2026年高考冲顶压轴信息卷-数学-2

数学（二） 1.B[解析】由B={xeNx2≤4}={0,1,2，则A∩B={0,1},共2个元素，所以集合A∩B的真子集个数为22-1=3.故选： B. 2.C【解析】因为6×75%=4.5，所以这组数据的上四分位数为第5个数28故选：C. 3l解折因为n0+m-引m0+n0-空m0-号md- 号a0=v5n0-引5所以mp-君} 故m+=m+-引-ml-}- 2故选：B, x2+2x-1.x≤0， 4.C【解析】因为函数f(x)= 方程f(x)-2=k,故可以等价转化为下面的命题，令函数： Inx.x >0. [x2+2x-3x≤0. 人()=)-2，则两数(=仁2n0方程（)=拾有三个不同的实数解，所以作6（的图象如下： 数学·X·(共20页) …y= 又方程f(x)=k恰有三个不同的实数解，所以f(x)=k与y=k有三个交点，数形结合可得当k∈(-4，-3]时f(x)=k 与y=k有三个交点，所以C选项正确，ABD选项错误，故选：C 5.C【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为1，因为侧面展开图是一个面积为12π的半圆，故该半圆的半径为 l=2V6 2V6,即圆锥的母线长.从而有 2mr=2V6 ,可得r=V6,h=√(2v6)2-(V6)2=3V2,要使该圆锥内置球的体积 R 最大，即球与圆锥的底面、侧面都相切.圆锥的轴截面如图，设体积最大的球的半径为R,有 月3V2-R V6 2V6 ,解得R=√2，故该球的最大体积为4 ：Y2n放适C R 6.C【解析】先从6个位置中选4个摆放不同的科普书籍（分别记为A、B、C、D)(剩下两个位置放相同的故事书），有A:种方 法，两个相同的故事书相邻可将两个相同的故事书捆绑在一起，与不同的科普书籍（分别记为A、B、C、D)进行全排列， 有A种方法，所求概率为P=A=1 A3故选：C 7.B(解析]如图，设点M(x,y),连接MC,四边形MACB的面积S=2SA=2×,MA1×1=MA1=VMCr-1,而MC= 2 √(x-3)2+y2,又点M(xy)在曲线y2=4x上，则有1MC1=√(x-3)2+4=V(x-1)2+8,依题意，x≥0，故当且仅 当x=1时，MCl=2V2,此时四边形MACB的面积取得最小值V(2V2)-1=V7.故选：B. 8.A【解析】根据题意可知，因为f(x)=ax2-2ln(x>1,且f(x)<a恒成立，故有2nx+a>ax2→2lnx-a(x2-1)>0,令 g)=2c-aK-1).x>1.则g)=2-2a.当a≤0时，g)=2-2>0在e(1,+)上恒成立，放g) 2nx-a(x2-1)在xe(1,+∞)上单调递增，其中g(1)=0,故x>1时，g(x)>0恒成立，故x>1时，f(x)>0恒成立；当 a>0时，令g()=0,解得x=Va,负值舍去，当0<a<1时，x=Va>1,令g()>0得1<x<Va,令g(x)<0得x> ,放g)=2-ae-)在，日上单周造增，在+上单润造减，其中e0)=0.当：趋向于+×时， g()=2x-a(x2-)趋向于-，不能使得x>1时，fx)>0恒成立，当a>1时，x=Ya∈(0.]，故g()=2nx a(x2-1)在(1，+∞)上单调递减，其中g(1)=0,故x>1时，g(x)<0恒成立，不合要求，综上，实数a的取值范围为 (-∞，0故选：A. 9.BD解析】对于A,=5+3”:=5+3=4-1.故A错误：对于B.=4-i对应复平面内的点为4，-1).位于第四象 1+, 1+i 限，故B正确；对于C,由复数模长公式得z=V√42+(-1)了=V17,故C错误；对于D,设w=x+i(x,y∈R),则w-z= 6 数学·X·(共20页) x-4+(y+1)i,又|ω=1，所以x2+y2=1,所以w对应复平面上的点在圆心为原点的单位圆上，又|ω-= √(c-4)+(G+1)表示点(x,)和(4，-1)之间的距离，所以w-的最大值等于原点和(4，-1)之间的距离加1，即 w-z=√42+(-1)2+1=V17+1,故D正确.故选：BD. 10.BCDI解析】对于A,令x=y=1,有f(1)+1=∫(1)+f(1),所以f(1)=1,令x=y=-1,有f(1)+1=f(-1)+f(-1), 所以f(1)=f(-1)=1,故A错误；对于B,令y=-1,则f(-x)+1=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),又因为D={xx≠0} 关于原点对称，所以函数f)为偶函数，故B正确：对于C.令y则/+1=()+/得即 ()+日2.则/+f)+f+(3)=5,故c正确：对于D.不等式3)+f(x>f(x-1)+1等价于 3)()-1>fx-1),即f(3>f(x-1e(0,+.且x<-)/)-传xf,小- 图-f)+1=1-f得又>1，所以1，所以1-图}k0.所以（小小所以函数）在(0+) 13x>x-1 上单调递增.因为f(x)为偶函数，所以f(3x)>f(x-1)等价于3x≠0， 解得x》U仔U1,+.故D x-1≠0， 正确，故选：BCD 11,ABD【解析】对于A,取C,D,的中点M,连接PM,如图，则A,BI/PM(都与CD平行)，所以A,B,P,M四点共面，则平面 A,BP截四棱柱ABCD-A,B,C,D,所得的截面是四边形，故A正确.对于B,连接AC,A,C1,由题意可得AC⊥BD,CC,⊥ 底面ABCD,BDC底面ABCD,所以CC,⊥BD,而CC,∩MC=C,CC,ACC平面ACC,A,所以BD⊥平面ACC,A,又APC 平面ACC,A1,所以BD⊥AP,故B正确.对于C,设AC与BD交于点O,以O为坐标原点，OA,OB,AA,的方向分别为x轴， y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 则A(V3,0,2),B(0,1,0),P(-V3,0,1), PA,·i=2V3a+c=0. 所以PA1=(2V3,0,1,PB=(V3,1,-1),设平面A,BP的法向量为元=(a,b,c),则 不妨取 PB.ii=V3a+b-c=0. a=-1,则元=（-1,3V3,2V3,易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),则cos<m,i>= 2V3 V30 V1+27+1210 故C错误，对于D,连接CD,由A项知A,B,P,M四点共面，D,Q/平面A,BP,又平面A,BP∩平面DCC,D=PM,所以 D,QPM,所以Q的轨迹为线段CD,(不含点D),CD,=2V2,故D正确.故选：ABD. 12答案】-6成者写为引解折1因为后=(a-=(5八又因为5=保-4则a=(2放有后6.2× a.66-1062 3+1×(-4)=-10,d=√32+(-4)=5，所以a在6上的投影向量是 司号专号或者写为引故 答案为：或者写为9》 68 1B.【答案14v2解析]设所求双曲线方程为苦-y=AA≠0).将点（←2.3）代入双曲线方程得A=1-9:-8,故双线 方程为上 832=1,则双曲线的实轴长为4V2.故答案为：4V2 14.【答案】4V2+2【解析】由已知得EC=FD=V2,只需考虑蚂蚁行进的三条路径，并沿所经过的棱将路径图展开成平 面图，第一条路径穿过棱OW,如下图，此时最短路线长为EN+NF=4+4=8; 7 数学·X·(共20页) 第二条路径是穿过棱EN和棱NF,如下图，此时最短路线长为V2(ME+CE)=V2(4+V2)=4V2+2; 第三条路径是穿过棱EW和棱MF,如下图，此时最短路线长为√(CE+EM+FD)尸+EW=V(V2+4+V2)2+4= V40+16V2. 82=64=40+24>√40+16V2=40+16V2>4V2+2)=36+16V2,通过比较可知，4V2+2最小.故答案 为：4V2+2. 15.【解析】(1)ccosB+beosC= a由正弦定理得如8+in=测，从而有如(B+C a sinA sinA 2cos4→ sinA 2as51≠0.co4=30<A<,A= sinA …5分 31 (2)油题意可得6-simB_2in(写-C).V3csC+n 2 =V3.cosc +a=csin4V3 …8分 sinC sinC sinC sinC sinC sinC' C +1+2=V3c0sC+V3 2V3 cos2. 周长1=a+b+c=3 +3= 2 sinC +V3.cosc sinC sinC CC +3=V3 2cos sin 2 C +3,…10分 tan 2 由于△ABC为锐角三角形.CE0零0<B石二区解得CE(币 V3 调递增，am2e(2-V5,1).∴ 。∈(V3,2V3+3),△ABC的周长的取值范围为(3+V3,6+2V3人…13分 16.【解析】(1)由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6，故喜欢跑步的有200×0.6=120 (人)，不喜欢跑步的有200-120=80（人）.补全列联表如下： 跑步 性别 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 60 140 女生 40 20 60 总计 120 80 200 …3分 由2×2列联表中的数据，可得X=200X80×2040×60=1,587<2706.所以没有充分证据推断喜欢跑步与性 120×80×140×60 别有关，即认为喜欢跑步与性别无关.… …………7分 2)设抽取的8人中女生有名，男生有y名。则品0一60解得x=2y=6,所以从不客改跑步的学生中抽取女生2 数学·X·(共20页) 名，男生6名.再从这8人中抽取3人（从6名男生、2名女生中抽取3名，典型的超几何分布模型），故X的可能取值为0， 1,2,……… …………10分 且P(X=0)=CC-5 C =4PX=)=C,C= C: 28,P(K=2)=C5·Cg3 281 …12分 故X的分布列为 X 0 1 2 5 15 3 P 14 28 5 28+2×3=213 15 方法一：数学期望E(X)=0× 14+1 28284 2×33 方法二：X服从超几何分布，且N=8,M=2,n=3.所以E)=8=子 …15分 17.【解析(1)因为BF与平面ABCD垂直，AB,BCC平面ABCD,所以BF⊥BC,BF⊥BA,又AB⊥BC,故AB,BC,BF两两垂 直，以B为坐标原点，BC,BA,BF所在直线分别为x,y,轴，建立空间直角坐标系，…3分 G H A B C主 隆接AC,AB=2,BG=2V3,由勾股定理得AC三VAB+BC=4,放mBAC=报-放∠BAC因为B正 AD=2.BC=GD=2V3,AC=AC.所以△ABC=△ADC,故∠DAC=∠BAC=了过点D作DH上AB所在直线于点H,故 DAH=,所以AH=1,DH=V3,所以BH=AB+AH=2+1=3,…5分 又DE=BF=3,所以C(2V3,0,0,B(0,0,0F(0,0.3,D(V3,3,0,E(V3,3,3,A(0,2,0),设AG=h,则G(0,2,h), CE=(-V3,3,3),EF=(-V3,-3,0),GE=(V3,1,3-h),设平面CEF的法向量为m=(x,y,z),则 成1C配，则 m⊥E下 m.CE=-V3x+3y+3=0 ,令y=1,则x=-V3,z=-2,故m=(-V3,1,-2),又C,E,F,G四点共面，故m⊥GE,即 m.EF=-V3x-3y=0 (-V3,1,-2)(V3,1,3-h)=-3+1-2(3-h)=0,解得h=4,故AG=4;…8分 (2)由(1)知，AE=(V3,1,3),平面ECFG的一个法向量为m=(-V3,1,-2),…10分 设直线AE与平面ECFG所成角的大小为6，则sm6=1s<正，i>1=E.m.(V3.1,3)(-V3.1,-2,2V26 AEmV3+1+9×V3+1+413 所以直线AE与平面ECFG所成角的正弦值为2V26 15分 13 18.【解标11)设动圆M的半径为R,由题意可知：圆C,的圆心为C,(-V3.0,半径为，-，圆C,的圆心为C,(V3,0,半 径为，=因为动圆M与圆C,内切，且与圆C,外切，所以 所以MC,+MC2=4>C,C,=2V3, 41 …5分 所以曲线C是以C.C,为焦点的椭圆.设其方程为 =1(a>b>0,其中2a=4,2c=2V3,所以a=2,c=V3, 公=公-=1，从而的线C的方程为号+y=1.…7分 (2)①如图1，由于直线L2y=k,x平分直线l与圆0的交线段，所以直线l与l2垂直，设直线x=y+d,则k2=-t. 数学X·(共20页) y1+y2 设M(y),N(2,y,则 x号+4y=4 x号+4y3=4, 于是6刘产46为产”，由于1=4=云则 y1-y2 x1+x2 2 4,得证 …10分 3 3 ②由题意可知 0H3 OD2如图2，连接DG,ED,则Sac= 4 S四边形DEFG? 5 易知S闲边形on=4S边形Deo 12分 x2+4y2=4 4 令 得x=± ,则直线l,与椭圆的交线段长为EG=2V保+1 4 y=kx 4+1 √4+，同理可得直线人，与椭 4 4 4 圆的一个交点坐标为 不妨记为点D,则D到直线l的距离 4h3+1 4k+1 4h+1 √+I 3 4 V4h号+1 15分 √+1 12 6k2 所以SW边形EFc=|EGd= ,由题意可知k2≠0，则 g边形DEG= 17 +4+ 5,所以四边形 (4+1)(4k号+1) EGH面积的最大值Setm）-(昼na =3,在k2=±1时取到.… 17分 19.【解析】(1)设切线1与曲线y=f(x)相切于点(xo,xolnxo-xof'(x)=lnx,则1的方程为y-(xlnx。-xo)=lx(x-xo), 将M(0,m)代人得，m-(k,,-x)=x,0-x小解得。=-m,y=血（←m)+m,令）=0，解得x=nm -m …4分 、所求三角形面积s(m)=2-m -m m2 lIn(-m) 2hmm<-0.s(m)=m2h(-m）-1 2[ln(-m)] ,me（-,-Ve时， S(m)<0,则S(m)单调递减，me（-Ve,-1)时，S(m)>0,则s(m)单调递增，.S(m)≥S(ve)=e,即所求三角形面积 的最小值为e.… …6分 （2因为g=-m,所以g6=m所以g得）则曲线y=g在怎怎》 的切线方 置为y-即，=+ 8分 212 (iⅱ)依题意，'(x)=lnx+cosx,欲求h(x)有几个极值点，即求'(x)有几个变号零点，令H(x)='(x),①当x∈(0，]时， >1sir<1,则r国=-sm>01)在(Q止单调递增，H日-1+o<0H)=6as1>0,由函数零点存 10 数学·X(共20页) 在定理，，e0.,使得Hk)-0,e0,1]时，h(有-个极值点，②当1， 时，lnx>0,cosx≥0，H(x)=lnx+ cosx>0,此时H(x)无零点，…… …10分 ③当x 受时，下证：m> 方9沿3令传+受阁-则v-片m当 侵时，g<0,故()单调递减：当x时，e)>0,故单调递增，e)≥e}=0,令 单调递减 ，m假}o小-a=1-号-号+语>0.m>+ 1,V35π 212 ≥-C0sx, e侵c小H)=lmr+eam>0恒成立，此时H)无零点 14分 ④当xe[e,+∞)时，lnr≥l,cosx≥-1，但两者不同时取得等号，.x∈[e,+∞)，H(x)=nx+cosx>0恒成立，此时H(x) 无零点，综上可得，h(x)）有1个极值点.…17分2026届高考冲J顶压轴信息卷（二） 数学·信息卷（二） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4本卷命题范围：高考范围。 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 圜 个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知集合A={-1,0,1,3},B={x∈Nx2≤4}，则集合A∩B的真子集个数为( ) 如 A.2 B.3 C.4 D.5 邮 2.新能源汽车凭借环保、节能等优势，受到越来越多消费者的青睐.某品牌为评估旗 下新能源汽车在市场中的竞争力，统计了6个不同地区该品牌新能源汽车专卖店 长 在一周内的销售数量（单位：辆），数据如下：12,20,22,26,33,28.则这组数据的上 翼 8 四分位数（第75百分位数）是 A.12 B.22 C.28 D.33 数 3.已知sin0+sin- 5π >二，则sm8+6马 痢 阳 A. -V6 3 B.-② D.6 2 3 4.已知函数f(x)= [x2+2x-1,x≤0 ,方程f(x)-2=k恰有三个不同的实数解，则k Inx,x>0 的取值范围是 A.[-4,-3] B.[-4,-3) C.(-4,-3] D.(-4,-3) 5.已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为12π的半圆，在该圆锥内置球的体积最大 值为 ) 号 8V2T C. π 3 D.3 6.图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为A、B、C、D)和2本相同的故事书，现在需要 将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率 ( ) B号 c D写 7.已知点M在曲线y2=4x上，过M作圆C:(x-3)2+y2=1的切线，切点分别为A,B, (二)数学X·A第1页（共6页） 则四边形MACB的面积的最小值为 A.2V2 B.V7 C.3 D.9 8.设f(x)=ax2-2ln(x>1),若f(x)<a恒成立，则实数a的取值范围为 A.（-∞，0] B.(-∞，1) C.（-∞，2) D.,2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数：=5+3i ,则 1+i A.z=3+2i B.z在复平面内对应的点位于第四象限 C.|z=2V15 D.若复数w满足|ω=1，则w-z的最大值为V17+1 10.已知函数f(x)的定义域为D={xk≠0，x,y∈D,f(xy)+1=f(x)+f(y),且当 x-1>0时，f(x)-1>0,则 A.f(-1)=-f(1) B.f(x)为偶函数 cf)+/++)+3)=5 D.不等式f(3)+f(x)>f(x-1)+1的解集为-U保U(1,+) 11.如图所示，底面为菱形的直棱柱ABCD-A1B,C,D,中，点P在侧棱CC,上， LADC=AB:BB,=2CP=2,点Q为侧面DCC,D,内一动点（包含边界），则 B A.平面A,BP截四棱柱ABCD-A,B,C,D,所得的截面是四边形 B.BD⊥AP C.