精品解析：黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年度下学期月考高二年级数学试题

黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年度下学期月考高二年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，， ， 所以. 2. 已知，在复平面内复数对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】借助复数运算法则及复数的几何意义计算即可得. 【详解】，故复数对应的点为，位于第四象限. 3. 为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】从4名同学中选1名抽到自己心仪国家立场，则有种， 设剩下3名同学分别为甲，乙，丙，他们心仪国家分别为， 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到； 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到，共2种情况， 仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数有种. 4. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列通项公式及求和公式列出关于首项和公差的等式，求解即可. 【详解】设等差数列的首项为​，公差为， 由，可得：，解得， 由， 可得： 代入得： ， 化简得：，解得， 所以. 5. 若向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出，，，再利用平方求模即可. 【详解】由，可得.由，可得， 即，所以. 由，可得. 所以，则. 6. 已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（ ） A. 直角非等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】由题意有：， 所以，由余弦定理得， 所以，又，所以， 又，由， 所以， 所以，所以，可得， 所以是等边三角形. 7. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件：   点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 8. 已知函数恰有两个极值点，且曲线与x轴相切，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，利用已知可得方程有两个相异正实数解，进而可得，且，，又的极值中有一个为0，不妨设，可得，，进而计算可求得a的取值范围. 【详解】由题意得， 则有两个极值点等价于关于x的方程有两个相异正实数解， 所以，可知，且，， 曲线与x轴相切，则的极值中有一个为0， 不妨设，易知， 所以，， 因为，，，所以， 解得，且，即，且， 令函数，，则， 令，得，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，所以， 综上所述，a的取值范围为. 故选：D． 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分) 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解. 【详解】A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确； B，由，可得，可得， 解得，因为，所以，所以B正确； C，由，令，可得， 令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误； D，将函数的图象向左平移个单位， 可得，所以D正确. 10. 过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 当的倾斜角为时， C. 当垂直于轴时，弦长最小 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由抛物线方程可判断A,利用抛物线定义结合几何图形运算可判断BCD． 【详解】由抛物线：可得焦点，准线方程为，故A正确； 如图根据抛物线的定义可知：，， 由，故B正确； 设，则， 同理可得：， 所以， 此时取到最小值，故C正确； 由上可得：，故D错误； 故选：ABC 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解 【详解】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，则， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令， 函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点， 令得，显然0不是函数的零点， 当时，变形为，令， 则，令得，令得或， 故在上单调递减，在上单调递增， ，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确； 对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误； 对于D，，即，当时，满足要求， 当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分) 12. 给5名同学安排不同的职务：班长、副班长、学习委员、生活委员、纪律委员，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的安排方案种数为________． 【答案】18 【解析】 【详解】根据题意，只适合当学习委员，有1种情况，不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法， 剩余的3人担任剩余的工作，有（种）情况， 由分步乘法计数原理可得出共有（种）分工方案． 13. 已知各项均不相同的等差数列的前n项和为，若、、成等比数列，且，则______． 【答案】9 【解析】 【详解】设各项均不相同的等差数列的公差为， 由，得，解得， 由、、成等比数列，得，则，， 所以. 14. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用有两个不等的正根求出范围并验证即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. 四、解答题(本题共5个大题，共77分) 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当时，求的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【小问1详解】 依题意，，，则切线斜率为， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 由. 当时，，则在上单调递增， 故当时，取到最小值为， 当时，取到最大值为， 故在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式； （2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率，即可求出椭圆方程. （2）设直线，与椭圆联立方程，结合韦达定理得到的中点坐标，利用消参法求轨迹方程. （3）直线与椭圆方程联立，表达出斜率，根据等量关系，即可求出. 【小问1详解】 由题意可得：，即， 由离心率，所以. 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 倾斜角为，可得斜率. 设直线方程为：，与椭圆联立： 代入得：， 满足，即. 则，. 设，， 则中点横坐标： ，纵坐标：. 消去参数得：， 所以中点轨迹方程为：. 【小问3详解】 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程：，消去可得. 则，， 根据，可得，即， 整理得：，即， 可得：， 因为，为常数，则不恒成立.，则，得：. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，单调递减，当时，单调递增．. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系求解即可； （3）当时，不等式为：，显然成立，当时，分离参数得，令，利用导数研究的单调性，求出的最大值即可. 【小问1详解】 由， 得， 所以切线方程为； 【小问2详解】 当时，， 令 由于，故单调递增， 注意到，故当时，单调递减， 当时，单调递增． 【小问3详解】 由得，，其中， 法一：①当时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②当时，分离参数得，， 记， 令，则，令， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，单调递增，当时，单调递减． 另解：， 令，则， 设， 所以， 又，所以，使得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因此，． 综上可得，实数a的取值范围是． 法二：等价于． （另） 设函数，则 ， ①若，即， 则当时，，所以在上单调递增， 而，故当时，，不合题意． ②若，即， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以当且仅当， 即． 所以当时，． ③若，即，则， 由于，故由②可得， 故当时，． 综上可得，实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年度下学期月考高二年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，在复平面内复数对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 4. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（ ） A. 直角非等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有两个极值点，且曲线与x轴相切，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分) 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 10. 过抛物线：焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 当的倾斜角为时， C. 当垂直于轴时，弦长最小 D. 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分) 12. 给5名同学安排不同的职务：班长、副班长、学习委员、生活委员、纪律委员，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的安排方案种数为________． 13. 已知各项均不相同的等差数列的前n项和为，若、、成等比数列，且，则______． 14. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 四、解答题(本题共5个大题，共77分) 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当时，求的最值. 16. 已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $