2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训7《三角形的中位线》专题（盐城专版）

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训7 《三角形的中位线》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、三角形中位线的定义 1.连接三角形________的线段叫做三角形的中位线。 2.一个三角形共有________条中位线，三角形的中位线与中线不同，中线是连接三角形一个顶点和它对边________的线段。 二、三角形中位线定理 1.三角形的中位线________于第三边，并且等于第三边的________。 2.在 △ ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，则线段DE是 △ ABC的________，且DE________BC，DE=________BC。 3.三角形中位线定理既可以得到线段的________关系，又可以得到线段的________关系，常用于证明线段平行和线段的倍分问题。 三、中点四边形 1.依次连接任意四边形各边________所得的四边形叫做中点四边形。 2.任意四边形的中点四边形都是________。 3.顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的中点四边形是________。 4.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的中点四边形是________。 5.顺次连接对角线________且________的四边形各边中点，所得的中点四边形是正方形。 6.中点四边形的周长等于原四边形________的长度和，中点四边形的面积等于原四边形面积的________。 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向一：三角形中位线的定义 1.   概念辨析题：以选择题、判断题形式出现，区分三角形中位线与三角形中线，考查对定义关键词的理解，判断某条线段是否为三角形中位线。 2.   基础识图题：在三角形图形中，找出指定三角形的中位线，或根据中点条件确定中位线的数量、位置。 3.易错点考查：混淆中位线 “ 连接两边中点 ” 与中线 “ 连接顶点和对边中点 ” 的概念，是基础题型的常见易错方向。 【应对策略】 （1）牢记核心定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，抓住 “ 两边中点 ” 这一关键条件，与中线严格区分。 （2）熟记结论：一个三角形有3条中位线，中位线在三角形内部，不经过顶点；中线经过三角形顶点，二者端点完全不同。 （3）解题时先找线段端点，判断是否为三角形两边的中点，再确定是否为中位线，避免 ) ( 概念混用。 考向二：三角形中位线定理 1.直接应用求线段长度：已知三角形边长，利用中位线等于第三边一半，求中位线长度；或已知中位线长度，求三角形第三边边长，是最基础的计算题型。 2.证明线段平行/倍分关系：利用中位线 “ 平行于第三边 ” 的性质，证明两直线平行；利用数量关系，证明线段的倍分、相等问题。 3.综合几何计算：结合三角形周长、角度、等腰/直角三角形性质，进行边长推导、角度计算、周长求解，是填空题、解答题常考题型。 4.实际应用问题：结合生活场景（如测量池塘宽度、零件边长），构造三角形中位线模型，解决实际测量、计算问题。 【应对策略】 （1）牢记定理内容：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，同时掌握几何语言表达，快速建立线段平行与数量关系。 （2）解题步骤：先找三角形中点 → 确定中位线 → 定位第三边 → 套用定理推导平行关系或边长数值。 （3）综合题中，学会构造中位线：若题目出现多个中点，优先连接中点构造中位线，将未知线段转化为已知线段的倍分关系。 （4）实际问题中，抽象出三角形几何模型，把实际长度转化为三角形的边，利用中位线定理简化计算。 考向三：中点四边形 1.判定中点四边形形状：给出任意四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等，判断其中点四边形的形状，是选择题、填空题高频考点。 2.逆向推导原四边形特征：已知中点四边形形状（如菱形、矩形、正方形），反推原四边形对角线的性质（相等、垂直、相等且垂直）。 3.中点四边形周长与面积计算：利用中位线定理，推导中点四边形周长、面积与原四边形的数量关系，进行相关计算。 4.综合证明题：结合三角形中位线定理，证明中点四边形的形状、边与角的性质，常出现在几何解答题中。 【应对策略】 （1）牢记核心结论：- 任意四边形的中点四边形都是平行四边形； ① 对角线相等的四边形，中点四边形是菱形； ② 对角线垂直的四边形，中点四边形是矩形； ③ 对角线相等且垂直的四边形，中点四边形是正方形。 （2）抓住解题关键：中点四边形的形状由原四边形的对角线性质决定，无需记忆特殊四边形中点四边形结论，直接分析原四边形对角线关系即可。 （3）周长与面积规律：中点四边形周长=原四边形对角线长度之和，中点四边形面积=原四边形面积的一半，直接套用规律快速解题。 （4）证明题中，连接原四边形对角线，将四边形问题转化为三角形中位线问题，利用定理完成边平行、相等的推导。 【提分小贴士】 1.夯实基础，牢记定义、定理及核心结论，避免概念混淆； 2.多做识图、构图训练，熟练在几何图形中找到或构造中位线； 3.做题时标注中点、中位线，理清线段关系，规范书写几何推理步骤； 4.针对中点四边形，优先分析原四边形对角线，再判定形状，掌握解题核心逻辑。 ) 四．强化基础 （一）选择题 1．如图，DE是△ABC的中位线6cm，那么第三边BC的长为（　　） A．12cm B．14cm C．16cm D．6cm 2．已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则△DEF的周长为（　　） A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm 3．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E为CD边中点，BC＝8cm，则OE的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．2cm 4．已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，那么EF：ED的值是（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：2 D．3：4 5.如图，在△ABC中，AC=8，BC=12，AF交BC于F，E为AB的中点，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，则DE的长为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 6.如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，E，F，G分别是AO，OB，OC的中点，且△EFG的周长为7，则▱ABCD的周长为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝1，点M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段DM，MN的中点，则线段EF长度的最大值为（　　） A．2 B． C．1 D． 9.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是矩形,则该四边形一定是(　) A.对角线相等的四边形 B.等腰梯形 C.菱形 D.对角线互相垂直的四边形 10.如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 （二）填空题 11．如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D、E分别是AB，BC的中点，连接DE、CD，如果DE＝2.5，那么△ABC的周长是　　． 12．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为8m，则A，B间的距离为 　　． 13．已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，连接DE，DF，EF．若DE＝3cm，DF＝4cm，EF＝5cm，则△ABC的面积为 　　cm2． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 　　． 15.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是_______． 16.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.要使四边形EFGH是正方形,则BD,AC应满足的条件是　 .  16．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，∠ABC的平分线交线段DE于点F，若AB＝12，BC＝18，则线段EF的长为　　． 17．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是　　． 18．如图，已知EF是△ABC的中位线，DE⊥BC交AB于点D，CD与EF交于点G，若CD⊥AC，EF＝8，EG＝3，则AC的长为　　． 19．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是　　． 20.如图．在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为_______ （三）解答题 21．如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD，EF （1）求证：CD＝EF； （2）求EF的长． 22.．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE并延长到点F，使EF＝ED，连结CF． （1）四边形DBCF是平行四边形吗？说明理由； （2）DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？并说明理由． 23．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA＝BC． （1）证明：四边形DEFG为菱形； （2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由． 24.如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点． （1）探究1：连接对角线AC，BD由三角形中位线定理及平行四边形的判定定理易得四边形EFGH为 （不需要证明）； （2）探究2：观察猜想： ①当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形； ②当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为矩形． （3）探究3：当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由． 25.如图1,BD,CE是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连接FG,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N. (1)试说明:FG=(AB+BC+AC); (2)如图2,若BD,CE是△ABC的内角平分线,则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并说明理由; (3)如图3,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,则线段FG与△ABC三边的数量关系是　　　　　　.  26．【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题： ①证明：四边形EFGH是平行四边形； ②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形； ③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 五．提分特训 （一）选择题 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P为△ABC外一点，连接AP、BP，点M、N分别为AP、BP的中点，若MN＝2，则BC的长为（　　） A．2 B． C． D．5 2．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°则∠PFE的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 3．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　） A．0.5 B．1 C．3.5 D．7 4．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF＝（　　）度． A．25 B．30 C．45 D．35 5．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 6．如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7.如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 8．如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（　　） A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF 9.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 10.如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 （二）填空题 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE、BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．若∠A＝80°，则∠GFH＝　 　°． 12．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　． 13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF＝3，△OAB的周长是14，则AC+BD＝　 　． 14．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________． 15．