精品解析：吉林省长春市长春北湖学校2025-2026学年度下学期九年级第一次阶段性评价 数学学科试卷

长春北湖学校2025-2026学年度下学期九年级 第一次阶段性评价数学学科试卷 满分：120分 时长：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由下列哪个立体图形展开得到的（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. 3 D. 4. 解不等式组时，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 7. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是______． 10. 计算______． 11. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是_________． 12. 如图，边长均为3的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为___________（结果保留）． 13. 如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交 的延长线于点F．若，则的长为______． 14. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，与相交于点G，连接给出下列四个结论： ①； ②； ③C、G两点之间的最小值为； ④当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值： 其中． 16. 长春北湖国家湿地公园是以自然生态、科普教育、休闲娱乐为主要功能的大型湿地公园，公园内“湖水泛金波，飞鸟映霞光”，呈现出一派人与自然和谐共生的景象．小力和小旺约定本周日从学校出发，骑行去长春北湖湿地公园游玩．已知从学校到长春北湖湿地公园的骑行路线有A、B、C三条，小力和小旺各自随机选择一条骑行路线，求两人恰好选择同一条路线的概率． ​ 17. 在一次体育测试中，小红同学在进行女子800米测试时，先以3米/秒的平均速度跑了大部分路程，之后以5.5米/秒的平均速度逐渐冲刺到达终点，成绩为3分零30秒．问小红在冲刺阶段花了多少秒． 18. 如图，在中，，为边上的中线，为外角的角平分线，点在射线上，．求证：四边形为矩形． 19. 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）图①中，画出的圆心； （2）图②中，在边上找到一点，使得平分； （3）图③中，在上找到一点（不与点重合），使得． 20. 某学校开展劳动教育，同学们积极参与．数学社团的同学设计了一份调查问卷，并在活动前、后实施两次调查．活动前随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，绘制成如下的条形统计图（其中A组，B组，C组，D组，E组）．活动开展一个月后，数学社团再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按照同样的分组方法绘制成如下扇形统计图，发现活动后调查的数据C组人数与活动前B组人数相同．请根据图中信息解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中D组所对的圆心角的度数为______； （3）活动前调查数据的中位数落在______组，活动后调查数据的中位数落在______组； （4）若该校共有2400名学生，请根据活动后调查结果，估计该校学生一周课外劳动时间不小于4小时的人数． 21. 某工厂的甲、乙两个工人同时加工某种机器零件，乙在工作了一段时间停产更换设备，更换设备后，乙的工作效率是原来的倍，两人各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图象如图所示． （1）甲的工作效率是______件；图中的值为______； （2）求乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式； （3）当为何值时，甲、乙两人一共加工零件件？ 22. 【知识背景】 如图①、在中，分别以 为边向外作等腰直角 和等腰直角，，连结，可得出，其依据是 ．（填序号） ①；②； ③；④ ；⑤ 【方法探索】 数学课上，老师提出了一个问题：如图②，已知等边，点D是外一点，连接，若 ，求的长． 老师让同学们分组讨论，探索解题的方法.小铭在讨论的过程中想出一个好办法，如图③所示，以为边作等边，连接．请你根据这个解题思路，完善解题过程． 【运用创新】 如图④， 为的直径，，C是上异于A，B 的任一点，连接，点D 是外一点，且，连接．若在点 C 运动过程中，始终有 ，连接，若线段长度的最大值为a，最小值为b，则 的值为 ． 23. 在中，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连接，以为斜边作等腰直角（），使点R与点C在直线的同侧． （1）边的长为_________． （2）当点P为中点时，求点Q到直线的距离； （3）当点R在的边上时，求的长； （4）当点P到直线的距离是点R到直线的距离的3倍时，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，某抛物线的顶点为，并且经过点，点在此抛物线上，其横坐标为，过点作平行轴，且点的横坐标为，连接和，以和为边构造，设的面积为． （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，求的值； （3）作直线，当直线平分的面积时，求出的值； （4）当时，连接、、、，设的面积为，的面积为，若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春北湖学校2025-2026学年度下学期九年级 第一次阶段性评价数学学科试卷 满分：120分 时长：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了有理数的加法．根据异号两数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D 2. 如图，是由下列哪个立体图形展开得到的（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体展开图的识别，根据展开图可知该几何体侧面是三个长方形，上下底面是两个三角形，再根据常见几何体展开图的特点进行判断求解即可． 【详解】解：该几何体侧面是三个长方形，上下底面是两个三角形，则该几何体为三棱柱， 故选B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式，同类项，熟记幂的运算法则和乘法公式是解答本题的关键．分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，同类项合并，完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、和不是同类项，不能进行减法运算，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 4. 解不等式组时，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，并在数轴上表示不等式组的解集即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：A． 5. 已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握“时，随的增大而增大；时，随的增大而减小”是解题的关键．由题意可知，，那么随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：一次函数， ， 随的增大而减小， 图象上两点、，， ， 故选：B． 6. 2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，， ∴．   故选：A ． 7. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质及三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质和折叠的性质得，再由三角形的外角性质得到，然后根据三角形内角和定理解答即可求解，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， 故选：． 8. 如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线, 再由△ADO的面积为1求出y的值即可得出结论． 【详解】过点B作BE⊥x轴于点E， ∵D为OB的中点， ∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE， 设A（x，），则B（2x，）， 故CD=，AD=， ∵△ADO的面积为1， ∴AD•OC=1，， 解得， ∴． 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的系数，根据单项式系数的定义，系数是单项式中的数字因数部分求解即可. 【详解】解：单项式 可表示为 ，因此其系数为 . 故答案为:. 10. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，先将式中的二次根式化为最简二次根式，再合并即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 11. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的度数，再由平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴． 12. 如图，边长均为3的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和问题、弧长公式，先根据正多边形内角和公式计算可得，再由弧长公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵和分别是正六边形和正五边形的内角，且正六边形和正五边形的边长均为， ∴，， ∴， ∵以顶点为圆心，长为半径画弧，得到， ∴的长为， 故答案为：． 13. 如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交 的延长线于点F．若，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平行四边形特性、直角三角形特性、中位线特性求解即可 【详解】∵，， ∴， 又 ∴四边形为平行四边形 又为直角三角形斜边中线 ∴ ∴ 故答案为：5 【点睛】本题考查平行四边形特性、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握这些是本题关键． 14. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，与相交于点G，连接给出下列四个结论： ①； ②； ③C、G两点之间的最小值为； ④当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明，可判断①②，再找到点的运动轨迹，即可判断③，最后根据当与相切时，最大，由切线的性质求出，再利用勾股定理即可判断④． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 如图，取中点，正方形的中心为，连接， ∵点E、F分别在边上， 当两点重合，两点重合时，交于点，此时两点重合， ∴点在以为直径的圆上运动，且运动轨迹为劣弧， ∵，即， 当三点共线时，， 此时，有最小值， ∴，故③错误； 当与相切时，最大， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∴， 连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 则正确的结论有①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值： 其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的每一项因式分解，约分是解题的关键.原式利用除法法则变形，约分后得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 16. 长春北湖国家湿地公园是以自然生态、科普教育、休闲娱乐为主要功能的大型湿地公园，公园内“湖水泛金波，飞鸟映霞光”，呈现出一派人与自然和谐共生的景象．小力和小旺约定本周日从学校出发，骑行去长春北湖湿地公园游玩．已知从学校到长春北湖湿地公园的骑行路线有A、B、C三条，小力和小旺各自随机选择一条骑行路线，求两人恰好选择同一条路线的概率． ​ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．用树状图法得到所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一条路线的结果数为3种， 所以两人恰好选择同一条路线的概率． 17. 在一次体育测试中，小红同学在进行女子800米测试时，先以3米/秒的平均速度跑了大部分路程，之后以5.5米/秒的平均速度逐渐冲刺到达终点，成绩为3分零30秒．问小红在冲刺阶段花了多少秒． 【答案】68秒 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程在行程问题上的实际应用，弄清题意是解决问题的关键． 假设冲刺阶段花的时间为秒，则冲刺阶段路程为米，冲刺前的路程为米，两段路程之和为800米，根据等量关系建立一元一次方程，解一元一次方程，即得到小红在冲刺阶段花的时间． 【详解】解：3分零30秒210秒 设小红在冲刺阶段花了秒，则小红以3米/秒的平均速度跑了秒， 由题意，可得：， 解得：， 答：小红在冲刺阶段用了68秒． 18. 如图，在中，，为边上的中线，为外角的角平分线，点在射线上，．求证：四边形为矩形． 【答案】 证明为的角平分线， ∴． ， ∴， ∵， ∴． ． ． ， 四边形是平行四边形． 为边上的中线， ∴于点． ∴． 四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定定理、三角形外角的定义及性质，由角平分线的定义可得，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，从而可得，推出四边形是平行四边形，再由等腰三角形的性质可得，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 19. 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）图①中，画出的圆心； （2）图②中，在边上找到一点，使得平分； （3）图③中，在上找到一点（不与点重合），使得． 【答案】（1） 如图，点O即为所求： （2） 如图，点D即为所求： （3） 如图点E即为所求： 【解析】 【分析】（1）由为可得为直径，利用格点找出的中点即可得到圆心； （2）利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D； （3）在格点上找到点H，使得，延长交圆于点E，由垂径定理可得，进而可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线和垂线，格点作图，圆周角定理，垂径定理等，掌握格点作图的特点，综合运用上述知识点是解题的关键． 20. 某学校开展劳动教育，同学们积极参与．数学社团的同学设计了一份调查问卷，并在活动前、后实施两次调查．活动前随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，绘制成如下的条形统计图（其中A组，B组，C组，D组，E组）．活动开展一个月后，数学社团再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按照同样的分组方法绘制成如下扇形统计图，发现活动后调查的数据C组人数与活动前B组人数相同．请根据图中信息解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中D组所对的圆心角的度数为______； （3）活动前调查数据的中位数落在______组，活动后调查数据的中位数落在______组； （4）若该校共有2400名学生，请根据活动后调查结果，估计该校学生一周课外劳动时间不小于4小时的人数． 【答案】（1） 补全统计图如下所示：            （2） （3）B、C （4）估计该校学生一周课外劳动时间不小于4小时的人数为1920人 【解析】 【分析】（1）活动后调查的数据C组人数与活动前B组人数相同求出活动前B组的人数，进而求出活动前D组的人数，再补全统计图即可； （2）用乘以扇形统计图中D组的占比即可得到答案； （3）根据中位线的定义求解即可； （4）用乘以活动后一周课外劳动时间不小于4小时的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴活动前B组人数为人， ∴活动前D组人数为人， 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中D组所对的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，， ∵活动前一共调查了50人，将这50人的课外劳动时长从低到高排列，处在第25名和第26名的时长都落在B组， ∴活动前调查数据的中位数落在B组； ∵活动前一共调查了50人，将这50人的课外劳动时长从低到高排列，处在第25名和第26名的时长都落在C组， ∴活动后调查数据的中位数落C组 故答案为：B、C； 【小问4详解】 解：人， ∴估计该校学生一周课外劳动时间不小于4小时的人数为1920人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数等等，正确读懂统计图是解题的关键． 21. 某工厂的甲、乙两个工人同时加工某种机器零件，乙在工作了一段时间停产更换设备，更换设备后，乙的工作效率是原来的倍，两人各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图象如图所示． （1）甲的工作效率是______件；图中的值为______； （2）求乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式； （3）当为何值时，甲、乙两人一共加工零件件？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，甲、乙两人一共加工零件件 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像以及一次函数的应用等知识， （1）根据题意和函数图像求解即可； （2）设乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为，将，求解即可； （3）由（1）易知甲加工零件的数量与时间之间的函数关系式为，结合乙更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为，由题意“甲、乙两人一共加工零件件”列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲加工零件的数量（件）与时间（时）之间的函数图像经过点， ∴（件/时）， ∵乙3小时加工30件， ∴乙的加工速度是：，每小时10件， ∵乙更换设备后，乙的工作效率是原来的2倍． ∴更换设备后，乙的工作速度是：每小时加工（件）， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为， ∵图像过，， 则有， 解得， ∴； 【小问3详解】 由（2）可知，乙更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为， ∵甲的工作效率是件/时， ∴甲加工零件的数量与时间之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， 答：当时，甲、乙两人一共生产件． 22. 【知识背景】 如图①、在中，分别以 为边向外作等腰直角 和等腰直角，，连结，可得出，其依据是 ．（填序号） ①；②； ③；④ ；⑤ 【方法探索】 数学课上，老师提出了一个问题：如图②，已知等边，点D是外一点，连接，若 ，求的长． 老师让同学们分组讨论，探索解题的方法.小铭在讨论的过程中想出一个好办法，如图③所示，以为边作等边，连接．请你根据这个解题思路，完善解题过程． 【运用创新】 如图④， 为的直径，，C是上异于A，B 的任一点，连接，点D 是外一点，且，连接．若在点 C 运动过程中，始终有 ，连接，若线段长度的最大值为a，最小值为b，则 的值为 ． 【答案】知识背景：②；方法探索：；运用创新： 【解析】 【分析】知识背景：根据等腰直角三角形的性质可得，推出，利用即可得出，进而得解； 方法探索：利用等边三角形的性质证明，推出，再根据，求出，利用勾股定理求出，即可解答； 运用创新：过点A作，使，连接．同理知识背景得：，推出，当三点共线，且点C在点O上方时，有最大值，即有最大值，当三点共线，且点C在点O下方时，有最小值，即有最小值，即可解答． 【详解】知识背景： 解：∵ 和是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， 则其依据是②； 方法探索：∵ 和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 运用创新： 如图，过点A作，使，连接． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理知识背景得：， ∴， 当三点共线，且点C在点O上方时，有最大值，即有最大值，如图， ∵， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为； 当三点共线，且点C在点O下方时，有最小值，即有最小值，如图， 同理：线段长度的最小值为； 则 ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，点到圆上距离，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等时解题的关键． 23. 在中，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连接，以为斜边作等腰直角（），使点R与点C在直线的同侧． （1）边的长为_________． （2）当点P为中点时，求点Q到直线的距离； （3）当点R在的边上时，求的长； （4）当点P到直线的距离是点R到直线的距离的3倍时，直接写出的长． 【答案】（1）6 （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形与正方形的判定与性质等知识点，综合运用以上知识点，合理作图分析是解题的关键． （1）运用勾股定理即可求出的值； （2）过Q作于点D，过Q作于点E，先证，再运用相似三角形对应边成比例，求出，最后证明四边形是矩形得出即可； （3）分点R在上和点R在上，两种情况分别作图，运用相似三角形的性质求解； （4）分两种情况分别作图，运用一线三垂直模型，构造全等三角形，建立关于线段的等量关系，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：6． 【小问2详解】 解：如图，过Q作于点D，过Q作于点E， ∵点P为中点，， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点Q到直线的距离为． 【小问3详解】 解：①如图，当点R在上， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点R在上， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 【小问4详解】 解：①如图，过P作于点H，过R作于点G， 则，过P作交延长线于点M， ∵，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，过P作于点H，过R作于点G， 则，过R作交延长线于点M， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，某抛物线的顶点为，并且经过点，点在此抛物线上，其横坐标为，过点作平行轴，且点的横坐标为，连接和，以和为边构造，设的面积为． （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，求的值； （3）作直线，当直线平分的面积时，求出的值； （4）当时，连接、、、，设的面积为，的面积为，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）或且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，二次函数与平行四边形，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）设抛物线解析式为，然后把点代入即可求解； （）由，即，求出或，然后进行分类讨论即可求解； （）先求出直线解析式为，由直线平分的面积，则点在直线上，求出，，然后代入，再解方程即可； （）先由题意得出，，，再根据，得出，然后分当时和当时两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：如图， ∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴，即， 解得：或， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 此时点与共线，不符合题意， 综上可知：当时，求的值为； 【小问3详解】 解：如图， 设直线解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵直线平分的面积， ∴点在直线上， ∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴，， ∴，整理得：， 解得：，， ∴的值为或； 【小问4详解】 解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， 整理得， 解得：或； 当时，， 整理得， 解得：； 当时，共线，不符合题意， ∴， 综上可知：的取值范围为：或且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $