10.3 分式的加减（题型专练，6大题型+拓展）数学新教材苏科版八年级下册

可学科网·上好课 分式的加减 题型一同分母分式加减法 1.A 2.A 3.C 4.1 题型二异分母分式加减法 1.D 2.是 3.3 4.① 题型三整式与分式相加减 1.C 2.支 www zxxk.com 10.3分式的加减 题型一 题型二 基础达标题 题型三 题型一 题型二 能力提升题 题型三 拓展培优题 A基础达标题 1/3 上好每一堂课 同分母分式加减法 异分母分式加减法 整式与分式相加减 分式恒等式 分式加减混合运算 分式加减的应用 函学科网·上好课 3. (1)r41211 +2 ,11 (2)2罗 4. (12+高 (2)1 (3)m2+n2+mn=x2-6x+84 题型一分式恒等式 1.2 2.20元 2026 3. 22/673号 ∫A=1 (B=-2 题型二分式加减混合运算 1.D 2.-10 13 3.(1)x2-9y2 2m23m+1 (2）nm+1 4.见详解 题型三分式加减的应用 1.A 2.P>Q 1 3.(1)n+ (2)不能全部倒完，理由见详解 4.(1)小明在计算机上平均每小时打罗 22m型千字 www zxxk com B 能力提升题 千字；小华在计算机上平均每 2/3 上好每一堂课 小时打号千字 6学科网·上好课 )千字 1. < 2.( 成=言方 2n网=贵点 2 (3)x=1013 3.(1)证明见解析； 2品=2i+点。 (3)见解析 4.(1x+袁=8 2器a= 第 www.zxx k.com 上好每一堂课 C 拓展培优题 证明见解析； 3/3 10.3 分式的加减 题型一 同分母分式加减法 1．计算的结果是（    ） A．3 B．a C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，解题思路是先变形统一分母，再根据同分母分式加法法则计算，约分后得到结果 【详解】解：∵ ∴ 2．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同分母的分式加减法运算法则：分子直接相加减计算即可． 【详解】解： ． 3．若的结果是负数，则的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用同分母分式加法法则化简，再得出x的取值范围，再在数轴上表示即可． 【详解】， ∵结果是负数， ∴， ∴， 得， ∴的取值范围在数轴上表示为： 4．计算：___________． 【答案】1 【分析】根据同分母分式减法法则：分母相同，分子直接相减，化简后即可得到结果． 【详解】解：． 题型二 异分母分式加减法 1．计算的结果等于（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ， ． 2．化简：________________ 【答案】 【分析】先对第一个分式的分母因式分解，再确定最简公分母通分，合并分子后约分即可得到化简结果． 【详解】解： ． 3．已知，则的值是_________． 【答案】 【分析】将已知通分可推导得到，将该式整体代入所求分式，化简后即可得到结果． 【详解】解：由，通分可得， ， ． 4．如图，若为正整数，则表示的值的点落在________． 【答案】① 【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案． 【详解】解：原式 ， 为正整数， ， ， ， ， ， 即， 观察数轴可知，第①段的范围是到， 故答案为：①． 题型三 整式与分式相加减 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 2．观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 3．定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可； （2）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：由题意得， ． 4．在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的化简是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，可得到结果； （2）仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，仿照示例，可得到，再代入化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 因为是正整数， 所以的值为， 所以的值为，4，则的值为． 因为是整数， 所以的值为1． （3）因为 ． 所以， 即， 所以． 题型一 分式恒等式 1．A，B为常数，如果，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，即可得出结果． 【详解】解：对左边通分：， ∵左边等于右边， ∴分子需相等， ∴， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得， 故答案为：2． 2．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【答案】 【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可. 【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变， ∴设（为常数）， 等式两边同乘，得 ， 整理得 ， ∵该等式对任意恒成立， ∴多项式对应系数相等，即， 且 3．对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 4．已知，求整数，的值． 【答案】 【分析】先对等式左边进行通分，与等式右边的分子比较系数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解： ． ， ， ，解得． 题型二 分式加减混合运算 1．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而． 【详解】解： ， ， ， ， ， ； 故选D． 2．如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 4．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和将等式左边每个分式拆项是解题关键； 首先将左式向右式变形，根据等式右边的特点，将等式左边每个分式拆成两个分式的和或差形式，可得可得可得；然后将拆项后的左边各式相加，证得结论即可． 【详解】证明：∵， 同理， ， 原式左边 右边． 故原等式成立． 题型三 分式加减的应用 1．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键； 设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数． 【详解】解：设工作总量为1， ∵ 甲单独完成需天， ∴ 甲的工作效率为， ∵ 乙单独完成需天， ∴ 乙的工作效率为， ∴ 甲、乙合作的工作效率为， ∴ 合作所需天数为． 故选：A． 2．已知，其中，则P、Q的大小关系是__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式减法的应用，作差法比较大小，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 通过作差法比较P和Q的大小，计算并化简，结合条件判断计算结果的符号，即可解答． 【详解】解：根据题意，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 3．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……事实上，实验中很难精确地测量出每次需要倒出的水量；因此，我们不考虑实际操作因素，将上述问题抽象成数学问题加以解决，依靠数学方法分析这个问题的优越性就更能凸显出来． (1)计算：； (2)按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能全部倒完，理由见详解 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是正确找出规律； （1）先通分再计算即可； （2）计算前n次总共倒出水量与1比较即可． 【详解】（1）解： （2）解：不能全部倒完，理由如下： 第1次倒出的水量是：； 第2次倒出的水量是：； 第3次倒出的水量是：； 第4次倒出的水量是：， 第n次倒出的水量是：； 前n次总共倒出水量是： ∵， ∴容器中的这1升水最终不能全部倒完． 4．小明在计算机上打m千字的文稿需要ah，小华在计算机上打n千字的文稿需要bh． (1)小明和小华在计算机上平均每小时各打多少千字？ (2)小明和小华在计算机上打文稿的时间分别为2h和3h，他们共打文稿多少千字？ (3)如果小明比小华打字快，那么小明比小华平均每小时多打多少千字？ 【答案】(1)小明在计算机上平均每小时打千字；小华在计算机上平均每小时打千字 (2)千字 (3)千字 【分析】本题考查了列代数式及分式的加减运算，理解题意是关键； （1）文稿的字数除以打印文稿需要的时间即可得两人打字的速度； （2）由（1）所求分别乘上时间再相加即可； （3）将（1）所求的相减即可． 【详解】（1）解：小明在计算机上平均每小时打千字，小华在计算机上平均每小时打千字； 答：小明和小华在计算机上平均每小时各打千字和千字； （2）解：千字， 答：两人共打文稿千字； （3）解：千字， 答：小明比小华平均每小时多打千字． 1．已知，，则的值_____0．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，分式的加法． 将通分后得到，代入得，由， 得到，即，根据可知． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．观察下列算式：①，②，③，④，… (1)由以上式子可以推出（5）式为_________________． (2)用含字母（为非零自然数）的等式表示（1）中的一般规律为___________________． (3)用以上方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知算式的序号与式子的对应关系，可直接推出第（5）式； （2）通过分析已知算式的分子、分母与序号的关系，总结出一般规律； （3）利用（2）中的规律对分式进行裂项，再通过化简求解方程． 【详解】（1）解：观察已知算式： ①，②，③，④ 可知第式为： 因此第（5）式为：． （2）解：由上述规律可得，一般规律为：． （3）解：∵ ， ∴，整理，得， 即，解得． 检验：当时，原方程中各分母均不为零，故是原分式方程的解． 3．定义：分子为1的真分数叫做“单位分数”． 古埃及人在分数运算中普遍使用此类分数，并通过将真分数分解为多个不同单位分数之和进行计算，如：，因此单位分数也称为“埃及分数”． (1)求证：(为正整数，)可以分解为单位分数，的和； (2)观察下列将真分数分解成两个不同单位分数之和的过程： 第1个：， 第2个：， 第3个：， …… 用上述式子反映的规律，将第个真分数分解成两个不同单位分数之和的形式，并证明； (3)借助（1）（2）的结果，试将(为正整数，)分解成不超过3个不同单位分数之和的形式． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3)见解析 【分析】本题考查分式的加法运算与分式的基本性质，核心知识点为分式的通分与约分，关键是通过观察规律推导分解形式，并利用分式运算验证等式． （1）要证明可分解为两个指定单位分数的和，只需将右边的两个分式通分相加，约分后验证是否等于左边的； （2）先观察已知等式的规律，总结出第个真分数的形式及对应的分解结果，再通过通分相加验证等式成立； （3）解题思路：分三种情况讨论的取值(的倍数、非3倍数的偶数、非3倍数的奇数)，结合（1）和（2）的结论，将拆分为不超过3个不同的单位分数之和． 【详解】（1）证明：即证， ∵右边， ∴左边=右边， 故成立； （2）解：观察已知等式，将第个真分数分解成两个不同单位分数之和的形式为：． 证明：∵右边， ∴左边=右边， 故成立； （3）解：分三种情况讨论： 当是3的倍数时，设(为正整数，)，则， 结合（1），； 当不是3的倍数且为偶数时，设(为正整数，)， 则； 当不是3的倍数且为奇数时，是正整数， 结合（2），， ∴； 综上，的分解形式为： 若是3的倍数，； 若不是3的倍数且为偶数，； 若不是3的倍数且为奇数，． 4．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 分式的加减 题型一 同分母分式加减法 1．计算的结果是（    ） A．3 B．a C． D． 2．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 3．若的结果是负数，则的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算：___________． 题型二 异分母分式加减法 1．计算的结果等于（   ）． A．3 B． C． D． 2．化简：________________ 3．已知，则的值是_________． 4．如图，若为正整数，则表示的值的点落在________． 题型三 整式与分式相加减 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 3．定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：． 4．在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 题型一 分式恒等式 1．A，B为常数，如果，则_______． 2．无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 3．对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 4．已知，求整数，的值． 题型二 分式加减混合运算 1．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 2．如果，那么________，________． 3．计算： (1) (2) 4．求证：． 题型三 分式加减的应用 1．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 2．已知，其中，则P、Q的大小关系是__________． 3．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……事实上，实验中很难精确地测量出每次需要倒出的水量；因此，我们不考虑实际操作因素，将上述问题抽象成数学问题加以解决，依靠数学方法分析这个问题的优越性就更能凸显出来． (1)计算：； (2)按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由． 4．小明在计算机上打m千字的文稿需要ah，小华在计算机上打n千字的文稿需要bh． (1)小明和小华在计算机上平均每小时各打多少千字？ (2)小明和小华在计算机上打文稿的时间分别为2h和3h，他们共打文稿多少千字？ (3)如果小明比小华打字快，那么小明比小华平均每小时多打多少千字？ 1．已知，，则的值_____0．（填“”、“”或“”）． 2．观察下列算式：①，②，③，④，… (1)由以上式子可以推出（5）式为_________________． (2)用含字母（为非零自然数）的等式表示（1）中的一般规律为___________________． (3)用以上方法解方程：． 3．定义：分子为1的真分数叫做“单位分数”． 古埃及人在分数运算中普遍使用此类分数，并通过将真分数分解为多个不同单位分数之和进行计算，如：，因此单位分数也称为“埃及分数”． (1)求证：(为正整数，)可以分解为单位分数，的和； (2)观察下列将真分数分解成两个不同单位分数之和的过程： 第1个：， 第2个：， 第3个：， …… 用上述式子反映的规律，将第个真分数分解成两个不同单位分数之和的形式，并证明； (3)借助（1）（2）的结果，试将(为正整数，)分解成不超过3个不同单位分数之和的形式． 4．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $