【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养月度测评（一）（全国通用）

2025一2026学年度下学期学科素养月度测评 高三数学（一） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知a=(-1,2),b=(1,1),则a-b= () A.√5-√2 B.1 C.√5 D.5 2.已知a十bi(a,b∈R)是关于x的方程x2十2x十c=0(c∈R)的一个虚根，则a=() A.-2 B.2 C.-1 D.1 3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点P(一3,4)在角α的终边 上，则sim(日 -2a () 7 24 24 A.25 B.- 25 C.2 D.一25 4,已知椭圆C1:12十3 x2,y2 1的两个焦点与椭圆C2:m2人" +16=1(m>0)的两个焦点构成正 方形的四个顶点，则m A.7 B.5 C.7 D.5 5.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x十y)-[f(x)+f(y)]=2024,则 A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)+2024是奇函数 D.f(x)十2024是偶函数 6.中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理，若随机变量~B(,p),则当 np>5且n(1一p)>5时，可以由服从正态分布的随机变量？近似替代，且￡的期望与 方差分别与？的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地分布均匀的骰子2500次，利用 正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数小于1300的概率为（附：若？~N(4,o2), 则P(μ-o<<μ十σ)≈0.6827，P(μ-2o<<+2o)≈0.9545，P(μ-3o<7<μ+3o） ≈0.9973) () A.0.0027 B.0.5 C.0.8414 D.0.9773 高三数学试题（一）第1页（共4页） 学科素养 7.已知函数fx)=Asin(十p)A>0,u>0,g<)的部分图象如图所示，若方程 班级 7π f(x)=2m在一12,0上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 姓名 得分 12 A.(-2,-1] B(-1.- 1. -2’2 8.将一个圆柱整体放入棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，圆柱的轴线与正方体的 体对角线A1C重合，则圆柱底面圆的半径的取值范围是 ( Ao &6,2 c. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中是真命题的是 () A.数据：1,2,3,4,5,6,7,8,9,11的90%分位数是10 B.已知向量m=(x,1),n=(y,-1),命题“3x,y>0,使m,n平行”的否定是“Vx,y >0,m,n平行” C.设a,b∈R,则“|a>b”是“a>b”的必要不充分条件 D,奇函数f)=-上在定义域上单调递指 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点，动点P在C上，若定点 M(2,√3)满足|MF=2OF|,则 () A.C的准线方程为x=一2 B.△PMF周长的最小值为5 C.直线MF的倾斜角为 D.四边形OPMF不是平行四边形 11.如图，由函数y=e-e+1与y=ln(x十e一1)的部分图象可得一条封闭曲线T,则() A.T有对称轴 B.T的弦长的最大值为2√2 C.直线x十y=t被T截得弦长的最大值为√2(e一2) D.T的面积大于2e-4 月度测评 高三数学试题（一）第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合A={a,2,-1},B={yly=x2,x∈A},若AUB的所有元素之和为12，则实 数入= 1 13.在正项数列a.}中，a1=1,a2+1一a=1,记.=a,十1)a+1十1)a,十a,+)若整 数m满足1g(102o23+1)<m<1g(102o24+1),则数列{bn}的前m项和为 14.在△A1B1C1中，若点M1,N1,P1分别在边A1B1,B1C1,C1A1上（均不与端点重合）， △A1M1P1,△B1M1N1,△CN1P1的外接圆交于一点O,则称O为密克点.在梯形 ABCD中，∠B=∠C=60°，AB=2AD=2,M为CD的中点，动点P在边BC上（不包含 端点)，△ABP与△CMP的外接圆交于点Q(异于点P),则BQ的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 15.(13分)已知函数fx)=e-x十2ax2. (1)当a=1时，判断f(x)的单调性； (2)若f(x)只在x=0处取得极小值，且无极大值，求实数a的取值范围. 16,(15分)已知双曲线C:无2-1a>0,b>0)实轴的两个瑞点分别为A(-a,0) A2(a,0),右焦点为F,离心率为2，过A1的直线l与C交于另一点B(x,3),且 △A1BF的面积为2 (1)求C的方程. (2)若过点F的直线'与C交于M,N两点，则直线A1M与直线A2N的交点Q是否 在定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由. 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，E,F分别为PA,PC的中点， 且平面PBD⊥平面BEF,平面BEF和平面ABCD不垂直. (1)证明：PA=PC. (2)若PB=√2PD,当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求平面PAB与平面BEF夹角 的余弦值. 高三数学试题（一）第3页（共4页） 学科素 18.(17分)某市举办的足球联赛自开赛以来，凭借多个地级市队伍同台竞技的独特赛制引 发全民热议.为了解不同性别的观众对该场联赛的关注程度，某机构在全市随机抽取 了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为3：2，在抽取的男性居民中，有 观看了这场联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场联赛. (1)用频率估计概率，在全市居民中，随机抽取5人，记这5人中观看了这场联赛的人数 为X,求X的期望. (2)用频率估计概率，样本估计总体，按样本中的性别比例用分层随机抽样的方法在全 市居民中随机抽取5人，求恰有2人观看了这场联赛的概率. (3》现定义：LR(B1A)=P(BA),其中A,B是随机事件.现从这5O0名居民中任选1 P(BA) 人，M表示“该居民观看了这场联赛”，N表示“该居民是女性”，设观看这场联赛与 性别的相关程度的一项度量指标=LR(NM ,请利用样本数据求出k的值. LR(NM) 19.(17分)给定正整数m,n(2≤m≤n),设a1,a2,…,am是从1,2，…，n中任取m个互不 相同的数构成的一个递增数列.对Hi∈{1,2，…，m},如果满足当i是奇数时，a:是奇 数；当i是偶数时，a:是偶数，就称a1,a2,…,am为“W数列” (1)若m=3,n=5,写出所有“W数列”. (2对任意w数列”ae,,e1≤m,正明，2“∈1,2m}c注 [x]表示不超过x的最大整数). (3)确定“W数列”的个数. 养月度测评 高三数学试题（一）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度下学期学科素养月度测评高三数学（一） 命题要素细目表 关键能力：I.逻辑思维能力Ⅱ.运算求解能力Ⅲ.空间想象能力Ⅳ.数学建模能力V.创新能力 核心素养：①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 关键能力 核心素养 预估难度 题号 题型 分值 考查内容 Im N V ①②③④⑤ ⑥ 等级系数 1 单选题 向量的减法运算及模长 易 0.85 单选题 5 复数与一元二次方程 0.85 3 单选题 二倍角余弦公式应用 易 0.80 4 单选题 5 椭圆的相关计算 √ 易 0.80 5 单选题 5 函数奇偶性的判断 √ √ 小 中 0.65 6 单选题 5 中心极限定理的应用 √√W 0.60 7 单选题 5 根据三角函数零点个数求参数 0.55 范围 单选题 立体几何的应用 √W 华 0.45 9 多选题 6 命题真假的判断 0.80 10 多选题 6 抛物线的综合应用 中 0.55 多选题 6 由方程研究曲线的性质 √ L 难0.40 填空题 有关集合的运算 L 易 0.80 13 填空题 利用定义求等差数列通项公式， 0.60 裂项相消法求和 14 填空题 余弦定理解三角形 难 0.35 15 解答题 13 利用导数研究函数的单调性与 易 0.70 极值 16 解答题 15 根据离心率求双曲线方程，定直 中 0.65 线问题 四 17 解答题 15 线面垂直证明线线垂直，二面角 中 的向量求法 0.55 18 解答题 17 条件概率的综合应用，新定义 概率 小 0.50 19 解答题 17 新定义数列 难 0.35 高三数学答案（一）第1页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★将一个圆柱整体放人棱长为1的正方体ABCD-A,B1C1D1中，圆柱的轴线与正方体的体对角线A1C重 合，则圆柱底面圆的半径的取值范围是 () (6 a6.24） co） 【试题解读】 本题是立体几何与空间想象的优质小题，以正方体为载体，考查圆柱轴线与体对角线重合时底面半径的取 值范围.核心在于将空间问题转化为平面截面问题，需分析圆柱与正方体各面的相切临界状态，对空间构图、截 面分析能力要求高.选项梯度合理，计算量适中，既考基础几何性质，又重空间转化思维，区分度强，是检验空间想 象与逻辑推理的好题 ★如图，由函数y=e一e十1与y=ln(x十e一l)的部分图象可得一条封闭曲线T,则 () A.r有对称轴 B.T的弦长的最大值为2√2 C.直线x十y=t被T截得弦长的最大值为W2(e一2) D.T的面积大于2e-4 【试题解读】 本题是函数与解析几何结合的题，以互为反函数的y=e*一e十1与y=ln(x十e一l)为背景，考查封 闭曲线的对称性、弦长与面积.设计巧妙，选项梯度分明：A,B靠反函数对称性与特殊点快速判断；C,D需 联立方程、用弦长公式和定积分求解，区分度高.既考基础概念，又重数形结合与运算能力，是检验数学素 养的好题 ★(17分)某市举办的足球联赛自开赛以来，凭借多个地级市队伍同台竞技的独特赛制引发全民热 议.为了解不同性别的观众对该场联赛的关注程度，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民 与女性居民的人数比为3：2，在抽取的男性居民中，有号观看了这场联赛，在抽取的女性居民中，有100人 没有观看这场联赛， (1)用频率估计概率，在全市居民中，随机抽取5人，记这5人中观看了这场联赛的人数为X,求X的 期望 (2)用频率估计概率，样本估计总体，按样本中的性别比例用分层随机抽样的方法在全市居民中随机抽取 5人，求恰有2人观看了这场联赛的概率. 《3)现定义：LR(B引A)=P(B|A),其中A,B是随机事件，现从这50名居民中任选1人，M表示“该居 P(BIA) 民观看了这场联赛”，N表示“该居民是女性”，设观看这场联赛与性别的相关程度的一项度量指标k= LR(NM,请利用样本数据求出的值。 LR(NM) 【试题解读】 本题是概率统计综合题，结构清晰、梯度合理、贴近生活、考查全面.(1)、(2)问立足二项分布、分层抽 样与古典概型，基础扎实，易上手，能检验核心公式与计算能力；(3)问引入新定义LR(B|A),考查信息迁 移与条件概率，区分度高，体现“学以致用”，题目数据设计合理，计算量适中，既考基础又考思维，能有效区 分不同层次学生 高三数学答案（一）第2页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 一、选择题 1.C【解析】由题得a-b=(-2,1),所以a-b= 即T=所以。-2 √4+I=√5. 所以f(x)=2sin(2x+p). 2.C【解析】因为a+bi(a,b∈R)是关于x的方 由fx)的图象过点(22小，得2sn(2x登+p） 程x2+2x十c=0(c∈R)的一个虚根，所以a-bi (a,b∈R)是关于x的方程x2+2x十c=0(c∈ 2,故2×十g-+2x,k∈，解得9=号十 R)的另一个虚根，所以一2=a十bi+a-bi,解得 2kx,k∈乙，又p<2,所以g=5, a=-1. -3 3.B【解析】由题意知，cosa= 3)+4= 所以f)=2sim(2z+） 5 所以sin(号-2a）=cos2a=2cosa-1=2X 令=2+则当e[时=2+ ∈[哥断以方和f)=2m在 7π (←}-1-0 120上 有两个不相等的实数根，即方程2sint=2m在 4.A【解析】根据题意，C1的两个焦点分别为 5ππ (3,0),(一3,0)，C1的两个焦点与C2的两个焦 6'3 上有两个不相等的实数根，等价于函 点构成正方形的四个顶点，所以C2的两个焦点 5元，元上 数y=sint的图象与直线y=m在6,3] 分别为(0,3)，(0，-3)，所以16-m2=9,又m> 0,解得m=√7. 有两个交点.画出y=sint,t∈ 5.C【解析】已知f(x+y)-[f(x)+f(y)]= m的图象如图所示， 2024,令x=y=0,可得f(0)=-2024.令y= y=sin t 一x,则f(0)一f(x)一f(-x)=2024,所以f(-x) =一f(x)一4048，则f(x)既不是奇函数也不是 偶函数，且f(-x)十2024=-[f(x)十2024， -y=m 所以f(x)十2024是奇函数. 6.D【解析】骰子向上的点数为偶数的概率p= 2 由图可知，实数m的取值花围足（一1，一哥 故B(250,2）,里然p=1-p)=2500× 8.C【解析】如图，作出正方体ABCD-A1B1C1D1 的两个全等且平行的正三角形截面EFG, 2>5,其中E(g)==1250,D()=(1-p) E1F1G1,则圆柱的两个底面是△EFG,△E1F1G 的内切圆，设A1F=a(0<a<1),△EFG, 625,故7~N(1250,252),则μ+2o=1250+50= △E1FG1内切圆的半径为r,则FG=√2a,所以 1300,由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的 16 点数为偶数的次数小于1300的概率为0.5十 1 2GX3-a,0，F=8r=5 a,所以 0.9545≈0.9773. 7.B【解析】由题图得A=2,4=3一24’ Tππ.π 圆柱的高为h,又正方体的体对角线为√十1十1 高三数学答案（一）第3页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 -5,所以-5-2。，甲有=后-2w,里然当 以直线MF的领斜角为行，故C正确；过点M 圆柱的两底面圆逐渐靠近时，半径越来越大，令= y2=4x, 作OF的平行线，交C于点P,即 解得 y=√3， V3-2√2r=0,解得r= 6 4 所以圆柱底面圆的半径 的取值范是0,4 6 y=√5， ≠|OF|,所以四边形OPMF不是平行四边形， C 故D正确. E BL 二、选择题 11.ACD【解析】由y=e-e+1,可得e=y+e 9.AC【解析】对于A,因为10×90%=9，所以 1,所以x=ln(y十e-l),所以y=e2-e十1的反 90%分位数是9+1=10，故A正确： 函数为y=ln(x十e一l),即两函数的图象关于直 2 对于B,命题“了x,y>0,使m,n平行”的否定是 线y=x对称，故A正确；联立y=e-e十1，可 ly=x, “Hx,y>0,m,n不平行”，故B错误； 得e-e十1=x,令h(x)=e-x-e十1，所以 对于C,令a=一3，b=2,满足|a|>b,但不能推 h'(x)=e-l,可得h(x)在(-∞，0)上单调递 出a>b;反之，若a>b,则|a|≥a>b,可推出 减，在(0，十∞)上单调递增，又h(-2)>0, |a>b,所以“|a|>b”是“a>b”的必要不充分 条件，故C正确； h(-1)=1+2-e<0,hq)=0,所以h()在 e 对于D,fz)=x在(-∞，0)和(0，+∞)卫 (-2,-1)上有一个零点x0,另一个零点为1， 所以A(1,1),B(x0yo),所以AB|= 都单调递增，但在定义域上不是单调递增的，比 √2(1-x0)>2√2，故B错误；x十y=t与曲线 如f(一1)=f(1)=0,故D错误. T的对称轴即直线AB垂直，如图，只需考察曲 10.BD【解析】由意喜得F(台，0，准线方程为 线y=e2一e+1上的点P到直线y=x的距离 的最大值即可，即找出与曲线y=e2-e十1相 x=-2,又MF1=21OF, 切且与AB平行的直线，设切点为P。,令 f(x)=e-e十1，则f'(x)=e,令f'(x)=1, 所以份-2+0--2x号脚3p+ 解得x=0,此时P。(0,2-e),则点P。到直线 80-28=0,解得=2或p=-号（合去)，所以 y=x的距离d=e-2 所以直线x十y=t被T √2 C:y2=4x,准线方程为x=一1，焦点为 截得弦长的最大值为√2(e一2)，故C正确； F(1,0),故A错误；过点P作准线x=一1的垂 线，垂足为H,由抛物线的定义可知|PH|= |PF,所以△PMF的周长L=|PM+ MF+PF=PM+MF+PH= |PM|+|PH|+2≥3+2=5，当且仅当M,P, P p H三点共线时等号成立，所以△PMF周长的最 小值为5，故B正确；因为Mr= 2-,所 √3-0 1 Sr>2SAPn =2X 2 (e-2)an-= 高三数学答案（一）第4页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 (e-2)(1-x)>2(e-2),-2<xo<-1,故D 形，故其外接圆半径R=AD=1,在△ABD中，由 正确， 余弦定理可得BD=√22+12-2X2X1Xcos120° 三、填空题 =√7，所以BQ的最小值为√7一1. 12.一3【解析】由题意，可知入≠一1且≠2，当 x=入时，则y=λ2；当x=2时，y=4;当x=-1 时，y=1;若入=1或一2，则B={1,4},此时 AUB的所有元素之和不为12，不符合题意，舍 去；若λ≠1且入≠一2，则B={1,4,λ2}，故入2十 λ十6=12，解得入=一3或入=2（舍去）.综上所 述，入=-3. 四、解答题 1号【解析】因为a=1,21-a=1,所以 15.解：(1)由题意，f'(x)=e-1十x, 因为y=e,y=x一1在R上单调递增， {a}是以1为首项，l为公差的等差数列，所以a员 所以f'(x)在R上单调递增， (2分) =a号十(n一1)·1=n,又因为{am}为正项数列， 又f'(0)=e°-1=0， 所以an=√n。 所以当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0,f(x)单调 递减；当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调 所以b.=an十1)an+1+1)am十ar+1） 递增， 1 所以f(x)的单调递减区间为(-一∞，0)，单调递 (m+1)(Wn+1+1)(n+√n+1) 增区间为(0，十∞). (6分) √n+I-√n 1 1 (2)由题意，f'(x)=e+ax-1,可得f'(0)= +1)(/a+i+10元+1++1 e°+a·0-1=0, 因为m满足lg(10223+1)<m<1g(10224+1), 由题可知，f'(x)在R上单调递增. (8分) 且2023<1g(102023+1)<2024,2024< 令g(x)=e+ax-l,则g'(x)=e+a≥0恒 1g(102024+1)<2025,所以整数m=2024. 成立， 所以S2024 1-1+1 1 当a≥0时，g'(x)=e十a≥0，符合题意；(10分) √+1√2+1√2+1√3+1 当a<0时，令g'(x)=e十a=0,解得x= 1 1 1 In(-a); √3+1√4+1 √2024+1√W2025+1 当x∈(-∞，ln(-a))时，g'(x)=e十a<0, 11 1111 不符合题意。 (12分) 2√2025+124623 综上，实数a的取值范围为[0，十o∞).(13分) 14.√7-1【解析】如图，延长BA,CD交于点E, 16.解：(1)由题意得C=2,所以c=2a, 则由题可知△EBC为正三角形， E 则|AF|=a十c=3a, 则Sa4即=2×3aX3=9a=9， 1 F2a=2,解得a=1, 所以c=2,b=√c2-a2=√/22-1g=√3， 所以C的方程为x- 31. (4分) (2)点Q在定直线上. (5分) 由题设结论可知△ABP,△CMP,△AME的外 若直线'与x轴重合，则点M,N为C实轴的 接圆有唯一公共点，该公共，点即为题中的点Q, 端点，不符合题意，所以直线'不与x轴重合. 故，点Q在△AME的外接圆上，又由题AD= 设直线'：x=my+2,M(x1y1),N(x2,y2), DM=1,∠BAD=∠ADM=180°-∠BCD= 联立 [x=my+2, 120°，所以∠AMD=30°，故∠EAM=180° 3x2-y2=3, ∠AMD-∠AED=90°，所以△AME是直角三角 得(3m2-1)y2+12my+9=0, 高三数学答案（一）第5页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 所以△=(12m)2-4(3m2-1)·9 =36m2+36>0, 12m 9 y1十y2= 3m2-1'y1y2=3m2- (9分) 又直线AM的方程为y=十7+1)，直线 则A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0, A2N的方程为yy2x1)y (11分) -1,0) 联立直线A1M与直线A2N的方程， 由(1)可知，点P在yO2平面内，设P(0,y0,之o), 可得+1_y(1十1)y,my1十3) 由|PB|2=2|PD|2, x-1y1(x2-1)y1(my2+1) 即(y0-1)2+z8=2(y0+1)2+2z6,即(y0+3)2 myiy2+3y2 十x8=8, myiy2+y 9m 12m 当P-ABCD的体积最大时，zo=2√2，(8分) =3m21+3( 3m2-1-y1 9m 此时P0,-3,2,则E(分，2)， 3m2-1十y灯 27m F←-w2 =3m2-1-3y1 9m =一3，解得x= 2 3m2-1+y1 则F应=1,00.成-（侵-2）a (-1,1,0) (9分) 所以点Q在定直线2一上。 (15分) 设平面PAB的法向量为m=(a,b,c), 17.(1)证明：连接AC与BD交于点O,连接OP与 m·AB=0, 「-a+b=0, EF交于点Q,连接BQ,过点D作DH⊥BQ 则 即15 m…Bi=0,2a-6+Ec=0, 于H, 由平面PBD⊥平面BEF,且平面PBD∩平面 令a=1,则平面PAB的一个法向量为m=(1, BEF=BQ,DHC平面PBD, 1,W2) (11分) 故DH⊥平面BEF, 设平面BEF的法向量为n=(x,y,之)， 由于EFC平面BEF,所以DH⊥EF;(2分) (n·FE=0, x=0, 因为E,F分别为PA,PC的中点，因此EF∥ 则 即15 AC,因此DH⊥AC. (4分) n…B2=0,2x-2y+2x=0, 由底面ABCD为正方形可知AC⊥BD,因为 令之=5，则平面BEF的一个法向量为n=(0, DH∩BD=D,DH,BDC平面PBD, 2√2,5)， (13分) 所以AC⊥平面PBD, (5分) 因为POC平面PBD,所以AC⊥PO, 则oama-lias 7√66 66, 因为O为AC的中点，所以PA=PC. (6分) 即平面PAB与平面BEF夹角的余弦值为 766 66 (15分) 18.解：(1)由题意得，样本中有300名男性居民，其 中200人观看了这场联赛；有200名女性居民， 其中100人观看了这场联赛， (2)解：不妨设AB=√2，以O为坐标原点，OA 所以样本中，观看了这场联赛的频率为 为x轴，OB为y轴，建立如图所示的空间直角 200+1003 坐标系， 500 -51 高三数学答案（一）第6页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 用频率估计概率，则X服从二项分布，即X~ 19.(1)解：“W数列”如下：1,2,3；1,2,5；1,4,5；3， B,》, 4,5. (3分) (2)证明：因为ak≤n,k≤m, 故E(X)-5X3 =3. (4分) 若k=2p-1(p∈N*),则a.=2g-1(g∈N*), 此时十6_29-1+2p-1 2 2 (p十q)-1; (2)在分层随机抽样中，男性抽取5X亏 =3人， 因为2q-1≤n,2p-1≤m,所以(p+q)-1≤ 2 女性抽取5× =2人， a.m (6分) 男性观石的概率为号，女性现看的概率为 若k=2p(p∈N·),则a。=2q(q∈N*), (6分) 此时24十k_2g+2中 2 =力十q, 2 “恰有2人观看”包含3种情况： 男性2人性人.c(号)（日）×c(分)'(》 因为24≤，20≤m,所以p十≤"。 =3 0+ 男性1人女性1人.c()'()×c(分)'(》 所以∈，2…》 m+n 2 (9分) (3)解：定义fa1ag…,an)=数列十1 2 9 ×2x2×2 a2十2 m十m 2 ，…, 男性0人女性2人.C()'(日)》'×c(2)》广() 2, 显然2}月 2 {1,2，…，n}, =1X1×27 1×4×1=108 且数列士1≤k≤m)单道增，所以 1 故恰有2人观看了这场联赛的概率为。十？ a十k)Q≤k≤m)是w数列”， 2 (11分) 125 108108 (11分) P(MN) 100 记Q表示从1,2，士丹中任取m贸构成 (3)因为P(N|M)= P(M) 200+100 -3 的单调递增数列的全体， 对于Q中的任意数列b1,b2,…,bm,令a=2be P(NIM)= P(MN) 200 2 P(M) 200+1003, -k(k=1,2,…,m), 所以LR(NIM)=PNIM1 因为bk+1>bg,所以bs+1≥b十1， P(NM)2 于是a+1一ak=(2bk+1一飞-1)-(2b&一k)= 2(bs+1-b)-1≥1， 因为P(NM)= P(MN) 1001 P(M)100+1002, 所以a1,a2,…,am是单调递增数列，(14分) P(N1M)=P(MN)=1001 又因为ak十k=2b。为偶数，所以a。与及同奇 P(M)-100+100=2, 同偶， 所以LR(NIM)=PNIM-=L. 所以a1,a2,…,am是“W数列”， P(NIM) 所以任一“W数列”与Q中的m个元素的子集 所以E=LR(NIM)1 一一对应， LR(NIM)2 (17分) 综上，“w数列”的个数为C判· (17分) 高三数学答案（一）第7页（共7页）