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E、F分别为AB、AD的中点，BC＝2，CD＝，则EF的长为 　 　． 16．如图，已知四边形ABCD中，∠A＝90°，M、N分别是AB、BC上的点，E、F分别是DN、MN的中点，如果AD＝6，AM＝2，则EF的长为 　 　． 17．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 　 　时，有EF⊥GH． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E分别是边CA，CB的中点，∠CAB的平分线与DE交于点F，则CF的长为 　 　． 19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为 　 　． 20．如图，将边长为4的等边△ABC沿射线BC平移得到△DEF，点G，H分别为AC，DF的中点，连接GH，点P为GH的中点，连接AP，CP．当△APC为直角三角形时，BE＝　 　． 3． 解答题 21.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形； （2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值． 22.如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点 （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证： （2）如图2，中，，求线段EF的长． 23．（1）【用数学的眼光观察】如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：； （2）【用数学的语言表达】如图2，在中，，点在上，且，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试证明是等边三角形 24．【问题背景】： （1）三角形中位线定理：如图①，在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系； 【知识应用】 （2）如图②，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，， ，，求的度数； 【解决问题】 （3）如图③，在四边形中，点M，N分别为边，的中点，对角线与相交于点E，连接，分别交，于点F，G，．求证：． 25．【问题情境】： 如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接． 【操作探究】： 将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接． （1）如图2，当M是的中点时，求证：； （2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系． 26．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训7 《三角形的中位线》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、三角形中位线的定义 1.连接三角形________的线段叫做三角形的中位线。 2.一个三角形共有________条中位线，三角形的中位线与中线不同，中线是连接三角形一个顶点和它对边________的线段。 二、三角形中位线定理 1.三角形的中位线________于第三边，并且等于第三边的________。 2.在 △ ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，则线段DE是 △ ABC的________，且DE________BC，DE=________BC。 3.三角形中位线定理既可以得到线段的________关系，又可以得到线段的________关系，常用于证明线段平行和线段的倍分问题。 三、中点四边形 1.依次连接任意四边形各边________所得的四边形叫做中点四边形。 2.任意四边形的中点四边形都是________。 3.顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的中点四边形是________。 4.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的中点四边形是________。 5.顺次连接对角线________且________的四边形各边中点，所得的中点四边形是正方形。 6.中点四边形的周长等于原四边形________的长度和，中点四边形的面积等于原四边形面积的________。 【答案】 一、三角形中位线的定义 1.两边中点 2.三；中点 二、三角形中位线定理 1.平行；一半 2.中位线； ∥ ； 3.位置；数量 三、中点四边形 1.中点 2.平行四边形 3.菱形 4.矩形 5.相等；互相垂直 6.对角线；一半 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向一：三角形中位线的定义 1.   概念辨析题：以选择题、判断题形式出现，区分三角形中位线与三角形中线，考查对定义关键词的理解，判断某条线段是否为三角形中位线。 2.   基础识图题：在三角形图形中，找出指定三角形的中位线，或根据中点条件确定中位线的数量、位置。 ) ( 3.易错点考查：混淆中位线 “ 连接两边中点 ” 与中线 “ 连接顶点和对边中点 ” 的概念，是基础题型的常见易错方向。 【应对策略】 （1）牢记核心定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，抓住 “ 两边中点 ” 这一关键条件，与中线严格区分。 （2）熟记结论：一个三角形有3条中位线，中位线在三角形内部，不经过顶点；中线经过三角形顶点，二者端点完全不同。 （3）解题时先找线段端点，判断是否为三角形两边的中点，再确定是否为中位线，避免概念混用。 考向二：三角形中位线定理 1.直接应用求线段长度：已知三角形边长，利用中位线等于第三边一半，求中位线长度；或已知中位线长度，求三角形第三边边长，是最基础的计算题型。 2.证明线段平行/倍分关系：利用中位线 “ 平行于第三边 ” 的性质，证明两直线平行；利用数量关系，证明线段的倍分、相等问题。 3.综合几何计算：结合三角形周长、角度、等腰/直角三角形性质，进行边长推导、角度计算、周长求解，是填空题、解答题常考题型。 4.实际应用问题：结合生活场景（如测量池塘宽度、零件边长），构造三角形中位线模型，解决实际测量、计算问题。 【应对策略】 （1）牢记定理内容：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，同时掌握几何语言表达，快速建立线段平行与数量关系。 （2）解题步骤：先找三角形中点 → 确定中位线 → 定位第三边 → 套用定理推导平行关系或边长数值。 （3）综合题中，学会构造中位线：若题目出现多个中点，优先连接中点构造中位线，将未知线段转化为已知线段的倍分关系。 （4）实际问题中，抽象出三角形几何模型，把实际长度转化为三角形的边，利用中位线定理简化计算。 考向三：中点四边形 1.判定中点四边形形状：给出任意四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等，判断其中点四边形的形状，是选择题、填空题高频考点。 2.逆向推导原四边形特征：已知中点四边形形状（如菱形、矩形、正方形），反推原四边形对角线的性质（相等、垂直、相等且垂直）。 3.中点四边形周长与面积计算：利用中位线定理，推导中点四边形周长、面积与原四边形的数量关系，进行相关计算。 4.综合证明题：结合三角形中位线定理，证明中点四边形的形状、边与角的性质，常出现在几何解答题中。 【应对策略】 （1）牢记核心结论：- 任意四边形的中点四边形都是平行四边形； ① 对角线相等的四边形，中点四边形是菱形； ② 对角线垂直的四边形，中点四边形是矩形； ③ 对角线相等且垂直的四边形，中点四边形是正方形。 （2）抓住解题关键：中点四边形的形状由原四边形的对角线性质决定，无需记忆特殊四边形中点四边形结论，直接分析原四边形对角线关系即可。 （3）周长与面积规律：中点四边形周长=原四边形对角线长度之和，中点四边形面积=原四边形面积的一半，直接套用规律快速解题。 （4）证明题中，连接原四边形对角线，将四边形问题转化为三角形中位线问题，利用定理完成边平行、相等的推导。 ) ( 【提分小贴士】 1.夯实基础，牢记定义、定理及核心结论，避免概念混淆； 2.多做识图、构图训练，熟练在几何图形中找到或构造中位线； 3.做题时标注中点、中位线，理清线段关系，规范书写几何推理步骤； 4.针对中点四边形，优先分析原四边形对角线，再判定形状，掌握解题核心逻辑。 ) 四．强化基础 （一）选择题 1．如图，DE是△ABC的中位线6cm，那么第三边BC的长为（　　） A．12cm B．14cm C．16cm D．6cm 【答案】A 【解析】∵DE是△ABC的中位线，且长6cm，∴BC＝2DE＝12cm．故选：A． 2．已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则△DEF的周长为（　　） A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm 【答案】B 【解析】∵△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，∵D，E，F分别为△ABC各边的中点， ∴△DEF的各边长分别为△ABC的三边长的一半，∴△DEF的周长为（3+4+5）＝6cm． 故选：B． 3．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E为CD边中点，BC＝8cm，则OE的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．2cm 【答案】B 【解析】∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OB＝OD，∵点E是CD的中点，∴CE＝DE， ∴OE是△BCD的中位线，∵BC＝8cm，∴OE＝BC＝4cm．故选：B． 4．已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，那么EF：ED的值是（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：2 D．3：4 【答案】B 【解析】过点C作CH∥AB，交DE于H．∴∠A＝∠ECH（两直线平行，内错角相等）；∴在△AEF和△CEH中，，∴△AEF≌△CEH（ASA）∴EF＝EH （全等三角形对应边相等）；∵CH为三角形BFD的中位线，∴H为DF的中点，∴HF＝HD，∴HD＝HF＝2EF， ∴DE＝HE+HD＝EF+2EF＝3EF，∴EF：ED＝1：3；故选：B． 5.如图，在△ABC中，AC=8，BC=12，AF交BC于F，E为AB的中点，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，则DE的长为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD和△FCD中，∵∠ACD＝∠FCD，CD＝CD，∠ADC＝∠FDC，∴△ACD≌△FCD，∴FC=AC=8，AD=DF，∴BF=BC-CF=4． ∵E为AB的中点，AD=DF，∴DE是△ABF的中位线，∴DE=BF=2．故选A． 6.如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 【答案】C 【解析】如图，连接，，分别是，的中点，是的中位线， ，四边形为矩形，，，点保持不动，的长度始终不变，的长不变，故选：C． 7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，E，F，G分别是AO，OB，OC的中点，且△EFG的周长为7，则▱ABCD的周长为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵E，F，G分别是AO，OB，OC的中点，∴EG＝AC，EF＝AB，FG＝BC，∵AC＝4，∴EG＝2，∵△EFG的周长为7，∴EF+FG＝7﹣2＝5，∴AB+BC＝2EF+2FG＝2×（EF+FG）＝2×5＝10，∴▱ABCD的周长为2AB+2BC＝2×10＝20．故选：C． 8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝1，点M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段DM，MN的中点，则线段EF长度的最大值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，∴ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝2，∴EF的最大值为1．故选：C． 9.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是矩形,则该四边形一定是(　) A.对角线相等的四边形 B.等腰梯形 C.菱形 D.对角线互相垂直的四边形 【答案】D　 【解析】如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG.∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,∴AC⊥BD,即四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形.故选D. 10.如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA）∴BE＝BA，AN＝NE， 同理，CD＝CA，AM＝MD，∴DE＝BE+CD﹣BC＝BA+CA﹣BC＝20﹣8﹣8＝4，∵AN＝NE，AM＝MD， ∴MN=DE＝2，故选：B． （二）填空题 11．如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D、E分别是AB，BC的中点，连接DE、CD，如果DE＝2.5，那么△ABC的周长是　　． 【答案】30． 【解析】∵点D、E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AC＝2DE＝5， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝13+5+12＝30，故答案为：30． 12．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为8m，则A，B间的距离为 　　． 【答案】16m． 【解析】∵点D，E是AC，BC的中点，DE＝8m，∴AB＝2DE＝16（m），故答案为：16m． 13．已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，连接DE，DF，EF．若DE＝3cm，DF＝4cm，EF＝5cm，则△ABC的面积为 　　cm2． 【答案】24． 【解析】∵D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，DE＝3cm，DF＝4cm，EF＝5cm，∴AB＝2EF＝10cm，AC＝2DE＝6cm，BC＝2DF＝8cm，∵AC2+BC2＝100，AB2＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°，∴△ABC的面积＝×6×8＝24（cm2），故答案为：24． 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 　　． 【答案】10． 【解析】∵E，F分别为BC，CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB，∴AB＝2EF＝20，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，∴CD＝AB＝10，故答案为：10． 15.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是_______． 【答案】144° 【解析】∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，∵∠PEF＝18°，∴∠PEF＝∠PFE＝18°．∠FPE＝180°-18°-18°=144°．故答案为：144°． 16.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.要使四边形EFGH是正方形,则BD,AC应满足的条件是　 .  【答案】AC=BD且AC⊥BD　 【解析】满足的条件应为:AC=BD且AC⊥BD.理由:∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点, ∴在△ADC中,HG为△ADC的中位线,∴HG∥AC且HG==AC;同理EF∥AC且EF=AC,EH=BD. 则HG∥EF且HG=EF,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AC=BD,∴EF=EH,∴四边形EFGH是菱形.∵AC⊥BD,EF∥AC,∴EF⊥BD.∵EH∥BD,∴EF⊥EH,∴∠FEH=90°,∴菱形EFGH是正方形. 16．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，∠ABC的平分线交线段DE于点F，若AB＝12，BC＝18，则线段EF的长为　　． 【答案】3 【解析】延长AF交BC于H，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝9，AF＝FH，在△BFA和△BFH中，，∴△BFA≌△BFH（AAS）∴BH＝AB＝12， ∵AD＝DB，AF＝FH，∴DF＝BH＝6，∴EF＝DE﹣DF＝3，故答案为：3． 17．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是　　． 【答案】13或12 【解析】当24是直角边时，由勾股定理得，斜边AB＝＝＝26， ∵M、N分别为CA、CB的中点，∴MN＝AB＝13，当24是斜边时，MN＝AB＝12， 故答案为：13或12． 18．如图，已知EF是△ABC的中位线，DE⊥BC交AB于点D，CD与EF交于点G，若CD⊥AC，EF＝8，EG＝3，则AC的长为　　． 【答案】8 【解析】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，AB＝2EF＝16，∵EF∥AB，CE＝EB，∴DB＝2GE＝6，∴AD＝AB﹣BD＝10，∵CD⊥AC，CE＝EB，∴CD＝BD＝6，在Rt△ACD中，AC＝＝8，故答案为：8． 19．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是　　． 【答案】14 【解析】∵D、E分别为BC、AC中点，∴DE＝AB＝3，DE∥AB，∵E、F分别为AC、AB中点， ∴EF＝BC＝4，EF∥BC，∴平行四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14， 故答案为：14． 20.如图．在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为_______ 【答案】 【解析】延长至，使，连接，作于，平分的周长，，又，，，，，，，，，，，，，故选：． （三）解答题 21．如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD，EF （1）求证：CD＝EF； （2）求EF的长． 解：（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC，∴四边形CDEF是平行四边形， ∴CD＝EF； （2）∵四边形DEFC是平行四边形，∴CD＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴EF＝CD＝＝． 22.．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE并延长到点F，使EF＝ED，连结CF． （1）四边形DBCF是平行四边形吗？说明理由； （2）DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？并说明理由． 解：（1）证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝DE，∴DF＝2DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形； （2）DE∥BC，DE＝BC，理由如下：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC． 23．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA＝BC． （1）证明：四边形DEFG为菱形； （2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由． 解：（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，∴ED∥BC，ED＝BC．同理FG∥BC，FG＝BC， ∴ED∥FG，ED＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵AE＝BE，FH＝BF，∴EF＝HA，∵BC＝HA，∴EF＝BC＝DE，∴▱DEFG是菱形； （2）猜想：AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，理由是：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC， ∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，∴CD＝AC，BE＝AB，∴CD＝BE，在△DCB和△EBC中，∵，∴△DCB≌△EBC（SAS），∴∠DBC＝∠ECB，∴HC＝HB，∵点G、F分别为HC、HB的中点，∴HG＝HC，HF＝HB，∴GH＝HF，由（1）知：四边形DEFG是菱形，∴DF＝2FH，EG＝2GH，∴DF＝EG，∴四边形DEFG为正方形． 24.如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点． （1）探究1：连接对角线AC，BD由三角形中位线定理及平行四边形的判定定理易得四边形EFGH为 （不需要证明）； （2）探究2：观察猜想： ①当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形； ②当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为矩形． （3）探究3：当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由． 解：（1）∵H、G，分别为AD、DC的中点， ∴HG∥AC，HG=AC，同理EF∥AC，EF=AC， ∴HG∥EF且EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形．故答案为：平行四边形； （2）①AC=BD，理由如下： 由（1）知四边形EFGH为平行四边形，又∵H，G分别为AD、DC的中点，∴HG=AC， 同理可知HE=BD，又∵AC=BD，∴HE=HG．∴平行四边形EFGH为菱形，故答案为：AC=BD； ②AC⊥BD，理由如下：由（1）知四边形EFGH是平行四边形， 又∵H，G分别为AD、DC的中点，∴HG∥AC，同理可知HE∥BD，∵AC⊥BD，∴HG⊥HE，∴∠EHG=90°，∴四边形EFGH为矩形，故答案为：AC⊥BD； （3）当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由如下： 当AC=BD时，由（2）①得：四边形EFGH为菱形；当AC⊥BD时，由（2）②得：四边形EFGH为矩形，∴四边形EFGH为正方形 25.如图1,BD,CE是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连接FG,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N. (1)试说明:FG=(AB+BC+AC); (2)如图2,若BD,CE是△ABC的内角平分线,则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并说明理由; (3)如图3,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,则线段FG与△ABC三边的数量关系是　　　　　　.  解：(1)∵BD⊥AF,∴∠AFB=∠MFB=90°,在△ABF和△MBF中∴△ABF≌△MBF(ASA),∴MB=AB,∴AF=MF,同理:CN=AC,AG=NG,∴FG是△AMN的中位线,∴FG=MN=(MB+BC+CN)=(AB+BC+AC). (2)FG=(AB+AC-BC). 理由:如图,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N,∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠MFB,在△ABF和△MBF中∵∴△ABF≌△MBF(ASA),∴MB=AB,AF=MF,同理:CN=AC,AG=NG,∴FG=MN=(BM+CN-BC)=(AB+AC-BC),故线段FG与△ABC三边的数量关系是FG=(AB+AC-BC). (3)如图,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N,∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠MFB,在△ABF和△MBF中,∴△ABF≌△MBF(ASA),∴MB=AB,AF=MF,同理:CN=AC,AG=NG,∴FG=MN =(CN+BC-BM)=(AC+BC-AB).答案:FG=(AC+BC-AB) 26．【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题： ①证明：四边形EFGH是平行四边形； ②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形； ③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 解：（1）证明：∵点E为AC的中点，∴AE=CE，∵在△AED和△CEF中， ∴，∴，，∴，∵点D为AB的中点，∴AD=BD， ∴BD=CF，∴四边形BCFD为平行四边形，∴，，∵，∴，即DEBC，DEBC． （2）①连接AC、BD，如图所示：∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点， ∴，，，，∴，，∴四边形EFGH为平行四边形； ②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形；根据解析①可知，，，四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴，∵，∴，∵， ∴，∴，∴四边形EFGH是矩形；故答案为：垂直； ③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形；根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形，根据解析①可知，，，∵AC=BD，∴，∴四边形EFGH是正方形．故答案为：垂直且相等 五．提分特训 （一）选择题 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P为△ABC外一点，连接AP、BP，点M、N分别为AP、BP的中点，若MN＝2，则BC的长为（　　） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【解析】∵点M、N分别为AP、BP的中点，∴AB＝2MN，∵MN＝2，∴AB＝4，在Rt△ABC中，BC＝＝＝，故选：C． 2．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°则∠PFE的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【答案】D 【解析】∵P是BD的中点，E是DC的中点，∴PF是△DBC的中位线，∴PF＝BC，PF∥BC， ∴∠FPD＝∠CBD＝30°，同理，EP＝AD，EP∥AD，∴∠EPD＝180°﹣∠ADB＝80°．∴∠EPF＝110°，∵AD＝BC，∴EP＝FP，∴∠PFE＝×（180°﹣110°）＝35°，故选：D． 3．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　） A．0.5 B．1 C．3.5 D．7 【答案】A 【解析】∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，在△GAF和△CAF中，， ∴△GAF≌△CAF（ASA），∴AG＝AC＝3，CF＝FG，∴BG＝AB﹣AG＝1，∵CF＝FG，CE＝EB，∴EF＝BG＝0.5，故选：A． 4．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF＝（　　）度． A．25 B．30 C．45 D．35 【答案】A 【解析】∵E，G分别是AD，BD的中点，∴EG是△ADB的中位线，∴EG＝AB，EG∥AB， ∴∠EGD＝∠ABD＝20°，同理可得：FG＝CD，FG∥CD，∴∠DGF＝180°﹣∠BDC＝110°， ∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝130°，∵AB＝CD，∴EG＝FG，∴∠GEF＝×（180°﹣130°）＝25°，故选：A． 5．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】延长BD交AC于H，在△ADB和△ADH中，，∴△ADB≌△ADH（ASA）． ∴AH＝AB＝4，BD＝DH，∴HC＝AC﹣AH＝3，∵BD＝DH，BE＝EC，∴DE＝HC＝，故选：D． 6．