10.3乘法公式学案2025-2026学年青岛版数学七年级下册

10.3乘法公式 知 识 清 单 知识点1 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。即：（a+b）（a-b）=a2-b2 【知识解读】 （1）公式左边的两个二项式相乘，一项相同，另一项符号相反. （2）公式右边是这两项的平方差； 右边是相同项的平方,减去符号相反项的平方. （3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是数或字母，也可以是单项式或多项式. 素 养 提 升 考点1 平方差公式的几何推导 例题讲解： 1．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 2．【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ； 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：299×301+1； ②计算：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（31024+1）．【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积为：a2﹣b2；图②中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b）； 则阴影部分的面积可以验证的公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）①原式＝（300﹣1）（300+1）+1 ＝3002﹣1+1 ＝90000； ②原式 ＝…… ． 跟踪训练： 1．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2， 图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b）， 因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：C． 2．如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图②，根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ． 【解答】解：左图中部分的面积＝a2﹣b2， 右图中的面积＝（a+b）（a﹣b）， 由图中的面积不变，得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 3．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有　①②③　 （填图中的序号）． 【解答】解：根据平方差公式和图示逐项分析判断如下： 图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即（a2﹣b2），拼成的右图是底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，面积为（a+b）（a﹣b）， ∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即（a2﹣b2），拼成的右图是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，面积为（a+b）（a﹣b），∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即（a2﹣b2），拼成的右图是底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，面积为（a+b）（a﹣b）， ∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，图③可以验证平方差公式； 图④中，（a+b）2﹣（a﹣b）2，拼成的右图是长为2a，宽为2b的长方形，面积为4ab， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，图④不能验证平方差公式； 故答案为：①②③． 4．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是A ．（请选择正确的一个） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） （2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值． （3）计算：． 【解答】解：（1）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，所以面积为（a+b）（a﹣b）， 因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：A； （2）∵x2﹣y2＝16，即（x+y）（x﹣y）＝16，而x+y＝8， ∴x﹣y＝16÷8＝2； （3）原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）×…×（1）（1）（1）（1） ． 5．【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是22﹣12＝2+1， 图2空白部分小正方形的个数是32﹣22＝3+2， 图3空白部分小正方形的个数是42﹣32＝4+3， （1）像这样继续排列下去，请写出第6幅图对应的算式：　72﹣62＝7+6　 ． （2）请再写出第n幅图对应的算式：　（n+1）2﹣n2＝2n+1　 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）． 【问题解决】 （3）（20262﹣20252+20242﹣20232+20222﹣20212+…+22﹣12）+1013＝　2054364．　 ． 【解答】解：（1）根据规律，第6幅图对应的算式为： 72﹣62＝7+6， 故答案为：72﹣62＝7+6； （2）（n+1）2﹣n2＝（n+1）+n＝2n+1， 故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1； （3）原式＝（2026+2025）+（2024+2023）+…+（2+1）+1013 ＝（2026+1）×2026÷2+1013 ＝2027×1013+1013 ＝1013×（2027+1） ＝1013×2028 ＝2054364， 故答案为：2054364． 考点2 平方差公式的有关计算 例题讲解： 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（y+x） B．（x﹣y）（x﹣y） C．（x﹣y）（x+y） D．（x+y）（﹣x﹣y）【解答】解：（x+y）（y+x），（x﹣y）（x﹣y），（x+y）（﹣x﹣y）不能用平方差公式计算， （x﹣y）（x+y）能用平方差公式计算， 故选：C． 2．运用乘法公式计算（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）时，下列变形正确的是（　　） A．[x+（y﹣1）][x﹣（y﹣1）] B．[x+（y﹣1）][x﹣（y+1）] C．[（x+y）﹣1][（x﹣y）﹣1] D．[（x﹣1）+y][（x﹣1）﹣y] 【解答】解：（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）＝[（x﹣1）+y][（x﹣1）﹣y]， 故选：D． 3．已知m2﹣9n2＝24，m+3n＝3，则m﹣3n＝　8　 ． 【解答】解：因为m2﹣9n2＝24，m+3n＝3，m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n）， 所以24＝3（m﹣3n）， 所以m﹣3n＝8， 故答案为：8． 跟踪训练： 1．若（　　）（x+y）可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（　　） A．x+y B．x﹣y C．﹣x+2y D．﹣x﹣y 【解答】解：根据平方差公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2逐项分析判断如下： A、（x+y）（x+y）＝（x+y）2，是完全平方形式，不符合平方差公式结构，∴该选项错误； B、（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，符合平方差公式结构，∴该选项正确； C、（﹣x+2y）（x+y），不存在完全相同的项，也不存在互为相反数的对应项，不符合平方差公式结构，∴该选项错误； D、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）2，是完全平方形式，∴该选项错误． 故选：B． 2．计算：（3a+2b）（3a﹣2b）＝（　　） A．3a2﹣2b2 B．3a2﹣4b2 C．9a2+4b2 D．9a2﹣4b2 【解答】解：原式＝（3a）2﹣（2b）2 ＝9a2﹣4b2． 故选：D． 3．若x2﹣y2＝﹣1，则（x﹣y）2025•（x+y）2025＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 4．已知m+n＝2，m﹣n＝3，则计算m2﹣n2的结果为　6　 ．【解答】解：根据积的乘方法则先将（x﹣y）2025•（x+y）2025化成（x2﹣y2）2025可知： （x﹣y）2025•（x+y）2025 ＝[（x﹣y）（x+y）]2025 ＝（x2﹣y2）2025 ＝（﹣1）2025 ＝﹣1． 故选：B． 【解答】解：利用平方差公式将所求代数式因式分解可知： m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2×3＝6． 故答案为：6． 5．若，，则a﹣b的值为 　　 ． 【解答】解：∵，， ∴． 故答案为：． 6．计算： （1）； （2）（2a+3）2•（2a﹣3）2； （3）（x+1）（x﹣1）（x2+1）； （4）12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯+992﹣1002． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝[（2a+3）（2a﹣3）]2 ＝（4a2﹣9）2 ＝16a4﹣72a2+81； （3）原式＝（x2﹣1）（x2+1） ＝x4﹣1； （4）原式＝（1+2）×（1﹣2）+（3+4）×（3﹣4）+…+（99+100）×（99﹣100） ＝﹣1﹣2﹣3﹣4﹣…﹣99﹣100 ＝﹣（1+2+3+4+…+99+100） ＝﹣5050． 考点3 平方差公式的简便运算 例题讲解： 1．计算：20262﹣20252＝（　　） A．1 B．206 C．4050 D．4051【解答】解：原式＝（2026+2025）（2026﹣2025） ＝4051×1 ＝4051． 故选：D． 2．已知M＝20252，N＝2024×2026，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 【解答】解：N＝2024×2026＝（2025﹣1）（2025+1）＝20252﹣1， ∵20252＞20252﹣1， ∴M＞N， 故选：A． 3．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）得（　　） A．28﹣1 B．210﹣1 C．216﹣1 D．232﹣1 【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1） ＝（28﹣1）（28+1） ＝216﹣1． 故选：C． 跟踪训练： 1．9982﹣999×997＝（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 【解答】解：原式＝9982﹣（998+1）×（998﹣1）＝9982﹣9982+1＝1． 故选：B． 2．计算20112﹣2010×2012的结果是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2×20112﹣1 【解答】解：原式＝20112﹣（2011﹣1）×（2011+1） ＝20112﹣（20112﹣1） ＝1． 故选：C． 3．将2024×2026变形正确的是（　　） A．20252﹣1 B．20252+1 C．20252+2×2025+1 D．20252﹣2×2025+1 【解答】解：原式＝（2025﹣1）×（2025+1） ＝20252﹣1， 故选：A． 4．已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是M＞N ． 【解答】解：∵M＝20242，N＝2023×2025＝20242﹣1， ∴M﹣N＝20242﹣（20242﹣1）＝1＞0， ∴M＞N． 故答案为：M＞N． 5．计算：2026×2024﹣20252＝　﹣1　 ． 【解答】解：2026×2024﹣20252 ＝（2025+1）×（2025﹣1）﹣20252 ＝20252﹣1﹣20252 ＝（20252﹣20252）﹣1 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 6．已知a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝7552﹣1632，则a，b，c按从小到大的顺序排列为 a ＜c ＜b ． 【解答】解：a＝192×918＝361×918， b＝（888+30）（888﹣30）＝858×918， c＝（755+163）（755﹣163）＝592×918， ∵361＜592＜858， ∴361×918＜592×918＜858×918， ∴a＜c＜b． ∴a，b，c按从小到大的顺序排列为：a＜c＜b． 故答案为：a，c，b． 7．18×（3+1）×（32+1）×（34+1）…（364+1）+9＝　3130 ． 8．若a＝20250，b＝2024×2026﹣20252，c＝（）2024×（）2025，则下列a，b，c的大小关系正确的是b＜a＜c ．【解答】解：原式＝9×（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）…（364+1）+9 ＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）…（364+1）×9+9 ＝（34﹣1）×（34+1）…（364+1）×9+9 ＝（364﹣1）（364+1）×9+9 ＝（3128﹣1）×9+9 ＝9×（3128﹣1+1） ＝32×3128 ＝3130． 故答案为：3130． 【解答】解：若a＝20250，b＝2024×2026﹣20252，c＝（）2024×（）2025， 其中2024×2026＝（2025﹣1）（2025+1）＝20252﹣1， 所以b＝（20252﹣1）﹣20252＝﹣1． ， 由于指数2024为偶数，， 所以， 其中， 因此． 比较大小： b＝﹣1，a＝1，， 所以b＜a＜c， 故答案为：b＜a＜c． 9．用乘法公式进行简便计算． （1）992； （2）； （3）20322﹣2031×2033． 【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）2 ＝1002﹣2×100×1+12 ＝10000﹣200+1 ＝9801； （2）； （3）原式＝20322﹣（2032﹣1）×（2032+1） ＝20322﹣（20322﹣12） ＝20322﹣20322+1 ＝1． 10．用简便方法计算： （1）98×102； （2）20142﹣2014×4026+20132． 【解答】解：（1）由平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝（a2﹣b2）可知， 98×102＝（100﹣2）（100+2）＝1002﹣22＝9996； （2）由完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2可知， 20142﹣2014×4026+20132 ＝20142﹣2×2014×2013+20132 ＝（2014﹣2013）2 ＝1． 11．下面是小明同学进行一道整式计算的过程： 计算：（2x﹣3）（2x+3）+（2x﹣1）（1﹣2x）． 解：原式＝（2x）2﹣9﹣（2x﹣1）2…第①步 ＝4x2﹣9﹣（4x2﹣4x+1）…第②步 ＝4x2﹣9﹣4x2﹣4x﹣1…第③步 ＝﹣4x﹣10⋯第④步 （1）小明第一步用到的乘法公式用字母表示为（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 ，第二步用到的乘法公式用字母表示为（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 ； （2）小明第　三　 步开始出现错误，错因是　括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号　 ； （3）请你写出正确的计算过程． 【解答】解：（1）小明第一步用到的乘法公式用字母表示为（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2， 第二步用到的乘法公式用字母表示为（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； 故答案为：x2﹣y2，x2﹣2xy+y2； （2）第三步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； 故答案为：三；括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； （3）（2x﹣3）（2x+3）+（2x﹣1）（1﹣2x） ＝（2x）2﹣9﹣（2x﹣1）2 ＝4x2﹣9﹣（4x2﹣4x+1） ＝4x2﹣9﹣4x2+4x﹣1 ＝4x﹣10． 知 识 清 单 知识点2 完全平方公式 两个数的和（差）的平方，等于这两个数的平方和加上（减去）它们乘积的2倍。即： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 【知识解读】 （1）公式左边是两个数的和（差）的平方。 （2）公式右边是两个数的平方和，再加上（减去）两数积的2倍。 （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式与平方差公式都叫做乘法公式 （5）完全平方公式常见变形： ① ② ③ 素 养 提 升 考点1 完全平方公式的几何推导 例题讲解： 1．有一张边长为acm的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加bcm，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【解答】解：方案一：图形整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图形的4个部分的面积和为a2+2ab+b2，所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2； 方案二：图形整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图形的4个部分的面积和为a2+2ab+b2，所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2； 方案三：图形整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图形的3个部分的面积和为a2b（a+a+b）×2＝a2+2ab+b2，所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故选：C． 2．如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（　　） A．a+b B．a+2b C．2a+b D．3a+b 【解答】解：由拼图可得拼成的大正方形的面积为9a2+6ab+b2， 而9a2+6ab+b2＝（3a+b）2， 所以正方形的边长为3a+b， 故选：D． 3．【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ； 图2表示：　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝80，则图中阴影部分面积是　32　 ． 【拓展提升】 （3）①若x满足（9﹣x）（x﹣5）＝6；求（9﹣x）2+（x﹣5）2＝　4　 ． ②若x满足（x+2）2+（x﹣6）2＝25；则（x+2）（x﹣6）＝　　 ． 【解答】解：（1）由图1可知，（a+b）2＝a2+2ab+b2， 由图2可知，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）设BC＝a，AC＝b， ∵AB＝AC+CB＝12， ∴a+b＝12， ∴，， ∴b2+a2＝80， ∵， ∴． 故答案为：32； （3）①∵（9﹣x）（x﹣5）＝6，（9﹣x）+（x﹣5）＝4， ∴（9﹣x）2+（x﹣5）2＝[（9﹣x）+（x﹣5）]2﹣2（9﹣x）（x﹣5）＝42﹣2×6＝4． 故答案为：4； ②∵（x+2）2+（x﹣6）2＝25，（x+2）﹣（x﹣6）＝8， ∴2（x+2）（x﹣6）＝[（x+2）2+（x﹣6）2]﹣[（x+2）﹣（x﹣6）]2， ∴2（x+2）（x﹣6）＝25﹣82＝﹣39， ∴． 故答案为：． 跟踪训练： 1．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为64，小正方形的面积为9，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A．x+y＝8 B．x﹣y＝3 C．x2+y2＝36 D．4xy+9＝64 【解答】解：∵大正方形的面积为64，小正方形的面积为9， ∴x+y＝8，x﹣y＝3， ∴x＝5.5，y＝2.5， ∴x2+y2＝36.5， ∵由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案， ∴4xy+9＝64， 故选：C． 2．数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材都安排了运用图形面积加以验证．我们加以推广，下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A中的阴影部分是边长为x﹣1的正方形，因此面积为（x﹣1）2，阴影部分的面积也可以看作大正方形的面积与空白部分面积的差，即x2﹣2x+1，所以有（x﹣1）2＝x2﹣2x+1． 故选：A． 3．如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（　　） A．2（a+b）＝2a+2b B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 【解答】解：∵大正方形的面积：（a+b）2或a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2． 故选：B． 4．如图是一个长为2a，宽为2b的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（　　） A．ab B．（a﹣b）2 C．（2a+b）2 D．a2﹣b2 【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b， 则面积是（a﹣b）2． 故选：B． 5．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形（a＞b），C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：a2+2ab+b2＝（a+b）2， 4a2+4ab+b2＝（2a+b）2， a2+4ab+4b2＝（a+2b）2， 4a2+8ab+4b2＝（2a+2b）2， ∴共有4个符合条件的大正方形． 故选：B． 6．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为 　4　 ． 【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则，，BG＝a+b＝6， ∴， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝62＝36， ∴2ab＝36﹣20＝16， ∴ab＝8， ∴阴影部分的面积． 故答案为：4． 7．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若a+b＝7，ab＝4，求a2+b2的值． （3）若x满足（5﹣x）（x﹣1）＝3，求（5﹣x）2+（x﹣1）2的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，AC＝18米，求种草区域的面积和．【解答】解：（1）∵图②中大正方形的边长为（a+b），阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽进和长分别为a，b， ∴大正方形的面积为（a+b）2，阴影部分两个正方形的面积分别为a2，b2，长方形的面积为ab， 又∵阴影部分两个正方形的面积之和＝大正方形的面积﹣两个长方形的面积， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）由（1）的结论得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 又∵a+b＝7，ab＝4， ∴a2+b2＝72﹣2×4＝41； （3）设5﹣x＝a，x﹣1＝b，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝a2+b2， ∴a+b＝5﹣x+x﹣1＝4， ∵（5﹣x）（x﹣1）＝3， ∴ab＝3， 由（1）的结论得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴a2+b2＝42﹣2×3＝10， ∴（5﹣x）2+（x﹣1）2＝a2+b2＝10； （4）设AE＝DE＝a，BE＝CE＝b， ∵AC⊥BD于点E，AC＝18米， ∴S△AEDa2（平方米），S△BECb2（平方米），S△AEBab（平方米），S△CEDab（平方米），a+b＝18（米）， ∵种花区域的面积和为102平方米， ∴S△AED+S△BECa2b2＝102， ∴a2+b2＝204， 由（1）的结论得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴204＝182﹣2ab， ∴ab＝60， ∴种草区域的面积和为：S△AEB+S△CEDabab＝ab＝60（平方米）． 答：种草区域的面积和为60平方米． 8．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于a﹣b （用含a、b式子表示）； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：　（a+b）2﹣4ab 方法2：　（a﹣b）2 ； （3）观察图2，尝试写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab三个式子之间的等量关系式是：　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ． 【解答】解：（1）图2中阴影部分的正方形的边长等于a﹣b， 故答案为：a﹣b． （2）两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：， 方法2：， 故答案为：（a+b）2﹣4ab；（a﹣b）2； （3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． 考点2 完全平方公式的有关计算 例题讲解： 1．下列各式中，计算正确的是（　　） A．2a﹣a＝2 B．a2•a2＝2a2 C．（a+1）2＝a2+1 D．（﹣2xy）3＝﹣8x3y3【解答】解：根据合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、积的乘方的运算逐项分析判断如下： A．∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变， ∴2a﹣a＝（2﹣1）a＝a≠2，A计算错误． B．∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴a2•a2＝a2+2＝a4≠2a2，B计算错误． C．根据完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴（a+1）2＝a2+2a+1≠a2+1，C计算错误． D．∵积的乘方等于各因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴（﹣2xy）3＝（﹣2）3x3y3＝﹣8x3y3，D计算正确． 故选：D． 2．已知a+b＝7，ab＝12，那么a2+b2＝（　　） A．19 B．25 C．31 D．73 【解答】解：完全平方公式移项可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． ∵a+b＝7，ab＝12． ∴代入得a2+b2＝72﹣2×12＝49﹣24＝25． 故选：B． 3．若x+y＝3，xy＝2，则x2+y2的值为（　　） A．8 B．7 C．5 D．6 【解答】解：由完全平方公式可得： x2+y2＝（x+y）2﹣2xy ＝32﹣2×2 ＝5． 故选：C． 4．已知a＝x﹣2024，b＝x﹣2026，c＝x﹣2025，若a2+b2＝56，则c2的值为（　　） A．20 B．22 C．24 D．27 【解答】解：∵a＝x﹣2024，b＝x﹣2026，c＝x﹣2025， ∴a＝c+1，b＝c﹣1， ∴a2+b2＝（c+1）2+（c﹣1）2＝c2+2c+1+c2﹣2c+1＝2c2+2， 又∵a2+b2＝56， ∴2c2+2＝56， ∴2c2＝56﹣2， ∴2c2＝54， ∴c2＝27， 即c2的值为27， 故选：D． 跟踪训练： 1．下列运算正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．（3a+2b）﹣（a+2b）＝2a C．（ab）2＝ab2 D．（a+b）2＝a2+b2【解答】解：由题知， 因为2a+3a＝5a，所以A选项不符合题意； 因为（3a+2b）﹣（a+2b）＝3a+2b﹣a﹣2b＝2a，所以B选项符合题意； 因为（ab）2＝a2b2，所以C选项不符合题意； 因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2．下列运算正确的是（　　） A．4a﹣3a＝1 B．（﹣a2）3＝﹣a5 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（3a3）2＝9a6【解答】解：根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式的法则逐项分析判断如下： A．4a﹣3a＝a≠1，运算错误，不符合题意； B．（﹣a2）3＝﹣a2×3＝﹣a6≠﹣a5，运算错误，不符合题意； C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≠a2﹣b2，运算错误，不符合题意； D．（3a3）2＝32•（a3）2＝9a6，运算正确，符合题意； 故选：D． 3．下列运算中，计算错误的是（　　） A．2x2﹣3x2＝﹣x2 B．（﹣2x）3＝﹣8x3 C．（﹣x）2•x3＝x5 D．（x+1）2＝x2+1 【解答】解：根据合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式逐项分析判断如下： A、2x2﹣3x2＝（2﹣3）x2＝﹣x2，本选项计算正确； B、（﹣2x）3＝（﹣2）3•x3＝﹣8x3，本选项计算正确； C、（﹣x）2•x3＝x2•x3＝x5，本选项计算正确； D、（x+1）2＝x2+2x+1，本选项计算错误． 故选：D． 4．下列等式中能够成立的是（　　） A．（m+n）2＝m2+n2 B．（a+b）2＝a2+ab+b2 C．（x﹣2）2＝x2﹣4 D．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2 【解答】解：A、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故A不符合题意； B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合题意； C、（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故C不符合题意； D、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故D符合题意； 故选：D． 5．已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【解答】解：∵（x+2y）2＝10， ∴x2+4xy+4y2＝10①， ∵（x﹣2y）2＝18， ∴x2﹣4xy+4y2＝18②， ②﹣①得：﹣8xy＝8， ∴xy＝﹣1． 故选：A． 6．若m+n＝6，mn＝4，则m2+4mn+n2的值为（　　） A．40 B．44 C．48 D．52 【解答】解：∵m+n＝6，mn＝4， ∴m2+4mn+n2＝（m+n）2+2mn＝62+2×4＝44． 故选：B． 7．已知：x﹣y＝5，（x+y）2＝49，则x2+y2的值等于（　　） A．37 B．27 C．25 D．44 【解答】解：将x﹣y＝5两边平方得：（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝25①， 再由（x+y）2＝x2+y2+2xy＝49②， ①+②得：2（x2+y2）＝74， 则x2+y2＝37． 故选：A． 8．若m+n＝5，mn＝3，则（m﹣n）2＝　13　 ． 【解答】解：（m﹣n）2 ＝m2﹣2mn+n2 ＝（m2+2mn+n2）﹣4mn ＝（m+n）2﹣4mn， 将m+n＝5，mn＝3代入上式得： （m﹣n）2 ＝（m+n）2﹣4mn ＝52﹣4×3 ＝13． 故答案为：13． 9．已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为　3　 ． 【解答】解：∵（m+n）2＝11，mn＝2， ∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝m2+2mn+n2﹣4mn＝（m+n）2﹣4mn＝11﹣8＝3， 故答案为：3 10．设a＝x﹣2023，b＝x﹣2025，c＝x﹣2024．若a2+b2＝56，则c2＝（　　） A．27 B．24 C．22 D．20 【解答】解：将a＝c+1、b＝c﹣1代入a2+b2＝56， （c+1）2+（c﹣1）2＝56， （c2+2c+1）+（c2﹣2c+1）＝56， 2c2+2＝56， c2＝27． 故选：A． 11．若实数m满足（m﹣2025）2+（2026﹣m）2＝2027，则（m﹣2025）（2026﹣m）＝（　　） A．2026 B．1013 C．﹣2026 D．﹣1013 【解答】解：设a＝m﹣2025，b＝2026﹣m， ∵a+b＝（m﹣2025）+（2026﹣m）＝1， 又∵a2+b2＝2027，且由完全平方公式得（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴1＝2027+2ab， 解得2ab＝1﹣2027＝﹣2026， ∴ab＝﹣1013， 即（m﹣2025）（2026﹣m）＝﹣1013， 故选：D． 12．化简： （1）（x﹣2y）2﹣x（x﹣4y）； （2）（a+b）2﹣（a﹣b）2． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+4xy＝4y2． （2）原式＝（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2） ＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2 ＝4ab． 13．化简：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣1）2． 【解答】解：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣1）2 ＝a2+3a﹣2a﹣6﹣（a2﹣2a+1） ＝a2+a﹣6﹣a2+2a﹣1 ＝3a﹣7． 14．计算： （1）； （2）（2m﹣1）（3m+1）． 【解答】解：（1）＝16x2﹣4xyy2； （2）（2m﹣1）（3m+1） ＝6m2+2m﹣3m﹣1 ＝6m2﹣m﹣1． 15．（1）已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值； （2）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy的值． 【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝25﹣6＝19； （2）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9， ∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝（x2+2xy+y2）﹣（x2﹣2xy+y2）＝25﹣9， ∴4xy＝16， ∴xy＝4． 16．阅读下列材料，解答问题： 例：已知a﹣b＝3，ab＝2，求a2+b2的值． 解：方法1：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+4＝13 方法2：∵a﹣b＝3 ∴（a﹣b）2＝32 即a2﹣2ab+b2＝9 a2+b2＝9+2ab＝9+4＝13 请选择任意一种解题方法解决下列问题． （1）已知a+b＝6，ab＝﹣3，求代数式a2+b2的值； （2）已知a+b＝﹣2，ab＝﹣1，求代数式（a﹣b）2的值． 【解答】解：（1）a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝62﹣2×（﹣3） ＝36+6 ＝42； （2）（a﹣b）2＝ a2﹣2ab+b2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1） ＝4+4 ＝8． 17．阅读理解：完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16． ∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝　5　 ，（x+y）2＝　1　 ； （2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12．求（m﹣p）2+n2的值； （3）若a2+ab+b2＝10，a2﹣ab+b2＝4，则a﹣b＝　±1　 ． 【解答】解：（1）由条件可知（x﹣y）2＝（﹣3）2＝9，即x2﹣2xy+y2＝9， ∵xy＝﹣2， ∴x2+y2＝9+2xy＝9+2×（﹣2）＝9﹣4＝5， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝5+2×（﹣2）＝5﹣4＝1； 故答案为：5，1； （2）∵（m﹣p）+n＝﹣10， ∴[（m﹣p）+n]2＝（﹣10）2，即（m﹣p）2+2（m﹣p）n+n2＝100， ∵（m﹣p）n＝﹣12， ∴（m﹣p）2+n2＝100﹣2（m﹣p）n＝100﹣2×（﹣12）＝100+24＝124； （3）由条件可知a2+ab+b2+（a2﹣ab+b2）＝10+4＝14， ∴a2+ab+b2+a2﹣ab+b2＝14， ∴a2+b2＝7， ∴ab＝3， ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝7﹣2×3＝1， ∴a﹣b＝±1． 故答案为：±1． 考点3 完全平方公式的简便运算 例题讲解： 1．计算：1032+103×194+972＝　40000　 ． 【解答】解：原式＝1032+2×103×97+972 ＝（103+97）2 ＝2002 ＝40000， 故答案为：40000． 跟踪训练： 1．计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.12＝　100　 ． 【解答】解：原式＝（10.1﹣0.1）2 ＝102 ＝100， 故答案为：100． 2．计算：20262﹣2026×4050+20252＝　1　 ．【解答】解：20262﹣2026×4050+20252 ＝20262﹣2×2026×2025+20252 ＝（2026﹣2025）2 ＝12 ＝1． 故答案为：1． 3．计算：48.12﹣2×48.1×38.1+38.12＝　100　 ． 【解答】解：原式＝（48.1﹣38.1）2 ＝10.02 ＝100． 故答案为：100． 4．简便运算：992+202×99+1012． 【解答】解：原式＝992+2×101×99+1012 ＝（99+101）2 ＝2002 ＝40000． 5．计算： 【解答】解：设20012000＝x，则 原式． 考点4 完全平方式 例题讲解： 1．若（x﹣k）2＝x2+mx+16，则常数m的值是　±8　 ． 【解答】解：由条件可得：（x﹣k）2＝x2﹣2kx+k2， 由题意得 x2﹣2kx+k2＝x2+mx+16， 根据多项式相等对应项系数相等，可得， 解得：m＝±8． 故答案为：±8． 2．若多项式9x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．25 B．23 C．25或﹣23 D．﹣25或23 【解答】解：由条件可知﹣（a+1）xy＝±2×3x×4y＝±24xy， ∴a+1＝±24， ∴a＝﹣25或23． 故选：D． 3．若代数式（x﹣1）2+a（x﹣1）+b化简结果为x2+3x+2，则a+b的值为（　　） A．11 B．10 C．8 D．2 【解答】解：（x﹣1）2+a（x﹣1）+b ＝x2﹣2x+1+ax﹣a+b ＝x2+（a﹣2）x+（1﹣a+b）， 根据题意，得a﹣2＝3，1﹣a+b＝2， 解得a＝5，b＝6， ∴a+b＝5+6＝11， 故选：A． 4．若5，则　23　 ． 【解答】解：∵（a）2＝a2+225， ∴a225﹣2＝23． 跟踪训练： 1．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为　±16　 ． 【解答】解：∵4y2﹣my+16＝（2y±4）2， ∴m＝±16， 故答案为：±16． 2．若代数式m2﹣km+1是一个完全平方式，则实数k＝　±2　 ． 【解答】解：∵代数式m2﹣km+1是一个完全平方式， ∴﹣k＝±2×1＝±2， ∴k＝±2， 故答案为：±2． 3．已知（x+t）2＝x2﹣（k﹣2）x+16（k，t均为常数），则k＝　10或﹣6　 ． 【解答】解：（x+t）2 ＝x2+2tx+t2 ＝x2﹣（k﹣2）x+16， 则t2＝16，2t＝﹣（k﹣2）， 解得：t＝±4， 则﹣（k﹣2）＝±8， 解得：k＝10或﹣6， 故答案为：10或﹣6． 4．若（x﹣k）2＝x2+mx+16，则常数m的值是　±8　 ． 【解答】解：由条件可得：（x﹣k）2＝x2﹣2kx+k2， 由题意得 x2﹣2kx+k2＝x2+mx+16， 根据多项式相等对应项系数相等，可得， 解得：m＝±8． 故答案为：±8． 5．计算一个二项式的完全平方，其中的两项分别是4x2和+25y2，另一项应是（　　） A．10xy B．20xy C．10xy或﹣10xy D．20xy或﹣20xy 【解答】解：4x2＝（2x）2，+25y2＝（5y）2， 所以另一项应是±2×2x×5y＝±20xy， 故选：D． 6．设（x+2y）2＝（x﹣2y）2+M，则M等于（　　） A．4xy B．8xy C．2xy D．﹣4xy 【解答】解：∵（x+2y）2＝（x﹣2y）2+M ∴M＝（x+2y）2﹣（x﹣2y）2 ＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣4xy+4y2） ＝8xy， 故选：B． 7．若（2x﹣y）2+A＝（2x+y）2，则代数式A＝（　　） A．﹣4xy B．4xy C．﹣8xy D．8xy 【解答】解：A＝（2x+y）2﹣（2x﹣y）2， ∴A＝4x2+4xy+y2﹣（4x2﹣4xy+y2），即A＝4x2+4xy+y2﹣4x2+4xy﹣y2， 则A＝8xy． 故选：D． 8．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　） A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy 【解答】解：4x2＝（2x）2，25y2＝（5y）2， ∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2， ∴墨迹覆盖的这一项是±20xy， 故选：D． 9．如果关于x的整式x2﹣2（m+1）x+25＝（x+n）2，那么常数m﹣n的值是　﹣11或9　 ． 10．已知x3．【解答】解：∵关于x的整式x2﹣2（m+1）x+25＝（x+n）2， ∴n＝5，m+1＝﹣5或n＝﹣5，m+1＝5， 解得：m＝﹣6，n＝5或m＝4，n＝﹣5， 则m﹣n＝﹣6﹣5＝﹣11或4+5＝9， 故答案为：﹣11或9． （1）求x2的值； （2）求x4的值． 【解答】解：（1）∵x3， ∴（x）2＝x2+29， ∴x27； （2）由（1）可知x27， ∴x4（x2）2﹣2＝49﹣2＝47． 考点5 乘法公式综合题 例题讲解： 1．已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，则a2+b2﹣3ab＝　　 ． 【解答】解：∵（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4， ∴a2+2ab+b2＝7①，a2﹣2ab+b2＝4②， ①﹣②得：4ab＝3， 则ab， a2+b2﹣3ab＝（a﹣b）2﹣ab＝4， 故答案为：． 2．阅读下列材料，解答问题： 例：已知a﹣b＝3，ab＝2，求a2+b2的值． 解：方法1：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+4＝13 方法2：∵a﹣b＝3 ∴（a﹣b）2＝32 即a2﹣2ab+b2＝9 a2+b2＝9+2ab＝9+4＝13 请选择任意一种解题方法解决下列问题． （1）已知a+b＝6，ab＝﹣3，求代数式a2+b2的值； （2）已知a+b＝﹣2，ab＝﹣1，求代数式（a﹣b）2的值． 【解答】解：（1）a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝62﹣2×（﹣3） ＝36+6 ＝42； （2）（a﹣b）2＝ a2﹣2ab+b2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1） ＝4+4 ＝8． 跟踪训练： 1．计算（xy）（﹣5x+5y）﹣（x﹣y）2的结果为（　　） A．2xy﹣2y2 B．﹣2x2+2xy C．﹣2x2+2y2 D．﹣2x2 【解答】解：（xy）（﹣5x+5y）﹣（x﹣y）2 ＝﹣（x2﹣y2）﹣（x2+y2﹣2xy） ＝﹣x2+y2﹣x2﹣y2+2xy ＝﹣2x2+2xy． 故选：B． 2．如图1，长方形的长为4b，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2“回形”正方形， 【自主探究】 （1）观察图1、图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系式是 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ； 【知识运用】 （2）若2x﹣3y＝5，xy＝1，运用你所得到的公式，计算（2x+3y）2的值； 【知识延伸】 （3）已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝10，求（x﹣2024）2的值． 【解答】解：（1）观察图二可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． 故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． （2）原式＝（2x﹣3y）2+4×2x×3y ＝（2x﹣3y）2+24xy ＝52+24×1 ＝25+24 ＝49． （3）令x﹣2024＝t， 则（t+1）2+（t﹣1）2＝10， t2+2t+1+t2﹣2t+1＝10， t2＝4， 故（x﹣2024）2＝4． 3．题目：若（10﹣x）（x﹣5）＝2，求（10﹣x）2+（x﹣5）2的值． 解：观察发现，10﹣x与x﹣5中的﹣x与x互为相反数， 所以我们不妨设a＝10﹣x，b＝x﹣5． 因为（10﹣x）（x﹣5）＝2，所以ab＝2． 因为（10﹣x）+（x﹣5）＝5，所以a+b＝（10﹣x）+（x﹣5）＝5， 所以（10﹣x）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×2＝21． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． （1）若（9﹣x）（x﹣2）＝3，求（9﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）若x满足（2025﹣x）2+（x﹣2024）2＝13，求（2025﹣x）（x﹣2024）的值． 【解答】解：（1）设9﹣x＝a，x﹣2＝b，则ab＝3，a+b＝9﹣x+x﹣2＝7， ∴（9﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴（9﹣x）2+（x﹣2）2＝72﹣2×3＝49﹣6＝43； （2）设2025﹣x＝m，x﹣2024＝n，则m+n＝2025﹣x+x﹣2024＝1， 由条件可得m2+n2＝13， ∴m2+2mn+n2﹣2mn＝13， ∴（m+n）2﹣2mn＝13， ∴1﹣2mn＝13， 解得：mn＝﹣6， ∴（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣6． 4．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若（2023﹣x）（x﹣2018）＝4，求（2023﹣x）2+（x﹣2018）2的值． 解：设2023﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2023﹣x）（x﹣2018）＝ab＝4，a+b＝（2023﹣x）+（x﹣2018）＝5，所以（2023﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝28，求xy的值； （2）填空： ①若（5﹣x）x＝6，则（5﹣x）2+x2＝　13　 ； ②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　17　 ； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积． 【解答】解：（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． ∵x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， ∴x2+y2+2xy＝64， ∵x2+y2＝28， ∴28+2xy＝64， ∴xy＝18； （2）①设5﹣x＝m，x＝n ∴m+n＝5﹣x+x＝5，mn＝x（5﹣x）＝6 ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2×6＝13， ∴（5﹣x）2+x2＝m2+n2＝13； 故答案为：13； ②设4﹣x＝s，5﹣x＝t ∴t﹣s＝5﹣x﹣4+x＝1，ts＝（4﹣x）（5﹣x）＝8， ∴t2+s2＝（t﹣s）2+2ts＝12+2×8＝17， ∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝s2+t2＝17； 故答案为：17； （3）设AC＝c，BC＝d， ∴AB＝AC+BC＝c+d＝10，AC2+BC2＝c2+d2＝S1+S2＝52， ∴2cd＝（c+d）2﹣（c2+d2）＝102﹣52＝48， ∴cd＝24， ∴AC•BC＝24， ∴． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3乘法公式 知 识 清 单 知识点1 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。即：（a+b）（a-b）=a2-b2 【知识解读】 （1）公式左边的两个二项式相乘，一项相同，另一项符号相反. （2）公式右边是这两项的平方差； 右边是相同项的平方,减去符号相反项的平方. （3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是数或字母，也可以是单项式或多项式. 素 养 提 升 考点1 平方差公式的几何推导 例题讲解： 1．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 2．【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是 ； 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：299×301+1； ②计算：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（31024+1）． 跟踪训练： 1．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 2．如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图②，根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式： 　 ． 3．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有　 　 （填图中的序号）． 4．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是A ．（请选择正确的一个） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） （2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值． （3）计算：． 5．【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是22﹣12＝2+1， 图2空白部分小正方形的个数是32﹣22＝3+2， 图3空白部分小正方形的个数是42﹣32＝4+3， （1）像这样继续排列下去，请写出第6幅图对应的算式：　 　 ． （2）请再写出第n幅图对应的算式：　 　 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）． 【问题解决】 （3）（20262﹣20252+20242﹣20232+20222﹣20212+…+22﹣12）+1013＝　 　 ． 考点2 平方差公式的有关计算 例题讲解： 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（y+x） B．（x﹣y）（x﹣y） C．（x﹣y）（x+y） D．（x+y）（﹣x﹣y） 2．运用乘法公式计算（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）时，下列变形正确的是（　　） A．[x+（y﹣1）][x﹣（y﹣1）] B．[x+（y﹣1）][x﹣（y+1）] C．[（x+y）﹣1][（x﹣y）﹣1] D．[（x﹣1）+y][（x﹣1）﹣y] 3．已知m2﹣9n2＝24，m+3n＝3，则m﹣3n＝　 　 ． 跟踪训练： 1．若（　　）（x+y）可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（　　） A．x+y B．x﹣y C．﹣x+2y D．﹣x﹣y 2．计算：（3a+2b）（3a﹣2b）＝（　　） A．3a2﹣2b2 B．3a2﹣4b2 C．9a2+4b2 D．9a2﹣4b2 3．若x2﹣y2＝﹣1，则（x﹣y）2025•（x+y）2025＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 4．已知m+n＝2，m﹣n＝3，则计算m2﹣n2的结果为　 　 ． 5．若，，则a﹣b的值为 　 　 ． 6．计算： （1）； （2）（2a+3）2•（2a﹣3）2； （3）（x+1）（x﹣1）（x2+1）； （4）12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯+992﹣1002． 考点3 平方差公式的简便运算 例题讲解： 1．计算：20262﹣20252＝（　　） A．1 B．206 C．4050 D．4051 2．已知M＝20252，N＝2024×2026，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 3．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）得（　　） A．28﹣1 B．210﹣1 C．216﹣1 D．232﹣1 跟踪训练： 1．9982﹣999×997＝（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 2．计算20112﹣2010×2012的结果是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2×20112﹣1 3．将2024×2026变形正确的是（　　） A．20252﹣1 B．20252+1 C．20252+2×2025+1 D．20252﹣2×2025+1 4．已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是 ． 5．计算：2026×2024﹣20252＝　 　 ． 6．已知a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝7552﹣1632，则a，b，c按从小到大的顺序排列为 ． 7．18×（3+1）×（32+1）×（34+1）…（364+1）+9＝ 　 ． 8．若a＝20250，b＝2024×2026﹣20252，c＝（）2024×（）2025，则下列a，b，c的大小关系正确的是 ． 9．用乘法公式进行简便计算． （1）992； （2）； （3）20322﹣2031×2033． 10．用简便方法计算： （1）98×102； （2）20142﹣2014×4026+20132． 11．下面是小明同学进行一道整式计算的过程： 计算：（2x﹣3）（2x+3）+（2x﹣1）（1﹣2x）． 解：原式＝（2x）2﹣9﹣（2x﹣1）2…第①步 ＝4x2﹣9﹣（4x2﹣4x+1）…第②步 ＝4x2﹣9﹣4x2﹣4x﹣1…第③步 ＝﹣4x﹣10⋯第④步 （1）小明第一步用到的乘法公式用字母表示为（x+y）（x﹣y）＝ ，第二步用到的乘法公式用字母表示为（x﹣y）2＝ ； （2）小明第　 　 步开始出现错误，错因是　 　 ； （3）请你写出正确的计算过程． 知 识 清 单 知识点2 完全平方公式 两个数的和（差）的平方，等于这两个数的平方和加上（减去）它们乘积的2倍。即： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 【知识解读】 （1）公式左边是两个数的和（差）的平方。 （2）公式右边是两个数的平方和，再加上（减去）两数积的2倍。 （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式与平方差公式都叫做乘法公式 （5）完全平方公式常见变形： ① ② ③ 素 养 提 升 考点1 完全平方公式的几何推导 例题讲解： 1．有一张边长为acm的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加bcm，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证同一个公式，这个公式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 2．如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（　　） A．a+b B．a+2b C．2a+b D．3a+b 3．【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：　 ； 图2表示：　 ； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝80，则图中阴影部分面积是　 　 ． 【拓展提升】 （3）①若x满足（9﹣x）（x﹣5）＝6；求（9﹣x）2+（x﹣5）2＝　 　 ． ②若x满足（x+2）2+（x﹣6）2＝25；则（x+2）（x﹣6）＝　 　 ． 跟踪训练： 1．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为64，小正方形的面积为9，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A．x+y＝8 B．x﹣y＝3 C．x2+y2＝36 D．4xy+9＝64 2．数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材都安排了运用图形面积加以验证．我们加以推广，下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（　　） A．2（a+b）＝2a+2b B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 4．如图是一个长为2a，宽为2b的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（　　） A．ab B．（a﹣b）2 C．（2a+b）2 D．a2﹣b2 5．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形（a＞b），C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为 　 　 ． 7．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 ． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若a+b＝7，ab＝4，求a2+b2的值． （3）若x满足（5﹣x）（x﹣1）＝3，求（5﹣x）2+（x﹣1）2的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，AC＝18米，求种草区域的面积和． 8．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． （1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含a、b式子表示）； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：　 方法2：　 ； （3）观察图2，尝试写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab三个式子之间的等量关系式是：　 ． 考点2 完全平方公式的有关计算 例题讲解： 1．下列各式中，计算正确的是（　　） A．2a﹣a＝2 B．a2•a2＝2a2 C．（a+1）2＝a2+1 D．（﹣2xy）3＝﹣8x3y3 2．已知a+b＝7，ab＝12，那么a2+b2＝（　　） A．19 B．25 C．31 D．73 3．若x+y＝3，xy＝2，则x2+y2的值为（　　） A．8 B．7 C．5 D．6 4．已知a＝x﹣2024，b＝x﹣2026，c＝x﹣2025，若a2+b2＝56，则c2的值为（　　） A．20 B．22 C．24 D．27 跟踪训练： 1．下列运算正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．（3a+2b）﹣（a+2b）＝2a C．（ab）2＝ab2 D．（a+b）2＝a2+b2 2．下列运算正确的是（　　） A．4a﹣3a＝1 B．（﹣a2）3＝﹣a5 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（3a3）2＝9a6 3．下列运算中，计算错误的是（　　） A．2x2﹣3x2＝﹣x2 B．（﹣2x）3＝﹣8x3 C．（﹣x）2•x3＝x5 D．（x+1）2＝x2+1 4．下列等式中能够成立的是（　　） A．（m+n）2＝m2+n2 B．（a+b）2＝a2+ab+b2 C．（x﹣2）2＝x2﹣4 D．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2 5．已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 6．若m+n＝6，mn＝4，则m2+4mn+n2的值为（　　） A．40 B．44 C．48 D．52 7．已知：x﹣y＝5，（x+y）2＝49，则x2+y2的值等于（　　） A．37 B．27 C．25 D．44 8．若m+n＝5，mn＝3，则（m﹣n）2＝　 　 ． 9．已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为　 　 ． 10．设a＝x﹣2023，b＝x﹣2025，c＝x﹣2024．若a2+b2＝56，则c2＝（　　） A．27 B．24 C．22 D．20 11．若实数m满足（m﹣2025）2+（2026﹣m）2＝2027，则（m﹣2025）（2026﹣m）＝（　　） A．2026 B．1013 C．﹣2026 D．﹣1013 12．化简： （1）（x﹣2y）2﹣x（x﹣4y）； （2）（a+b）2﹣（a﹣b）2． 13．化简：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣1）2． 14．计算： （1）； （2）（2m﹣1）（3m+1）． 15．（1）已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值； （2）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy的值． 16．阅读下列材料，解答问题： 例：已知a﹣b＝3，ab＝2，求a2+b2的值． 解：方法1：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+4＝13 方法2：∵a﹣b＝3 ∴（a﹣b）2＝32 即a2﹣2ab+b2＝9 a2+b2＝9+2ab＝9+4＝13 请选择任意一种解题方法解决下列问题． （1）已知a+b＝6，ab＝﹣3，求代数式a2+b2的值； （2）已知a+b＝﹣2，ab＝﹣1，求代数式（a﹣b）2的值． 17．阅读理解：完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝　 　 ，（x+y）2＝　 　 ； （2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12．求（m﹣p）2+n2的值； （3）若a2+ab+b2＝10，a2﹣ab+b2＝4，则a﹣b＝　 　 ． 考点3 完全平方公式的简便运算 例题讲解： 1．计算：1032+103×194+972＝　 　 ． 跟踪训练： 1．计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.12＝　 　 ． 2．计算：20262﹣2026×4050+20252＝　 　 ． 3．计算：48.12﹣2×48.1×38.1+38.12＝　 　 ． 4．简便运算：992+202×99+1012． 5．计算： 考点4 完全平方式 例题讲解： 1．若（x﹣k）2＝x2+mx+16，则常数m的值是　 　 ． 2．若多项式9x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．25 B．23 C．25或﹣23 D．﹣25或23 3．若代数式（x﹣1）2+a（x﹣1）+b化简结果为x2+3x+2，则a+b的值为（　　） A．11 B．10 C．8 D．2 4．若5，则　 　 ． 跟踪训练： 1．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为　 　 ． 2．若代数式m2﹣km+1是一个完全平方式，则实数k＝　 　 ． 3．已知（x+t）2＝x2﹣（k﹣2）x+16（k，t均为常数），则k＝　 　 ． 4．若（x﹣k）2＝x2+mx+16，则常数m的值是　 　 ． 5．计算一个二项式的完全平方，其中的两项分别是4x2和+25y2，另一项应是（　　） A．10xy B．20xy C．10xy或﹣10xy D．20xy或﹣20xy 6．设（x+2y）2＝（x﹣2y）2+M，则M等于（　　） A．4xy B．8xy C．2xy D．﹣4xy 7．若（2x﹣y）2+A＝（2x+y）2，则代数式A＝（　　） A．﹣4xy B．4xy C．﹣8xy D．8xy 8．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　） A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy 9．如果关于x的整式x2﹣2（m+1）x+25＝（x+n）2，那么常数m﹣n的值是　 　 ． 10．已知x3． （1）求x2的值； （2）求x4的值． 考点5 乘法公式综合题 例题讲解： 1．已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，则a2+b2﹣3ab＝　 　 ． 2．阅读下列材料，解答问题： 例：已知a﹣b＝3，ab＝2，求a2+b2的值． 解：方法1：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+4＝13 方法2：∵a﹣b＝3 ∴（a﹣b）2＝32 即a2﹣2ab+b2＝9 a2+b2＝9+2ab＝9+4＝13 请选择任意一种解题方法解决下列问题． （1）已知a+b＝6，ab＝﹣3，求代数式a2+b2的值； （2）已知a+b＝﹣2，ab＝﹣1，求代数式（a﹣b）2的值． 跟踪训练： 1．计算（xy）（﹣5x+5y）﹣（x﹣y）2的结果为（　　） A．2xy﹣2y2 B．﹣2x2+2xy C．﹣2x2+2y2 D．﹣2x2 2．如图1，长方形的长为4b，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2“回形”正方形， 【自主探究】 （1）观察图1、图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系式是 　 ； 【知识运用】 （2）若2x﹣3y＝5，xy＝1，运用你所得到的公式，计算（2x+3y）2的值； 【知识延伸】 （3）已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝10，求（x﹣2024）2的值． 3．题目：若（10﹣x）（x﹣5）＝2，求（10﹣x）2+（x﹣5）2的值． 解：观察发现，10﹣x与x﹣5中的﹣x与x互为相反数， 所以我们不妨设a＝10﹣x，b＝x﹣5． 因为（10﹣x）（x﹣5）＝2，所以ab＝2． 因为（10﹣x）+（x﹣5）＝5，所以a+b＝（10﹣x）+（x﹣5）＝5， 所以（10﹣x）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×2＝21． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． （1）若（9﹣x）（x﹣2）＝3，求（9﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）若x满足（2025﹣x）2+（x﹣2024）2＝13，求（2025﹣x）（x﹣2024）的值． 4．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若（2023﹣x）（x﹣2018）＝4，求（2023﹣x）2+（x﹣2018）2的值． 解：设2023﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2023﹣x）（x﹣2018）＝ab＝4，a+b＝（2023﹣x）+（x﹣2018）＝5，所以（2023﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝28，求xy的值； （2）填空： ①若（5﹣x）x＝6，则（5﹣x）2+x2＝　 　 ； ②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　 　 ； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，求图中阴影部分面积． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $