11.1 不等式 导学案--2025-2026学年人教版七年级数学下册

11.1 不等式 一、不等式及其解集 问题 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 设车速是 x km/h. 从时间上看，汽车要在12:00之前驶过A地，则以这个速度行驶50km所用的时间不到h，即 ① 从路程上看，汽车要在12:00之前驶过A地，则以这个速度行驶h的路程要超过50km，即 ② 式子①和②从不同角度表示了车速应满足的条件. · 结论：像和这样用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式. 思考：①5＞3，0＜5；②7≠3，3≠－1；③a是正数可以表示为a＞0；④a是非负数怎么表示呢？ 分析：非负数即正数或0，正数可以表示为a＞0，0可以表示为a＝0，所以非负数就表示为a≥0．“≥”读作大于或等于． 注意：①用“≠”表示不等关系的式子也叫不等式．②不等式中可以含有未知数，也可以不含有未知数．③“≥”读作“不小于”（即大于或等于）；“≤”读作“不大于”（即小于或等于）． 对于不等式， 当x＝80时，；当x＝78时，；当x＝75时，；当x＝72时，. 即，当x取某些值(如80，78)时，不等式成立；当x取某些值(如75，72)时不等式不成立. · 我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 思考 除了80和78，不等式还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？ 可以发现，当x＞75时，不等式总成立；而当x＜75或x=75时，不等式不成立.这就是说，任何一个大于75的数都是不等式的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于75的数都不是不等式的解. 因此，x＞75表示了能使不等式成立的x的取值范围. (包括这个数用实心圆点，不包括用空心圆圈) · 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做解不等式. 练习1 1.用不等式表示： (1) a是正数；______ (2) a是负数；______ (3) a与5的和小于7；_________ (4) a与2的差大于-1；_________ (5) a的4倍大于8；_________ (6) a的一半小于3. _________ 2.下列数中哪些是不等式x+3＞6的解，哪些不是？ -4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12 3.直接说出不等式的解集： (1) x+3＞6； (2) 2x＜8； (3) x-2＞0. 练习2 1．数轴上表示x≥－2正确的是 ( )． 2．写出下列数轴所表示的不等式的解集: 作业1 1．下列数值哪些是不等式2x＋3＞9的解？哪些不是？ －4，－2，0，3，3.01，4，6，100． 2．用不等式表示： （1）a与5的和是正数； （2）a与2的差是负数； （3）b与15的和小于27； （4）b与12的差大于－5； （5）c的4倍大于或等于8； （6）c的一半小于或等于3； （7）d与e的和不小于0； （8）d与e的差不大于－2． 3．写出不等式的解集： （1）x＋2＞6； （2）2x＜10； （3）x－2＞0.1； （4）－3x＜10． 二．不等式的性质(1) 1.根据以下图形写出不等式解集. 注：大于向右，小于向左；有等号为实心，无等号为空心. 2.直接写出下列不等式的解集. (1) x-4＞6；______ (2) 3x＜18. ______ 3.，你能直接得出它的解集吗？ 依据等式的性质1: 如果a=b，那么a±c=b±c. 等式的性质2: 如果 a=b，那么 ac=bc 或(c≠0). 观察归纳 用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律： 5＞3 -1＜3 5+2___3+2 -1+2___3+2 5-2___3-2 -1-3___3-3 8＞-5 -5＜-3 8+(-2)___-5+(-2) -5+6___-3+6 8-(-2)___-5-(-2) -5-7___-3-7 当不等式两边加或减同一个数(正数或负数)时，不等号的方向______. 不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 如果 a＞b，那么 a±c＞b±c. 6＞2 -2＜3 6×5___2×5 (-2)×6___3×6 6×(-5)___2×(-5) (-2)×(-6)___3×(-6) 6＞2 -2＜3 6÷2___2÷2 (-2)÷5___3÷5 6÷(-1)___2÷(-1) (-2)÷(-2)___3÷(-2) 4＞-6 -12＜-9 4×3___(-6)×3 (-12)×(-2)___(-9)×(-2) 4÷(-2)___(-6)÷(-2) (-12)÷3___(-9)÷3 当不等式两边乘(或除以)同一个正数时，不等号的方向________；而乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向________. 不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc(或＞). 不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc(或＜). 填一填 设 a＞b，用“＞”或“＜”填空，并说出根据哪条性质. (1) a+4___b+4；________________ (2) a-1___b-1；________________ (3) -3a___-3b；________________ (4) ___；________________ (5) 2a-5___2b-5；_________________ (6) -3a+2___-3b+2；_________________ (7) +1___ +1；_________________ 例题 利用不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式. (1) x-5＞-1 解：根据不等式的性质1，不等式两边加5，不等号的方向不变， 所以 x-5+5＞-1+5， x＞4 (2) -2x＞4 解：根据不等式的性质3，不等式两边除以-2，不等号的方向改变， 所以 -2x÷(-2)＜4÷(-2)， x＜-2 (3) 7x＜6x+5 解：根据不等式的性质1，不等式两边减6x，不等号的方向不变， 所以 7x-6x＜6x+5-6x，x＜5 (4) 6x＜24 解：根据不等式的性质2，不等式两边除以6，不等号的方向不变， 所以 6x÷6＜24÷6， x＜4 练习3 1.设 a＞b，用“＞”“＜”号填空： (1) a+2___b+2； (2) a-3___b-3； (3) -4a___-4b； (4) ___. 2.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式. (1) -3x＞6-4x； (2) -x＜-6 检测1 1．已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是（ ）． A．ac＞bc B．＞ C．c－a＞c－b D．c＋a＞c＋b 2．如果一个三角形三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是（ ）． A．2＜x＜3 B．0＜x＜5 C．x＞2 D．1＜x＜5 3．已知二元一次方程2x－y＝8，当y＜0时，x的取值范围是（ ）． A．x＞4 B．x＜4 C．x＞－4 D．x＜－4 4．m为任意实数，下列不等式中一定成立的是（ ）． A．＜m B．m－2 ＜m＋2 C．m＞－m D．5m＞3m 5．不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如果＜＜0，那么下列结论错误的是（ ）． A．m－9＜n－9 B．－m＞－n C．＞ D．＞1 7．长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点100 m时，他以4 m/s的速度向终点冲刺，在他身后10 m的李明需要以多快的速度同事开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？ 8．关于x的方程有正数解，求k的取值范围． 不等式的性质(2) 例1 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1) x-7＞26 (2) 3x＜2x+1 (3) x＞50 (4) -4x＞3 解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变， 所以 x-7+7＞26+7 x＞33 解：(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变， 所以 3x-2x＜2x+1-2x x＜1 解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变， 所以 ×x＞×50 x＞75 解：(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变， 所以 ＜ x＜- 像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系. 如图，t≥19℃并且 t≤28℃或(19℃≤t≤28℃) “≥”(读作大于或等于，也可说是不小于) “≤”(读作小于或等于，也可说是不大于) 若a≥b， 则：(1)a±c≥b±c； (2) ac≥bc(或≥)(c＞0)； (3)ac≤bc(或≤)(c＜0) 练习4 1.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1) x+5＞-1 (2) 4x＜3x-5 (3) x＜ (4) -8x＞10 2.用不等式表示下列语句并写出解集，在数轴上表示解集： (1) x的3倍大于或等于1； (2) x与3的和不小于6； (3) y与1的差不大于0； (4) y的小于或等于-2. 检测2 1．是不小于－3的负数，则用不等式表示为（ ）． A． B． C． D． 2．某商品的单价为a元，买50件这样的商品的总费用不高于342元，则下列不等式正确的是（ ）． A． B． C． D． 3．不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知关于的不等式的解集如图所示，则的值等于________． 5．一棵树的年龄通常可以通过测量树干离地1.5米的地方的树围（树干的周长）计算出来．已知某种树栽种时的树围为5 cm，以后每年增加3 cm，这棵树至少生长多少年后其树围才能超过2.4米？设这棵树生长x年后其树围才能超过2.4米，可列的关系为________． 6．某工程兵要完成一件工程的爆破作业，为确保安全，点燃导火线的人应在爆破前离开爆破点至少120 m，若导火线燃烧速度为0.5 cm/s，人离开的速度为5 m/s，问小王至少需要多少厘米的导火线才能保证安全？（用不等式解答） 答案 练习1： 2、3.2，4.8，8，12是不等式x+3＞6的解；-4，-2.5，0，1，2.5，3不是不等式x+3＞6的解. 3、 (1) x＞3；(2) x＜4；(3) x＞2. 练习2： 1.D．2（1）x >－3；（2）x≥2；（3）x <－3；（4）x≤a． 作业1： 1．是不等式2x＋3＞9的解的有：3，3.01，4，6，100． 不是不等式2x＋3＞9的解的有：－4，－2，0． 2．（1）a＋5＞0； （2）a－2＜0； （3）b＋15＜27； （4）b－12＞－5； （5）4c≥8； （6）； （7）d＋e≥0； （8）d－e≤－2． 3．（1）x＞4；（2）x＜5；（3）x＞2.1；（4）． 练习3： 解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加4x，不等号的方向不变， 所以 -3x+4x＞6-4x+4x x＞6 (2)根据不等式的性质3，不等式两边乘-，不等号的方向改变， 所以 -x×(-)＞-6×(-) x＞10 检测1： 1．D． 2．D．3．B．4．B．5．C．6．C．7．4.4 m/s 8．． 练习4： 1、解：(1) x+5-5＞-1-5 (不等式的性质1) x＞-6 (2) 4x-3x＜3x-5-3x (不等式的性质1) x＜-5 (3) 7×x＜7× (不等式的性质2) x＜6 (4) ＜ (不等式的性质3) x＜- 2、解：(1) 3x≥1，解得 x≥ (2) x+3≥6，解得 x≥3 (3) y-1≤0，解得 y≤1 (4) y≤-2，解得 y≤-8 检测2： 1．C． 2．A． 3．C． 4．1．5．． 6．解：设至少需要导火线x cm，则燃烧时间为 s，人离开120 m所需时间为 s． 由题意列不等式，得 ≥．解得x≥12． 故小王至少需要12 cm的导米线才能保证安全． 学科网（北京）股份有限公司 $