2026年高考冲刺调研信息卷 数学试题（4）

信息卷·数学（四）参考答案 1.B因为M={x|x|-5<0}={x-5<x<5},N={xx2-10x<0}={x|0<x<10},所以M∩N={x|0< x<5.故选B 2.D由(1-i=2,得1-2=号，所以1-2=-2i,x=1+21故选D 1 尼A由题知，e声=号解得m=1,所以C的长轴长为2如=22.故选A 4B由9c(o,吾)，知20c(0,受），由c0s40=2os20-1=品得cos29=子又os20=1-2sim0-=了，解 得sn0=子，故选B 5D由等比数列的性质可知，aa,=aa,所以ca,=4a,则a,=4.设公比为g,由a,十a,=10,得号+4- 10,解得g=,或g=2.因为as>0,所以a1>0,又(a}为递减数列，所以0<q<1,则g=号，所以a= 子-8放选D 6.Cf(x)的定义域需满足工>0，即x(x十)>0.由题知，f(x)的定义域关于x=2对称，所以n=一4.又 x十n f4-)=0所以4-mlg子4（一mg子4即（4-xmg=(-mg产 =(m一x1g云，所以4-x一m=m一x,解得m=2,所以贺=一合：故选C 7A由g知90结P.a+b创-1，所以l9合a+b1-1,则1aa+b1=a+61.设1a- |b|=t,a·b=s,即|2+s=|a+b川，所以(t2+s)2=|a|2+2a·b+|b|2,即(2+s)2=2r+2s,解得2+ s=0或2十s=2.当2十s=0时，|a十b|=0,则a=一b,又向量a,b共线，不合题意；当2十s=2时， |a+b=2,符合题意.故选A 8.D设t=ax十p(i=1,2,3),由3x2=2十x,得3t2=2t十ta,所以2(t2一4)=t一t2,又3-4=2π，则 4-6十-6)=2x,解得-6=专-4=号元当6十=2(2kx十受)时，解得6=2kx+语，A= 2k+音4=2kx+lg,k∈乙，所以m=2sin4=1:当十a=2(2x+受)时，解得=2x十晋，4 2张x+否，4=2km+1罗，k∈Z,所以m=2sin=-1.因为m>0,所以m=1.故选D 数学（四）参考答案第1页（共6页） 9.AC由抛物线的定义可知，直线x=一1为抛物线C的准线，所以-号=-一1，解得力=2，A正确：由上可知， y2=4x,因为M(4,%)是C上一点，所以6=4×4，又%>0，则%=4.由定义可知，|MF|=5,所以圆M的 方程为x一0+0一4)=25，B错误：因为M4,4,F1,0,所以-岩胃专，所以直线MF的方程为 y2=4x, y=专(x一1D,联立 消去y得，4-17z十4=0，设MnN),则a十=子，所 以MN=十+p-空，则|FN=空-5=号，C正确：点O到直线MN的距离d= 3 1+(号 号，所以△OMN的面积为2×5×号=号，D错误故选AC 10.ABD由题知，f(一x)=f(x),两边求导，得一f(-x)=f(x),即f(-x)=一f(x),所以(x)为奇函 数，A正确；由fx)+f()=e,得f(-x)+f(-x)=e“,即f(x)-f(x)=e“,则fx)=+e巴 2， f)=2由f)=,得f)=a心2e故a=1f)-生efa)=2, 2 2 B正确，C错误；易知f(x)在R上单调递增，且f(0)=0,当x>0时，f(x)>0,当x<0时，f(x)<0,所以 f(x)在(0，十∞)上单调递增，在（一∞，0）上单调递减，由复合函数的单调性可知，f(f(x))在(0，+∞)上 单调递增，在(-∞，0)上单调递减，所以f(f(x)的最小值为f(f(0)=1,D正确.故选ABD. 1.BCD四棱台ABCD-A,B,CD,的体积V=号1+4+2)×2=兰，A错 D 误；连接BM,MP,PD,B1D,BD,根据棱台的概念可知，BB1,DD1交于 一点，BD∥BD.因为M,P分别为BC,CD的中点，所以MP∥BD.因为 AB=AA1=2A1B1=2,所以B1D1=√2，BD=2√2，MP=√2，所以四边形 MPDB为平行四边形，B正确；取AA1中点E,连接NE,BE,所以NE∥B AD.因为AA1⊥底面ABCD,ADC底面ABCD,所以AA1⊥AD,所以AA1⊥NE.又四棱台ABCD- A1B1CD1的底面是正方形，所以AD⊥AB,所以NE⊥BA.因为AB∩AA=A,AB,AA1C平面ABB1A1, 所以NEL平面ABBA.又AB,C平面ABB,A,所以NELAB.设AB,∩BE=F,因为an∠ABE=, tan∠AAB,=2,所以∠ABE=∠A1AB,所以∠ABE+∠BAB,=∠AAB+∠BAB,=∠BAA=90, 则BE⊥AB.因为NE∩BE=E,NE,BEC平面BCNE,所以AB⊥平面BCNE,要使AB⊥BP,则点P的 轨迹为CN,BC=2,NE=(AD+AD)=号，BE=VAB+AE=5,CN=√BE+(BC-NE= 数学（四）参考答案第2页（共6页） ,所以点P的轨迹长度为，C正确；由上可知，AB⊥平面BCNE,连接NP,所以∠BNF为直线 2 BN与平面MN所成的角：易知△AEFO△ABA,所以怎-部-器又AE-1AB=5,AM一 2,AB=1,所以AF=25,EF=5,则BF=AB,-AF=5-25=35,在△NEF中，NF= 5 5 NE+EF-√（侵）广'+（停-7语，所以am∠B,NF==号，D正确故选CD 12.9.5数据从小到大排列为：5,6,7,8,8,9,9,10,11,12，因为70%×10=7，所以该样本数据的70%分位数 为0=9.5 13.70每种粽子至少抽取一个有两种情况：肉粽子2个，蜜枣粽子1个，蛋黄粽子1个，或者肉粽子1个，蜜枣 粽子2个，蛋黄粽子1个，故共有CCC+CCC=70种情况. 14.-25由卡西尼卵形线的定义可得，a=√W7+V3)了.√7一3)=4，卡西尼卵形线C的轨迹方程为 √(x+√3)2+y·√(x-√3)2+y=4,整理得(x2+y2+3)2-12x2=16,所以y2=2√3x2+4-x2-3. 由y≥0，得2√3x2+4-x2-3≥0，即x4-6x2-7≤0，解得-√7≤x≤√7.令t=2√3x2+4,则x2= 是，所以y=1品6-3=立-6+号当=6时，2=专所以-2≤%<2故的 最小值为-23 3 15.（1)证明：由c=3aosB-cA)及余弦定理，得c=3(a.十世-b.+c), …3分 2ac 2bc 整理得2c2=3(2a2-2b),… …5分 故C2=3(a2-b）.…6分 (2)解：由c=3(acos B-bcos A)及正弦定理，得sinC=3(sin Acos B-sin Bcos A),…9分 则sin(A十B)=3(sin Acos B-sin Bcos A),… …11分 整理得2 sin Acos B=4 sin Bcos A.… …12分 显然A,B≠受又A,B∈(0，，所以☐合2 …13分 16.(1)证明：设AD∩BC=E,因为AB=BC=AC,所以∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°.…1分 因为D为劣弧BC的中点，所以BD=DC,则∠BAD=∠CAD=30°，即∠AEB=90°，所以BC⊥AD.·2分 连接PE,则PB=PC,BE=EC,所以PE⊥BC.… …3分 又PE∩AD=E,AD,PEC平面PAD,所以BC⊥平面PAD. …5分 因为PDC平面PAD,所以PD⊥BC.…6分 数学（四）参考答案第3页（共6页） (2)解：以O为坐标原点，过点O作平行于BC的直线为x轴，OD,OP所在直线分别为y轴，之轴，建立如图 所示空间直角坐标系O一xy2. 设PA=AD=2,则OP=√3，BC=√3， 所以P0,0n),B(5,号0），c(-号，，0），D01,0, 市-01，-)i=(,合，-)，i=300 …8分 设平面PBC的一个法向量为m=(x1,少，a), fPB·m=0, 2十2-3=0, 由 得 取y=23,则m=(0,2√3,1)， C.m=0, W5x1=0, w....................... 10分 设平面PBD的一个法向量为n=(x2,,2), (PB.n=0, 号+2-5=0， 由 得 取2=1，则n=(1W3,1),…12分 pin=0,b2-34=0, 设二面角C-PB-D为0，则|cos1-os(m,m》=m·n=√3X5-65 、m·n 7_765 …14分 sin 0-1-cos 0=465 65 故二面角C-PB-D的正弦值为4⑤ 65· …15分 17.解：(1)零假设Ho:是否是“航天达人”与性别无关联。 根据列联表中的数据X=150C40X20×730X60》≈5.357<6.635=1，…2分 100×50×70×80 根据a=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，即是否是“航天达人”与性别无关.…4分 (2由题意可得，PA)-8,PB)-品，PAB)-品， …5分 则PA1B)==锅×8=号， 7分 10040 P(AIB)-P(AB)_P(A)-P(AB150 150 3 P(B) 1-P(B) 1-品 4 9分 (3)由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名女生，3名男生，… 10分 X所有可能的取值为1,2,3，…… …11分 数学（四）参考答案第4页（共6页） 则PX=1D-晋=品PX=》-图-号PX=4)-8- C …14分 所以X的分布列为： 1 2 3 3 3 10 品 故E00=1×是+2x号+3×品-号 10 15分 a2+b=4, 18.解：(1)由题知， …1分 解得a2=1,=3,… 2分 故双曲线C的方程为2-号-1 3分 (2)由题知直线PM的方程为y=x十1， x2- y =1, 联立〈 3 得x2-x-2=0,解得x=-1或x=2,…5分 y=x十1， 则P点坐标为（一1,0），所以MP|=√（一1-2）2十(0-3)2=3√2.…6分 (3)由题知，直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=k(x一之)， =(x-2) 联立 消去y整理得3-)x+红一华-3=0， …8分 3-k2≠0， 则 4=-43-k)(-号-3）=36-9>0， 得-2<k<2,且k≠士√3. k2+12 设A(1M),B(x2),则m十2=-3=42=3)1 10分 所以6+-+尝号》34)3 x-2 x2-2 …12分 [k(a-号）-3](-2)+[k(m-2）-3]a-2)2k1m-(5k+3)x+)+2k+12 (m-2)(x2-2) xx2-2(xm1+x2)十4 …14分 2±9-（停+3）小·兰+2+1 4(k-3) 器+4 2_36(2==4. 9(k2-4) …17分 数学（四）参考答案第5页（共6页） 19.(1)解：当a=0时，f(x)=lnx+cos(x-1)-1,f(x)=-sin(x-1),则f)=0,f1)=1,…2分 所以曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=x一1，即x一y-1=0.…3分 (2)解：因为f1)=0,且f(x)在(0，十∞)上是连续函数，不等式f(x)≤0恒成立，所以考虑x=1是f(x)在 (0,十∞)上的极大值点，即f(们)=0.…4分 由f()=-sin(z-1)-a,得f)=1-sin0-a=0,解得a=1.…5分 下面证明当a=1时，f(x)≤0. 令g)=hx-x+1,则g)=是-1=1， x 当0<x<1时，g'(x)>0;当x>1时，g'(x)<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(1)=0,即lnx-x十1≤0.… …7分 又cos(x-1)-1≤0，所以lnx-x+1+cos(x-1)-1≤0， 故不等式f(x)≤0恒成立，综上可知a=1.…9分 (3)证明：由(2)知，nx十cos(x一1)≤x,当且仅当x=1时取得等号，…10分 所以a,=h(sm)+cos(sm分-l)Ksn是 则S-S<m十如2十+sn 1 …11分 下面证明：sinx<x,z∈(0，乏)，设h(x)=x-sinx,x∈(o,受)，则h'(x)=1-cosx>0,h(x)单调递增， 所以h(x)>h(0)=0,则sinx<x在(0，乏)上恒成立， 所以s血十如中2+叶s如云十2++ 1 …13分 又lnx≤x-1,当且仅当x=1时取得等号， 令z-n升则hn吊<行一1=nh所以h<-nn升=na+D-n,…15分 I (+D)-hth Gr+2)-Ih (r+++hn (2r-1)=I 2l=2. …16分 综上可知，S2n-Sn<ln2,即S2n<Sn+ln2.… …17分 数学（四）参考答案第6页（共6页）2026届高考冲刺调研信息卷（四） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 数学答题卡 15.(本小题满分13分) 准考证号 学 校 [0][0]0][0][0][0][0[0J[0][0] 1][11】[1)[1][1][11[11[11[11 姓名 [21[2][2)[2[2][2][2」[2][2][2 I3[31313][31[3][3][31[31[3 [41[4]「4]「4][41[4][4]「41[4][4 班 级 [51[51[5][51[5J[5]「515T5]「5 [61[6][6][61[6][6][61[6][6] 6 [7]7[7][71[7[7][7[7][71[7 考场 [8][8][8][8]8J[8]8][81[81[8 91[9[9]9][91T91[91[9[91[9 1,答题前，考生务必清楚地将自己的姓名准考证号填写在 必 规定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符 并完全正确及考试科目也相符后，将条形码精贴在规定 的位置 意2选择题必须使用2B销笔填涂：非选择题必须使用05毫 米黑色墨水签字笔作答，字体1整，笔迎清楚。 贴条形码区 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区城内答题，超出 项 答题区域范围书写的答案无效：在草稿纸试题卷上答随 无效 4.保特卡面清洁，不准折叠、不得弄破 填涂样例 正确填涂：■ 错误填涂： 缺考标记：☐ 选择题(58分)请用2B铅笔填涂) 1[A][B][C][D] 5 CAJ CB]CC]CD] 9 CA]CB][C][D] 2 [A]CB]CC][D] 6[A]LB][C][D] 10[A]CB][C][D] 3[A]CB][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 非选择题（⑨2分）（请用0.5毫米黑色愚水签字笔书写） 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 四)小数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) Ad D B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分)》 18.(本小题满分17分) 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ (四)小数学第2页（共2页） ■绝密★启用前 2026届高考冲刺调研信息卷（四） 数 学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。 容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 最 题目要求的， 如 1.已知集合M={x|x|-5<0},N={x|x2-10x<0},则M∩N A.{x|-5<x<0} B.{x|0<x<5} 的 C.{x|0<x<10} D.{x|-5<x<10》 长 2.已知复数之满足(1一z)i=2,则之= n A.-1-2i B.-1+2i C.1-2i D.1+2i 区 郴 3若椭圆C: =1m≥0)的离心率为号，则C的长轴长为 A.22 B.2 C.2 D.1 杯 4.已知0∈ (o,)os40=7 ,则sin0 A c 5.已知等比数列{an}为递减数列，若a2ag=4a6,a1十ag=10,则a1= A日 C.4 D.8 6.已知x=2是函数f)=(红一m)P川g,千n的图象的一条对称轴，则织 A.2 B号 c-号 D.-2 7.已知不共线向量a,b满足|a=|b,且a在a十b上的投影向量为单位向量，则|a+b|= A.2 B.1 c D.0 (四)·数学第1页（共4页） 8.已知点A(,m),B(x2,m),C(x3,m)(m>0)是函数f(x)=2sin(ux十p)(w>0,p<5） 的图象与直线y=m的三个相邻交点，其中x1<x2<x3,且3x2=2x1十x3,则m= A.2 B.√5 C.2 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,M(4,yo)(yo>0)是C上一点，以M为圆心，以 |MF|为半径的圆与直线x=一1相切，直线MF与C交于另一点N,O为坐标原点，则下列 说法正确的是 A.p=2 B.圆M的方程为(x-4)2+(y-2√2)=25 C.IFNI-5 D.△OMN的面积为2 10.已知偶函数f(x)与其导函数f(x)的定义域均为R,且f(x)十f(x)=e“(a≠0)，则 A.f(x)为奇函数 B.a=1 C.f(x)=e'te 2 D.f(f(x)的最小值为1 11.如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，AB=AA1=2A1B1=2,AA1⊥底面 ABCD,M,N分别为BC,DD1的中点，点P为四边形CDDC,内一动点（包含边界），则下 列说法正确的是 A四棱台ABCD-A,B,GD的体积为9 B.当点P为CD的中点时，平面B,MP截该四棱台所得截面为 平行四边形 C.若AB⊥BP,则点P的轨迹长度为②I 2 D.直线B,N与平面MBN所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从某小区随机抽取了10位业主6月份每户的用水量，数据如下（单位：m):12,10,8,8,9, 5,11,6,7,9,则该样本数据的70%分位数为 13.端午节是我国的传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗.某居民买了不同的肉粽子5个（口 味相同)，不同的蜜枣粽子4个（口味相同），蛋黄粽子1个，则从中随机抽取4个棕子，每种 口味至少抽取一个的情况有 种 14.在平面内到两定点的距离之积等于常数的动点的轨迹通常称为卡西尼卵形线，已知卡西尼 卵形线C经过点A(W7,0),且C上任意一点P(xo,y)到F1(一√3,0)，F2(W3,0)的距离之 积为a(a>0),则yo的最小值为 (四)·数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=3(acos B-bcos A). (1)证明：c2=3(a2-b2)； (2)求细合的值 16.(本小题满分15分) 如图，A,B,C是圆锥PO的底面圆O的圆周上三点，且AB=BC= AC,D为劣弧BC的中点. (1)证明：PD⊥BC; (2)若PA=AD,求二面角C-PB-D的正弦值. 17.(本小题满分15分) 某校开展了“航天知识竞赛”（满分100分），共150名学生参加，对这150名参赛学生的成绩 按参赛者的性别统计，记成绩不低于80分的为“航天达人”，记成绩低于80分的为“非航天 达人”，得到如下2×2列联表。 “航天达人” “非航天达人” 合计 女生 40 30 70 男生 60 20 80 合计 100 50 150 (1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为是否是“航天达人”与性别有关联？ (2)从参与竞赛的人中任选1人，A表示事件“选到的人是航天达人”，B表示事件“选到的人 是女生”.利用该统计数据，求P(A|B),P(AB)的值； (3)按性别比例采用分层随机抽样的方法从是“航天达人”的学生中随机抽取5名学生，再从 这5名学生中选3名做进一步了解，设这3人中男生人数为X,求X的分布列和期望， n(ad-bc)2 附：x=a+b(C+aa+c6+d,n=a+b+c+d, 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 (四)·数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知双曲线C号-茶=1o>0,6>0)的右焦点为F2,0),点M2,3)在C上. (1)求双曲线C的方程； (2)过点M且倾斜角为于的直线交C于另一点P,求MPI; (3)过点N(2,0)的直线L与C交于异于点M的A,B两点，设直线AM,BM的斜率分别为 1,k2,求k1十k2的值， 最 地 的 19.(本小题满分17分) 长 已知函数f(x)=lnx十cos(x一1)一ax十a-l. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)≤0，求实数a的值； 郡 (3)已知数列(a,的前n项和为S,且a,=ln(sin月)十cos(sin-1),证明：S<S.+ 杯 ln2(n∈N"). 期 (四)·数学第4页（共4页）