 51．如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 52．如图，已知，，．求证：． 53．如图，在中，E是上一点，与相交于点F，F是的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型17.全等与线段和差证明题 54．（1）已知：如图①，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：． （2）如图②，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 55．在中，，，直线经过点C，于D，于E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时， 求证： ①； ②． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出，，之间的数量关系． 56．【学习概念】 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角．如图①，是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：因为，， 所以． 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)【问题探究】 （1）如图②，已知，且，则_______； （2）如图③，已知，且，则当的度数为多少时，？请说明理由； (2)【应用结论】 （3）如图④，，，，，请说明：； (3)【拓展应用】 （4）如图⑤，四边形中，，平分，，，．求的长． 题型18.全等条件开放探究题 57．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 _____； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 58．如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（）． (1)用代数式表示的长度； (2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P、Q的运动速度不相等．当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 解答题 59．求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． 已知：如图，在和中，、分别是边、上的中线，，，，求证：． 60．如图，在一条直线上，与交于点，，，，求证： (1)． (2)． 61．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 62．如图，，，．求证：． 63．如图，已知在中，，，，为的中点，设点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上由点向点运动． (1)若点运动的速度与点相同，且点，同时出发，经过1秒钟后，___________；___________ (2)在（1）的条件下，请说明． (3)若点同时出发，但运动的速度不相同，当点的运动速度为多少时，与全等？ 64．如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 65．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05探索三角形全等的条件专项训练 题型01.SSS证三角形全等 题型02.间接用SSS证全等 题型03.SAS证三角形全等 题型04.ASA/AAS证三角形全等 题型05.尺规作图作三角形 题型06.三角形与四边形稳定性应用 题型07.网格背景下全等角度计算 题型08.SSS判定与性质综合 题型09.SAS判定与性质综合 题型10.ASA/AAS判定与性质综合 题型11.全等判定方法的灵活选用 题型12.全等三角形实际应用问题 题型13.全等三角形动点问题 题型14.全等三角形多结论辨析题 题型15.全等与角平分线综合问题 题型16.全等与平行线综合问题 题型17.全等与线段和差证明题 题型18.全等条件开放探究题 解答题7题 知识点01.全等三角形基础（核心前提） 1. 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，记作：△ABC≅△DEF（对应顶点字母写在对应位置） 2. 核心性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等（全等是证明线段 / 角相等的核心工具） 知识点02.五大全等判定定理（期中必考核心） 判定定理 简称 文字表述 几何语言(以△ABC和△DEF) 关键注意点. 边边边 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SSS) 唯一无需角的判定，三角形稳定性的原理 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(SAS) 必须是两边的夹角，SSA 不能判定全等 角边角 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 ∵​ ∴△ABC≅△DEF(ASA) 夹边是两角的公共边 .角角边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≅△DEF(AAS) 由 ASA 推导而来，是 ASA 的补充 直角边 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL) 知识点03.关键易错点（逢考必坑，必记） 1..SSA 不能判定全等：两边及其中一边的对角相等，无法保证三角形全等 2.对应关系错误：书写全等时，对应顶点、对应边、对应角必须一一对应，否则推理无效 3.SAS 夹角遗漏：误将 “两边及对角” 当作 SAS，是期中最常见扣分点 4.AAA 不能判定全等：三个角相等只能说明三角形相似，大小不一定相等，无法判定全等 知识点04.解题核心步骤（规范书写模板） 1.找条件：从题目中提取已知的边 / 角相等，或通过公共边、公共角、对顶角、平行线性质等推导隐含条件 2.选判定：根据已知条件，选择最合适的判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS） 3.写过程：按 “条件→结论→判定依据” 的规范格式书写，每一步都要有依据 4.用性质：由全等推出对应边 / 角相等，完成后续证明（如证垂直、平行、线段相等） SSS 三边定，SAS 夹边行，ASA 两角夹，AAS 对边成，SSA 行不通，全等判定要分清！ 专题05.已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 题型01.SSS证三角形全等 1．如图是作的尺规作图，其中三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三边对应相等的两三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意知，，， ． 2．如图用尺规作出了其依据是___________ （填全等判定方法的简写） 【答案】SSS/边边边 【分析】本题考查三角形的全等判定，理解尺规作图中的等量关系是解题的关键． 根据画图做法，能判断出、以及，故判断出其判定方式． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据可证明，，根据全等三角形的性质可得，，，进而根据可证明，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴． ∴图中全等三角形有，，，共3对， 故选：D． 题型02.间接用SSS证全等 4．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答． 【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 5．如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°． 【详解】解：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF=DE 又∵AD＝BC，AE＝CF． ∴△AED≌△CFB（SSS）， ∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70° ∴∠BCF＝70°． 故选C． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识． 6．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 题型03.SAS证三角形全等 7．如图，已知，若要用“”证明，还需加上的一个条件可以是_________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS． 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当添加时，（SAS）． 故答案为：． 8．如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ． 9．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是___________．    【答案】两边及其夹角相等的两个三角形全等 【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一，只需要测量易测量的边上，进而得出答案． 【详解】解：连接，，如图，   点分别是、的中点， ，， 在和中， ， ． ． 答：需要测量的长度，即为工件内槽宽． 其依据是根据证明； 故答案为：两边及其夹角相等的两个三角形全等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等． 题型04.ASA/AAS证三角形全等 10．如图示，点B在上．，要使，还需添加一个条件是_________________．（填上你认为适当的一个条件即可）    【答案】(答案不唯一) 【分析】根据可以添加． 【详解】解：添加一个条件是 (答案不唯一)， 理由：，， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形判定定理的灵活运用，熟练掌握相关知识是解题关键． 11．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 12．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 题型05.尺规作图作三角形 13．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ） A．两角及夹边 B．两边及夹角 C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角 【答案】B 【分析】观察图像可知已知线段AB，AC，∠A，由此即可判断． 【详解】解：根据作图痕迹可以知道，∠A为已知角，AB和AC是已知的边， 符合“两边及夹角”， 故选：B． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型． 14．如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图-作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得， ， 故答案为：． 15．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 题型06.三角形与四边形稳定性应用 16．下列图形中具有稳定性的是（      ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．平行四边形 【答案】A 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，而正方形，长方形，平行四边形都是四边形， 故只有直角三角形具有稳定性． 17．三角形的稳定性广泛应用于生产生活中，但有一些物品不能利用三角形稳定性，以下物品不具备三角形稳定性的是（   ） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三脚架 D．学校的伸缩大门 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用三角形的稳定性进行解答． 【详解】解：A、自行车的三角形车架具备三角形稳定性，不符合题意； B、三角形房架具备三角形稳定性，不符合题意； C、照相机的三脚架具备三角形稳定性，不符合题意； D、学校的伸缩大门不具备三角形稳定性，符合题意； 故选：D． 18．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 题型07.网格背景下全等角度计算 19．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，则__________°． 【答案】135 【分析】本题考查的是全等三角形的性质与判定，属于较容易的基础题．根据题意知，，所以由全等三角形的对应角相等进行推理论证即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：135． 20．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC=_____． 【答案】/度 【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：如图，设AB与CD相交于点F， 在△DCE和△ABD中， ∵， ∴△DCE≌△ABD（SAS）， ∴∠CDE=∠DAB， ∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°， ∴∠AFD=90°， ∴∠BAC+∠ACD=90°， 故答案为：90度． 【点睛】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键． 21．如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则__________． 【答案】/45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的性质，首先证明出，得到，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 22．如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型08.SSS判定与性质综合 23．如图，在一个平分角的仪器中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是这个角的平分线．其原理是通过判定，得到，其中判定这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质．直接根据判定即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：D． 24．如图，在中，，，点在边上，连接，点，在线段上，连接，，且，，若的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【详解】在和， ， ， ． 故选：B． 25．如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为______． 【答案】/110度 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“边边边”证明，根据对应角相等可得，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型09.SAS判定与性质综合 26．同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键．利用可证，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵由图可知，和为对顶角， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 27．如图，已知，垂足为点，，垂足为点，若，，则__________． 【答案】/90度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，，，，证明，则，即，故． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 28．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 题型10.ASA/AAS判定与性质综合 29．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 【答案】2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 30．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，，，，，，则的长为____________． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据已知条件利用“”证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】解：∵在和中， ∴ ∴ ∴ 故答案为：5． 31．如图，，，垂足分别为，，，．若，，则的长度是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定．根据垂直的定义得到根据平行线的性质得到，证明得出，进而根据，即可求解． 【详解】证明：， ， 又， ， 在和中 ． ∴， ∴， ∴     故选：B． 题型11.全等判定方法的灵活选用 32．下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（    ） A．两角对应相等 B．两腰对应相等 C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等 【答案】D 【分析】依据全等三角形的判定定理回答即可，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 【详解】解：A、两角对应相等，没有边的参与，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误，不符合题意； B、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误； C、一边一角对应相等，此条件未明确边角关系而不能保证全等。例如，若一个等腰三角形的腰与另一个等腰三角形的底边对应相等，顶角与另一个的底角对应相等，则无法判定两个等腰三角形全等，故本选项错误； D、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用可以证得两个等腰三角形全等，故本选项正确． 33．全等三角形的判定是几何证明的基础，下列各组条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别判断即可． 【详解】解：A、，，，三边对应相等，∴ ． B、，，，两角及其夹边对应相等，∴ ． C、，，，两边及其中一边的对角相等，属于，不能判定全等． D、，，，两角及其中一角的对边相等，∴ ． ∴ 不能判定全等的是C． 故选：C． 34．小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 【详解】解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 35．如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（    ） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，根据作图痕迹判断作图过程是作一个角等于已知角，据此求解即可. 【详解】解：由作图可知，，， ∴判定的依据是， 故选：D． 题型12.全等三角形实际应用问题 36．如图①是一款折叠凳，图②是该折叠凳撑开后的侧面示意图（凳腿材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是凳腿的中点．为了使该折叠凳撑开后高度舒适，厂家将点到地面的距离设计为，则由以上信息可得撑开后凳面到地面的距离为___________． 【答案】40 【分析】本题考查了全等三角形的应用，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据中点定义求出，然后利用证明，根据全等三角形对应角相等得，则，再根据，，可得点M、O、N在同一条直线上，则，进而可得出答案． 【详解】解：如图，作于点M，于点N， 由题意得，，， ∵是凳腿的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴点M、O、N在同一条直线上， ∴， ∴凳面到地面的距离为． 故答案为：40． 37．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，，为两个排污口．已知，，，，点，，在同一直线上，米，米，则两个排污口之间的水平距离是_____米． 【答案】500 【分析】本题考查了一线三垂直模型以及全等三角形的判定与性质，结合角的等量代换得，证明，根据全等三角形的性质可得两个排污口之间的水平距离． 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴（米）， 故答案为：500． 38．如图，某公园有一条“Z”字形长廊ABCD，其中，在AB，BC，CD三段长廊上各有一座凉亭E，F，G，已知F是BC的中点，E，F，G在一条直线上．凉亭F与G之间有一池塘，下列长度中，与F，G之间的距离相等的是（   ） A．EF B．BE C．CF D．BF 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 通过证明，再通过全等三角形的对应边相等得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴与，之间的距离相等的是， 故选：A． 39．小乐同学在国庆假期去方特游玩时乘坐了海盗船（如图①），如图②，当静止时，海盗船中心位于铅垂线上，转轴B到地面的距离为；当海盗船中心摇摆到A处时，于点C，此时测得A处到地面的距离为；当海盗船中心从A处摇摆到处时，于点B．求此时点到的距离． 【答案】 【分析】先过点作于点F，再证明，可得，证明，从而可得答案，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点F，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 题型13.全等三角形动点问题 40．如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 【答案】或10个单位长度 【分析】点Q到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，在运动过程中存在与全等，推出，或，根据点P求出运动时间，利用路程除以时间得出Q的运动速度． 【详解】解：点P以每秒2个单位长度向点C运动，点Q返回过程中存在与全等， ， ，或， 或， 点Q的运动路程为或， 点Q的速度为：或． 41．如图，与相交于点C，，，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ___________ ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质构造一元一次方程是解决问题的关键． 先证明和全等得，依题意得， ，根据点P的运动速度和方向有以下两种情况∶①当点P从点A向点B运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，证明和全等得．则，由此解得；②当点P从点B向点A运动时，依题意得，此时，当点P，Q，C三点在同一条直线上时，同理证明和全等得，则，由此解得．综上所述即可得出答案． 【详解】解：， ，． 在和中， ． ∵点Q从点D出发，沿DE以的速度向E运动， ． ， 根据点P的运动速度进而方向有以下两种情况： ①当点P从点A向点B运动时，依题意得： ， 此时． 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 在和中， ． ． ，解得：； ②当点P从点B向点A运动时，依题意得： ， 此时， 当点P，Q，C三点在同一条直线上时， 同理证明：． ． ，解得：， 综上所述：当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为或． 42．如图，在中，，点D为的中点．点P在线段上以每秒4个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且和是对应角，则a的值为（   ） A．4 B．4或2 C．6 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 用的长度减去的长度，根据全等三角形对应边相等，分两种情况列方程即可得到结论． 【详解】解：由题意，， ∴； 当时 ∵，是的中点， ∴，解得， ∵， ∴，即，解得； 当时 ，解得， ∵， ∴，即，解得； 故选：D． 43．如图，，射线，且，，点P是线段（不与点B、C重合）上的动点，过点P作交射线于点D，连接． (1)如图1，当 时，是等腰直角三角形．（请直接写出答案） (2)如图2，若平分，试猜测和的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明，得出，根据，得出是等腰直角三角形； （2）延长线段、交于点E，证明，得出，证明，得出． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，是等腰直角三角形． （2）解：和的数量关系：， 证明：如图2，延长线段、交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线定义，等腰直角三角形的判定，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 题型14.全等三角形多结论辨析题 44．如图，中，，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件判断，然后根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 45．如图，在和中，，，，，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论： ①； ②； ③OM平分； ④MO平分， 其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形内角和定理和对顶角相等，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； ， 而， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ， 平分，所以④正确； 而， ，所以③错误． 故选：C 46．如图，在长方形中（），点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了长方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握长方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 先根据已知条件判定，再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴，故①结论正确； 由①知， ， ，故②结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③结论正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故④结论正确； 故选：D． 47．如图，在中，平分．连接和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．在边上取点D，使，连接，证明，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点D，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 所以A选项符合题意． 故选：A 题型15.全等与角平分线综合问题 48．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明得，根据求出即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 49．如图，平分，，，延长交于点E，则________度． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，先根据证明，得出，然后根据等式的性质可得出，最后结合垂直的定义即可求解． 【详解】解：延长交于F， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 50．如图，已知平分，点D、E分别在上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，根据角平分线的定义得到，由平角的定义和已知条件可证明，再利用证明，由全等三角形的性质即可得到． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型16.全等与平行线综合问题 51．如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 52．如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． 53．如图，在中，E是上一点，与相交于点F，F是的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴． 题型17.全等与线段和差证明题 54．（1）已知：如图①，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：． （2）如图②，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）证明，可得到，，即可求证； （2）证明，可得，，即可解答． 【详解】（1）证明：∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：结论成立，证明如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 55．在中，，，直线经过点C，于D，于E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时， 求证： ①； ②． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明； （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【详解】（1）证明：①在中，， ， 于D ，于E， ， ， ， ， ； ②， ，， ． （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ． （3）解：，理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 56．【学习概念】 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角．如图①，是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：因为，， 所以． 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)【问题探究】 （1）如图②，已知，且，则_______； （2）如图③，已知，且，则当的度数为多少时，？请说明理由； (2)【应用结论】 （3）如图④，，，，，请说明：； (3)【拓展应用】 （4）如图⑤，四边形中，，平分，，，．求的长． 【答案】（1）；（2）当时，，见解析；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由邻补角互补可知，由三角形外角的性质可知，等量代换得，进而可证； （2）当时，，证法同（1）； （3）证明，可得，进而可证； （4）在上取一点使，由角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，然后可证，进而可得． 【详解】（1）（1）解：， ， ， ， 在和中， ， 故答案为：. （2）解：当时，．理由如下： 因为， 所以，． 因为， 所以． 在和中， 所以． 故当时，． （2）（3）解：因为，， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 在和中， 所以， 所以，， 所以． （3）（4）解：如图，在上取一点，使得， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 在与中， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，解题的关键是熟知全等三角形的性质与判定定理． 题型18.全等条件开放探究题 57．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 _____； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造辅助线． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，再判定，可得出． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴． 故答案为：； （2）成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 58．如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（）． (1)用代数式表示的长度； (2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P、Q的运动速度不相等．当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1) (2)与全等，理由见解析 (3)当点Q的运动速度a为时，能够使与全等 【分析】本题考查了三角形的动点运动问题，全等三角形的判定，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接根据时间和速度表示的长； （2）根据“”证明即可； （3）因为点P、Q的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t（秒），根据题意得，； （2）解：与全等，理由如下： 当秒时，厘米，厘米，厘米， ∵点D为的中点， ∴厘米， 在与中， ∴； （3）解：结合（2）得，若点P、Q的运动速度不相等， 则此时当时，结合，则， ∴， 解得， ∴当点Q的运动速度a为时，能够使与全等． 解答题 59．求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． 已知：如图，在和中，、分别是边、上的中线，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），全等的性质和综合（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用中线的意义得出，，由推出，得到，由即可证明． 【详解】证明：∵、分别是边、上的中线， ∴，， ∵， ， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 60．如图，在一条直线上，与交于点，，，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）首先得出，再利用证明即可． （2）由全等三角形的性质证明，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴． 61．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）因为，，所以可先推导与相等；可利用定理证明． （2）因为，所以可得到对应边相等，进而求出的长度；再结合三角形面积公式，计算的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在中，， 在和中： ∵ （2）解：由全等得： ∵共线，且， ∴， ∴， ∴ 62．如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 63．如图，已知在中，，，，为的中点，设点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上由点向点运动． (1)若点运动的速度与点相同，且点，同时出发，经过1秒钟后，___________；___________ (2)在（1）的条件下，请说明． (3)若点同时出发，但运动的速度不相同，当点的运动速度为多少时，与全等？ 【答案】(1)3；3 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，也考查了等腰三角形的性质． (1)根据Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后，可得；； (2)先用t表示出，当时，，，再根据等腰三角形的性质得到，于是可根据“”判断； (3)设点Q的运动速度为，则，由于，则当，时，根据“”可判断，即，；当，时，根据“”可判断．即，，然后分别解方程可得到的值． 【详解】（1）解：Q点运动的速度与点相同，且点，Q同时出发，经过1秒钟后，；； 故答案为：3，3； （2）证明：由题意得：， ； 当时，，，， 点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设点Q的运动速度，则， ， 当，时，， 即，， 解得，（舍去）； 当，时，， 即，， 解得，， 综上所述，当点的运动速度为时，能够使与全等． 64．如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明； （2）利用证明，再得出． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 65．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $