10.2 整式的乘法 学案 2025--2026学年青岛版七年级数学下册

10.2整式的乘法 知 识 清 单 知识点1 单项式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 【知识解读】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 素 养 提 升 考点1 单项式的乘法 例题讲解： 1．计算的结果为（　　） A． B． C．﹣a7 D．﹣a8 2．若（　　）•（﹣x2y）＝4x4y2，则括号里应填的单项式是（　　） A．﹣4x2y B．4x2y C．﹣4x6y3 D．4x6y3 跟踪训练： 1．下列运算中，与（﹣2x）3•xy2运算结果相同的是（　　） A．﹣2（2x2y）2 B．﹣8x4+y2 C．2x2•4x3y2 D．（﹣2x）2•2x2y2 2．计算：a3b•（﹣a）2＝（　　） A．﹣a5b B．a6b C．﹣a6b D．a5b 3．若（　　）•2a2b＝4a3b，则括号内应填的单项式是（　　） A．a B．2a C．ab D．2ab 4．若2ab2×ab＝□，则□内应填的单项式是（　　） A．2 B．2a2b3 C．2b D．4b 5．已知单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn，则m﹣n＝　 　 ． 6．计算： ． 7．若单项式与单项式x2n+1y相乘的结果是一个十二次单项式，则n＝　 　 ． 8．若单项式﹣3x3ya与是同类项，则这两个单项式的积是　 ． 9．单项式﹣2x2ym﹣6与3xn+3y3是同类项，则这两个单项式的积是　 ． 10．计算： （1）（﹣2）2×（﹣2）×（﹣2）3； （2）﹣x2•x3•x2； （3）x2m•xm+1•x； （4）（x+y）m•（x+y）•（x+y）3m； （5）xm•xm+1+x3•x2m﹣2； （6）（﹣m）3•m2•（﹣m）4﹣2m5•m4． 知 识 清 单 知识点2 单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的积相加. 即m(a+b+c)=ma+mb+mc. 【知识解读】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 素 养 提 升 考点2 单项式与多项式相乘 例题讲解： 1．化简5a•（2a2﹣ab）的结果是（　　） A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b C．﹣10a3+5a2b D．﹣10a3﹣5a2b 2．已知单项式M，N满足3x（M﹣5x）＝6x2y2+N，则MN＝（　　） A．﹣30x3y2 B．﹣30x2y3 C．﹣15x2y2 D．﹣15x3y3 3．已知m﹣n＝3，则m（m﹣n）﹣3n的值是（　　） A．0 B．3 C．6 D．9 4．若1+x+x2+x3＝0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值． 跟踪训练： 1．下列运算正确的是（　　） A．x2•x4＝x8 B．（x5）2＝x7 C．x5÷x3＝x2 D．x•（x﹣2y）＝x2+2xy 2．下列式子运算正确的是（　　） A．a2+a3＝2a5 B．a2•a3＝a6 C．a（a+1）＝a2+a D．（a2）3＝a5 3．一个长方体的长，宽，高分别是2a，a2，（3a+1），这个长方体的体积是（　　） A．6a2+2 B．6a3+2a C．6a4+2a2 D．6a4+2a3 4．如图，将一边为m，另一边分别为a，b，c的三个长方形拼在一起组成一个新长方形，用不同的方法表示新长方形的面积可以说明下列等式成立的是（　　） A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．（a+b）m＝（b+c）m C．a（a+b+c）＝a2+ab+ac D．ma+mb+mc＝a2+b2+c2 5．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　） A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2） 6．小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：﹣2x3•（4x﹣2xy）＝4x4y﹣8□，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（　　） A．x B．y C．x2y D．x4 7．如果（3x﹣2y）M＝4y2﹣9x2，那么M所代表的代数式为（　　） A．3x+2y B．3x﹣2y C．﹣3x+2y D．﹣3x﹣2y 8．已知m﹣2n＝1，则2n（m+1）﹣m（1+2n）+3的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2 9．已知x2+2x﹣1＝0，则代数式4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 10．若x2+2x﹣1＝0，则4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 11．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 12．如果规定表示单项式﹣3xyz，表示多项式ad﹣bc，则计算的结果是 　 ． 13．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是　 ． 14．先化简．再求值．x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x＝3． 15．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 16．（1）已知x2+x﹣1＝0，求x3+2x2+3的值； （2）如果1+x+x2+x3＝0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值． 17．如图，一个小长方形的长为a+b，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a，b的式子来表示）． （2）若b＝2a，大长方形面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，则　 　 ． 18．如图1，有一长方形菜地，长比宽多20米．求菜地的面积． 老师在黑板上的板书：x（x+20）． （1）请根据老师的板书说出x的实际意义：　 　 ； （2）请用含x的多项式表示菜地的面积为：　 ； （3）如图2，经测量菜地的长为120米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周开垦的菜地宽度均为a米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含a的多项式表示）； （4）当a＝2米时，求菜地开垦后的面积． 知 识 清 单 知识点3 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。 【知识解读】 多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq. 素 养 提 升 考点3 多项式与多项式相乘 例题讲解： 1．若（y+4）（y﹣3）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝﹣12 B．m＝7，n＝12 C．m＝1，n＝12 D．m＝7，n＝﹣12 2．已知M＝（a+1）（a2+a+1），N＝（a﹣1）（a2﹣a+1），那么M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 3．已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 跟踪训练： 1．若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 2．已知（x﹣5）（x+2）＝x2+bx﹣c，则b、c的值为（　　） A．b＝3，c＝10 B．b＝﹣3，c＝10 C．b＝﹣3，c＝﹣10 D．b＝﹣5，c＝10 3．已知若M＝（a+3）（a﹣4），N＝（a+2）（2a﹣5），其中a为有理数，则M﹣N的值（　　） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 4．设M＝（x+3）（x﹣7），N＝（x+1）（x﹣5），则M与N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定 5．若a2﹣3a﹣2＝0，则（a+2）（a﹣5）的值为（　　） A．﹣10 B．8 C．﹣8 D．不确定 6．已知m+n＝3，mn＝1，则（1﹣2m）（1﹣2n）的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 7．计算： （1）； （2）（x+2）（x+1）+2（x﹣1）． 8．计算： （1）； （2）（y+4）（y﹣1）﹣（y+2）． 考点4 “不含”、“无关”问题 例题讲解： 1．已知式子（2x2+x+3）（ax﹣1）的结果中不含x2项，则a的值为（　　） A．0 B．﹣2 C． D．2 跟踪训练： 1．已知多项式ax+b与2x2﹣x+1的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则ab的值为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 2．若（x﹣a）（x2+3x﹣2）的展开式中不含x2项，则常数a的值为（　　） A．0 B．3 C．2 D．﹣2 3．若的积中不含x项与x3项． （1）求p、q的值； （2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2023q2024的值． 4．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m，n的值； （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 考点5 马虎问题 例题讲解： 1．在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数） 跟踪训练： 1．在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到的结果是x2+9x+18；乙把a错看成了﹣a，得到的结果是x2+x﹣12． （1）求a，b的值； （2）计算（x+a）（x+b）的正确结果． 2．甲、乙两人同时计算一道整式乘法题：（2x+a）•（3x+b）．甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，即把+a抄成﹣a，得到的结果为6x2+11x﹣10，乙由于抄漏了第二个多项式中x的系数，即把3x抄成x，得到的结果为2x2﹣9x+10，请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 考点6 几何图形问题 例题讲解： 1．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．（x+6）（x+4）﹣6x B．x（x+4）+24 C．4（x+6）+x2 D．x2+24 2．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+3b的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 跟踪训练： 1．如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（　　） A．a2+5a+15 B．（a+5）（a+3）﹣3a C．a（a+5）+15 D．a（a+3）+a2 2．小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各10张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是（2a+3b）和（3a+2b）的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（　　） A．够用，剩余5张 B．够用，剩余1张 C．不够用，缺2张 D．不够用，缺3张 3．如图，和谐广场有一块长为（4a+2b）米，宽（3a+b）米的长方形空地，角上有两块边长均为（a﹣b）米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） （1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若a＝30，b＝10，每平米的绿化费用为50元，求阴影部分的绿化总费用． 4．如图，学校有一块长方形的劳动教育基地，长为6b米，宽为2a米，为了满足需要，需在旁边开垦出新的土地，使原来的长增加a米，宽增加b米． （1）求该基地现在的土地面积．（用含a、b的式子表示） （2）当a＝4、b＝3时，求增加的土地面积． 考点7 规律问题 例题讲解： 1．回答下列问题： （1）计算： ①（x+2）（x+3）＝ 　 ； ②（x+2）（x﹣3）＝ 　 ； ③（x﹣2）（x+3）＝ 　 ． （2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+　 　 x+ab； （3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+7．求m的所有可能值． 跟踪训练： 2．阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 【归纳】 （1）由此可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝　 ； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算22025+22024+22023+…+22+2+1的值． （3）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2025的值． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2整式的乘法 知 识 清 单 知识点1 单项式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 【知识解读】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 素 养 提 升 考点1 单项式的乘法 例题讲解： 1．计算的结果为（　　） A． B． C．﹣a7 D．﹣a8 【解答】解：原式a2•4a6 ＝﹣a8． 故选：D． 2．若（　　）•（﹣x2y）＝4x4y2，则括号里应填的单项式是（　　） A．﹣4x2y B．4x2y C．﹣4x6y3 D．4x6y3 【解答】解：4x4y2÷（﹣x2y）＝﹣4x2y． 故选：A． 跟踪训练： 1．下列运算中，与（﹣2x）3•xy2运算结果相同的是（　　） A．﹣2（2x2y）2 B．﹣8x4+y2 C．2x2•4x3y2 D．（﹣2x）2•2x2y2【解答】解：先计算原式结果：（﹣2x）3•xy2＝（﹣2）3x3•xy2＝﹣8x3+1y2＝﹣8x4y2， 再根据积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式逐项分析判断如下： A、﹣2（2x2y）2＝﹣2•22•（x2）2•y2＝﹣2•4x4y2＝﹣8x4y2，与原式相同，符合题意； B、﹣8x4+y2，与原式结果不同，不符合题意； C、2x2•4x3y2＝8x5y2，与原式结果不同，不符合题意； D、（﹣2x）2•2x2y2＝4x2•2x2y2＝8x4y2，与原式结果不同，不符合题意． 故选：A． 2．计算：a3b•（﹣a）2＝（　　） A．﹣a5b B．a6b C．﹣a6b D．a5b 【解答】解：原式＝a3b•a2 ＝a5b， ∴A，B，C选项错误，D选项正确， 故选：D． 3．若（　　）•2a2b＝4a3b，则括号内应填的单项式是（　　） A．a B．2a C．ab D．2ab【解答】解：4a3b÷2a2b＝2a． 故选：B． 4．若2ab2×ab＝□，则□内应填的单项式是（　　） A．2 B．2a2b3 C．2b D．4b 【解答】解：根据整式的乘法运算法则可得： 2ab2×ab＝2a2b3． 故选：B． 5．已知单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn，则m﹣n＝　﹣11　 ．【解答】解：（3x2y3）•（﹣2xy2）＝﹣6x3y5， ∵单项式3x2y3与﹣2xy2的积为mx3yn， ∴m＝﹣6，n＝5， ∴m﹣n＝﹣6﹣5＝﹣11． 故答案为：﹣11． 6．计算：x4y4 ．【解答】解：x4y4， 故答案为：x4y4． 7．若单项式与单项式x2n+1y相乘的结果是一个十二次单项式，则n＝　2　 ．【解答】解：•x2n+1y， 若单项式与单项式x2n+1y相乘的结果是一个十二次单项式， 则2n+4+3+1＝12， 解得n＝2， 故答案为：2． 8．若单项式﹣3x3ya与是同类项，则这两个单项式的积是　﹣x6y6 ．【解答】解：由题意可知：a＝3，b﹣1＝3， 则a＝3，b＝4， ﹣3x3y3•x3y3＝﹣x6y6， 故答案为：﹣x6y6． 9．单项式﹣2x2ym﹣6与3xn+3y3是同类项，则这两个单项式的积是　﹣6x4y6 ．【解答】解：∵单项式﹣2x2ym﹣6与3xn+3y3是同类项， ∴m﹣6＝3，n+3＝2， 解得：m＝9，n＝﹣1， ∴﹣2x2y3•3x2y3 ＝（﹣2×3）•（x2•x2）•（y3•y3） ＝﹣6x4y6， 故答案为：﹣6x4y6． 10．计算： （1）（﹣2）2×（﹣2）×（﹣2）3； （2）﹣x2•x3•x2； （3）x2m•xm+1•x； （4）（x+y）m•（x+y）•（x+y）3m； （5）xm•xm+1+x3•x2m﹣2； （6）（﹣m）3•m2•（﹣m）4﹣2m5•m4． 【解答】解：（1）（﹣2）2×（﹣2）×（﹣2）3 ＝（﹣2）6 ＝64； （2）﹣x2•x3•x2 ＝﹣x7； （3）x2m•xm+1•x ＝x3m+2； （4）（x+y）m•（x+y）•（x+y）3m ＝（x+y）4m+1； （5）xm•xm+1+x3•x2m﹣2 ＝x2m+1+x2m+1； ＝2x2m+1； （6）（﹣m）3•m2•（﹣m）4﹣2m5•m4 ＝（﹣m）9﹣2m9 ＝﹣3m9． 知 识 清 单 知识点2 单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的积相加. 即m(a+b+c)=ma+mb+mc. 【知识解读】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 素 养 提 升 考点2 单项式与多项式相乘 例题讲解： 1．化简5a•（2a2﹣ab）的结果是（　　） A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b C．﹣10a3+5a2b D．﹣10a3﹣5a2b【解答】解：原式＝10a3﹣5a2b． 故选：B． 2．已知单项式M，N满足3x（M﹣5x）＝6x2y2+N，则MN＝（　　） A．﹣30x3y2 B．﹣30x2y3 C．﹣15x2y2 D．﹣15x3y3【解答】解：∵3x•（M﹣5x）＝3Mx﹣15x2＝6x2y2+N， ∴M＝2xy2，N＝﹣15x2， ∴M•N＝﹣30x3y2． 故选：A． 3．已知m﹣n＝3，则m（m﹣n）﹣3n的值是（　　） A．0 B．3 C．6 D．9【解答】解：当m﹣n＝3时， 原式＝3m﹣3n ＝3（m﹣n） ＝9， 故选：D． 4．若1+x+x2+x3＝0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值． 【解答】解：∵1+x+x2+x3＝0， ∴x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 ＝x（1+x+x2+x3）+x5（1+x+x2+x3） ＝0+0 ＝0． 跟踪训练： 1．下列运算正确的是（　　） A．x2•x4＝x8 B．（x5）2＝x7 C．x5÷x3＝x2 D．x•（x﹣2y）＝x2+2xy 【解答】解：A、x2•x4＝x2+4＝x6≠x8，选项计算错误，不符合题意； B、（x5）2＝x5×2＝x10≠x7，选项计算错误，不符合题意； C、x5÷x3＝x5﹣3＝x2，选项计算正确，符合题意； D、x•（x﹣2y）＝x2﹣2xy≠x2+2xy，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 2．下列式子运算正确的是（　　） A．a2+a3＝2a5 B．a2•a3＝a6 C．a（a+1）＝a2+a D．（a2）3＝a5 【解答】解：根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、单项式乘多项式法则和幂的乘方运算法则逐项分析判断如下： A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意； B、a2•a3＝a5，故本选项运算错误，不符合题意； C、a（a+1）＝a2+a，故本选项运算正确，符合题意； D、（a2）3＝a6，故本选项运算错误，不符合题意． 故选：C． 3．一个长方体的长，宽，高分别是2a，a2，（3a+1），这个长方体的体积是（　　） A．6a2+2 B．6a3+2a C．6a4+2a2 D．6a4+2a3 【解答】解：∵长方体的体积＝长×宽×高； ∴长方体的体积＝2a×a2×（3a+1） ＝2a3×（3a+1） ＝6a4+2a3； 故选：D． 4．如图，将一边为m，另一边分别为a，b，c的三个长方形拼在一起组成一个新长方形，用不同的方法表示新长方形的面积可以说明下列等式成立的是（　　） A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．（a+b）m＝（b+c）m C．a（a+b+c）＝a2+ab+ac D．ma+mb+mc＝a2+b2+c2 【解答】解：m（a+b+c）＝ma+mb+mc， 故选：A． 5．小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　） A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2） 【解答】解：被墨汁遮住部分＝（4a2b+2ab3）÷2ab＝4a2b÷2ab+2ab3÷2ab＝2a+b2， 故选：A． 6．小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：﹣2x3•（4x﹣2xy）＝4x4y﹣8□，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（　　） A．x B．y C．x2y D．x4 【解答】解：原式＝﹣2x3×4x﹣2x3×（﹣2xy） ＝﹣8x4+4x4y ＝4x4y﹣8x4， 故被墨水污染了的应是x4， 故选：D． 7．如果（3x﹣2y）M＝4y2﹣9x2，那么M所代表的代数式为（　　） A．3x+2y B．3x﹣2y C．﹣3x+2y D．﹣3x﹣2y 【解答】解：∵（3x﹣2y）M＝4y2﹣9x2， ∴（3x﹣2y）M＝（2y+3x）（2y﹣3x）， ∴（3x﹣2y）M＝（﹣2y﹣3x）（3x﹣2y）， ∴M＝﹣3x﹣2y． 故选：D． 8．已知m﹣2n＝1，则2n（m+1）﹣m（1+2n）+3的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2 【解答】解：∵m﹣2n＝1， ∴2n﹣m＝﹣1， ∴原式＝2mn+2n﹣m﹣2mn+3 ＝2n﹣m+3 ＝﹣1+3 ＝2． 故选：B． 9．已知x2+2x﹣1＝0，则代数式4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【解答】解：根据题意可知，x2+2x＝1， ∴原式＝4x2+4x﹣2x2﹣3 ＝2x2+4x﹣3 ＝2（x2+2x）﹣3 ＝2×1﹣3 ＝﹣1． 故选：B． 10．若x2+2x﹣1＝0，则4x（x+1）﹣2x2﹣3的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【解答】解：根据题意可知，x2+2x＝1， ∴原式＝4x2+4x﹣2x2﹣3 ＝2x2+4x﹣3 ＝2（x2+2x）﹣3 ＝2×1﹣3 ＝﹣1． 故选：D． ． 11．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 【解答】解：根据题意得：原式＝9mn×（8m+5n）＝72m2n+45mn2． 故选：B． 12．如果规定表示单项式﹣3xyz，表示多项式ad﹣bc，则计算的结果是 　﹣18mn2+12m2n ． 【解答】解：由题意得＝（﹣3mn×2）×（3n﹣2m） ＝﹣6mn（3n﹣2m） ＝﹣18mn2+12m2n． 故答案为：﹣18mn2+12m2n． 13．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是　﹣12x4+3x3﹣3x2 ． 【解答】解：根据题意可知，计算﹣3x2加一个多项式时，得到的答案是x2﹣x+1， ∴x2﹣x+1﹣（﹣3x2）＝x2﹣x+1+3x2＝4x2﹣x+1， ∴﹣3x2•（4x2﹣x+1）＝﹣12x4+3x3﹣3x2． 故答案为：﹣12x4+3x3﹣3x2． 14．先化简．再求值．x2（3﹣x）+x（x2﹣2x）+1，其中x＝3． 【解答】解：原式＝3x2﹣x3+x3﹣2x2+1 ＝x2+1， 把x＝3代入x2+1＝9+1＝10． 15．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4） ＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2 ＝﹣20a2+9a， 当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98． 16．（1）已知x2+x﹣1＝0，求x3+2x2+3的值； （2）如果1+x+x2+x3＝0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值． 【解答】解：（1）∵x2+x﹣1＝0， ∴x3+2x2+3 ＝x3+x2﹣x+x2+x+3 ＝x（x2+x﹣1）+x2+x﹣1+4 ＝0+0+4＝4； （2）∵1+x+x2+x3＝0， ∴x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 ＝（x+x2+x3+x4）+（x5+x6+x7+x8） ＝x（1+x+x2+x3）+x5（1+x+x2+x3） ＝x×0+x5×0 ＝0． 17．如图，一个小长方形的长为a+b，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a，b的式子来表示）． （2）若b＝2a，大长方形面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，则　　 ． 【解答】解：（1）根据题意可知，大长方形的长为：n＝4a+b，大长方形的宽为：m＝2a+b， ∴面积为：n×m＝（4a+b）（2a+b）， 又∵6个小长方形面积为：6×a（a+b）＝6a（a+b）， ∴阴影部分面为：（4a+b）（2a+b）﹣6a（a+b） ＝8a2+4ab+2ab+b2﹣6a2﹣6ab ＝2a2+b2； （2）∵b＝2a， ∴， ， ∴． 18．如图1，有一长方形菜地，长比宽多20米．求菜地的面积． 老师在黑板上的板书：x（x+20）． （1）请根据老师的板书说出x的实际意义：　菜地的宽度　 ； （2）请用含x的多项式表示菜地的面积为：　（x2+20x）m2 ； （3）如图2，经测量菜地的长为120米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周开垦的菜地宽度均为a米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含a的多项式表示）； （4）当a＝2米时，求菜地开垦后的面积． 【解答】解：（1）由题意得：x的实际意义是菜地的宽度； 故答案为：菜地的宽度． （2）设菜地的宽度为x，则长度为x+20， ∴菜地的面积为：x（x+20）＝x2+20x（m2）； 故答案为：（x2+20x）m2； （3）∵菜地的长为120米， ∴菜地的宽为100米， ∵四周开垦的菜地宽度均为a米， ∴开垦后菜地的长为（120+2a）米，菜地的宽为（100+2a）米， ∴开垦后菜地的面积为：（120+2a）（100+2a） ＝12000+240a+200a+4a2 ＝12000+440a+4a2． （4）由（3）得：开垦后菜地的面积为：12000+440a+4a2， 当a＝2时，原式＝12000+440×2+4×22 ＝12000+880+16 ＝12896． 知 识 清 单 知识点3 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。 【知识解读】 多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq. 素 养 提 升 考点3 多项式与多项式相乘 例题讲解： 1．若（y+4）（y﹣3）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝﹣12 B．m＝7，n＝12 C．m＝1，n＝12 D．m＝7，n＝﹣12 【解答】解：（y+4）（y﹣3） ＝y2﹣3y+4y﹣12 ＝y2+y﹣12 ＝y2+my+n， 则m＝1，n＝﹣12， 故选：A． 2．已知M＝（a+1）（a2+a+1），N＝（a﹣1）（a2﹣a+1），那么M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 【解答】解：∵M＝（a+1）（a2﹣a+1），N＝（a﹣1）（a2+a+1）， ∴M﹣N＝（a+1）（a2﹣a+1）﹣（a﹣1）（a2+a+1） ＝（a3﹣a2+a+a2﹣a+1）﹣（a3+a2+a﹣a2﹣a﹣1） ＝a3﹣a2+a+a2﹣a+1﹣a3﹣a2﹣a+a2+a+1 ＝2＞0， ∴M＞N． 故选：A． 3．已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【解答】解：∵a﹣b＝5，ab＝3， ∴（a+1）（b﹣1） ＝ab﹣a+b﹣1 ＝ab﹣（a﹣b）﹣1 ＝3﹣5﹣1 ＝﹣3． 故选：A． 跟踪训练： 1．若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 【解答】解：运用多项式乘法法则展开可得： （x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n， ∴m＝1，n＝﹣6， ∴m+n＝1+（﹣6）＝﹣5， 故选：C． 2．已知（x﹣5）（x+2）＝x2+bx﹣c，则b、c的值为（　　） A．b＝3，c＝10 B．b＝﹣3，c＝10 C．b＝﹣3，c＝﹣10 D．b＝﹣5，c＝10 【解答】解：（x﹣5）（x+2） ＝x2+2x﹣5x﹣10 ＝x2﹣3x﹣10， ∵（x﹣5）（x+2）＝x2+bx﹣c， ∴b＝﹣3，﹣c＝﹣10， ∴c＝10， 故选：B． 3．已知若M＝（a+3）（a﹣4），N＝（a+2）（2a﹣5），其中a为有理数，则M﹣N的值（　　） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 【解答】解：M＝（a+3）（a﹣4）＝a2﹣a﹣12；N＝（a+2）（2a﹣5）＝2a2﹣a﹣10， ∴M﹣N＝a2﹣a﹣12﹣2a2+a+10＝﹣a2﹣2≤﹣2＜0， 则M﹣N的值为负数． 故选：B． 4．设M＝（x+3）（x﹣7），N＝（x+1）（x﹣5），则M与N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定 【解答】解：∵M＝（x+3）（x﹣7），N＝（x+1）（x﹣5）， ∴M﹣N＝（x+3）（x﹣7）﹣（x+1）（x﹣5） ＝（x2﹣4x﹣21）﹣（x2﹣4x﹣5） ＝x2﹣4x﹣21﹣x2+4x+5 ＝﹣16＜0， ∴M＜N， 故选：A． 5．若a2﹣3a﹣2＝0，则（a+2）（a﹣5）的值为（　　） A．﹣10 B．8 C．﹣8 D．不确定 【解答】解：∵a2﹣3a﹣2＝0， ∴a2﹣3a＝2， ∴（a+2）（a﹣5） ＝a2﹣5a+2a﹣10 ＝a2﹣3a﹣10 ＝2﹣10 ＝﹣8， 故选：C． 6．已知m+n＝3，mn＝1，则（1﹣2m）（1﹣2n）的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【解答】解：∵（1﹣2m）（1﹣2n） ＝1﹣2m﹣2n+4mn ＝1﹣2（m+n）+4mn， ∴当m+n＝3，mn＝1时， 原式＝1﹣2×3+4×1 ＝1﹣6+4 ＝﹣1， 故选：A． 7．计算： （1）； （2）（x+2）（x+1）+2（x﹣1）． 【解答】解：（1）原式 ＝24a2b﹣8ab2； （2）原式＝x2+x+2x+2+2x﹣2 ＝x2+5x． 8．计算： （1）； （2）（y+4）（y﹣1）﹣（y+2）． 【解答】解：（1）原式＝1﹣9+2＝﹣6； （2）原式＝y2﹣y+4y﹣4﹣y﹣2＝y2+2y﹣6． 考点4 “不含”、“无关”问题 例题讲解： 1．已知式子（2x2+x+3）（ax﹣1）的结果中不含x2项，则a的值为（　　） A．0 B．﹣2 C． D．2 【解答】解：原式＝2ax3﹣2x2+ax2﹣x+3ax﹣3 ＝2ax3+（﹣2+a）x2+（﹣1+3a）x﹣3， ∵式子（2x2+x+3）（ax﹣1）的结果中不含x2项， ∴﹣2+a＝0， ∴a＝2． 故选：D． 跟踪训练： 1．已知多项式ax+b与2x2﹣x+1的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则ab的值为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 【解答】解：∵（ax+b）（2x2﹣x+1）＝2ax3+（2b﹣a）x2+（a﹣b）x+b， ∴，解得：， ∴ab＝42＝16． 故选：D． 2．若（x﹣a）（x2+3x﹣2）的展开式中不含x2项，则常数a的值为（　　） A．0 B．3 C．2 D．﹣2 【解答】解：∵多项式（x﹣a）（x2+3x﹣2）＝x3+（3﹣a）x2+（﹣3a﹣2）x+2a不含x2项， ∴3﹣a＝0， 解得a＝3． 故选：B． 3．若的积中不含x项与x3项． （1）求p、q的值； （2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2023q2024的值． 【解答】解：（1） ， ∵的积中不含x项与x3项， ∴pq+1＝0，p﹣3＝0， 解得：； （2）∵， ∴pq＝﹣1， ∴ ＝36． 4．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m，n的值； （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【解答】解：（1）（x3+mx+n）•（x2﹣3x+4） ＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n ＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n， ∵展开式中不含x3和x2项， ∴4+m＝0，n﹣3m＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣12； （2）（m+n）（m2﹣mn+n2） ＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3 ＝m3+n3， 由（1）得m＝﹣4，n＝﹣12， 所以原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64+（﹣1728）＝﹣1792． 考点5 马虎问题 例题讲解： 1．在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数） 【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12， ∴6+a＝8， ∴a＝2； ∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6， ∴b﹣a＝1， ∴b＝3， ∴（x+a）（a+b） ＝（x+2）（x+3） ＝x2+5x+6． 跟踪训练： 1．在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到的结果是x2+9x+18；乙把a错看成了﹣a，得到的结果是x2+x﹣12． （1）求a，b的值； （2）计算（x+a）（x+b）的正确结果． 【解答】解：（1）∵（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+9x+18， （x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2+x﹣12， ∴6a＝18，﹣a+b＝1， 解得a＝3，b＝4； （2）当a＝3，b＝4时，（x+a）（x+b）＝（x+3）（x+4）＝x2+7x+12． 2．甲、乙两人同时计算一道整式乘法题：（2x+a）•（3x+b）．甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，即把+a抄成﹣a，得到的结果为6x2+11x﹣10，乙由于抄漏了第二个多项式中x的系数，即把3x抄成x，得到的结果为2x2﹣9x+10，请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 【解答】解：（2x﹣a）•（3x+b） ＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab ＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab， ∴2b﹣3a＝11 ①， （2x+a）•（x+b） ＝2x2+2bx+ax+ab ＝2x2+（2b+a）x+ab， ∴2b+a＝﹣9 ②， 由①和②组成方程组， 解得：， ∴（2x﹣5）•（3x﹣2） ＝6x2﹣4x﹣15x+10 ＝6x2﹣19x+10． 考点6 几何图形问题 例题讲解： 1．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．（x+6）（x+4）﹣6x B．x（x+4）+24 C．4（x+6）+x2 D．x2+24 2．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+3b的长方形，需要B类卡片（　　）【解答】解：A、大长方形的面积为：（x+6）（x+4），空白处小长方形的面积为：6x，所以阴影部分的面积为（x+6）（x+4）﹣6x，故不符合题意； B、阴影部分可分为两个长为x+4，宽为x和长为6，宽为4的长方形，他们的面积分别为x（x+4）和4×6＝24，所以阴影部分的面积为x（x+4）+24，故不符合题意； C、阴影部分可分为一个长为x+6，宽为4的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：4（x+6）+x2，故不符合题意； D、阴影部分的面积为x（x+4）+24＝x2+4x+24，故符合题意； 故选：D． A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【解答】解：长方形的面积为： （2a+b）（a+3b） ＝2a2+7ab+3b2， ∴需要B类卡片的张数为7ab÷（ab）＝7（张）． 故选：C． 跟踪训练： 1．如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（　　） A．a2+5a+15 B．（a+5）（a+3）﹣3a C．a（a+5）+15 D．a（a+3）+a2 【解答】解：A．是三个图形面积的和，正确，不符合题意； B．是补成一个大长方形，用大长方形的面积减去补的长方形的面积，正确，不符合题意； C．是上面大长方形的面积加上下面小长方形的面积，正确，不符合题意； D．不是楼房的面积，错误，符合题意． 故选：D． 2．小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各10张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是（2a+3b）和（3a+2b）的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（　　） A．够用，剩余5张 B．够用，剩余1张 C．不够用，缺2张 D．不够用，缺3张【解答】解：大长方形的面积为（2a+3b）（3a+2b）＝6a2+13ab+6b2，C类卡片的面积是ab， ∴需要C类卡片的张数是13， ∴不够用，还缺3张， 故选：D． 3．如图，和谐广场有一块长为（4a+2b）米，宽（3a+b）米的长方形空地，角上有两块边长均为（a﹣b）米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） （1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若a＝30，b＝10，每平米的绿化费用为50元，求阴影部分的绿化总费用． 【解答】解：（1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积可得： （4a+2b）（3a+b）﹣2（a﹣b）2 ＝12a2+4ab+6ab+2b2﹣2a2+4ab﹣2b2 ＝10a2+14ab， ∴绿化的总面积为（10a2+14ab）平方米． （2）当a＝30，b＝10时，10a2+14ab＝10×302+14×30×10＝13200平方米， 则绿化的总面积为13200平方米， 13200×50＝660000（元）， ∴绿化总费用为660000元． 4．如图，学校有一块长方形的劳动教育基地，长为6b米，宽为2a米，为了满足需要，需在旁边开垦出新的土地，使原来的长增加a米，宽增加b米． （1）求该基地现在的土地面积．（用含a、b的式子表示） （2）当a＝4、b＝3时，求增加的土地面积． 【解答】解：（1）（6b+a）（2a+b）＝2a2+13ab+6b2（平方米）， 答：该基地现在的土地面积是（2a2+13ab+6b2）平方米， （2）当a＝4、b＝3时， 该基地现在的土地面积为2a2+13ab+6b2＝242（平方米）， 原来基地的面积为2a×6b＝12×4×3＝144（平方米）， ∴242﹣144＝98（平方米）， 答：增加的土地面积是98平方米， 考点7 规律问题 例题讲解： 1．回答下列问题： （1）计算： ①（x+2）（x+3）＝ x2+5x+6　 ； ②（x+2）（x﹣3）＝ x2﹣x﹣6　 ； ③（x﹣2）（x+3）＝ x2+x﹣6　 ． （2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+　（a+b）　 x+ab； （3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+7．求m的所有可能值． 【解答】解：（1）①（x+2）（x+3） ＝x2+2x+3x+6 ＝x2+5x+6． ②（x+2）（x﹣3） ＝x2﹣3x+2x﹣6 ＝x2﹣x﹣6． ③（x﹣2）（x+3） ＝x2+3x﹣2x﹣6 ＝x2+x﹣6． 故答案为：①x2+5x+6；②x2﹣x﹣6；③x2+x﹣6； （2）原式＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab． 故答案为：（a+b）； （3）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+7， ∴m＝a+b，ab＝7， ∵a、b都是整数，7＝1×7＝（﹣1）×（﹣7）， ∴或或或， ∴m＝a+b＝1+7＝8或m＝a+b＝﹣1﹣7＝﹣8． 跟踪训练： 2．阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 【归纳】 （1）由此可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1　 ； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算22025+22024+22023+…+22+2+1的值． （3）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2025的值． 【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； 所以（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1． 故答案为：xn+1﹣1； （2）22025+22024+22023+…+22+2+1 ＝（2﹣1）（22025+22024+22023+⋯+22+2+1） ＝22026﹣1． 故答案为：22026﹣1． （3）由题意可得： 所以（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0． 所以实数x＝±1． 因为x5+x4+x3+x2+x+1＝0， 当x＝1时，x5+x4+x3+x2+x+1＝6≠0， 所以x≠1，x＝﹣1． 所以x2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $