2026年高考冲顶压轴信息卷-数学-1

2026届高考冲顶压轴信息卷（一） 数学·信息卷（一） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 第I卷（选择题共58分） 露 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知复数z满足(2-i)z=i7,则z+i的虚部为 ( 蜘 B.3 D. 5 邮 2.若集合A={xlx+lnx<e+1,B={xll<2,则A∩B= ( 中 长 A.{xlx<-1) B.{xl0<x<2} C.{xx>-1} D.{x-1<x<2} K B,设x)是奇函数，且满足f(x+D=(x.当0≤x≤1时，fx(2-b厕 数 f(-2024.8)= A.-1.6 B.-1.2 C.-0.48 D.0.48 痴 毁 4卫知抛物线产=2pxp>0的焦点与双曲线-=1〔a>0,6>0)的一个焦点 期 重合，且过两曲线交点的直线恰好经过该焦点，则此双曲线的离心率为 ( ) A.V2 B.1+V2 C.V3 D.2V3 5.古代中国的建筑艺术博大精深，许多古建筑的图案设计蕴含着丰富的数学知识。 如图所示的是某古建筑中的一种正八边形ABCDEFGH地砖图案，其中CD=1,O为 正八边形的中心，则FE.而= A A.V2-1 B. 2+② C.2+V2 D.1+V2 (一)·数学X·A·第1页（共6页）》 6.若函数f(x)=tan(ωx+p)(ω>0，p>0)的图象与直线y=a的两个相邻交点之间 的距离为于，向右平移个单位长度后得到函数g国的图象，若8)的图象关于 坐标原点对称，则φ的最小值为 ( A写 B平 c D.Sm 6 7.若圆C:x2+y2-8x+6y=11上有四个不同的点到直线：2x+y+c=0的距离为 3,则c的取值范围是 () A.(5-3V5,3V5+5) B.(-5+3V5,3V5+5) C.(-5-3V5,3V5-5) D.(5-3V5,3V5+5) 8 8.已知a三b=e7,c=1+ln0则a,bc的大小关系为 ) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在棱长均为2的正三棱柱ABC-A,B,C,中，D是棱AC的中点，则 B D A.BD∥BC B.BD⊥C1D C.平面BDC,⊥平面ABC D.平面BDC,⊥平面ACC,A, 10.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，过F的直线l与C交于A(x1,y) B(x2,y2)两点，当线段AB的长为8时，弦AB的中点到y轴的距离是2，则（) A.准线方程为x=-2 B.如果AF=8,那么x1=6 C.AF|BF的最大值为16 D.∠AOB为钝角 b2+c2-a2 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2b-a)cosC= 一，C= 2b 2V3,∠ACB的平分线交AB于点D,则 A.C-g B.△ABC外接圆的面积为4T C.若AB=3AD,则△ABC为直角三角形 D.若△ABC的内切圆的圆心为O,则△AB0周长的最大值为4+2V√3 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 第Ⅱ卷（非选择题共92分） (一)·数学X·A·第2页（共6页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上， 12.曲线f(x)=+ln(er)在点(1f1)处的切线方程为 13.已知公比g≠1的等比数列{an},S,=6,且a6a5a,成等差数列，则a4= 14.在n维空间中(n≥2，n∈N),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标(a1,a2,…,a,其中a,∈{0,1(1≤i≤n,ieN).定义：在n维空间中两点 (a1,a2,…,a,)与(b,b2,…,b)的曼哈顿距离为a1-b,+a2-b2+…+a。-b. 在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼 哈顿距离，则E(X)= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名 学生中随机抽取580人，得到日均体育锻炼时长（单位：小时）与学业成绩的数据 如表所示： 学业 日均体育锻炼时长/小时 成绩 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) 「2,2.5) 优秀 5 44 42 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时）； (3)依据小概率值α=0.05的独立性检验能否认为学业成绩优秀与日均体育锻炼 时长不小于1小时且小于2小时有关？ n(ad-bc)2 附：r=a+be+da+e6+dn=a+b+c+ds=3841: （一)·数学X·A·第3页（共6页） 16.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,若点(n,an)(n∈N)都在函数f(x)=2x的图 象上，且Sn=(n+1)logb (1)求数列{an},{b}的通项公式； 1 -a （2若&.，求数列的前n顶和7。 17.（15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA= AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M,交PC于点 N. (1)求该球的体积： (2)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值； (3)求点N到平面ACM的距离. N 。 (一)·数学·X·A·第4页（共6页） 18I分已如精圆c号+云=1e>6>0点4aV)4小a}4引 A(行0中恰有两点在c上. (1)求C的方程； (2)C的左、右焦点分别为F,F2,过点F,且斜率存在的直线l与C交于P,Q两点. (台若△PQF,的面积为求！的斜率 (i)过点P作直线'：x=-4的垂线PR,垂足为R,试问直线QR是否过定点？若过 定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. (一)数学·X·A·第5页（共6页） 19.（17分)已知函数f(x)=e'sinx. (1)求f(x)在(0,2π)上的单调递减区间； (2)当x∈(0，T)时，f(x)≥(ax+b)sinx,求a+b的最大值； (3)求证：方程f(x)=sinx+x2在x∈(0，π)上有唯一实数解. (一)·数学·X·A·第6页（共6页）】2026届高考冲顶压轴信息卷参考答案 数学（一） 1.B(解析】由题意得(2-)：=-i,得2=，i 石”)专专所以4宁号所以+的点部为号故 选：B 2.B解析】设y=x+lnx,其定义域为(0，+)，则y=1+I>0恒成立，函数y=x+nx在定义域上单调递增，又当x= e时，x+nx=e+lne=e+l,∴.x+lnx<e+l,.0<x<e,.A=(xl0<x<el,又B={xlx<2}={xl-2<x<2} 所以A∩B={x0<x<21故选：B. 3.C【解析】由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即2是函数f(x)的一个周期，又函数f(x)是奇函数，且 当0≤x≤1时/(x)=(2-x.所以/-20248)=寸(2024+08)=-08)=×08×2-08)=-048放选： C 4.B(解析】由题意知号=c,如图，设两曲线交点的连线过点F,由对称性得连线垂直于x轴，则其中一个交点的坐标为 2=1,则4c2、c A5P小即(6,2.代入双曲线方程中，得-c -1 =,即=2ac,所以c2-a2-2ac=0,即2- 2e-1=0(e>1),得e=1+V2.故选：B. 5.DI解析】在正八边形ABCDEFGH中，连接HC,则HCIABI/FE,而∠ABC=135°，即∠BCH=45°，于是∠HCD=90°，在等 腰梯形ABCH中，CH=1+2×1×cos45°=1+V2,又FE=AB,所以FE.HD=1×1H而lcos∠CHD=IHC=1+V2 故选：D. 6.B(解析】由函数∫(x)=an(ox+pw>0,p>0)的图象与直线y=a的两个相邻交点之间的距离为7，得函数()的 最小正周明为7：受所以如==2.由/因的图象向右平移号个单位长度后得g回=m[-+中- m2-3平+的图象，且为奇函数则-+e=红ke么.又p>0,所以当=-1时e有最小值子故选：B 7.C【解析】由圆C:x2+y2-8x+6y-11=0,得(x-42+(y+3)2=36,故圆心为C(4,-3),半径为6.设圆心C(4,-3) 到直线：2x+y+c=0的距离为d,要使圆上有四个不同的点到直线：2x+y+c=0的距离为3，则与直线l平行且距 离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点，所以d+3<6,得d<3,即 8-3+d<3.解得-5-3V5<c< V22+1P 3V5-5,故选：C 8.C【解析】令f(x)=e-x-1,则f'(x)=e-1,令f'(x)=0,可得x=0,当x<0时，∫'(x)<0,∫(x)单调递减，当x>0时 了>0问单调递所以O了O=0.即c≥+1.当组仅当=0时取等号.所以e>号+1-号->0，故 a>6,因为c=1+ng=1+n1 8 1所以a=h+ 8 +18,令g()=n,1 +x=-ln(1+x)+(x>-1),则 1+ 1+x 8 数学·X·(共20页) 十：十令g>0得>0，令gk0,得x<0,所以gd在1,0上单调速减在0吧鞋 递增所以g)2gO)=0,故gg>0,即1nT8>0 1*8 ,.c-a>0,即c>a,综上，c>a>b.故选：C 9.BDI解析】在正三棱柱中，BC∥B,C,又BD∩BC=B,故BD与B,C,不平行，A错误：由题意得C,B=2V2,BD=V3, C,D=V5,所以C,B2=BD+C,D,所以BD⊥C,D,故B正确；因为C,DC平面BDC1,ACC平面ABC,C,D∩AC=D, 且D在平面BDC,与平面ABC的交线上，C,D与AC不垂直，所以平面BDC,与平面ABC不垂直，故C错误：因为△ABC 是正三角形，D是AC的中点，所以BD⊥AC,又BD⊥C,D,且AC∩C,D=D,AC,C,DC平面ACC,A,所以BD⊥平面 ACC,A,又BDC平面BDC,所以平面BDC,⊥平面ACC,A,故D正确.故选：BD. ◆y 10.ABDI解析】如图： ,弦AB的中点坐标为（十，十上，当线段AB的长为8时，弦AB的中点到y 2,2 B 轴的距离是2，即4B1=x+x2+p=8,十=2，所以p=4,则抛物线C的方程为y2=8x.故焦点F(2,0),准线方程 2 为x=-2,故A正确：当直线的斜率不存在时，A(2,4),B(2,-4)川AFBF=16,其中AF=4,当直线的斜率存在时，设 21 其方程为y=k(x-2),与抛物线方程联立，得产x-4(+2)x+4=0,x+,=4+xx,=4,由抛物线 定义知，AF=x1+2,BF=x,+2,若|AF|=8,则x,=6,故B正确；AFBF=xx2+2(x1+x)+4=8+ 81+引I6,所以AFBF的最小值为16，C错误：由0.0丽=+=4+k,-2,-2头4+ [x,,-2(x,+x:)+4]=-12<0,所以∠A0B为钝角，故D正确.故选：ABD. b2+c2-a2 1.BcD解析因于A,由题意及余弦定理c化得2-acC究2为Cc0,由正弦完理得 (2sinB-sinA)cosC sinCcosA,2sinBcosC sinCcosA sinAcosC,2sinBeosC sin(A C),A +C=T-B, sn(A+C)=sinB,所以2 2sinBeosC=mB,因为Be(0,m,所以simB>0,所以cosC=),又Ce(0,m)人可 C=号故A错误，对于B,设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得2R= 2V3 sinACB sin60° =4,解得R=2,由圆的 面积公式得△ABC外接圆的面积为2×T=4π，故B正确，对于C,如图，作出符合题意的图形 D 因为8=3n所以二-2面∠4CB的平分线交4于点D则L1D-D-云得到 SamCD-sin30 a 6CD.sin30 6 即号=2，故a=2弘，在△1C中，由余弦定理得+-2-号解得6=2（合负），故a=4,因为=2V3,满足心 4b2 b2+c2,则△ABC为直角三角形，故C正确，对于D,如图，作出符合题意的图形 ,因为C=所以 BC+乙BAC=因为△ABC的内心为O所以∠AB0+LBA0放LA0B日 =2,设∠B0=00<0<智}则 3 数学·X·(共20页) BO AO AB 2V3 ∠B40=号-，在△AB0中，由正弦定理得， -= 侣- sin0 sinAOB 2m n sin 4则80=46n-40 3 4sin0,所以△AB0的周长为4sin -+4in0+2v3=4(9。 2 cos0-sine)4sin0 2V3=2v3 cos0-2sin0 4+2V3=2v5o0+20+2v5=4n0+引+2v5.因为0<0号所以号<0+号行.则 sm0+},可得4n0+写引+2v3e4v34+2v3故D正确故选：BcD, 12【答案-y+e=0以解析因为/)=+h(e.所以0)-=e+1)-》+0=1.所以切线方程 x2 为y-e-1=x-1,即x-y+e=0.故答案为：x-y+e=0. 13.【答案】-16（解析】因为等比数列{a,S,=6,且a6a5、a,成等差数列，所以2a5=a6+a,所以2=g+4,所以q+9 2=(g-1)(g+2)=0,且q≠1，所以q=-2,S,=a1-2a1+4a1=3a1=6,所以a,=2,所以a4=2×(-2)'=-16.