精品解析：华大新高考联盟2026届高三下学期9月教学质量测评数学试题

华大新高考联盟2026届高三9月教学质量测评 数学 命题：华中师范大学考试研究院 本试题卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置. 2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效. 3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效. 4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 对武汉某高中高二年级学业水平合格性考试的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则该年级学生数学成绩的分位数的估计值是（ ） A. 70 B. 80 C. 84 D. 85 5. 函数的图象的对称中心不可能是（ ） A B. C. D. 6. 已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 7. 设圆的半径为为圆上的动点，且圆心到弦的距离为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 8. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，是圆直径，为圆上异于的任意一点，且平面，则（ ） A. B. 平面 C. D. 和不是异面直线 10. 设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（ ） A. 以为直径的圆与直线相切 B. 是钝角 C. 的最小值是4 D. 若，则直线的斜率为 11. 已知分别为三个内角的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程是__________. 13. 设正项等比数列的前项和为.若，则公比__________. 14. 袋中装有除颜色外均相同的4个红球､3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.设随机变量为取到红球时的次数，则的数学期望__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究每天喝咖啡与失眠的关系，从某社区人群中随机调查了1000人，得到如下列联表（单位：人）： 喝咖啡对睡眠的影响结果 失眠 不失眠 合计 每天喝咖啡 120 380 500 不每天喝咖啡 80 420 500 合计 200 800 1000 （1）记每天喝咖啡的人中患失眠的概率为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析每天喝咖啡是否与失眠有关. 附： 01 0.05 0.01 0005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 16. 设数列的前项和为，，且，. （1）求； （2）求最小的正整数，使得. 17. （1）求方程在上的解的个数； （2）求函数的最小值； （3）求函数的值域. 18. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，且平面底面.设. （1）求证：底面； （2）设为的重心，.求证：是三棱锥外接球的球心； （3）若平面与平面所成夹角的正弦值的平方等于，求的值. 19. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且点在抛物线C上. （1）求抛物线的方程； （2）求抛物线在点处的切线的方程； （3）设切线与交于两点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华大新高考联盟2026届高三9月教学质量测评 数学 命题：华中师范大学考试研究院 本试题卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置. 2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效. 3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效. 4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则化复数为代数形式，即得结果. 【详解】因为， 所以的虚部为3. 故选：A. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合补集的定义进行求解即可. 【详解】因为.全集. 所以. 故选：D 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意由双曲线离心率的定义可得. 【详解】由题意可知，，故离心率. 故选：B. 4. 对武汉某高中高二年级学业水平合格性考试的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则该年级学生数学成绩的分位数的估计值是（ ） A. 70 B. 80 C. 84 D. 85 【答案】C 【解析】 【分析】根据第百分位数的定义计算即可 【详解】前三个矩形面积分别是，其和为0.6，而第4个矩形的面积是0.25， 计算得， 故分位数的估计值是. 故选：C. 5. 函数的图象的对称中心不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质，先通过整体代入求出再赋值即可得出结论. 【详解】由函数， 令，解得， ∴函数的图象的对称中心为. 当时，；当时，；当时，； ∴图象的对称中心的横坐标可以为，，，无论k取何整数值，不等于， 故选：C. 6. 已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性的定义结合对数的运算化简求解即可. 【详解】因为函数的周期为2，且为奇函数， 所以， 因为， 所以， 故选：A 7. 设圆的半径为为圆上的动点，且圆心到弦的距离为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】作直径，过作.垂足为，将问题转化为在上的投影与的乘积，数形结合，找到与重合时即可求解. 【详解】如图，直径，过作.垂足为，易知是等边三角形. 因为， 所以可看作在上的投影与的乘积. 所以由图可知当与重合时，在上的投影最大，所以最大为. 设为的中点，则，所以， 故的最大值为. 故选：C. 8. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合对数，指数，根式的运算得到，再赋值逐一分析可得. 【详解】设，则. 当时，，此时A成立. 当时，，此时成立. 当时，，此时，D成立. (事实上，当时，显然；当时，显然，故B不可能成立.) 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，是圆的直径，为圆上异于的任意一点，且平面，则（ ） A. B. 平面 C. D. 和不是异面直线 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由平面，结合勾股定理，可判定A错误；利用线面垂直的判定与性质，可得判定B、C正确，根据异面直线的判定方法，可判定D错误. 【详解】对于A中，连接，因为平面，且平面，平面， 所以，则， 又因为与的大小不确定，所以与的大小关系不确定，所以A错误； 对于B中，由平面，平面，可得， 因为，且，平面， 所以平面，所以B正确； 对于C中，由B项知：平面，且平面，所以，所以C正确； 对于D中，因为平面，平面，且， 所以直线与是异面直线，所以D错误. 故选：BC. 10. 设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（ ） A. 以为直径的圆与直线相切 B. 是钝角 C. 的最小值是4 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A根据抛物线的定义结合圆的定义即可；选项B根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质即可；选项C设，由焦点弦公式可得；选项D过作，根据即可求出倾斜角. 【详解】如图，假设点位于第一象限，根据抛物线的定义可， 设中点为，点在抛物线的准线上的射影为， 所以， 则以为直径的圆与准线相切，故A正确； 因为， 所以， 又因为， 所以，所以，故B错误； 设，由焦点弦公式可得，等号成立时，所以C正确； 因为， 所以， 过作， 所以， 所以或，故直线的斜率为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知分别为三个内角的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦二倍角公式，正弦平方差公式，结合余弦定理、正弦定理、和差化积公式逐一判断即可. 【详解】因为，则，所以，所以. 又，所以，即错误. 由正弦平方差公式可得， 由正弦定理可知.故B正确. 由上可知， 再结合余弦定理得， 因此，所以，故.C正确； 由正弦定理及和差化积公式可得， 因为，所以.D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的斜截式、一般式进行求解即可. 【详解】由题意知，故切线的斜率，而切点为， 故切线方程为. 故答案为： 13. 设正项等比数列的前项和为.若，则公比__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列求和公式得到，即可求解. 【详解】， 则， ， ， 又. 故答案为： 14. 袋中装有除颜色外均相同的4个红球､3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.设随机变量为取到红球时的次数，则的数学期望__________. 【答案】2 【解析】 【分析】确定X的可能的取值，求出每个值相应的概率，根据数学期望的计算公式，即可得答案. 【详解】依题意，的可能值为. 则，， ，， ，， 故. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究每天喝咖啡与失眠的关系，从某社区人群中随机调查了1000人，得到如下列联表（单位：人）： 喝咖啡对睡眠的影响结果 失眠 不失眠 合计 每天喝咖啡 120 380 500 不每天喝咖啡 80 420 500 合计 200 800 1000 （1）记每天喝咖啡的人中患失眠的概率为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析每天喝咖啡是否与失眠有关. 附： 0.1 0.05 0.01 0005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）与失眠有关 【解析】 【分析】（1）根据列联表进行求解的估计值; （2）根据表中数据计算, 与参考值比较即可求解. 【小问1详解】 根据列联表可知，每天喝咖啡者共500人，其中患失眠的人数为120人. 因此的估计值为. 【小问2详解】 零假设：每天喝咖啡与失眠独立（即无关）. 根据表中数据可得， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为每天喝咖啡与失眠有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05. 16. 设数列的前项和为，，且，. （1）求； （2）求最小的正整数，使得. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用累加法求的通项公式，进而求出的通项公式； （2）利用分组求和求得数列的前项和，再根据的递增性质和、的取值进行判断. 【小问1详解】 由题意，， 用累加法可得 利用等比数列求和公式得 而当时，，满足上式. 故，化简得 故. 【小问2详解】 因，所以. 利用等比数列求和公式得 . 由于，因此随着的增大，也增大. 当时，. 当时，. 因此当时，.所以整数的最小值为，使得. 17. （1）求方程在上的解的个数； （2）求函数的最小值； （3）求函数的值域. 【答案】（1）3个；（2）9；（3） 【解析】 【分析】（1）由二倍角正弦公式结合正弦函数和正切函数的性质可得； （2）由同角的三角函数关系结合基本不等式可得； （3）先由同角的三角函数和立方和公式分解因式化简，再令，构造函数，由导数分析可得. 【详解】（1）或. 因为，所以的解为. 又因为在上只有1个解. 所以原方程在上的解有3个. （2）由题意可知，因为， 所以. 当且仅当，即时，函数取得最小值9. （3） ， 令，则，且. 所以. 令，则， 所以在上单调递增. 所以，即. 因此，的值域是. 18. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，且平面底面.设. （1）求证：底面； （2）设为的重心，.求证：是三棱锥外接球的球心； （3）若平面与平面所成夹角的正弦值的平方等于，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得证； （2）根据平面图形的性质结合勾股定理证得即可得证； （3）以为坐标原点，所在方向为轴，过且垂直于底面的方向为轴，建立空间直角坐标系.设，分别求出平面与平面的法向量、，由题意可得平面与平面所成夹角的余弦值为，再由求得，进而可求得的值. 【小问1详解】 因为平面底面，平面底面，且平面， 所以底面. 【小问2详解】 因为为的中点，为的中点，且为的重心，由题意可得 ，从而. 又，如图1所示， ∴. 即， 故. 因此，是三棱锥外接球的球心. 【小问3详解】 以为坐标原点，所在方向为轴，过且垂直于底面的方向为轴，建立如图2所示的空间直角坐标系. 则. 设，则. 于是. 设平面和平面的法向量分别为， 则. 令，得； 令，得. 设平面与平面所成的夹角为，则由题意可得 . 所以， . 整理得，即， 解得或. 当时，，得； 当时，，得. 综上，或. 19. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且点在抛物线C上. （1）求抛物线的方程； （2）求抛物线在点处的切线的方程； （3）设切线与交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合可得值，即可求得抛物线的方程； （2）利用导数求出切线方程的斜率，由点斜式即可写出抛物线在点处的切线的方程； （3）设，令，则，设出切线的方程，通过直曲联立，由韦达定理，表示出弦长，原点到直线的距离，可由表示出的面积，再通过换元，利用对勾函数和二次函数的性质求得面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可得抛物线的焦点为， 因为椭圆，则椭圆的一个焦点是， 所以有，解得. 故抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知抛物线方程为. 即，得，故抛物线在点处的切线方程为 ，即. 又因为，所以切线方程为. 【小问3详解】 设，令，则不为， 由（2）的结论可知，此时切线方程为， 联立， 消去，整理得， 则， ， 解得， ， 原点到直线的距离， 所以的面积. 令，则， 将， 得 ， 令，易知其在区间上单调递增，所以， 于是 ， 所以当时，，此时，. 故面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $