2026年高考冲顶压轴信息卷-数学-4

数学（四） 1.B(解析】由题意知0A=(2.-2).0B=(1.2),可得AB=0B-0A=(L.2)-(2.-2)=(-1.4),所以向量AB对应的复数为 -1+4i,其虚部为4.故选：B. 2.B[解析】因为x-1>3,即x-1<-3或x-1>3,解得x<-2或x>4;因为x2-3x-4>0,即(x-4)(x+1)>0,解得 x<-1或x>4.因为集合{xx<-2或x>4}是集合{xx<-1或x>4}的真子集，所以充分性成立，必要性不成立，故 叫x-1>3"是“x2-3x-4>0”的充分不必要条件.故选：B. 3.A【解析】设等比数列{a}的公比为9，由6a2,a4,a,为等差数列，则2a4=6,+a,即2a193=6a19+a192,即2g2=6+g, 解得g=2或-3由数列{a,}为正项数列，则g>0,故9=2.所以氵=+十a+a=1+a+a4+a4 a1+a2 a1+02 a1+a2 (a,+a,1+）-1+g=5故选：A a,+a2 4.C【解析】偶函数f(x)在区间(-，0]上单调递减，∴f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，f(1og,4)=f(-log4)= flog14=0,∴.不等式f(ogx)>0等价于f1ogx)>f1og4)logx>log4,即logx>1og4或logx<-lg4,解得 x>16或0<x<16 故选：C 5Gl解折1因为10个数裙的平均值=尚三=72，方差=05c-到-0区-10r 00×[100×(72:+36)-100×72四=36，所以4的估计值为72，σ的估计值为6，设该市高中生身体素质指标值为 由Pu-2σ≤X≤u+2σ)≈0.9545，得P(72-12≤X≤72+12)=P(60≤X≤84)=0.9545，P(X>84)=P(X>u+2σ)= P(K<u-2o)=1-P-2g≤X≤u+20）1-0.9545 2 2 故P(X≥60)=P(60≤X≤84)+P(X>84)=0.9545+2× (1-0.9545)=0.9772≈97.7%.故选：C. 6,Bl解析]因为点A在第一象限，AF0=120,则p>0,焦点F(0),准线x=号ku=V3,直线1y=V(x-.联 (y2=2px, 立 =3x卫、得1220x+3p=0,解得x,=30x了 a=名由抛物线的定义可得M=,+号2p=4,得p 2,故抛物线Cy2=4x,设点Q(xo,yo),满足y6=4x,则Q到点M(4,0)的距离满足MQ=(x。-4)2+y=x-8x。+ 16+4x。=(x。-2)2+12,根据x≥0，可知x。=2时，MQP取得最小值12，相应地MQ1取得最小值V12=2V3,所以点 Q到点(4,0)的距离的最小值为2V3,故选：C 7.D解析】如图为几何体的轴截面，O,0,为上下底面中心，O为球心，M为球与母线的切点，台体上下底半径分别为，'2， 02 则∠0MS=∠00，S,又因为00，=0M=R0S=0S,所以△0MS与△O0,S全等，所以SM=0,S=r,同理可得CM=r2,所以 台体得线长为1=+所以2R=+-5-可了-2v则R==%+56所以台体的 侧面积为=6+小=+n上+=-1+2+0>-+0 =256m,当且 仅当-1=，”即，=4时等号成立.所以圆台的侧面积最小值为256m.此时，=12.R:4V5,故选：D 8.D[解析】由题意，可知：当x=0时，g(0)=f(0)-0=0,故x=0为g(x)的1个零点；故当x≠0时，函数g(x)有4个零点， 16 数学·X·(共20页) x2+2x+ 21 20t<0 即g(x)=∫(x)-(a+1)x=0有4个非0实数根，即a+1= 有4个非0实数根，即y=a+1与 Inx x2t>0 x2+2x+ 21 20t< h(x)= Inx 的图象有4个交点，当：<0时，4=2+2x+引=6+)+00当x>0时，则 x2,t>0 h'(x)= I-2r,令)=0得x=e,所以当xE0.e时)>0，当xee,+时松e)<0,则函数a(e)在0上 单调递增，在区，+上单调递减，又A同)4（0)=0一0时h()一-，→+时h()一0，所以h)的图象如 图所示： y 20 y=h(x) 1 =2a ..207 -1 由图可得0<a+1<六解得8、 1 20<a<2 --1.故选：D 9ACD解析】对于A.因为ot=a侣-小所以号-”nm+子meZ.所以-m令k=-,则x6a,所以函数 f)=mr的定义城为km长eZ,故A正确.对于B.因为omte=-am-引e侵小所以x-受∈，引因 为y=iame-引在侵上单调递增，所以U()=catr在（侵上单调递减，故B错误.对于C,正切函数y=amr图象 sin 的对称中心为受aeZ.因为omr=am侣-月 2 -x cosx ，所以余切函数y=cox图象的对称中心 sinx tanx cos 2 也为受ne么故c正确，对于D.因为y=ar=am行--an-引放D正确放选：AGD T 10BcD解折1由双前线6号：云-a>06>0)的离心率为子可得：-后子由C价右焦点Pe0)到新适线经： y=0的距离为3，可得V后+ 厅=6=3，又d+=2,解得a=4,c=5,则双曲线E的方程为父-二 169=1:下面设 △F,PF,的内心为1，连接P,IF,IF 双曲线-1中的a=4,b=3.c=5.不妨设P(m,nm>0,n>0,由△PF,F,的面积为20，可得，F,F,n m=50=20.甲a4,由6-=1.可得a=号故A错误：由P得小且R(-50,B0,可得6，一号= 1212 221故c正确：+P4++++号-9 5,则anLF,PF2=535 360、 1+5×35 则△PF,F,的周长为 3+10=80 5 ,故B正确：设△PF,F的内切圆半径为r,可得2(PF,+PF+F,r)=) 1K小4.可得9=0解得，=号故有内切圆周长为3a所以D正确故选：CD 17 数学·X(共20页) 1L.ABD[解析】因为f'(x)为偶函数，所以f'(-x)=f'(x),则-f(-x)=f(x)+c,而f(-1)+f(1)=2,故c=-2,所以f(x)+ f(-x)=2,又f(x+1)为偶函数，所以f(-x+1)=f(x+1),即f(x)=f(2-x),所以f(2-x)+f(-x)=2,故f(x)+ f(2+x)=2,且f(x+2)+f(4+x)=2,所以f(x)=f(x+4),则4是f(x)的一个周期，故B正确.对于A:由 f(-x+1)=f(x+1)两边求导得-f'(1-x)=f'(x+1),令x=0得-f'(1)=f'(1),解得f(1)=0,故A正确；对于C:由 上知f(x)+f(-x)=2,令x=0,则f(0)=1,则f(2024)=f(4×506)=f(0)=1,故C错误；对于D:因为f(x)+f(-x)= 2,f(x)=f(4+x),则f(-x)+f(4+x)=2,所以f(2-x)+f(2+x)=2,则f(x)的图象关于(2,1)对称，故D正确.故 选：ABD 12.【答案】2【解析】由题意，由AB=(-2,1),得AB=V5,AB.BC=0,AB⊥BC,即AB⊥BC,BC= VAC-AB=V9-5=2.故答案为：2 1B【答案】爱1餐折1因为aae侵小ma=-怎放有m=得oa=2.a+Be(e,2a又因为 6 co+B)=5y店，所以a+)=--osa+B=-3yg9,所以simg=in(a+B-a)=in(a+p))eoa- 26 26 cos(a +B)sina=-3323 26 13 沿x沿-号因为B侵小所以B=后故答案为：日 26 13 14.【答案】【解析】由题意，AB=5,BD=6,AC=4,AD=3,在△ABD中，由余弦定理得ADB 6 AD2+BD2-AB29+36-25_5 2AD·BD 空-g:因为10e(0,所以nL40B=V-乙A0哪=、1-（名产=2在 2×3×69 9 4 3 △ACD中，由正弦定理得 im乙ADBsin2ACD,所以2V4 sinLACD,解得sinLACD=Y4.故答案为：y4 AC AD 6 6 9 5【解析D因为a8山S三6，设等差数列倍的公差为4，则：六+2=1+22，解得d= 3=1 …3分 所以受=1+-)=”即8=”子，当0>2时a=8-及=当a=1时4，=1成立，综上所述 2 0n=.…5分 1 -=1 n为奇数 (2)bn= a.a.+2n(n+2) …5分 an+1=n+1. n为偶数， 1 所以 T2= 1x3+3+ 3x5+5+…+ 、+2n+1= +1 1 (2n-1)(2n+1 3+3x5++2n-12n+ 6+5++2+21-+号+2a 111 1 n(3+2n+1)n +n2+2n.…13分 (2n-1)(2n+1) 2n+1 16.【解析】(1)由已知得，2c=2V2,离心率e=c=y6 所以c=V2,a=V3,b=Va2-c=1,故椭圆方程为 x2 3+y2=1:…2 …5分 (2)根据题意可知，因为当k=-1时，直线y=-x+m(m≠0)，设M(x1y),N(x2,y2),联立 3 +y=山消去y可得： y =-x +m, 4x2-6mx+3m2-3=0,… …8分 由△=-12m+48>0,则me(-2.0U(0.2).可得x,+,=30, 2,xx2= 3m2- 4 ,点0到直线1的距离d=m 3,弦长 IMN=VI+I·V在，+x)'-4,=V2,3-30 …11分 4 18 数学X(共20页) 故有△0w的面积s宁wm-号g,5-誓-片邛--受4-号受 22 22 m2+4-m-3, 2 2 …13分 当且仅当m=4-m2,即m=±V2时，等号成立，所以△OMN的面积的最大值为Y3 …15分 17.【解析】(1)如图所示，取PA的中点F,连接BF,EF B 由E,F分别为PD,PA的中点，则EFIAD,AD=2EF,而ADIIBC,AD=2BC,得EFIIBC,EF=BC,即四边形BCEF为平行四 边形，故CEBF,而BFC平面PAB.CE丈平面PAB,故CE川平面PAB.…5分 (2)取AB的中点O,CD的中点G,连接PO.由△PAB为等边三角形，则PO⊥AB. 由平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面PAB,故PO⊥平面ABCD.由ADIIBC,AD⊥AB,AD= 2BC=AB=2… …7分 以O为坐标原点，OB,OG,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则a-1.00,c1.1oD(-12.0Poav3.E1.则c=1.o元=11.-V3)E=台1. 9分 设平面PAC的法向量为m=(a,b,c),则 8即及0-2得时12}平有0销性 AC.元=0. 2d+e=0. 向量为i=(d,ef),则 即1 d+2支3f=0取e2.得m=L.-2以 …11分 AE.n=0. m…n -1x1-2x2+3xV5 则cos(m,i)= 3 =-6 m 13分 +4+2×V小+4+南 由图形知，二面角P-AC-E为锐二面角，故二面角P-AC-E的余弦值为Y6 …15分 18【解标11依题意x的所有可能取值为0.10.20,30，所以PX=0)=-到引×-》-=G× 23 ,P(X=10)= -}-引-对*+6对0=0--引+2×0-引2x …6分 19 数学X·(共20页) 所以X的分布列为： 0 10 20 30 1 7 15 9 32 32 32 32 X的数学期望为EX)=0×37+10×37+20×5 9 32 +30× 727三20：…8分 (2)设甲、乙两队总得分之和等于30分为事件A,甲队得分不低于乙队得分为事件B,设随机变量X为甲队的总得分， 随机变量Y为乙队的总得分，随机变量Z为甲、乙两队总得分之和，则Z=X+Y,而X的所有可能取值为0,10,20,30，Y 的所有可能取值为0,10,20,30，由题意Z=X+Y=30,X=30-Y≥Y,…10分 所以ye15,阅，PK=20)=克PX=30= 62则PAB)=PY=0.X=30)+PV=10,X=20 c-+c- 15_1y9615.11011 3227×32+27×32=96+9696 13分 P(M)=P(Y=0.X=30)+P(Y=10,X=20)+P(y=20,X=10)+P(Y=30.X=0= 96 32 11 P(AB)_96 99 -× P(A)=191=191 864 17分 19.【解析11)由/()=r+a-6x>0,得f(x)=+a,由题设知 '(1)=1+a=0, a=-l. (1)=a-b=0, 解得 …3分 6=-1, 此时f(x)=}-1=1(x>0.当x(0,1)时，f(x)>0(x)为增函数：当x(山，+)时(x)<0f()为减函 数；所以函数∫(x)在x=1处取得极大值，满足题意，故a=-1,b=-1.…5分 (2)(i)因为函数g(x)=f(x).由g(x)=xf(x)=xx+ar2-bx,得g'(x)=2ax+lx-b+1,设点Ax1,g(x》和点 B(x2g(x)》,不妨设0<x1<x2,则曲线y=g(x)在点A处的切线l,方程为y-g(x)=g(xx-x),即y=g(x,)x- g'(xx1+g(x5… …9分 同理曲线y=g(x)在点B处的切线l2方程为y=g'(x)x-g'气x)x2+g(x): g'(x)=g'(x Inx -Inx2 2a(x -x2)=0. 假设，与l,重合，则 压+s)=g)+化简得 两式消去a,得lnx,- (x1+x)=-1, -1 -2x=0,则1n-2x—=0,令1=5(0<1<1则h()=1m-2×- 14 x1+x2 x+1 x+所以)=+ (t-1)月 >0,由(t)>0,所以h(t)在(0,1)上单调递增，所以h()<h(1)=0,即h(t)=0无解，所以l与l2不重合，即对 t(t+1) 于曲线y=g(x)的图象上任意两个不同点处的切线均不重合.…11分 (i)当b=1时，先解决对于xe(-1,+∞g(x+1)-2sinx≥0恒成立，令x+1=t,m(t)=at2+lt-t-2sin(t-1),则 m(t)≥0在(0，+∞)上恒成立，由m(1)≥0，解得a≥1.下面证明当a≥1时，m(t)≥0在(0，+∞)上恒成立.则当a≥1时， m(t)≥+ll-t-2sin(t-1),…13分 令p(t)=2+nt-t-2sin(t-1),则p'(t)=2t+l1l-2cos(t-1),则当t∈[1，+∞)时，由21≥2,2cos(t-1)≥-2，则 p'(t)≥0，则p(t)在[1，+∞)上单调递增，所以p(t)≥p(1)=0;当t∈(0,1)时，令(t)=p'(t)=2+lnt-2cos(t-1),则 p'e)=2++2sim1-)≥0，则e()在(0.1)上单调递增，所以)=p)<p)=0,所以p)在(0,1)上单调递 减，所以p(t)≥p(1)=0成立，… …15分 所以对于Hx∈(-1，+∞)，不等式g(x+1)-2sinx≥0恒成立，实数a的取值范围为[1，+0).所以3x∈(-1，+∞)，使得 g(x+1)-2six<0成立，所以a的取值范围为(-∞，1)…17分 20 数学·X(共20页)2026届高考冲顶压轴信息卷（四） 数学·信息卷（四）》 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.在0为原点的复平面内，向量0A,0B对应的复数分别为2-2i,1+2i,那么向量AB 如 对应的复数的虚部为 ( 的 A.-4 B.4 C.4i D.-4i 2.1x-1>3”是“x2-3x-4>0”的 ( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 ? C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数 3.已知{an}是正项等比数列，且6a2,a4,a,成等差数列，则 6 1+a2 和 A.5 B.8 C.10 D.12 阳 4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若函数f(x)在区间(-∞，0]上单调递减，且 o,) 0,则不等式f(1ogx)>0的解集为 ( Dgu8+ 5.某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合 格.现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值x(i=1,2,3,…,100),经计算 20,=10(72:+36),若该市高中生的身体素质指标值服 N(丛，σ)，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：若随机变量X服从正态 分布N(u,o2),则P(u-o≤X≤u+o)≈0.6827，P(u-2o≤X≤u+2o)≈0.9545， P(u-3o≤X≤u+3o)≈0.9973) (四)·数学X·A·第1页（共6页） A.93.5% B.96.8% C.97.7% D.98.4% 6.已知0为坐标原点，过抛物线Cy2=2px的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点 (点A在第一象限)，若∠AF0=120°，AF1=4,若Q为C上任意一点，则点Q到点 (4,0)的距离的最小值为 ( A.3 B.3V2 C.2V3 D.5 7.已知圆台的上、下底面半径分别为r1,"2,半径为R的球与圆台的上、下底面及每条 母线均相切，且9，=R-r2,当圆台的侧面积最小值时，该球的半径为 ) A.38 B.26 C.56 D.4V3 21 x3+2x2+ 20x≤0， 8.已知函数f(x)= g(x)=f(x)-(a+1)x,若函数g(x)有5个 Inx ,x>0, 零点，则实数a的取值范围为 品+ 19 E c( D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约在公元920年给出了一个关于 垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式5=hsin(90°- ,这个公式等价于现 sin 在的s=hcotp,其中cotx=tan 7-,我们称y=co为余切函数.下列关于余切 函数的说法正确的是 A.定义域为{xx≠kπ，k∈Z) B.在区间2π上单调递增 C.与正切函数图象有相同的对称中心 D.将函数y=-1anx的图象向右平移个单位长度可得到函数y=cox的图象 知双曲线E-1(a>06>0)的离心率为岩且C的石焦点到新 距离为3，若点P是E的右支上一点，F,F2为左，右焦点，△PF,F2的面积为20，则 (四)·数学X·A·第2页（共6页） A.点P的横坐标为12 B.△PF,F,的周长为3 0 C.tanF PF2>1 D.△PF,F2的内切圆周长为3π 11.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域为R,若f(x+1)与f'(x)均为偶函数，且 f(-1)+f(1)=2,则下列结论正确的是 ( A.f'(1)=0 B.4是f(x)的一个周期 C.f(2024)=0 D.f(x)的图象关于点(2,1)对称 题号 2 3 7 8 10 11 得分 答案 第Ⅱ卷（非选择题 共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上 12.设AB=(-2,1),AC=3,AB.BC=0,则BC= 1a已知a8e侵小aa=-Sma+) 26°，则 5V13 14.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传 统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某 同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通 常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否 符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD,如图，测得AB=5,BD=6, AC=4,AD=3,若点C恰好在边BD上，则sin/ACD的值为 专了 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记Sn是数列{an}的前n项和，a1=1,S,=6,且数列 是等差数列。 (1)求{a}的通项公式； 1 n为奇数， (2)设数列bn= anan+2 求数列{b}的前2n项和Tn an+1, n为偶数， (四)·数学·X·A·第3页（共6页） 6.(15分)已知椭圆c+ 2=1(a>b>0)的离心率e=Y,6,焦距为2V2,直线乃 y=x+m与椭圆C相交于不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，当k=-1时，求△OMN的面积的最大值. 17.（15分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADIIBC,AD⊥AB,AD= 2BC,E为PD的中点，如图所示. (1)求证：CE∥平面PAB; (2)若△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD,AB=AD=2,求二面角P- AC-E的余弦值. (四)数学·X·A·第4页（共6页） 18.(17分)溺水是指人淹没于水或其他液体中，水与污泥、杂草等物堵塞呼吸道和肺 泡，或因咽喉、气管发生反射性痉挛，引起室息和缺氧，肺泡失去通气、换气功能， 使机体处于危急状态，由此导致呼吸、心搏停止而致死亡.某校为了普及防溺水 安全教育知识，在全校组织了一次防溺水安全教育知识竞赛，经过初赛、复赛，甲 乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.规定每人回答一个问题，答对者为本队赢 得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为乙队中每人奢 对的概率均为子，且各人回答正确与否相互之间没有影响， (1)记随机变量X为甲队的总得分，求X的分布列和数学期望； (2)在甲、乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分不低于乙队得分的 概率. (四)数学·X·A·第5页（共6页） 19.(17分)已知函数f(x)=lnx+ax-b,其中a,b∈R. (1)若f(x)在x=1处取得极大值0，求a,b的值； (2)函数g(x)=xf(x) (i)求证：曲线y=g(x)的图象上任意两个不同点处的切线均不重合； (ii)当b=1时，若3x∈(-1，+∞)，使得g(x+1)-2sinx<0成立，求实数a的取值 范围. (四)·数学·X·A·第6页（共6页）