故答 案为：-16. 4,I答案1【解析]对于5维坐标aaaa,小其中ae01≤i≤5，ie)即a,有两种选择1≤i≤5ieN.放共 有2种选择，即5维“立方体”的顶点个数是2=32；当X=k时，在坐标(a1,a2,a,a4,a)与(b,b2,b,b,bs)中有k个坐标 值不同，即有6个坐标值满足a≠b,剩下5-k个坐标值满足4，=6，则满足X=的个数为：2,2：C·2所以 2 PX==C:2=,Ck=1,2.34,5),故分布列为： C325-1 2 3 10 10 5 P 31 31 31 31 5 3+3x .10 10 1 80 80 则E)=1×3引+2 +4×」 31 +5× 31 31=31 故答案为：3引 15.【解析】(1)抽取的样本中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数为42+3+1+137+40+27=250.设该地区29000名学生 中有x人的日均体育锻炼时长不小于1小时，则？50= 580 29000 解得x=12500,故该地区29000名学生中日均体育锻炼 时长不小于1小时的人数约为12500.. …4分 (2)依题意得，该地区初中学生日均体育锻炼时长为(0.25×139+0.75×191+1.25×179+1.75×43+2.25×28)÷580= 540÷580≈0.9.所以该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时.…8分 (3)对数据重新组合，得到2×2列联表 学业 日均体育锻炼时长小时 成绩 [1,2) 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出原假设H,:学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，X=580×45×308-177×50 95×485×222×358 ≈3.976>3.841，我们推断H。不成立，即认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关，该推 断犯错误的概率不超过0.05.…13分 16.【解析】(1)因为点(n,an)(neN)都在函数f(x)=2x的图象上，所以an=2n,又a,=2,a。-a.-1=2n-2(n-1)= 2.(n≥2).所以数列{a,}是以2为首项，2为公差的等差数列，所以S.=n(2牛20=nn+1),又S=(n+)lg,6,所 2 以b= 所以a=2n,bn …7分 (2)由(1)知a.=2n,所以c.=2,即c,=n…2,所以T.=1×2+2×2+3×2+…+n×2①，…9分 b 数学·X·(共20页) 2T。=1×22+2×23+3×2+…+n×2m+②，将代数式①-②得：-T.=2+22+23+…+2”-n×2+,…13分 即-T,=2x29-n×21=21-2-n×2=(1-n)×2-2,所以7.=(m-1)×21+2,所以数列{} 1-2 的前n项和Tn=(n-1)×2m1+2.…15分 17.【解析11)依题意，球的直径AC=2V5,球的半径R=V5,y4=4R.20V5 3 3: 3分 (2)以A为坐标原点，以AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,a轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∴.A(0,0,0),P(0.0,4),B(2,0.0),D(0,4,0),C(2,4.0),则CD=(-20.0),AP=(0,0,4),AC=(24,0),P元= 7:0 (2,4,-4),PD=(0,4,-4).… …5分 设PW=APD(0<A<1),.Pm=(0,4入，-4A),.AM=AP+AP币=(0,4入，4-4λ)，.MC=MD+PC=(2,4-4入，4入-4)，M 是以4C为直径的圆上一点，丽⊥MC4A4-4)+4-4h4A-4)=0,解得A=或A=1(舍去)，= (0,2,2)… 8分 设平面1Cw的法向量为=以则任士C得公Q令y-1.则=2：=.-2-L,设直线 得 2x+4y=0, 平面ACM所成角为0，∴sin6=cos(c历， c而_-2×2_y6 cD2×V6 直线CD与平面ACM所成角的正弦值为 V6 )”””””””””年年中年年”下年年”等”””，”年象。”年”””年年””””””等年”””年”来来甲，等， 10分 (3)设PT=uPC(0<u<1),.PT=(2μ，4u,-4u),.AN=AP+uPC=(2,4,4-4u),由AN⊥P元，可得2×2+4× +(4x6-纠)=0，解得=号不=信9》 13分 设点N到平面ACM的距离为d,d= |A_10v6 27 15分 18.