重点强化1 排列与组合的综合应用-【金试卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册&选择性必修第三册同步单元双测卷（人教A版）

第二部分 重点强化卷 重点强化1排列与组合的综合应用 1.6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为 () A.Ag B.3A C.A·A D.3!·4! 2.某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可 用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原 密 料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有 ( ) A.10种 B.12种 C.15种 D.16种 封 3.班会课上原定有3位同学依次发言.现临时加入甲，乙2位同学 也发言，若保持原来3位同学发言的相对顺序不变，且甲，乙的发 言顺序不能相邻，则不同的发言顺序种数为 () 线 A.6 B.12 C.18 D.24 4.国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团 中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体 打 内 团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问 方式的种数为 ( A.306 B.198 C.268 D.378 不 5.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同， 每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ) 准 A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 設 6.在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且 相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不 答 同的种植方法种数是 () 茶 题 A.1440 B.720 C.1920 D.960 7.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60°的共有 ( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 8.如图，用五种不同的颜色给图中的O,A,B,C,D,E 丝 六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂 部 一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜 色，则不同的涂法种数是 ( ) A.480 B.720 C.1080 D.1200 9.4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不 能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有 ( ) A.12种 B.14种 C.16种 D.24种 10.(多选)3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是() A.共有60种不同的坐法 B.空位不相邻的坐法有72种 C.空位相邻的坐法有24种 D.两端不是空位的坐法有18种 11.（多选)将4个编号分别为1,2,3,4的小球放入4个编号分别为 1,2,3,4的盒子中.下列说法正确的是 A.共有A4=24种放法 B.每个盒子都有球，有A=24种放法 C.恰好有一个空盒，有CC1A=144种放法 D.每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号 相同，有C4A=24种放法 12.（多选)现分配甲，乙，丙三名临床医学检验专家到A,B,C,D,E 五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允 许多人选择同一家医院，则 () A.所有可能的安排方法有125种 B.若A医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种 C.若专家甲必须去A医院，则不同的安排方法有16种 D.若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种 13.（多选)下列说法正确的是 () A.甲、乙、丙、丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有CA种 排法 B.3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有 AA种 C.3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法 共有A4A种 D.3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲 不能排在最左端的排法共有1296种 14.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品 A与产品C不相邻，则不同的摆法有 种。 15.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个 数为 16.将编号为1,2,3且大小相同的三个球放人三个不同的盒子中， 恰有一个盒子是空盒的放法有 17.某学校报告厅每一排都有12个座位，若有4名学生坐在同一排 参加会议，为了预防新冠，要求这4个人不相邻，则不同的坐法 共有 种；若要求同排相邻两人间至少有两个空位.则不 同的坐法共有 种.（用数字作答） 18.某学习小组有4名男生和3名女生共7人. (1)将这7人排成一排，4名男生相邻有多少种不同的排法？ (2)从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有 多少种不同的选派方法？ 19.用0,1,2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有 重复数字的数： (1)五位奇数； (2)大于30000的五位偶数. 选择性必修第三册39 20.袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球. (1)若取出的球必须是两种颜色，则有多少种不同的取法？ (2)若取出的红球个数少于白球个数，则有多少种不同的取法？ (3)取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取4球的总 分大于5分，则有多少种不同的取法？ 40选择性必修第三册 21.如图，一个正方形花圃被分成5份. A B CD E (1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的 花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法； (2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆 栽，问有多少种不同的放法？ 22.(1)如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员 从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走 的路程最短，共有多少种不同的走法？ (2)如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员 从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，已知C地 (十字路口)在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少 种不同的走法？ (3)如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条（注意有一 段DE不通)，一邮电员从该地东北角的邮局A出发，送信到西 南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？ (4)如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知C地 (十字路口)在修路，无法通行，且有一段路程DE无法通行，一 邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要 求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？ 北 东 E D 图1 图2 图3 图4第二部分重点强化卷 重点强化1排列与组合的综合应用 1.D甲、乙、丙三人站在一起有A种排法，把3人作为一个元素与其他3人排列有 A4种排法，故共有A·A4,即3！·4！种排法.故选D 2.C由题意得投放方案可分为以下三类：若选甲原料，则有C=3种投放方案； 若选乙原料，则有2×C3=6种投放方案；若甲、乙原料都不选，则有A=6种投放方 案，故共有3十6十6=15种投放方案，故选C. 3.B在原来三位同学的发言顺序一定时，他们之间会形成4个空位，插入甲，乙2位 同学有A=12种发言顺序.故选B. 4.B由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类： ①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，则有CC号A=108种不同的提问方式： ②选出的3个媒体团中有2个国内媒体团，则有CC3A=90种不同的提问方式， 故不同的提问方式的种数为108+90=198.故选B. 5.A从a,b,c中任选两个排在第一行有A?种方法，则另一个字母在第二行有C种 方法，其余则确定，共有A3·C2=12种方法，故选A, 6.C如图，设5个区域分别是A,B,C,D,E. 第一步：选择1种花卉种植在A区域，则有6种方法可以 A 选择； 第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种花卉种植在B 区战，则有5种方法可以选择； D 第三步：从剩下的4种不同的花卉中选择1种花卉种植在C 区域，则有4种方法可以选择； 第四步：若区域D与区域4种植同一种花卉，则区域E有4种方法可以选择，若区域 D与区域A种植不同种花卉，则区域D有3种方法可以选择，区域E有4种方法可 以选择，故不同的种植方法种数是6×5×4×(1×4十3×4)=1920.故选C. 7.C利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图， 它们的棱是原正方体的12条面对角线. 一个正四面体中两条棱成60°角的有(C%一3)对，两个 正四面体有(C喝一3)X2对.又正方体的面对角线中 平行成对，所以共有(C%一3)×2×2=48对.故选C. 8.D先给O涂色，有5种涂法，再给A涂色，有4种涂 法，再给B涂色，有3种涂法. ①若C与A同色，则有1种涂法，再给D涂色，有3种涂法，最后E有2种涂法. ②若C与A不同色，则有2种涂法，再给D涂色，若D与A同色。则有1种涂法，最 后E有3种涂法，若D与A不同色，则有2种涂法，最后E有2种涂法」 综上，涂色方法种数为5×4×3×[1×3×2+2×(1×3+2×2)]=1200.故选D. 9.B若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A4=24(种)排法，减去甲跑第一棒的 A=6(种)排法，乙跑第4棒的A=6(种)排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒的 A3=2(种)排法，共有A1-2A+A=14(种)不同的出场顺序.故选B 10.ACD对于A,3个人坐在一排5个座位上，共有A=5×4×3=60种不同的坐法， 故A正确； 对于B,先排好这3个人的座位，则有A种排法，然后把2个空位插在3个人中间， 则有C?种插法，故空位不相邻的坐法有CA=36种，故B错误； 对于C,先把2个空位捆绑好，再插到3人中，故空位相邻的坐法有C4A=24种， 故C正确； 对于D,先从3人中抽取2人排好后放在两端，然后第三个人在中间的3个空位中 任取一个，故两端不是空位的坐法有AC3=18种，故D正确，故选ACD. 11.BC对于A,将4个编号分别为1,2,3,4的小球放入4个编号分别为1,2,3,4的 盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球共有44=256种放法，故A错误； 对于B,每个盒子都有球，则共有A1=24种放法，故B正确； 对于C,先在4个球中任选2个，放入1个盒子中，有CC=24种放法，再从剩下的 3个盒子中，任选2个，放入剩下2个小球，有A=6种放法，则共有6×24=144种 放法，故C正确： 对于D,先在4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有C}=4种放法，再将 剩下的3个小球放入编号不同的盒子中，有2种放法，则共有4×2=8种放法，故D 错误.故选BC. 12.AB对于A,每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有53=125种，A正确； 对于B,由选项A知，所有可能的方法有53种。A医院没有专家去的方法有43种， 所以A医院必须有专家去的不同的安排方法有53一43=61种.B正确； 对于C,专家甲必须去A医院，则专家乙、丙的安排方法有52=25种，C错误； 对于D,三名专家所选医院各不相同的安排方法有A=60种，D错误.故选AB. 13.ACD对于A,先排最左端，有C种排法，再排剩余3个位置，有A种排法，则共 有CA种排法，故A正确； 对于B,3名男生相邻，有A种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人全排列，有 A种排法，所以共有AA种排法，故B错误； 对于C,先排4名女生，共有A种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有A 种排法，所以共有AA种排法，故C正确； 对于D,由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻的排法共 有AA种，若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有AA种，所以3名男生 互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有A4A一AA4=1296种，故D正 确.故选ACD. 14.解析先考虑产品A与B相邻，把A,B作为一个元素有A4种摆法，而A,B可交 换位置，故有2A=48(种)摆法，又当A,B相邻又满足A,C相邻，有2A=12(种) 摆法，故满足条件的摆法有48一12=36（种）. 答案36 15.解析要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1,3,5中的一个数，共有3种 排法，然后将剩余的4个数全排列，共有A=24种排法，故由1,2,3,4,5组成的无 重复数字的五位数中奇数有3×24=72个. 答案72 16.解析先从三个球中任取两个（有C3种不同的方法），看作一个大球，与另一个球 看作两个不同球在三个盒子中排列（有A种不同的方法），故恰有一个盒子是空盒 的放法有C3A号=3×6=18种. 答案18 17.解析不相邻问题用“插空法”：4名学生坐12个座位，剩余8个空位如图所示： ○○○○○○○○，有9个空，把4名同学插入这9个空中，有A=9×8X7×6=3 024种排法. 要求同排相邻两人间至少有两个空位，先把四个人全排列有A:种排法，再把每两 人之间插两个空位，有1种排法，再排剩下的两个空位：①剩下的两个空位放在一 起，有C种排法，②剩下的两个空位不放在一起，有C种排法.所以一共有A×1 ×(C+C%)=24×15=360种排法. 答案3024；360 18.解（1)因为4名男生相邻，所以看成一个元素，先将4个元素全排列，再将4名男 生全排列，最后由分步乘法计数原理得7人排成一排，4名男生相邻有A4·A= 576种不同的排法， (2)选出2名男生有C种选法，选出2名女生有C号种选法，然后全排列有A4种排 法，最后利用分步乘法计数原理得共有C·C号·A4=432种不同的选派方法. 19.解(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个数字中取，有5种取法； 取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法； 首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选 取，共有A种不同的排列方法 因此由分步计数原理共有5×8×A=13440(个)没有重复数字的五位奇数， (2)要得偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要得比30000大的五位偶数，可分 两类： ①末位数字从0,2中选取，则首位可取3,4,5,6,7,8,9中任一个，共有7种选取方 法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取，共A。种 取法.所以共有2×7XA8(种)不同情况. ②末位数字从4,6,8中选取有3种选法， 则首位应从3,4,5,6,7,8,9中除去末位所选数字的六个数字中选取有6种选法， 其余三个数位仍有A种选法， 所以共有3X6XA8(种)不同情况. 由分类计数原理，比30000大的无重复数字的五位偶数共有2X7×A+3X6×A =10752(个). 20.解(1)若取出的球必须是两种颜色，则有三种情况： ①1个为白球，3个为红球，共有C6·C=24种取法，②2个为白球，2个为红球，共 有C喝·C=90种取法，③3个为白球，1个为红球，共有C·C=80种取法，.若 取出的球必须是两种颜色，共有24+90十80=194种取法. (2)由题意知可分为两类：取4个白球；取1个红球，3个白球，则取出的红球个数少 于白球个数的取法有C+C4·C=95种. (3)设4个球中有x个红球，y个白球，由题意得x十y=4,2x十y>5,x∈N,y∈N, 有红=？{=3，=4共三种情况. 1y=2,y=1,1y=0, ∴总分大于5分的不同取法有C隆·C号+C·C+C4·C8=115种. 21.解(1)当种5种颜色不同的花时，有A=120种不同的种植方法，当种4种颜色 不同的花时，5种颜色选4种，共有C种不同的选法，从(A,E),(C,E),(B,C)中选 一组种同颜色的花，余下3种颜色全排列，则有CCC3A=360种不同的种植方 法，当种3种颜色不同的花时，5种颜色选3种，共有C种不同的选法，D位置任选 一种，余下2种颜色在(A,E),(B,C)分别种相同颜色，则有CC}A号=60种不同的 种植方法，所以共有120十360十60=540种不同的种植方法. (2)易知7个不同的盆栽有{3,1,1,1,1}、{2,2,1,1,1}两种分组方式，以{3,1,1,1， 1}分组，则有CAg=4200种不同的放法，以{2,2,11,1}分组，则有CC3.A=12 A 600种不同的放法，所以共有4200十12600=16800种不同的放法. 22.解(1)由题意，求A到B的最短路程，则只能向左、向下走，其中向下走5次，向左 走4次，由组合知识可知，不同的走法共有C=126种. (2)若先由A到C,则需向下走3次，向左走2次，有C号种走法，再由C到B,则需向 下走2次，向左走2次，有C种走法，故由A到C再到B共有C%C泾种走法，所以不 经过C共有C一C%C=126-60=66种走法. (3)若经过ED,则由A到D需向下走2次，向左走1次，共有Cg种走法，由E到B 需向下走3次，向左走2次，共有C号种走法，所以经过ED的走法共有C号C3种，故 不经过ED共有C-CC3=126-30=96种走法. (4)由A经过DE到C共有C3种走法，再由C到B需要向下、向左各走2次，共有 C种走法，故由A经过DE到C再到B共有C3C种走法，所以不经过DE也不经 过C的走法共有C一C%C2一CC十C3C2=54种. 重点强化2概率与统计的综合应用 1.解(1)设下周一无雨的概率为P,由题意，P2=0.36,则P=0.6,又随机变量X的 取值为20,15,10,7.5，根据统计表，则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.6×(1 0.6)=0.24.P(X=10)=(1-0.6)×0.6=0.24,P(X=7.5)=(1-0.6)2=0.16. 所以基地收益X的分布列为 20 15 107.5 P 0.360.240.240.16 基地的预期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4(万 元)，所以基地的预期收益为14.4万元. (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)=20×0.6十10× 0.4-a=16-a(万元)，E(Y)-E(X)=1.6-a,综上，当额外聘请工人的成本高于 1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是 否外聘工人均可以， 2.解(1)由频率分布直方图可得20x十0.025×20十0.0065×20十0.003×2×20= 1.所以x=0.0125. (2)①X的可能取值为0,1,2,3,4. 由(1)及巴知可知，每名学生上学所需时间少于20分钟的概率为子， P(x=0)=()广=0PX=1)=C××(）- Px-2》-c(}x()广=品PX=3)-(）广×是-品 p(x-=C()广= 所以X的分布列为 参考答案81