《数理报》高考数学信息优化卷(九)第二轮综合-【数理报】2026年高考数学专项提分

《数理报》高考数学 信息优化卷（九） 考试范围.第二轮综合 ◎数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知全集为R,集合A={xIx2-2x-3<0},B={y1y= 数 x2},则(CB)∩A= (A){x1-1<x<2} (B)xI2<x<3} 报 (C){x1x<3 (D){x1-1<x<0} 高 2.复数：=1-i) 1+i 的共轭复数为 数 (A)-1-i(B)-1-2i(C)-1+i (D)-1+2i 新 3.故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最 美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入 在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴 全 数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1,3,5,7,9这五个阳数，2,4,6,8 各 这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数” 的概率为 ( 信 ()方 (B) C 3 (D) 4 优 4.若函数f(x)=sin(p-2x)在区间(0,7 上单调递减，则实 卷 数口的值可以为 九 (A)罗 (B)罗 (c)罗 (D)牙 5.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R 的公共弦长为6√2，则圆D的半径为 (A)5 (B)25 (C)26 (D)27 6设双西线影 ,=1(a>0,b>0)的渐近线的倾斜角为a, 若该双血线与箱四听+兮 4 =1的离心率之积为1，且有相同的焦距， 则sina= ( (B) 13 (D)2 13 7.在△ABC中，AB=4,BC=6,∠ABC=7,D是AC的中点， E在BC上，且AE⊥BD,则A正.BC= () (A)16 (B)12 (C)8 (D)-4 8.定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+4)=-f(x),且 函数y=f(x+2)是偶函数，当x∈(0,2]时，f(x)=lnx-axa> ):当xe[-2,0)时)的最小值为3，则a () (A)e2 (B)e (C)2 (D)1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 g.已知数列1a.满足4，=1，a1=23a(n∈N,).则下列 结论正确的有 () (A分+3为等比数列 (B)a,的通项公式为a=2+1-3 (C){an}为递增数列 (D){}的前n项和7.=22-3n-4 10.已知0为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0) 上，过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点，则 () (A)C的准线为y=-1 (B)直线AB与C相切 (C)I OP11 0Q1>1 0A12 (D)I BP1I BQI >I BAI2 1.已知函数f()=x-)e+k,其导函数为f'(x),且了(1) =1,记g(x)=xf(x),则下列说法正确的是 (A)f'(x)>0恒成立 (B)函数g(x)的极小值为0 (C)若函数y=g(x)-m在其定义域内有两个不同的零点，则 实数m的取值范围是(0,1) (D)对任意的1。(2，+)，都有了(）≤ f(x1)+f(x2) 2 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面向量a=(2,-1),b=（-k,2),若a∥b,则 I3a+2b|= 13.若数列{an}为等差数列，{bn为等比数列，且满足：a1+ a242=27,b1·b22=2,函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)且f(x) =eseo,2]则) 14.圆锥SD(其中S为顶点，D为底面圆心)的侧面积与底面积 的比是2：1，则圆锥SD与它外接球（即顶，点在球面上且底面圆周也 在球面上)的体积比为 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 4aco 2B -=2a-b+2c. (1)求A; (2)如图1，若6=2，△4BC的面积为3十5，M是4B的中点， 2 求CM. 图1 数理报·高中数学新高考》全国各省 16.(15分)如图2，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB 信 =∠BDC,E为AC的中点 (1)证明：平面BED⊥平面ACD; (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的 化卷 面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值. 九 图2 17、(15分)已知椭圆C:方+3 +京=1的右焦点为(1,0)，且经过 点A(0,1). (1)求椭圆C的方程； (2)设O为原点，直线l:y=hx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个 不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若 1OM1·lON1=2,证明：直线l经过定点. 数理报·高中数学新高考》全国各省市信息优化卷（九） 8 18.(17分)已知函数f(x)=e-lnx+x-a (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若∫(x)有两个零点x1,x2,则xx2<1. 19.(17分)“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐 成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他 们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他 们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为2， 乙每天选择“共享单车”的概率为子，丙在每月第一天选择“共享单 车”的概率为子，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继 续选择“共享单车”的概率为4，若前一天选择“地铁”，后一天继续 选择“地铁”的概率为】，如此往复， (1)若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单 车”的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为 (数理报 X,求X的分布列与数学期望； (3)求丙在3月份第n(n=1,2,…,31)天选择“共享单车”的 概率P。,并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁” 的概率的天数 高中数学新高考》全国各省市信息优化卷（九） (参考答案与解题提示见46版)】46 2 记u= √个+2 P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0). 于是直线QG的斜率为今，方程为y=之(x-)。 [y=2(x-). k 由 + =1 得(2+2)x2-2uk2x+k2u2-8=0. ① 设G(xc,yc),则-u和xc是方程①的解， 放=，由此将元 2+k2 uk 从而直线PG的斜率为2+ 2。 2+k2 所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形 (iⅱ)解：由(i)得1PQ1=2u√+k, I PCI=3 2uk +1 2+2 所以△PQG的面积 S=1 PQ11 PGI 8k(1+k2) (1+2k2)(2+2)》 8(大+k】 1+2(六+) 设1=+冬，则由k>0得1≥2， 当且仅当k=1时取等号. 因为5=12在[2，+女)单调避减，所以当1= 8t 2,即长=1时，S取得最大值，最大值为9 因此，△P0G面积的最大值为5 高考数学信息优化卷（九） 第二轮综合参考答案 一、单项选择题 1~4 DCAB 5 ~8 DCAA 提示： 1.由题得A={xI-1<x<3}, B={y1y=x2}={y1y≥0}， CRB =yly<0, 所以(CB)∩A=xI-1<x<0}. 2.因为：=)=-20-①=-1-i. 1+i 2 所以共轭复数为-1+i. 3.由题意知，从5个阳数和4个阴数中各取一个数 组成的“吉数”的组合有：18,36,54,72，所以取到的两位 数恰好是“吉数”的概率为P=2x4 2cc 4.f(x)=sin(-2x)=-sin(2x-). 参考答案 当xe(0,受) 时，2x-pe(-p,m-p) 因为函数代x)=sim(e-2x)在区间（0，受)上单 调递减， 「-9≥-牙+2hm, 2 所以 ke Z, m-9≤号+2km, 解得4=受-2水m,keZ, 当k=0时，9=受 5.联立圆C与圆D的方程可得两圆公共弦的方程为 2x-6y-4+R2=0, 圆C的圆心坐标为(0,4)，半径为32， 两圆的公共弦长为62， 则点C(0,4)在直线2x-6y-4+R2=0上， 所以2×0-6×4-4+R2=0,解得R2=28, 故圆D的半径为2万. 6.由题可得，双曲线的焦距为2c=2,则c=1, 所以a2+b2=1. 因为椭圆的离心率为e=乃， 所以5×台=1，得后=2. 所以1+ 2 2 =4, 则略-3，得合=5，所以ama=±厅， 又0<a<m,解特a=号或a=。 以ma号 7.建立如图1所示的平面直角坐标系， 6 Q(BY -2-12345x 图1 则A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3) 设E(0,b),因为AE⊥BD,所以A正.BD=0, (-4,6)(2,3)=0,解得6=号， 所以E(0,号)，正=(-4，号)， 所以A正.BC=16. 8.因为f(x+2)是偶函数， 所以f(x+2)=f(-x+2), 所以f(x)关于直线x=2对称， 所以当2≤x<4时， f(x)=f4-x)=1n(4-x)-a(4-x). 因为f(x+4)=-fx), 所以当-2≤x<0时， fx)=-fx+4) 数理极 =-ln[4-(x+4)]+a[4-(x+4)] =-ln(-x）-ax, 此时f'(x)=-↓-a, 令f'(x)=0得x=-。, 因为a>子所以-日e(-2.0, 所以当-2≤x<-1时f'(x)<0, 当-<x<0时，f"(x)>0, 所以)在[-2，-日）上单调能减，在(-日 0）上单调递增， 所以当x=。时， )取得最小值(-)=ha+1, 又因为f(x)在[-2,0)上有最小值3， 所以lna+1=3,解得a=e2. 二、多项选择题 9.ABD:10.BCD:11.CD 提示： 9.因为1=2+30=2+3. an+l 所以+3=2+3 又对+3=4≠0， 所以{日+3}是以4为首项2为公比的等比数列， 1+3=4×2"-1, 即a,2ga,为递诚数列， 1 {合}的前n项和 T.=(22-3)+(23-3)+…+(2"1-3) =2(21+22+…+2")-3n =2×2×(1,2)-3m 1-2 =2"2-3n-4. 故选(A)(B)(D) 10.将点A(1,1)代入抛物线C的方程， 得1=2p,解得p=之 所以抛物线C2=y的准线为y=-人 4 故(A)错误； 6w==2m以直线4松的方为y=2x-1, 联立=2x-1 整理得x2-2x+1=0, x2=y 4=(-2)2-4×1×1=0,故(B)正确； 设直线PQ的方程为y=x-1,P(x11),Q(x2y2), 数理报 联立方程 =kx-1, 整理得x2-kx+1=0, 所以x1+2=k,x1x2=1,且△=2-4>0， 解得k>2或k<-2, 所以10PI0Q1=√+7·√+ =√1+7·√2+ =√y2(1+y1)(1+2) =√/(xx2)2×kx1×kx =R2>2=10A12, 故(C)正确； 因为IBPI=1+KI1I,IBQI=√1+RIx2I, 所以I BPI-I BQ1=(1+k2)Ixx2I =1+k2>5=IBAI2, 故(D)正确 故选(B)(C)(D). 11.由题得f(1)=k=1, 所以f(x)=x-1)e+1 由f'(x)=x-x+)e-1,因为f'(-2)= 7e2-1<0,所以f(x)>0不恒成立，(A)错误： 4 由g(x)=f(x)=(x-1)e+1(x≠0)，可得 g'(x)=xe,其中g(0)无意义，所以g(x)的极小值一定 不为0，(B)错误； 因为g'(x)=xe(x≠0)，当x<0时，g'(x)<0; 当x>0时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(-∞，0)上单 调递减，在(0，+∞)上单调递增，且当x→-∞时，g(x) →1，当x→0时，g(x)→0，当x→+0时，g(x)→+∞， 作出函数g(x)的大致图象，如图2所示 结合图象可知，当0<m<1时，函数y=g(x)与 y=m的图象有两个不同的交点，即函数y=g(x)-m 在其定义域内有两个不同的零点，所以实数m的取值范 围是(0,1)，(C)正确： y=f(x) y=g(x) e2+1 2 y=m t1+2 2 图2 图3 i设h()=f"(x)=+c-山(x>2), 则r()=(+2)x-1)+2>0, 所以h(x)在(2，+∞)上单调递增，即f'(x)在(2， +)上单调逢治.又f”2)=3>0,所以当> 2时，f'(x)>0,则f(x)在(2，+∞)上单调递增，且f(2) ,作出函数)的大致图象，如图3所示 =9 易知f()的图象为凸函数，所以f(色士华)≤ 参考答案· (x1)+f(为2) 2 当且仅当x1=x2时等号成立，(D)正确 故选(C)(D). 三、填空题 12.5；13.e;14.32 提示： 12.由题设，得4-k=0,即k=4,则b=(-4,2), 所以3a+2b=(6,-3)+（-8,4)=(-2,1), 故13a+2b1=√(-2)2+1下=5. 13.因为数列{an}为等差数列，且a1+a22=27, 所以a121+a122=27, 又{bn}为等比数列，且b1·b2m=2, 所以4器=2所以品=9 又f(x+2)=-fx), 所以f(x+4)=-f八x+2)=f(x), 所以函数f代x)的最小正周期为4， 又f(x)=e,x∈[0,2]， 所以f(9)=f(2×4+1)=f(1)=e, 即（品）= 14.设圆锥底面圆的半径为r, 圆锥母线长为l,则侧面积为rl, 负面积与底面积的比为兴：二=2. 则母线1=2r, 圆锥的高为h=√P-7=5r, 则圆锥的体积为rh=2。 设外接球的球心为0，半径为R,截面图如图4， S B D C 图4 OB OS R,OD h-R =3r-R,BD =r, 在直角三角形BOD中， 由勾股定理得OB2=OD2+BD, 即R2=(5r-R)2+2, 展开整理得及后 所以外接球的体积为 32mr3 33 951 故所求体积比 33 9 32m7 32 93 四、解答题 15解：)根据题意2a(2eo号-1=-b+2, 47 即2 acos B=-b+2c, 由正弦定理得：2 sin Acos B=-sinB+2sinC 2sin Acos B =-sin B 2sin(A B) 2sin Acos B =-sin B+2sin Acos B 2cos Asin B sin B(2cos A -1)=0, 因为simB≠0，所以cosA=之， 又因为Ae(0,m),所以A=牙 (2)因为6=2，△ABC的面积为3+5 所宁如m4=子×2xc×9-35 解得c=5+1, 所以CM2=AM2+AC2-2AM·ACcosA =()°+2-2×+x2×分 16.(1)证明：因为AD=CD,∠ADB=∠CDB, 所以△ABD≌△CBD,所以AB=CB. 因为E为AC的中点，所以AC⊥BE,AC⊥DE. 又DE∩BE=E,DE,BEC平面BED, 所以AC⊥平面BED 又ACC平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD. (2)解：由(1)知AB=BC, 又因为AB=2,∠ACB=60°， 所以△ABC为正三角形. 则AC=2,BE=√5，AE=1. 因为AD=CD,AD⊥CD, 所以△ADC为等腰直角三角形，所以DE=1. 所以DE2+BE2=BD,则BE⊥DE. 由(1)知，AC⊥平面BED. 连接EF,因为EFC平面BED,所以AC⊥EF 当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最 小，即EF的长度最小、 在Rt△BED中，当EF的长度最小时， 此时EF⊥BD,EF= DE·BE_3 BD 2 以E为坐标原点，E,E店，E元所在方向为x,y,z轴的 正方向建立如图5所示的空间直角坐标系E-z. B 图5 则A(1,0,0),B(0,5,0),D(0,0,1),C(-1,0,0), (o)=(-10.). =(-15.0.=(9)月 设平面ABD的法向量为n=（x,y,z), 48 rn·AD=-x+z=0, 则 n.AB=-x+5y=0, 令y=5,则n=(3,5,3). 设CF与平面ABD所成的角为0， 则sin0=lcos(n,c1 =1n·C ICFI 6 7 所以P与平面AD所成的角的正弦值为，马 17.（1)解：由题意得，b=1,c=1. 所以a2=b2+c2=2. 所以椭园C的方程为号+y=1 (2)证明：设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则直线AP的方程为y=立- -x+1. 令y=0,得点M的横坐标xw=- y1-1 又=+，从而101=11=，- 同理0N1=,- ry =kx +t, 由 得(1+2k2)xX2+4htx+22-2=0. -+y=1 Akt 则+名=1+28 2-2 1+2k2 所以IOM1OWI =,· =x+-(+)+-可 x12 22-2 器w 1+22 1+22 2 又10M10N1=2,所以2 =2 解得t=0,所以直线l经过定点(0,0). 18.(1)解：函数f(x)的定义域为(0，+∞). f'(x)=e(xD-1+1 x2 =e(x-1)-x+ -(e+x)(x-1 令f'(x)<0,解得0<x<1令f'(x)>0,解得x>1. 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上 单调递增， …参考答案 即f(x)mn=f(1)=e+1-a. 因为f(x)≥0，所以e+1-a≥0，解得a≤e+1, 故a的取值范围是(-∞，e+1]. (2)证明：不妨设x1<x2, 则由(1)知0<1<1<，0<1<1 由f(x1)=f(x2)=0, 得-n+=号-ln5+, eI-+In et2-lx2+x In 2. 因为函数y=e+x在R上单调递增， 所以-lnx1=x2-nx2成立. 构造函数h(x)=x-lnx, g()=h()-h(）=x-文-2血x, 则g1+宁-=少≥0， 所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以当x>1时，g(x)>g(1)=0, 即当x>1时，h()>A(） 所以h()=()>h(), 又h'()=1-上=1， 所以h(x)在(0,1)上单调递减， 所以0<x1<士<1，即x3<1 19.解：(1)记甲、乙、丙三人3月1日选择“共享单 车”出行分别为事件A,B,C, 记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件D, P(D)P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) 3 241 P(CD)=P(ABC)+P(ABC) 3 3 2 3 所以P(c1D)- P(CD) 9 24 即若3月1日有两人选择“共享单车”出行， 丙选择“共字单车”的概率为品 (2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3， 则P(X=0)=P(BG=分×分x4=六， P(X =1)=P(AB C)+P(ABC)P(A BC) x写x4+方×号×4+x3×是 数理极 P(X=2)=P(D)= 24 P(X=3)=P(ABG)= 3 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 1 11 1 24 24 4 数学期望E(X)= 0×云+1x子+2×费+3 (3)由题意得P=子， 则P.=P+子I 1+号n=2,3…,31. 所以B-器=高(P音） 8 所以 17 =-2n=2,3,…,31) 5 P-1- 8 17 又因为-=≠0， 所以数列{P.-号}是以品为首项.-吕为公比 的等比数列， 所以卫.=号+器(-是)(a=2…,31), 经检验当n=1时，上式也成立， 所以P.=号+8(-音)(a=1,2…,310 由题意知，3月份中选择“共享单车”的概率大于 “地铁”的概率需满足P>1-P,即P>之， 则路+8()> 即(-高)”>m=12.…3. 1 当n为偶数时，(-)> 显然不成立， 当n为奇数时，不等式可变为（侣）>后 当n=1时1>名成立： 当n=3时（倍）= 25 品>成立 144 当n=5时，()广<()广°=名<， 则n=5时（侣）”>号不成立 又因为函数y=(3)“ 单调递减， 所以当n≥5时，(B）>号不成立， 所以只有在第1天和第3天时，P,> 所以丙在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地 铁”的概率的天数只有2天