3.2 旋转的性质与全等三角形的性质 综合问题讲义-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

旋转的性质与全等三角形的性质综合问题讲义 旋转的性质与全等三角形的性质综合问题讲义 知识点解析 一、核心原理 旋转的全等变换本质（旋转前后图形全等，对应边/角相等、对应点到旋转中心距离相等）与全等三角形的对应边/角相等性质深度结合，以旋转造全等条件，以全等证边/角等量关系，实现旋转性质定全等，全等性质推结论的逻辑转化。 二、通用解题思路（三步法） 1. 析旋转，标全等基础：明确旋转中心、方向、角度，提取旋转性质——旋转前后的对应边相等、对应角相等，锁定天然的全等三角形（旋转前后的图形）或待证全等的三角形； 1. 补条件，证三角形全等：结合公共边/角、对顶角等，补全SSS/SAS/ASA/AAS/HL判定条件，证明目标三角形全等； 1. 联性质，推边角结论：由全等三角形的对应边/角相等，结合旋转的角度关系、线段等量关系，做代换、和差计算，解决证明（边等/角等/垂直）或计算（线段长/角度）问题。 三、核心技巧与注意事项 1. 抓旋转核心等量：旋转角=对应点与旋转中心连线的夹角，可直接用于角的和差推导； 1. 优先用SAS证全等：旋转提供的“两边相等+夹角相等（旋转角）”，是SAS的天然条件，优先选用； 1. 辅助线巧构造：遇无现成全等时，绕旋转中心旋转线段/三角形，构造旋转型全等； 1. 防对应错误：按旋转的对应关系标注顶点，确保全等三角形的边、角精准对应。 例题分析 例1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知在中，，连接． (1)求的度数； (2)如图2，点E在内部，满足，求证：； (3)在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)9 【分析】（1）设，则，利用等边对等角和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）证明得到，根据三角形内角和定理得到，再证明，即可证明结论； （3）将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，证明是等腰直角三角形，推出，再证明是等腰直角三角形，得到，则，由勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转90度得到，连接， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）， ∴． 例2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）已知中，，．以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到． (1)如图，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于点，延长至，使，过点作，交于点，过点作，交于点． ①求（用含的式子表示）； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到，求出的度数，从而得到，判定； （2）①根据旋转的性质，得到，而，从而用含的式子表示出； ②如图，取线段中点，连接，则，然后证明，从而得到． 【详解】（1）证明：∵以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到， ， ，， ， ， ∴， ∴； （2）①解：∵以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到， ， ，，． ． ． ， ， ． ②证明：如图，取线段中点，连接， ∵，是直角三角形． ∴， 是等腰三角形． ． ∵， ， ． ∵， ． 由①，得， ， ， ， 是等腰三角形． 在与中， ， ． ，， ， ． 例3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）等腰中，，将绕点旋转一定角度后得到，点、分别是射线、上的点，且，连接、、，我们把、所在直线的夹角叫做和的底联角．如图1，就是和的底联角； (1)如图1，当点在内部时，求证：两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等； (2)当点在内部时，如果，那么___________； (3)如图2，当点在外部时，如果，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，由判定，由全等三角形的性质及等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可得证； （2）由（1）得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）连接、交于点，由判定，结合全等三角形的性质得 ，由勾股定理得，， ，，即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转得， ， ， ，， （）， ， ， ， ， ， ， 故两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等； （2）解：如图， 由（1）得， ， ， 故答案为； （3）解：如图，连接、交于点， ， ， ， ， ，， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 例4．（25-26九年级上·河北保定·期中）图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． (1)在旋转过程中： ①点与点之间的最大距离为________； ②当以，，三点为顶点的三角形是直角三角形时，求的长． (2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连接，，如图2．问：与图中哪条线段长度相等？证明你的猜想． 【答案】(1)①，②的长为或 (2)，证明见解析 【分析】本题考查的知识点是旋转的性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握相关概念． （1）①当A、D、M三点共线，且M在的延长线上时，最大 ②由可得，不可能为斜边，故可分两种情况利用勾股定理求解：、是直角边；是直角边，是斜边． （2）结合旋转性质和等腰直角三角形性质即可利用“边角边”证明全等，从而根据全等三角形性质证明 【详解】（1）当A、D、M三点共线，且M在的延长线上时，最大， ，， 最大距离为：． 故答案为． ②，， 即， 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，也有两种可能： 、是直角边，此时； 是直角边，是斜边，此时． 故当，，三点为同一直角三角形的顶点时，或． （2），理由如下： 根据旋转性质可得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ． 变式训练 变式1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）【问题发现】（1）如图1，在中，，以AB为边向外作等边三角形，连接，小明通过测量发现：．如图2，为了证明这一结论，小明决定延长到，使得，连接，通过证明，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【深入探究】 （2）如图3，在中，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，则满足什么样的数量关系？并给出证明． 【启发应用】 （3）如图4，在等腰直角中，，，点是的中点，点在边上，且满足，在射线上取一点使得，直接写出的最小值 ． 【答案】（1）证明见详解；（2），证明见详解；（3） 【分析】（1）利用手拉手模型，结合等边三角形性质，证明，即可得证； （2）将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示，得到，，再由勾股定理求解即可得到答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示，可证明，则，得，再证明，得，推导出，在上截取，连接，可证明，得，当时，的值最小，此时的值最小，由勾股定理得，即可得到的最小值． 【详解】（1）证明：， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， 即； （2）满足的数量关系为， 证明如下： 将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示： 由旋转性质可得，， 在等腰中，由勾股定理可得， 即， ， 即； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示： ，，， ∴，， ∴， 则， ∵， ， 在中，由勾股定理可得， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在上截取，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，根据知，此时的值最小，如图所示： ， ， ， 在等腰中，由勾股定理可得， 则， 解得， ， 的最小值为， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1)，证明见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． 变式3．（25-26八年级上·四川成都·期中）在等腰三角形中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段； (1)如图1，若，点E是线段上一点，在上取一点G，且，证明：； (2)如图2，若，点E是线段上一点，连接与线段交于O点，过点F作于点H，若，证明：点E是的中点； (3)如图3，若，点E是射线上一点，连接与线段交于O点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当在的延长线上，；当在线段上， 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，再利用全等三角形判定即可证明； （2）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，进而推出，得到，，再通过证明，得到，再结合得到，最后根据等量代换以及中点的定义即可证明； （3）分2种情况讨论：①当在的延长线上；②当在线段上，先证明，得到，，进而证明，得到，得到，再由，分别求解的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴点E是的中点； （3）解：①当在的延长线上， 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在线段上， 如图，延长至点使得，连接， 同理①可得，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，当在的延长线上，；当在线段上，． 变式4．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)，的面积为 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质． （1）根据旋转的性质得到，可知，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，可知，，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 由旋转可知：． ， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， ． ． 如图2，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接． ； 同理可得：． ． 实战演练 1．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，点是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）由旋转得，，可得，可证明，即可得； （2）由题意得，．证明，可得，，则．在中，由勾股定理得，，即． 【详解】（1）解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：．理由如下， ∵， ∴． 由旋转得，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴． 2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）在数学课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，分别为上的动点（不与端点重合），且． (1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请证明小颜的结论； (2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是平行四边形； (3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）将绕点B逆时针旋转到，连接，则，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点P，M，C三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得求出的长，则可求出，在中，由勾股定理可得的长，由此即可求解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形为平行四边形；理由如下： ， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； （3）解：的最小值为．理由如下： ， 在ABC中， 由勾股定理得：， ， 如图所示，将绕点B逆时针旋转到，连接， 则，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 当点P，M，C三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点P作延长线于点Q， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：（负值舍去）， ， 在中， 由勾股定理得：， 的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $旋转的性质与全等三角形的性质综合问题讲义 旋转的性质与全等三角形的性质综合问题讲义 知识点解析 一、核心原理 旋转的全等变换本质（旋转前后图形全等，对应边/角相等、对应点到旋转中心距离相等）与全等三角形的对应边/角相等性质深度结合，以旋转造全等条件，以全等证边/角等量关系，实现旋转性质定全等，全等性质推结论的逻辑转化。 二、通用解题思路（三步法） 1. 析旋转，标全等基础：明确旋转中心、方向、角度，提取旋转性质——旋转前后的对应边相等、对应角相等，锁定天然的全等三角形（旋转前后的图形）或待证全等的三角形； 1. 补条件，证三角形全等：结合公共边/角、对顶角等，补全SSS/SAS/ASA/AAS/HL判定条件，证明目标三角形全等； 1. 联性质，推边角结论：由全等三角形的对应边/角相等，结合旋转的角度关系、线段等量关系，做代换、和差计算，解决证明（边等/角等/垂直）或计算（线段长/角度）问题。 三、核心技巧与注意事项 1. 抓旋转核心等量：旋转角=对应点与旋转中心连线的夹角，可直接用于角的和差推导； 1. 优先用SAS证全等：旋转提供的“两边相等+夹角相等（旋转角）”，是SAS的天然条件，优先选用； 1. 辅助线巧构造：遇无现成全等时，绕旋转中心旋转线段/三角形，构造旋转型全等； 1. 防对应错误：按旋转的对应关系标注顶点，确保全等三角形的边、角精准对应。 例题分析 例1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知在中，，连接． (1)求的度数； (2)如图2，点E在内部，满足，求证：； (3)在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积． 例2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）已知中，，．以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到． (1)如图，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于点，延长至，使，过点作，交于点，过点作，交于点． ①求（用含的式子表示）； ②求证：． 例3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）等腰中，，将绕点旋转一定角度后得到，点、分别是射线、上的点，且，连接、、，我们把、所在直线的夹角叫做和的底联角．如图1，就是和的底联角； (1)如图1，当点在内部时，求证：两个等腰三角形的底联角与它们的顶角度数相等； (2)当点在内部时，如果，那么___________； (3)如图2，当点在外部时，如果，求的长． 例4．（25-26九年级上·河北保定·期中）图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． (1)在旋转过程中： ①点与点之间的最大距离为________； ②当以，，三点为顶点的三角形是直角三角形时，求的长． (2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连接，，如图2．问：与图中哪条线段长度相等？证明你的猜想． 变式训练 变式1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）【问题发现】（1）如图1，在中，，以AB为边向外作等边三角形，连接，小明通过测量发现：．如图2，为了证明这一结论，小明决定延长到，使得，连接，通过证明，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【深入探究】 （2）如图3，在中，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，则满足什么样的数量关系？并给出证明． 【启发应用】 （3）如图4，在等腰直角中，，，点是的中点，点在边上，且满足，在射线上取一点使得，直接写出的最小值 ． 变式2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 变式3．（25-26八年级上·四川成都·期中）在等腰三角形中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段； (1)如图1，若，点E是线段上一点，在上取一点G，且，证明：； (2)如图2，若，点E是线段上一点，连接与线段交于O点，过点F作于点H，若，证明：点E是的中点； (3)如图3，若，点E是射线上一点，连接与线段交于O点，若，求的值． 变式4．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 实战演练 1．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，点是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段之间的数量关系，并加以证明． 2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）在数学课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，分别为上的动点（不与端点重合），且． (1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请证明小颜的结论； (2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是平行四边形； (3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，连接，请直接写出的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $