2026年高考冲顶压轴信息卷-数学-3

数学（三）】 1.C解析]因为的方差为=3.所以根据方差的性质得：数据2，一2一，2x号的方差为2×3 12.故选：C 2.C解析15=a+.i.g+-a+i3+)_3a-1+9+3 3a-1<0 10 3-i3-i 10 10 i,由题意可得 10 a+3 解得-3<a<了故实数a >0 10 的取值范围为 3故选：C 3 3.D解析]由题意有：A=<2故2A,故A错误：B=-1<x<4线.故-2EB,故B错误：A∩B 生A∩B,故C错误：AUB={x<4从.所以-3eAUB,故D正确.故选：D. 3 4A【解析]因为，4≤0 x(x-4)≤0， x-4≠0. 解得0≤x<4,由lx-1小K1,可得0<x<2.所以”，4≤0是1x-K的 必要不充分条件.故选：A. 5.DI解析】由题意可知：AB·CD+BC·AD=AC·BD.因为CD=AD=AC,所以AB+BC=BD.又由平面几何知识可知 AD=∠AGD=号同理LCD=∠CD=号放Sa=S+So=号4B:D:n号+号BC:BDm子因为 8D=20.Sm=怎(4B+BC)Bm=BD=100V5.放选D 4 D 6.D【解析】由题意得F(1,0),厂的准线方程为x=-1,过F且倾斜角为60°的直线方程为y=V3x-V3,所以 y2=4x =V5x-V3.得3-10+3=0.设A小B以>，则=写=3，故=2y5为=2v3.所以 3 11 数学·X·(共20页) 7A【解析】因为数列{√S}为等差数列，又√S,=V√a,=1,√S,=√a,+a,=2,则等差数列{√S}的公差d=√S- √S=1,所以√S.=n,S.=n2,所以S。-1=(n-1)(n≥2)，故a.=S。-S。-1=n2-(n-1)2=2n-1,经检验，a1=1 416放选：A. 起该通项公式敌a2n1,则2x6-」儿 8.A【解析】函数f(x)=le-11-1的图象如下图所示： 令f(x)=t,若函数g(x)=[f(x)了-f(x)-1有三个零点，①方程h()=-a1-1=0有一根在(-1,0)上，一根在 h(-1)>0, [0,+∞)上，则 >0。解得a>0:②方程h()=r-t-1=0有一根在(-1.0)上，一根等于-1.则 即 h(0)≤0.-1≤0， [h(-1)=0, 此时无解，综上：a>0.故选：A. h(0)>0. 9ABD(解析1对于A:由3a,=a,+0得3=q+,所以g=2,故A正确；对于B:可得，=a,g=×2=2 3 令a= 3 、空即24a中的项敌正对干cg.- 1-2= 3 4 24 误：对于D:因为a,=3a:+a,= 32a直S4.即a+a2a,+a所a心+aa成等题 31 列，故D正确；故选：ABD. 10.BCD解析】由题意知双曲线的渐近线方程为y=±bx,取其中y+bx=0与圆心为(O,2),半径为1的圆相切，可得 2 V1+B =1,由于6>0，解得6=V了，所以A错误：可得双曲线方程为-号=1，设双曲线的半焦距为c,则c V个+3=2，所以F,(-2,0)F,(2,0),因为C(0,2),所以CF,=CF=2V2F,F=4,可知CF,+CF:=F,F, 所以△CF,F,为等腰直角三角形，故B正确：因为动点P在E的左支上，所以PF-PF,=2,则PF=2+PF,,所 以|CP|+PF2=CP+PF,+2,当C,P,F,三点共线时，CP|+PF,最小，此时|CP|+PF,=2V2,此时|CP+ PF,=2V2+2,所以1CP1+PF,的最小值为2V2+2,所以C正确：设P为小可得号-号=1.即=1+答则 3 1P=属+0-2=+号+8-+4=8-+5=部.-昌引+2，当-2时的最小 值，此时CP|=√2，所以D正确，故选：BCD. 11.BD解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-x)=f(x),又当x≥0时，f(x)=x+x2-x+2,所以当x<0时， -x3+x2+x+2,x<0, f(x)=f(-x)=(-x)°+(-x)2-(x)+2,即当x<0时，f(x)=-x+x2+x+2,所以f(x)= r+2-x+2,≥0故 C错误，因为当x<0,f(x)=-x3+x2+x+2,所以当x<0,f'(x)=-3x2+2x+1,故f'(-1)=-3-2+1=-4,故A错 误，因为当x≥0时，f"(x)=3x2+2x-1=(3x-1)x+1),令f'(x)=0可得，x= 3或-1（合去），当0<x<兮时. ()<0,函数f()在0，写上单调递减，当x>时(e)>0)在行+上单调递增，又()是定义在R上的偶函 数.所以函数)在号0上单调递增，在-》上单调递减，所以)在（号0和(+上单调递增，故B正 数学·X·(共20页)】 确，因为函数)在0}上单调递减，在行+上单调递增了倡)=0，所以当x≥0时=写是f)的极小值点，因 为()是偶函数，所以x=}也是)的极小值点，故✉)有2个极小值点，故D正确：故选：BD, 12【答案】2g51解析1因为a16所以6=-3-2m=0.则m=号-6-(4引所以em(台-么 (a-B-B a-c -13 2V5 /65 V3×N4 5故答案为-2v5 5 .答案0解析设率为3的直饿写骏yx2相切于点02w之0.因为y2金 2x一2，令Y23,解得x=2,所以02,4-212.所以切线1的方程为：=3x-2 要求点P到直线y=3x-2ln2的最小距离，即求切线l到直线y=3x-2ln2的距离，由两平行线间的距离公式可得d= V9+Y号0，所以点P到直线)=3-22的最小距离是Y故答案为： 2 V10 5 14【答案)【解析)设平面P1B截球0的截面为圆N,其半径为x因为PA与球0相切，AB的中点W在球0的表面上，且 PAC平面PAB,M∈平面PAB,所以圆心N到直线PA的距离等于到点M的距离，均为r,所以N的轨迹为平面PAB内的 一条抛物线.又因为PC⊥底面ABC,所以PC⊥AB.又AB⊥AC,PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.所以AB⊥PA.以 AM的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则PA是抛物线N的准线.设球O的半径 为R,球心O到平面PAB的距离为d,则R=V+r≥r,当d=0,即Oe平面PAB时等号成立，即R=m=2.如图， 1 64 中点，即坐标原点时最小所以ABE2AWE4=8,故V。k3Sc·PC。 15.【解析】(1)由题意得f(x)=a·b-V2=2V2cos2wx+2V2 sinoxcoswx-V2=V2(1+cos2wx)+V2sin2wx- /2三V2sin2wr+V2c082w=2sin2wxt4w>0、…3 根据f(x)图象相邻的对称轴间的距离为？，可得(x)的最小正周期T= =π，解得w=1,所以f(x)=2sin(2x+ 气05 由-号+2k≤2x+受+2kke乙.得-+行≤日+k,6eZ.所以函数)的单调递增区间为- 8 kmg+km]0ke公…7分 （2)依题意，g)=x-)+1=2inl2x-双)+1+1=2n(2x-石)+1，当xe0,2号1时，2x- 6e看76则当2z-石号即x=号时680=3： π「π7π1 10分 当2x-君=名攻x-石石即：=0或：号时g)=0所以8)在区间Q号1止的最大值为3最小值 为0。…13分 16.【解析】(1)根据题意2a=4V2,a+c=2V√2+2，解得a=2V2,c=2,又因为c2+b=a2,所以b2=4,解得b=2,所以 C的方程为传-1…5分 (2)当直线l的斜率不存在时，线段AB的中点E的纵坐标为0，故直线1的斜率存在.设其方程为y=kx+m,联立 y kx m. x2.y2,消y得(2k2+1)x2+4mx+2m2-8=0.由△=8(8k2-m2+4)>0,得m2<8k2+4③.…8分 8+4=1, 13 数学X·(共20页) 如图，设A(xyB(x2,y): 4km 2m2-8所以xe= x1+x2 2则：=，+m2E1=1.所以m2+1.代 2km m 则x1+x2= 2水2+1=2水+1 2 入③得(2k2+1）<8k2+4,所以1≤2k2+1<4.…10分 16k2m2-8(m2-4)(2k2+1） 1AB=V1+及V(x,+x)-4x,x,=V1+及 =2V2.V1+F.y8+4=m,点 (2k2+1)月 2k2+1 O到直线1的距离d=mL 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 V1+k21 …13分 AB山2V2V1+F.V8然+4mm=v242+) 2 2k2+1 V1+k2 所以S。o=V2.V-m+4m=V2V-(m-2)2+4,1≤m<4.当m=2时，S。om最大，其最大值为2V2.…15分 17.【解析】(1)翻折前四边形ABCD为平行四边形，∠BAD=120°，DC=2AD=2,∴.∠B=60°AB=DC=2,BC=AD=1, 在△ABC中，由余孩定理可得：4AC=AB+BC-21B:BCmB=4+1-2×2×1×3.AC+BC2=A俗，则 BC⊥AC,同理AD⊥AC,.翻折后有BC⊥AC,PA⊥AC,又.PC⊥BC,AC∩PC=C,AC、PCC平面PAC,∴.BC⊥平 面PAC,又PAC平面PAC,∴PA⊥BC,:AC∩BC=C,AC、BCC平面ABC,∴.PA⊥平面ABC,:ABC平面 ABC,PA⊥AB…5分 (2),PA⊥平面ABC,BC⊥AC,以点A为坐标原点，BC、AC、AP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空 间直角坐标系， 1 则A(0,0,0)P(0,0,1)C(0,V3,0B(-1,V3,0)所以AB=（-1,V3,0 8分 设PM=AP元=A(0,V3,-1=(0,V3A,-A),其中0≤A≤1，则AM=AP+PW=(0.0,1)+(0,V3A,-A)= 0V3A,1-A,… …10分 m·AB=-x+V3y=0 设平面ABM的法向量为m=(x,y,z),则 取y=入-1，则z=√3入，x=V3(入-1)，则 m·AM=V3y+(1-A)z=0 m=V3a-A1V3.又平面ABC的一个法向量为0,0，，om·正 V3 =57 ………… 13分 V4(A-1y+319 整理可得3+2A-1=0:0≤A≤1，解得A=了线段PC上存在点M,使二面角M-AB-C的余弦值为V7 19 PM 1 此fpC3…a…………… 15分 18.【解析】(1)设M表示共抽了3次且最后一次抽到C,对应事件为（第一、二次都抽到A,第三次抽到C,由题意，第一、二 8×气×。28，而最后一次抽到C的情况有轴 3.2.21 到A的做率依次为&第三次抽到C的概率为，所以P0=X 了1次菌了2次横了3次储了4次除了量后-次，其他描到1故对应率能次为号云子 14 数学·X(共20页) 121 65-140 4分 设L表示事件后-次描到G则P0=+京+衣+05+55+1 140 ,所以该顾客最后一次取到的是写 有C的卡片的条件下，他共抽了3次的概率为P(w1☑=PW.28. P(L) 2 56 …7分 5 (2)①这4条灯谜的位置从第1个到第4个排序，有A=24种情况，要摘到哪条最适合灯谜，有以下两种情况： 情况一：最适合灯谜是第3个，其他的随意在哪个位置，有A;=6种情况： 情况二：最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第1个或第2个，其他的随意在哪个位置， 有2A;=4种情况，综上，所求概率为6+4=5 24=12 10分 ②记事件D表示最适合的灯谜被摘到，事件E表示最适合的灯谜排在第i个，则P()=。由全概率公式知：P(D) 2P(DE)P(E)=∑P(DE,.当1≤ik时，最适合的灯谜在前长条中，不会被摘到，此时PDE)=0:当A+ n 1≤i≤a时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前i-1条灯谜中的最适合那条在前长个之中时，此时PDE)产所 以PD=作+ n k"k+l +…+ =1n，…13分 n-1 n k 令g(x)=n(x>0),则g(x)=n -元由g(x)=0,得x=2,当xe(0.)时，g(x)>0,当xe(二)时， ge水0.所以g在0上单调递增，在（二o)上单调递减.故：e)-g(?)-当k=时，PD)-片h取 n e e 得最大值。，所以P的最大值为。 …… 17分 19.【解析】(1)由f(x)=nx-x,x∈R,得∫'(x)=n-nx-=n(1-x-),其中n∈N,且n≥2.下面分两种情况讨论：①当 n为奇数时，令f'(x)=0,解得x=1或x=-1.当x变化时∫'(xf(x)的变化情况如下表： (-∞，-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f'(x) 0 + 0 f(x) 极小值 入 极大值 所以f(x)在(-，-1)，(1，+∞)上单调递减，在[-1,1]上单调递增. ②当n为偶数时，令f(x)=0,解得x=1. (-∞，1) 1 （1.+o】 f'(x) + 0 f(x) 入 极大值 所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，在[1，+∞)上单调递减.故当n为奇数时，f(x)在(-，-1)，(1，+∞)上单调递减，在[ 1,1]上单调递增.当n为偶数时、f(x)在(-∞，1)上单调递增，在[1，+∞)上单调递减.…5分 (2)证明：设点P的坐标为(x,0,则x。=n一∫"(x)=n-n2.所以曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f'(x(x- x),即g(x)=f'(xo)(x-x),令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f'(x(x-xo,则F'(x)=f'(x)-f'(xo). …7分 由于n∈N.且n≥2，所以幂函数y=x”-'在(0，+∞)上单调递增，因此f'(x)=-nx-1+n在(0，+∞)上单调递减，故 F(x)在(0，+∞)上单调递减，且F(x)=0,所以当x∈(0，xo)时，F(x)>0:…9分 当x∈(xo,+∞)时，F'(x)<0,所以F(x)在(0，x。)上单调递增，在[xo,+∞)上单调递减，所以F(x)有最大值F(x),所以 对应任意的正实数x,都有F(x)≤F(xo)=0.故对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).…11分 (3)证明：不妨设x,≤x2,由(2)知g(x)=(n-n(x-x,设方程g(x)=a的根为x,可得2= n-n+x又由n≥2 知g(x)=(n-n)(x-xo)在R上单调递减，由(2)知g(x)≥f(x)=a=g(x'),可得x2≤x'同理，设曲线y=f(x)在原 点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=nx,当x∈(0，+)，f(x)-h(x)=-x”<0.即对于任意的xe(0,+∞)，f(x)< h(x儿设方程h(x)=a的根为，可得X,=,…14分 因为h(x)=nx在(-o,+∞)上单调递增，且h(x')=a=f(x)<h(x),因此x,<x由此可得：x,-x1<x2-x,= 分 数学·X·(共20页) a -大：=0元因为n22,所以2=0+1≥1+C1+n-1=n,所以有2≥n 名飞，+名≤中十2.故名-K2 17分2026届高考冲顶压轴信息卷（三） 数学·信息卷（三） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 第I卷（选择题共58分） h 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1 1 1.设一组样本数据x,…比的方差为3则数据2x2222…2a, 。的方差 如 为 ) 敏 A.4 B.8 C.12 D.32 长 2.已知复数z= 0+i2029 ☒ 3-i 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为 ( A B.(O.) c(3引 3.集合A==la(3-2》B=3<2<16则 ( A.2∈A B.-2∈B 3 C.ZEANB D.-3∈AUB 8 4已知x∈，则，产4≤0是x-1小K1”的 889 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 88 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.克罗狄斯·托勒密在《天文集》中介绍弦表制作原理时，提及这样一个定理：任意平 面凸四边形里，两条对角线的乘积不大于两组对边乘积之和，仅当对角互补时二者 相等，也就是圆内接四边形的两组对边乘积之和与两条对角线的乘积相等，.已知 某圆的内接四边形ABCD的对角线BD的长为20，若△ACD为等边三角形，则四边 (三)数学X·A·第1页（共6页） 形ABCD的面积为 () A.50V3 B.60V3 C.80V3 D.100V3 6.设F为抛物线T:y2=4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交T于A,B两点(B在 第一象限)，0为坐标原点，过A作T的准线的垂线，垂足为M,则OB=（ |OM 2 C.2 D.3 7.记S为数列{a,}的前n项和，且数列{√S}为等差数列，若a,=1,a2=3,则&= 11 A. B. 16 2 C1o D.1 18 8.已知f(x)=le-1〢-1，若函数g(x)=f(x)-af(x)-1有三个零点，则实数a 的取值范围为 A.(0,+∞) B.(-1,0)U(0,+∞) C.(-1,0)U(0,1) D.(1,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知正项等比数列{a.}的公比为g,S,是其前n项和，若3a,=a+4a4,且a,=3 则 () A.q=2 B.1024是数列{a,}中的项 3 7 C.S,=-2 D.a3,a2+a3,a4成等差数列 10.已知双曲线Ex-二=16>0)的渐近线与圆C+6-2=1相切，F,F,分 别为E的左，右焦点，动点P在E的左支上，则 () A.b=3 B.△CF,F2为等腰直角三角形 C.|CP|+PF2的最小值为2V2+2 D.|CP|的最小值为√2 11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x3+x2-x+2,则() A.f'(-1)=4 Br在（行0和利行+上单调递蜡 C.当x<0时，f(x)=-x3-x2+x-2D.f(x)有2个极小值点 (三)·数学·X·A·第2页（共6页） 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 得分 答案 第Ⅱ卷（非选择题 共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上 12.若向量a=(-1,m),6=(3,-2),且d⊥6，则cos(a-6,6)= 13.若点P是曲线y=x2-2lnx上的任意一点，则点P到直线y=3x-2ln2的最小距 离为 14.在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC,AB⊥AC,PC=AC=4,球0与PA相切，且 AB的中点M在球O的表面上，若球O的最小半径为2，则三棱锥P-ABC体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知d=(2V2,V2 coswx),b=(cos2wx2 sin@x),函数f(x)=d·b-V2(w> 0),函数y=(x)图象的相邻对称轴之间的距离为受 (1)求f(x)的单调递增区间； (2)将)y=f(x)的图象向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 24 函数y=g()的图象，求g()在区间0,1止的最值。 (三)·数学X·A·第3页（共6页） 6.15分)已和陌圆C大 +=1(a>6>0)的长轴长为4V2,该椭圆上的点与左焦 点间的距离的最大值为2V2+2. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线I与C交于A,B两点，若线段AB的中点E的纵坐标为1，求△AOB面积 的最大值. 17.(15分)已知平行四边形ABCD如图甲，∠BAD=120°，DC=2AD=2,沿AC将△ADC 折起，使点D到达点P位置，且PC⊥BC,连接PB得三棱锥P-ABC,如图乙. (1)求证：PA⊥AB; 若存在， (2)在线段PC上是否存在点M,使二面角M-AB-C的余弦值为Y57 求出PM 的值，若不存在，请说明理由. PC M A- . 乙 (三)·数学·X·A·第4页（共6页） 18.(17分)“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬传统文 化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动· (1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B、C两类，抽到较易的B类并 答对购物打八折优惠，抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如 下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有A字母，3张写有B 字母，2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有A的 卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的 是写有C的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率； (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不 能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同）最 适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前 k(1≤k<)条灯谜，自第k+1条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就 摘这条灯谜，否则就摘最后一条.记小明摘到哪条最适合的灯谜的概率为P ①若n=4,k=2,求P; ②当n趋向于无穷大时，从理论的角度(0<k<n,k∈R),求P的最大值及P取最大 值时k的值 11 (取+++…+n-1 (三)·数学·X·A·第5页（共6页） 19.(17分)已知函数f(x)=nx-x“,x∈R,其中n∈N,且n≥2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y= g(x,求证：对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x): (3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x,x2,求证x2-x1< +2. 1-n (三)数学X·A第6页（共6页）