平面A,BP与平面ABCD所成角的余弦值为Y27 10 D.若D,Q/平面A,BP,则点Q的轨迹的长度为2V2 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 得分 答案 (二)·数学·X·A·第2页（共6页） 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上， 12.已知d=(m,1),d-b=(-5,5),b=(3,-4),则a在b上的投影向量为 13.与双曲线等-=1有公共渐近线，且过点(-2,3)的双曲线的实轴长为 14.素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空 间造型能力.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学 绘制的“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱 “垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱 柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的 侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面 边长为4，高为6√2的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点C 出发，沿表面到达点D的最短路线长为 M 图1 图2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足ccosB+bcosC= 2 2cosA (1)求A; (2)若c=2,求锐角△ABC周长的取值范围. (二)·数学X·A·第3页（共6页） 16.（15分)长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与 性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的2×2列 联表.已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6 跑步 性别 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男生 80 女生 20 总计 (1)依小概率值=0.1的独立性检验，能否认为喜欢跑步与性别有关？ (2)从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数， 求X的分布列及数学期望. 附：X n(ad be)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) d 0.1 0.05 0.01 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 10.828 17.（15分)如图，在多面体ABCDEGF中，AG,DE,BF均与平面ABCD垂直，且C,E,F, G四点共面，AB⊥BC,AB=AD=2,BC=CD=2V3,DE=BF=3. (1)求线段AG的长； (2)求直线AE与平面ECFG所成角的正弦值， G D (二)数学X·A·第4页（共6页） 18(17分)在平面直角坐标系x0y中，动圆M与圆C(x+V3F+y-() 内切， 且与圆C:(x-V3尸+y=外切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C. 16 (1)求C的方程； (2)已知直线1与C交于M,N两点，与圆0：x2+y2=4交于P,Q两点，若不重合的两 条直线l1y=k1x与l2y=k2x分别平分线段MN,PQ. ①求证会为定值： ②已知直线L1与曲线C交于E,G两点，l2与曲线C交于D,F两点，O币+3HD=0, 求四边形EFGH面积的最大值. (二)·数学·X·A·第5页（共6页） 19.（17分)已知函数f(x)=xlnx-x,g(x)=-cosx. (1)若曲线y=f(x)的切线l过点M(0,m)(m<-1),求1与坐标轴围成的三角形面 积的最小值； (2)(i)求曲线y=g(x)在点 5π5π 686 处的切线方程； (iⅱ)设函数h(x)=f(x)+sinx,判断h(x)有几个极值点并说明理由. (参考数据：lnT≈1.144，ln2≈0.693) (二)·数学·X·A·第6页（共6页）