如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠FAC，∴∠FAC＝2∠FAE，∵∠FAC＝∠B+∠ACB，∴∠FAE＝∠B， ∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD， ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形， ∴∠DAE＝90°，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C． 7.如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 【答案】B 【解析】如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点， ∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=BC，GF=AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即BC+AD＞EF，∴AD+BC＞2EF，当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上，∴AD+BC＝2EF，所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF．故选：B． 8．如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（　　） A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF 【答案】A 【解析】∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH=1/2AD，EH∥AD，∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，∴GF=1/2AD，GF∥AD，∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D选项不符合题意．故选：A． 9.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，， ∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3， ∴EH5，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN=EH＝2.5，故选：A． 10.如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【解析】延长AF、BC交于点G，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，在△ACF和△GCF中，，∴△ACF≌△GCF（ASA），∴CG＝AC＝7，AF＝FG，∴BG＝CG﹣CB＝3，∵AE＝EB，AF＝FG，∴EF=1/2BG＝1.5，故选：A． （二）填空题 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE、BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．若∠A＝80°，则∠GFH＝　 　°． 【答案】100 【解析】∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠C＝180°﹣80°＝100°，∵G、F分别为ED、EB的中点，∴GF∥DB，∴∠GFE＝∠ABE，同理，FH∥EC，∴∠FHB＝∠C，∵∠EFH是△FBH的一个外角，∴∠EFH＝∠EBC+∠FHB＝∠EBC+∠C，∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝∠ABE+∠EBC+∠C＝∠ABC+∠C＝100°，故答案为：100． 12．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　． 【答案】2 【解析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝OA＝（6﹣2）＝2．∵直角△AOE中，∠OAE＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝4，同理△PHE中，HE＝PH＝2．∴HG＝HE+EG＝2+2＝4．∴在Rt△PHG中，PG＝．故答案是2 13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF＝3，△OAB的周长是14，则AC+BD＝　 　． 【答案】16 【解析】如图，∵点E、F分别是线段AO、BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴AB＝2EF．又∵EF＝3，∴AB＝6．∵△OAB的周长是14，∴AB+OA+OB＝14，即6+OA+OB＝14，∴OA+OB＝8．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA，BD＝2OB．∴AC+BD＝2（OA+OB）＝16．故答案是：16． 14．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________． 【答案】 【解析】∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴EF、FG、EG为三角形中位线，∴EF=BC，EG=AC，FG=AB，∴EF+FG+EG=（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半，同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为×64=16，以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n-1，故答案为：16，64×（）n-1． 15．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E、F分别为AB、AD的中点，BC＝2，CD＝，则EF的长为 　 　． 【答案】 【解析】连接BD，在Rt△BCD中，∠C＝90°，BC＝2，CD＝，则BD＝＝，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝BD＝， 故答案为：． 16．如图，已知四边形ABCD中，∠A＝90°，M、N分别是AB、BC上的点，E、F分别是DN、MN的中点，如果AD＝6，AM＝2，则EF的长为 　 　． 【答案】 【解析】如图，连接DM，∵E、F分别是DN、MN的中点，∴EF＝DM．∵∠A＝90°，AD＝6，AM＝2，∴DM＝＝＝2．∴EF＝．故答案是：． 17．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 　 　时，有EF⊥GH． 【答案】AB＝CD 【解析】连接EG、GF、FH、HE，∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，∴EG＝AB，FH＝AB，EH＝CD，FG＝CD，当AB＝CD时，EG＝FH＝EH＝FG，则四边形EGFH为菱形，∴EF⊥GH，故答案为：AB＝CD． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E分别是边CA，CB的中点，∠CAB的平分线与DE交于点F，则CF的长为 　 　． 【答案】 【解析】延长CF交AB于G，过G作GH⊥BC于H，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵点D，E分别是边CA，CB的中点，∴DE∥AB，AD＝CD，∴∠AFD＝∠FAB，∵AF是∠CAB的平分线，∴∠CAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∴AD＝DF＝CD，∴∠AFC＝90°，在△ACF和△AGF中， ，∴△ACF≌△AGF（ASA），∴AG＝AC＝6，CF＝GF，∴BG＝4， ∵∠C＝90°，GH⊥BC，∴AC∥GH，∴GH＝，BH＝，∴CH＝BC﹣BH＝，∴CG＝＝，∴CF＝CG＝，故答案为：． 19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为 　 　． 【答案】2 【解析】连接DF，AF，EF，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，∴∠B＝∠C＝45°， ∵点G是DE的中点，点F是BC的中点，∴AG＝DG＝EG，AF＝BF，AF⊥BC，∠DAF＝45°，∴∠DAF＝∠B＝45°，∵FG＝AG，∴FG＝DG＝EG，∴△DFE是直角三角形，且∠DFE＝90°，∵∠DFA+∠AFE＝∠BFE+∠AFE＝90°，∴∠DFA＝∠EFB，在△AFD和△BFE中，，∴△AFD≌△BFE（ASA），∴AD＝BE＝2，∴AE＝4，在Rt△ADE中，DE＝＝2，故答案为：2． 20．如图，将边长为4的等边△ABC沿射线BC平移得到△DEF，点G，H分别为AC，DF的中点，连接GH，点P为GH的中点，连接AP，CP．当△APC为直角三角形时，BE＝　 　． 【答案】4或8 【解析】：①当∠APC＝90°时．∵∠APC＝90°，M为AC中点．∴PG＝AG＝CG＝AC＝2．∵PG＝2，点P是线段GH的中点．∴GH＝2PG＝4．即△ABC向右平移4．∴BE＝4． ②当∠ACP＝90°时．∵GH∥BF．∴∠PGC＝∠ACB＝60°．∴∠GPC＝30．∵G为AC中点，AC＝4．∴CG＝2．在Rt△GCP中，∠GCP＝90°，∠GPC＝30°．∴GC＝PG． ∴PG＝2CG＝4．∵点P是线段GH的中点．∴GH＝8即△ABC向右平移8．综上所述，BE＝4或8，故答案为：4或8． 3． 解答题 21.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形； （2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值． 解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵AD⊥BC于点D， ∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB交AC于点E，∴∠BAD=∠ADE，∴∠CAD=∠ADE， 即：∠ADE=∠EAD，∴AE=DE，∴△ADE是等腰三角形； （2）由“三线合一”知：BD=CD，∵BC=12，∴DC=6，∵E为AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE，∴AC=AB=2DE=10，在Rt△ADC中，， ∴AD=8． 22.如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点 （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证： （2）如图2，中，，求线段EF的长． 解：（1）证明：∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA）∴BE=ED，AD=AB，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)； （2）分别延长BE、AC交于点H，∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（ASA） ∴BE=EH，AH=AB=9，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CH=(AH-AC)=2． 23．（1）【用数学的眼光观察】如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：； （2）【用数学的语言表达】如图2，在中，，点在上，且，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试证明是等边三角形 解：（1）证明：是对角线的中点，是的中点，是的中位线， ，同理可得：，，，； （2）如图，取的中点，连接，，是的中点，是的中点， 是的中位线，，，同理可得：，， ，，，，， ，，是的中点，，，，， ，是等边三角形． 24．【问题背景】： （1）三角形中位线定理：如图①，在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系； 【知识应用】 （2）如图②，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，， ，，求的度数； 【解决问题】 （3）如图③，在四边形中，点M，N分别为边，的中点，对角线与相交于点E，连接，分别交，于点F，G，．求证：． 解：（1），； （2）连接，如图所示，∵点E，F分别是边，的中点，∴，， ∴，∵，，∴，， ∴，，∴； （3）证明：取的中点H，连接，．∵M，H分别是，的中点， ∴是的中位线，∴且，同理可得且． ∵，∴，∵，，∴，， ∴，∴，∴． 25．【问题情境】： 如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接． 【操作探究】： 将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接． （1）如图2，当M是的中点时，求证：； （2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系． 解：（1）如图，连接由平移可知，，，， 是的中点，是的中位线，，， ； （2）等腰直角三角形，理由如下：四边形是正方形，，，，，由平移可知，，， ，，，在和中， ，，，，，，是等腰直角三角形； （3）解：，理由如下：由（2）得：，， ，，，即． 26．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 解:（1)如图所示，连接，∵，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线，∴， ∴，∴四边形是平行四边形；如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形，根据中位线性质得到，，∴，同理可得，∴四边形为平行四边形，又∵四边形是菱形，∴，则，∴平行四边形为矩形； （2）四边形为菱形．证明如下：连接，，如图2所示：∵和为等边三角形，，，，∴，，在和中， ，，，，，，分别是边，，，的中点，是的中位线，是的中位线，是的中位线，，，，，，，， 四边形是平行四边形；，，四边形为菱形； （3）如图3，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，∴的最小值，∵四边形是正方形，∴，∵M，E分别是的中点，∴，同理可得， ∴；又∵M，N分别是的中点，∴，，∴，∴的最小值，同理可得的最小值，∵四边形是正方形，∴，，， ∴，∵N，F分别是的中点，∴，∴；∴，∴． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $