【天壹试题】2025-2026学年高三入学考试 数学试题

高三年级3月质量检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知集合A={xy=√一x2+2x},集合B={yy=e},则A∩B= A.(0,2] B.(0,1] C.☑ D.R 2.已知复数之=2十i,则 A.5 B.√2 C.1 D.2 3.已知a=2b=2,a+2b=2√3，则向量a,b的夹角为 A. B.等 c.号 D.晋 4.已知函数f(x)=e√+a+a在(1,2)上单调递减，则a的取值范围是 A[后 B.[0,4] C.[0,1] D.[1,2] 5.若(2+3x)2026=a0十a1x十a2x2+…十a2026x2026,则a1-2a2+3a3-…-2026a2026= A.1 B.-1 C.6078 D.-6078 6.已知sin9十sin(0+等）=cos0,则n20+2gos0 cos 20 A.√3+1 B.3-1 C.3√3-3 D.3√3+3 .已知双曲线C:无-1(0>0，b>0)的左、右焦点分别为F,E,C,为顶点在坐标 点，焦点为F2的抛物线，过F1作C1的一条渐近线的垂线交C2于点P,且OP= OF1,设双曲线C的离心率为e,则e2= A.35 B.2 C.3+5 D.3 2 2 【高三数学第1页（共4页）】 6309C 8.已知数列1a.的前n项的和为S,且清足号+号+2+%+%=5a:a,十a=a1一1， 若S226=一2021，则a1= A.1 B司 C.6 D.-6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，已知圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是 A圆能的体积为停 B.圆锥的侧面展开图是圆心角为经的扇形 C.圆锥的表面积为3π D.圆锥的外接球的表面积为 10.已知函数f(x)=2sin受x十g)(lg<)且函数图象经过点(2,2)，则下列选项中正 确的是 A.函数g(x)=f(x十1)是奇函数 B.函数f(x)在区间[2,3]上单调递减 C.f(1)+f(2)+·+f(2026)=0 D.存在常数m,使得对任意实数x,都有f(x+2)十f(x+4)十f(x+6)十f(x+8)=m 11.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,A(x1,y),B(x2,y2),C(x3,y)是E上不同的三个 点，AB的中点为P,O为坐标原点，直线l是E的准线，且I与x轴的交点为M,则下列 说法正确的有 A.若|AF=|BF,则x1=x2 B.若AF=AFB,则∠AMO=∠BMO C.若点P的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为看 D.若F是△ABC的重心，则点P的纵坐标不可能大于√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 1B,在数列巾，已知a=5a:=合·且数列23是等差数列：则4， 13.某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进 人决赛，他们获一等奖的概率分别为号，号，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的 概率为 14.已知函数f(x)=3x+bz2+3x的定义域为R,f(x)的极小值大于0，则b的取值范围 为 【高三数学第2页（共4页）】 6309C 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两 大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带 动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码 1≈5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 69 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定x表示年份代码1表示年份代马为：的产量，经计算得空=685，含x,= 206.8,2y-5y2=0.2. (1)求样本(x,y)(i=1,2,…,5)的相关系数r;(精确到0.01) (2)现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X,求 X的分布列与数学期望， 之(x-x)(y-y) 之xy:-nxy 附：相关系数r= =,√2≈1.414. 含(x,-i)2空(，-√空x-nx2)(含-ny2) 16.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=csin B+bcos C. (1)求B; (2②若D是边AC的中点a=3,BD=四，求△AC的面积： 【高三数学第3页（共4页）】 6309C 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD,且PD=AD=4, E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F. (1)求证：AB∥FE; (2)若CF=25,求直线AP与平面BCF所成角的正弦值. 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e,直线l过坐标原点且与f(x)的图象相切. (1)证明：f(x)的图象（除了切点）始终都在直线1的上方； (2)已知g(x)=ae-2ax+2sin(x+)-2,当x≥0时，g(x)≥0恒成立，求a的取 值范围. 19.(本小题满分17分) 7C无千芳Q>>0,E,P分别是椭圆C的左右焦点A是椭圆 AF的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点F2作直线l交椭圆于B,D两点，求△F1BD面积的最大值； (3)若P是椭圆C上不同于顶点的动点，且PF1和PF2的斜率都存在，椭圆C的左、右 顶点分别为H1,H2,直线PF1交椭圆于另一点M,直线PF2交椭圆于另一点N.若 直线MN的斜率为kMN,直线PF1的斜率为k1,直线PF2的斜率为k2,直线PH1的 斜率为直线PH,的斜率为H判断是香为定值，若是，求出该 值；若不是，请说明理由. 【高三数学第4页（共4页）】 6309C高三年级3月质量检测 数学 答题卡 准考证号 姓 名 0I0000I000□0I0 口DDD口口1口D1■ 班 级 2I2]22四2I22I2四22 33I3]333]3]33]3 4I4D444I44I4口44■ 考 场 5555555555 6666666666 7I707刀707I7I7I7I7I7□ 座位号 8888888888 9]9]999I9]9I9]99 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑 事 色墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 贴条形码区域 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题 项 区域范围书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂： 错误填涂：中Xp口 缺考标记：☐ 单选题（每小题5分，共40分） 1 A]B][C]D] 5 [ABC D 2 [A B][C]D 6ABI☑D 3A□BICD 7A□BD 4A]B]CD] 8A▣B☐D 多选题（每小题6分，共18分） 9ABCD 10[A]B [C]D 11AB☐CD 填空题（每小题5分，共15分） 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 6309C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 6309C高三年级3月质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】A 【解析】A={x0≤x≤2}，B={yy>0},故A∩B=(0,2],故选A. 2.【答案】B 【解析】士2,21=1+i,1十i=2,故选B. 2 3.【答案C 【解析】由aP+4 alIblcosKa,b十4b=12,解得cosa,b)=子，即a,b的夹角是号，故选C 4.【答案】D 【解析】设g(x)=一x2十a.x十2a需要在(1,2)上单调递减，故 ,解得1≤a≤2， g(2)=-4+2a+2a≥0 故选D. 5.【答案】D 【解析】由(2十3.x)22s=a,十a1x十ax2十…十a226x226,两边同时求导得6078X(2十3.x)225=a1十 2a2x+3a3x2+…十2026a2026x202,令x=-1,则a1-2a2十3a3-…-2026a226=-6078,故选D. 6.【答案】C 【解标]因为im计n(0+号）-sin9+血众os音十cos风in吾=多sn9叶停。 cos0=cos0,所以tan0 3sin 20+2cos*02sin 0cos 0+2cosi02tan2 cos 20 cos20-sin20 1-tan20 1-tan03V5-3.故选C. 2 7.【答案C 【解析】设PF1与渐近线交于点Q,由OF=OP,可知Q是F1P的中点，不妨设FP所在直线的方 y-(+ 程为y=分(x+c),联立 可得Q(,由r(-c,0)及中点坐标公式得， P(c-2a 2ab C C ,由题意得抛物线C的方程为)=4c,将P点坐标代入可得（②）°=4女(-2) 整理得e一30+1=0，解得e2=3士5，故选C. 2 8.【答案】D 【解折因为号+贵+是+器+器-a(文+文3十文+衣+)=a(1-专+日言+日 子子号+号日）=a(1-石）-g=5a:,所以a,=6a冷a:=,则a,=6,因为a,十a:= am+1-1,即am+2=an+1-an-1,所以a1=6t,a2=t,a3=-5t-1,a4=-6t-2,a5=-t-2,a6=5t-1, a?=6t,a8=t,…,所以数列{an}是以6为周期的数列，且当n∈N时，an十an+1十an+2十an+3十an+4十 am+5=-6,因为2026=337×6+4，所以S226=337×(-6)+a1+a2+a3+a4=-2022-4t-3= -2021,解得t=-1,所以a1=-6,故选D. 9.【答案】AC 【解析】庙题意得，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的体积为号X-,故A正确： 圆锥的底面周长为2π，即侧面展开图的弧长为2π，设圆心角为0，则20=2x,0=π，故B错误； 【高三数学参考答案第1页（共6页）】 6309C 圆锥的表面积为π×1×2十π×12=3π，故C正确； 圆锥的外接球的直径为轴截面的外接圆的直径2R=2=2×二=A,则外接球的表面积为4R: sin 5√3 3 号放D错误，放选AC 10.【答案】BD 【解析】由f2)=2n(受×2+-反，得到s血g=号，因为g1<号，所以得g=一子，则/x) 2sin受x-） 对于选项A,g(x)=f(x+1)=2sin(受x+),因为g(-x)=2sin(-受+晋)=-2sin(受x-平）≠ 一g(x),所以g(x)不是奇函数，故A错误； 对于选项B,当x∈[2,3]时，受x-子∈(，)，结合正弦函数图象性质可得函数了(x)在区间 [2,3]上单调递减；所以B正确； 对于选项C,周期T=4,且f(1)=2,f(2)=√2，f(3)=-√2，f(4)=-√2，易知f(1)十f(2)+f(3) +f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…f(2026)=f(2025)+f(2026)=f(1)+f(2)= 2√2；即C错误； 对于选项D,根据题意可得f(x+2)+f(x+4)+f(x+6)+f(+8)=2in(x+x) 2sin(2x+2x-平)+2sin(x+3x平)+2sin(x十4m-平）=-2sin(2x-牙）+2sin(x-平) 2sin(受x-)十2sin(受-平)=0，因此存在常数m=0,对于任意实数x,使f(x+2)+f(x+4)十 f(x十6)+f(x十8)=m,所以D正确.故选BD. 11.【答案】ABD 【解析】对于A:因为抛物线E:y2=4x的焦点F(1,0),所以AF=x1+1,BF|=x2十1，若|AF|= |BF,则x1十1=x2十1，即x1=x2,A正确； 对于B:若A户-λFB,则A,F,B三点共线，设AB:x=my十1，代入抛物线方程得y2-4my-4=0,所 以y2=-4,又M(-1,0),所以A= ,兴所以中产直十行了 返十1 4L(y+4)+(+4)】-4十C业+=0，所以kA=-kw,即MA,MB关于 (y+4)(y+4) (y+4)(y1+4) 4 x轴对称，则∠AMO=∠BMO,B正确； 对于C:若点P的纵坐标为2，即山业=2，则为十=4，所以直线AB的斜率k=为二斗=兰 2 x2一x1y2_y1 44 .4 y1+y2 =1,所以直线AB的倾斜角为于，C错误； 对于D:若F是△ABC的重心，则十+当=0，即十=一为①，又P是AB中点，其纵坐标为 3 :=”坐=一兰由重心横坐标公式0十行十=1，且名=￥=1,2,3)，可得十十号=12②， 2 3 将①代入②得y1y2=y-6③，因为A,B是E上不同的点，所以(y1一y2)>0④，将②③代人④ 得到好<8，所以=<2，D正确：故选ABD. 2 【高三数学参考答案第2页（共6页）】 6309C 12.【答案】2 【解析】设bn= 。之写散到认是等差数到公若为则么=214己青=-么 得d=-号则=-青+2X(←号）-2则23g=-2a=2. 9 1【答案号 【解析】设事件甲、乙、丙获奖分别为A,B,C,至少两位同学获奖有如下情况：甲、乙获奖丙未获奖，甲、 丙获奖乙未获奖，乙、丙获奖甲未获奖，甲、乙、丙三人均获奖，则P=P(ABC)十P(ACB)+P(CBA) +P(ABC)=- ×3×(1-)+导×2×(1-)+×子×1-号)+号××2品 14.【答案】(-2，-√3) 【解析】f()=子x2+bx2+3x=x(号x+bx+3),f(x)=2+2bx+3.因为f(x)的极小值大于0， 所以f'(x)=x2十2bx十3=0存在两个不同的根x2,设x<x2,当x<x1或x>x2时，f'(x)>0, 则f(x)在（一∞，），(x2,十o∞)上单调递增，当x1<x<x2时，f'(x)<0,则f(x)在(x1,x2)上单调 递减，则f(x1)为极大值，f(x2)为极小值，又极小值大于0，所以极大值f(x1)>0,所以f(x)只有 个零点，又fa)号+bx+3x=x(号r+bx十3，显然x=0是fx)的零点，所以方程行x2+bx 十3=0无实数根，即△1=b2-4<0,即-2<b<2,因为f(0)=0,若x2<0,因为f(x)在(x2,十∞)上 单调递增，结合f(0)=0,可得f(x2)<0,与条件矛盾，所以x2>0,又f'(x)=x2十2bx十3=0，x1x2= 3,所以x1>0,即f(x)的极大值点与极小值点均大于0，且方程'(x)=x2+2bx十3=0的2个实数 -2b>0 根均大于0，所以{(0)>0 ,解得b<一√3，综上可得：一2<b<一√3，故b的取值范围为（一2， △2=4b2-12>0 3) 15.【答案】(1)0.92 (2)X的分布列见解析，E(X)=9 【解析】(1)x= 2x,=3,含=1+4+9+16+25=55. 15 2分 =1 含(x-0y- xiy:-5zy 故样本相关系数r 3分 =206.8-68.5X3=1.3≈0.92： 6分 55-5X9X√/0.2√2 (2)X的取值可以为1,2,3， 7分 P(X=1)= CC 10… 8分 P(X=2)= CC263 C 10 5 9分 P(X=3) C_1 C-10 10分 于是X的分布列为 X 1 2 3 P 10 5 1 11分 【高三数学参考答案第3页（共6页）】 6309C 故EB(X)=1×+2号+3×0号 105 13分 1【答案]D子(2)号 【解析】(1)a=csin B十bcos C,由正弦定理，得sinA=sin Csin B+sin Bcos C,…1分 又sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,…3分 则有sin Bcos C+cos Bsin C=sin Csin B+sin Bcos C, 4分 即cos Bsin C=sin Csin B,又C∈(0，π)，故sinC≠0，…5分 则cosB=sinB,即tanB=1,又B∈(0，x),则B=年；… ……7分 (2)由D是AC的中点，则BD-号(BA+BC),… 8分 则|BiP=子(Bi+BC)2=(1Bi2+BC2+2BA·BCl cos）, …………………10分 即-(e+9+3反c).则e+3c-8=(+4E)(e-2)=0. …12分 獬得c=√2或c=一4√2（负值，舍去），… 13分 则5-日acsin B-×3X×号是 15分 17.【答案】1)详见解析(2)0 5 【解析】(1)在矩形ABCD中，AB∥DC, 又AB丈平面DCP,DCC平面DCP,所以AB∥平面DCP,…2分 又因为ABC平面ABE,且平面ABE∩平面DCP=FE,所以AB∥FE;…4分 (2)由(1)可知FE∥AB,又AB∥DC,所以FE∥DC,… 5分 又因为E是PC的中点，所以F是PD的中点，…6分 因为PD⊥平面ABCD,AD,DCC平面ABCD, 所以PD⊥AD,PD⊥DC,………………7分 因为CF=2√5，DF=2,即√CD+DF=2√5，故CD=4. 8分 又在矩形ABCD中，AD⊥CD,所以DA,DC,DP两两垂直. 如图以D为坐标原点，以DA,DC,DP所在直线为x,y,之轴建立空间直 角坐标系D一xy之，…………9分 则B(4,4,0),C(0,4,0),P(0,0,4),A(4,0,0),F(0,0,2), 所以AP=(-4,0,4),BF=(-4,-4,2),BC=(-4,0,0),…10分 设平面BCF的一个法向量为n=(x,y,之). BF·n= 0,得厂4x-4y+22=0 由BC.n=0得-4红=0 令y=1,得n=(0,1,2),……12分 设直线AP与平面BCF所成角为0， 则sing=lcos(Ap,n>l=1Ap·n 8 V10 14分 |AP|n4√2×5 5 故直线AP与平面BCF所成角的正弦值为 5 15分 18.【答案】(1)详见解析(2)(-∞，-1]U[1,十∞) 【解析】(1)设l:y=kx,切点为(xoyo),则有kc=%,k=f'（xo)=eo,yo=eo,…2分 解得k=,故l的方程为y=ex,…3分 h(x)=e*-ex,h'(z)=e*-e, 4分 【高三数学参考答案第4页（共6页）】 6309C h'(x)>0→x>1,h'(x)<0→x<1, 故h(x)的最小值为h(1)=0,… 5分 所以h(x)≥0恒成立，即e≥ex,… 6分 所以f(x)的图象（除了切点）始终都在直线I的上方；… 7分 (2)由题意g(0)=a2-1≥0，解得a≥1或a≤-1， 设m(a)=g(x),则m(a)为开口向上，对称轴为乙的二次函数，… 8分 由1)知-1≤0≤若≤6<1， 9分 所以m(a)的最小值为m(1),故只需考虑证m(1)≥0即可， 即证m1)=p(x)=e-2x+2sin(x+平）-2≥0即可， 10分 p'(x)=e-2+cos x-sin x, p"(z)=e'-cos x-sin x=e*(1- cos x++sin x 11分 令q(x)=1-cosx十sinx q'(x)=- sin +cos z-cos t-sin 2sin z. ………………12分 当x∈[0，x]时，g(x)≥0，g(x)在[0，π]上单调递增，g(x)≥q(0)=0,…13分 当x∈[π，十∞)时，e>e>√2≥sinx十cosx,故g(x)>0,…14分 即当x∈[0，十∞)时，p”(x)≥0，p(x)在x∈[0，+∞)上单调递增，p(x)≥p'(0)=0,…15分 所以(x)在[0，十∞)上单调递增，所以(x)≥(0)=0，即m(1)≥0，证毕.… 16分 综上所述：a≥1或a≤-1.……………17分 19.【答案】1号+苦-1(2)3(3)定值为号 【解析】(1)由题意可知，AF1的最大值为a十c,最小值为a一c,即a十c=3,a一c=1,…1分 得a=2,C=1,b=5,…2分 听以椭圆C的标准方程为十兰=；……图 3分 (2)易知直线BD与x轴不重合，设直线AB的方程为x=my十1， 联立mv=x-1 ,得(3m2+4)y2+6my-9=0,△=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0, 3.x2+4y2=12 由韦达定理可得y十y2=一 6m 9 m2+4'y1y2= 3m2+4 ………4分 所以|y1-y2|=√(y+y2)2-4y1y2= 6m_ 9 3m4)-4×(3m+4》 12√m2+1 …5分 3m2+4 所以三角形的面积为S=RF·--号×2X2m更_12n更-12m 3m2+4 3m2+4 3(m2+1)+1 12 …6分 3√/m+1+ √m2+1 令1=√m+≥1，则函数y=31十在[1，十e0)上为增函数，…7分 故当1时，即当m=0时，S取最大值，且S心三3号3；…………8分 (8)由P(w,得=有：=气其中x≠0，士1，士2，m,=牛2m产2 yo 【高三数学参考答案第5页（共6页）】 6309C 则kpH十kpH,一。一4 2xoyo 9分 设M(x3,),N(x4y4),直线PF1的方程为y=k1(x十1)，直线PF2的方程为y=k2(x-1), (y=k1(x+1) 联立 +-1 ,得(3+4k7)x2+8x+4k好-12=0， 8k号 由韦达定理，得十=一3千欢 4号-12 34呢 10分 43-12 所以x西=(3十4)z0 4(￥)广-12 4y-12(x。+1)2 [3+4() [3(x0+1)2+4y6]x0 12-3x6-12(x+1)2 5x0+8 =[3(.x6+2x+1)+12-3.x6]x 2xo十5 11分 则为=k1(x十1)= 5.x+8 3yo xo+1(- 26+1= 2.xo+5’ …12分 y=k2(x-1) 同理，联立 +芳 ,得(3十4k号).x2-8x十4k号-12=0， 8k号 4k2-12 x+x,-3十46，= 3+4k号 所以x= 43-12 4(）-12 4y-12(x。-1)2 (3+4k3)x [3+4(” [3(xo-1)2+4y8]x0 12-3x6-12(x0-1)2 5x0-8 [3(x6-2.xo十1)+12-3x8x02xo-5' …………………13分 则y4=k2(x4-1)=y0 5-8-1）=25 3y x0-12.x-5 ……………14分 3yo 3yo 则kN=当二业= 2x0+52x6-5 x3—x4 5.x+8_5x0-8 2x+52x-5 3y6(2x-5+2x0+5) 3xoyo (5.x0+8)(2x0-5)十(5.x-8)(2.x+5)5(.x6-4)' 15分 3xoyo kMN 5(x-4) 3(x-4)3 故RH十kpH 10(x-4)10' 16分 2xoyo x8-4 kMN 一为定值 故RpH,十kp 3 17分 【高三数学参考答案第6页（共6页）】 6309C