【解析1)油题意可知，A,0,-V3列.A0,中有且仅有一点在椭圆c上，故6=V3或2若点A公0 在椭圆C上，则 = <6,不符合题意，故点A0一定不在椭圆C上，所以点4V3, 4 定在椭圆C上.…3分 b=V3, 当点A,0.-V3)AV3,在椭圆c上时， a=2 3 3 解得 461, b=3 则椭圆c的方程为：+{当点 3 b= 33 云+4 =1. 方程组无解，综上.椭圆G的方程为号+写=1.…5分 (2)(i)由题意知直线PQ的斜率不为0，故设其方程为x=y-1,由(1)知，F,(-1,0),F,(1,0). 直线方程与椭圆方程联立，可得(312+4)y2-6y-9=0,因为PQ过点F,则△>0，…7分 设P0>%故+gg则-=0+--n】 6L 6 -4×、-9 32+4 数学·X·(共20页) ,故sFR列x告即得-后设V=心a则 32+4-13 3解得=2或（舍去解得=±V3故1方程为x=±V3y-1,即y=±3x+1 6 10分 (i)由()知当直线1的斜率存在且不为0时，-2，=3(，+小，且R(-4,),则k=:所以直线0R的方程为 x2+4 y-=+4由对称性可知，若直线0R过定点，则定点在x轴上，… 13分 x2+4 今y:0.得4.+.4+6- y2-y1 -4- y2-YI +?:乏所以直线0R过点(30当直线 =-4 y2-y 2 2 1的斜率为0时，直线QR:y=0,过点(30小综上，直线QR过定点(30 17分 19.【解折1因为fa)=m,所以f=e(smr+am)v2en+引xe0,2a以则+营得当+ 牙得时.即0<<=时了e)>0)单调递增：当+牙e(,2m)时，即子<<时)k0单调 TTTT 7 7 37 魔减：当x土42红，9职4<x<2时.)>0.国单调递增，故所求单调递减区间为44p …5分 (2)因为x∈(0，π)，所以sinx>0,故由f(x)≥(ax+b)sinx得e≥ax+b.设g(x)=e-ax-b,则g'(x)=e-a. ①当a≤0时，则g(x)>0,所以g(x)在x∈(0，T)上单调递增.从而g(0)=1-b≥0，解得b≤1，此时，a+b≤L…7分 ②当0<a≤1时，g'(x)>0在(0，π)上恒成立，g(x)单调递增，则需g(0)≥0，即b≤1，此时a+b≤a+1≤2：③当1< a<e"时，则0<x<lna时，g'(x)<0,g(x)单调递减；lna<x<π时，g(x)>0,g(x)单调递增.所以g(lna)=a-alna- b≥0，变形可得b≤a-alna.此时，a+b≤2a-alna.设h(a)=2a-alna,a∈(1，e),则h'(a)=1-lna.当1<a<e时， h'(a)>0,h(a)为增函数；当e<a<e"时，h'(a)<0,h(a)为减函数.所以h(a)=h(e)=e,即a+b≤e,当且仅当a=e, b=0时取等号.综合可知+b的最大值为仁.………………9分 ④当a≥e时，g(x)在(0，T)上单调递减.从而g(r）=e"-aT-b≥0，解得b≤e-am.此时a+b≤e"+ (1-T)a≤e+(1-π)e"=(2-T)e<0.综上，a+b的最大值为e.…11分 (3)证明：设p(x)=e'sinx-sinx-x2,则p'(x)=(sinx+cosx)e-cosx-2x,设m(x)=(sinx+cosx)e-cosx-2x,则 m'(x)=2e'cosx+sinx-2,设n(x)=2e'cosx+sinx-2,则n'(x)=2e'(cosx-sinx)+cosx,而n'(x)的导数-4e'sinr- six<0,所以n'(x)在(0，π)上单调递减.因为n'(0)=3>0,n'(π)=-2e-1<0,所以存在唯一x1∈(0，π)，使得 n'气x)=0.… …13分 当x∈(0，x)时、n'(x)>0,m'(x)单调递增，当x∈(x,π)时，n'(x)<0,m'(x)单调递减.又因为m'(0)=0,m'(x)>0, m'(π)=-2e-2<0.所以存在唯一x2∈(0，π)，使得m'(x2)=0.当x∈(0，x2)时，m(x)即p'(x)单调递增，当x∈(x2,π) 时，(x)单调递减，又因为p'(0)=0,p'(x)>0,p'(π)=-e+1-2π<0，所以存在唯一xe(0,T),使得p'(x)=0. …15分 当x∈(0，x)时，p'(x)>0,p(x)单调递增，当x∈(x,T)时，p'(x)<0,p(x)单调递减，又因为p(0)=0,p(x)>0,p(π)= -T2<0,所以存在唯一x:∈(0，T),使得p(x)=0,即方程f(x)=six+x2在xe(0π)上有唯一实数解.…17分