3.2图形的旋转（2）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

3.2图形的旋转（2） （3知识点+10题型+过关检测） 【题型1 成中心对称】 2 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】 3 【题型3 画两个图形的对称中心】 4 【题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 5 【题型5 中心对称图形的识别】 6 【题型6 判断中心对称图形的对称中心】 7 【题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 8 【题型8 中心对称图形规律问题】 8 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 9 【题型10 已知两点关于原点对称求参数】 10 吃透中心对称核心内容：理解中心对称与中心对称图形的区别与联系，掌握中心对称性质、作图方法，会求对称中心、关于原点对称的点的坐标，利用性质求参数、长度、面积。 提升综合解题能力：解决旋转与中心对称综合题，包括规律探索、线段最值、面积计算、角度推导、动点综合题，培养数形结合、转化归纳的数学思维，为几何综合压轴题打基础。03 知识•梳理 知识点1：中心对称与中心对称图形 · 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，重合的点叫做对称点。 · 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。 · 区别：中心对称是两个图形的关系，中心对称图形是一个图形自身的特征。 知识点2：中心对称的性质 1. 关于中心对称的两个图形全等； 2. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分； 3. 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 知识点3：关于原点对称的点的坐标 点P(x,y)关于原点对称的点P'的坐标为P'(-x,-y)，横、纵坐标均互为相反数。 04 题型•汇总 【题型1 成中心对称】 解题思路： 判断两个图形是否绕某点旋转180°后完全重合，找对称点，验证对称点连线是否过同一点且被平分，满足则成中心对称。 【典例1】．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是__________． 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】 解题思路： 找原图形关键点； 作各关键点关于对称中心的对称点（延长线段，使对称中心为中点）； 顺次连接对称点，得到中心对称图形。 【典例2】．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     跟随训练2-1．如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（    ）    嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上； 淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形 A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 跟随训练2-2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【题型3 画两个图形的对称中心】 解题思路： 找两组对称点，连接对称点，两条连线的交点即为对称中心，原理：对称点连线被对称中心平分。 【典例3】．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 跟随训练3-1．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 跟随训练3-2．如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是_____． 【题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 解题思路： 利用“中心对称的两个图形全等”，直接得对应长度、角度、面积相等，对称点连线互相平分，可求线段中点、长度。 【典例4】．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 跟随训练4-1．如图，与关于O成中心对称，不一定成立的结论是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【题型5 中心对称图形的识别】 解题思路： 判断图形绕自身某点旋转180°后是否与自身重合，常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段，注意区分轴对称图形与中心对称图形。 【典例5】．巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．给出下列命题：①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的有_________个． 跟随训练5-2．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 【题型6 判断中心对称图形的对称中心】 解题思路： 找图形中两组对称点，连线交点即为对称中心，规则图形：平行四边形对称中心是对角线交点，圆的对称中心是圆心。 【典例6】．如图所示的是三个小正方形组成的图形．若在图形中补画一个小正方形，使得补画完的图形为轴对称图形或中心对称图形，补画成轴对称图形或中心对称图形的方案分别有（   ） A．3种、2种 B．3种、3种 C．4种、2种 D．4种、3种 跟随训练6-1．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是________． 跟随训练6-2．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 解题思路： 先确定现有图形的关键点，作出各点关于对称中心的对称点，再补全缺失部分，保证旋转180°后重合。 【典例7】．已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 跟随训练7-2．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型8 中心对称图形规律问题】 解题思路： 观察图形组合、个数、位置的循环规律，结合中心对称特征，判断第n个图形的形状、个数、对称中心位置。 【典例8】．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 跟随训练8-1．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 跟随训练8-2．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A． B． C． D． 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 解题思路： 直接套用规律：横、纵坐标均变相反数，P(x,y)→P'(-x,-y)，牢记符号变化，无需复杂计算。 【典例9】．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，且点的坐标为（m，n），将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 跟随训练9-1．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_________． 跟随训练9-2．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型10 已知两点关于原点对称求参数】 解题思路： 根据“横、纵坐标分别互为相反数”列方程，解参数值，如P(a,2b)与P'(3,4)关于原点对称，则a=-3，2b=-4，求a、b。 【典例10】．在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 跟随训练10-1．平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 跟随训练10-2．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是________． 05 过关•检测 1．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 4．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在的正方形网格中，从标号为①②③④的白色小正方形中选取一个并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，则应选取（   ）    A．① B．② C．③ D．④ 7．若点与点关于点中心对称．则___________． 8．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点_______，且_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______. 9．已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________． 10．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 11．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到，请画出平移后的； (2)把绕原点O旋转后得到，请画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点  中心对称； (4)请计算的面积． 13．如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 14．如图，已知和． (1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 15．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 16．如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2图形的旋转（2） （3知识点+10题型+过关检测） 【题型1 成中心对称】 2 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】 4 【题型3 画两个图形的对称中心】 7 【题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 9 【题型5 中心对称图形的识别】 11 【题型6 判断中心对称图形的对称中心】 12 【题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 14 【题型8 中心对称图形规律问题】 16 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 17 【题型10 已知两点关于原点对称求参数】 19 吃透中心对称核心内容：理解中心对称与中心对称图形的区别与联系，掌握中心对称性质、作图方法，会求对称中心、关于原点对称的点的坐标，利用性质求参数、长度、面积。 提升综合解题能力：解决旋转与中心对称综合题，包括规律探索、线段最值、面积计算、角度推导、动点综合题，培养数形结合、转化归纳的数学思维，为几何综合压轴题打基础。03 知识•梳理 知识点1：中心对称与中心对称图形 · 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，重合的点叫做对称点。 · 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。 · 区别：中心对称是两个图形的关系，中心对称图形是一个图形自身的特征。 知识点2：中心对称的性质 1. 关于中心对称的两个图形全等； 2. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分； 3. 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 知识点3：关于原点对称的点的坐标 点P(x,y)关于原点对称的点P'的坐标为P'(-x,-y)，横、纵坐标均互为相反数。 04 题型•汇总 【题型1 成中心对称】 解题思路： 判断两个图形是否绕某点旋转180°后完全重合，找对称点，验证对称点连线是否过同一点且被平分，满足则成中心对称。 【典例1】．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 跟随训练1-1．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解． 利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标． 【详解】设点B坐标为， 点与点B关于点成中心对称， ，， 解得， ． 故选B． 跟随训练1-2．如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移变换，关于原点中心对称的坐标变换，掌握向右平移横坐标加，关于原点对称横纵坐标取相反数是解题的关键． 先确定点的初始坐标，按向右平移的坐标规则计算平移后的坐标，再按关于原点对称的坐标变换规则求最终坐标． 【详解】解：根据图像，点的初始坐标为 将点向右平移5个单位长度，其坐标变为 ，即 将平移后的点 关于原点中心对称，其坐标变为 因此，点的对应点的坐标是 故答案为：． 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】 解题思路： 找原图形关键点； 作各关键点关于对称中心的对称点（延长线段，使对称中心为中点）； 顺次连接对称点，得到中心对称图形。 【典例2】．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 跟随训练2-1．如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（    ）    嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上； 淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形 A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】C 【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答． 【详解】如图，取格点，连接，，取格点E，F． ∵， ∴， ∴， ∴点A关于点O的对称点与点C重合，点C关于点O的对称点与点A重合． 同理可证：点B与点关于点O对称， ∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上， 故嘉嘉说法正确； 由中心对称的性质得， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形， 故淇淇说法正确． 故选C．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，中心对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 跟随训练2-2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，中心对称，勾股定理等知识点， （1）利用已知和勾股定理即可得解； （2）利用三角形的中位线定理可得出，即为两个单位长度，利用矩形的中心对称性可知和成中心对称，和成中心对称，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出图形是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，连，过A作格线的垂线交于点C， ∵O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）， ∴， 故答案：； （2）如图， ， 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求． 【题型3 画两个图形的对称中心】 解题思路： 找两组对称点，连接对称点，两条连线的交点即为对称中心，原理：对称点连线被对称中心平分。 【典例3】．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 跟随训练3-1．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 跟随训练3-2．如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 【题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 解题思路： 利用“中心对称的两个图形全等”，直接得对应长度、角度、面积相等，对称点连线互相平分，可求线段中点、长度。 【典例4】．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 跟随训练4-1．如图，与关于O成中心对称，不一定成立的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质，即对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．据此解答即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴． 根据中心对称的性质得不出， ∴D不一定成立． 故选：D． 跟随训练4-2．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【答案】 92° 3 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 【题型5 中心对称图形的识别】 解题思路： 判断图形绕自身某点旋转180°后是否与自身重合，常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段，注意区分轴对称图形与中心对称图形。 【典例5】．巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：根据概念可知，A、B、C不是中心对称图形；D是中心对称图形． 故选：D． 跟随训练5-1．给出下列命题：①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的有_________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了命题、轴对称图形、中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的定义和性质，逐个判断各命题的真假，统计正确命题的个数即可. 【详解】解：①中心对称图形不一定是轴对称图形，例如平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，因此①错误； ②若轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，则该图形绕两条对称轴的交点旋转180°后与自身重合，一定是中心对称图形，因此②正确； ③根据中心对称的性质，关于一点中心对称的两个图形全等，故关于某一点为中心对称的两个三角形全等，因此③正确； ④两个重合的图形把其中一个图形绕某点旋转后不一定能与另一个图形重合，例如平移得到的两个重合图形不是中心对称，因此④错误. 综上，正确的命题共个. 故答案为：． 跟随训练5-2．如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，选取方格为时，整个阴影部分如图，为中心对称图形． 故选：A ． 【题型6 判断中心对称图形的对称中心】 解题思路： 找图形中两组对称点，连线交点即为对称中心，规则图形：平行四边形对称中心是对角线交点，圆的对称中心是圆心。 【典例6】．如图所示的是三个小正方形组成的图形．若在图形中补画一个小正方形，使得补画完的图形为轴对称图形或中心对称图形，补画成轴对称图形或中心对称图形的方案分别有（   ） A．3种、2种 B．3种、3种 C．4种、2种 D．4种、3种 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义画出图形是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的性质分别画出符合要求的答案即可． 【详解】解：如下图，补画完的图形是轴对称图形，一共有种． 如下图，补画完的图形是中心对称图形，一共有种． 故选：D． 跟随训练6-1．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是________． 【答案】② 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 根据中心对称图形的特点进行判断即可． 【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形． 故答案为：②． 跟随训练6-2．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 【题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 解题思路： 先确定现有图形的关键点，作出各点关于对称中心的对称点，再补全缺失部分，保证旋转180°后重合。 【典例7】．已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解． 【详解】解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 跟随训练7-1．如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【详解】解：，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 跟随训练7-2．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标性质求解，即可得到结果． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标分别互为相反数，点， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 【题型8 中心对称图形规律问题】 解题思路： 观察图形组合、个数、位置的循环规律，结合中心对称特征，判断第n个图形的形状、个数、对称中心位置。 【典例8】．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 跟随训练8-1．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 跟随训练8-2．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个点关于原点中心对称时，横纵坐标分别互为相反数，利用该性质计算即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 解题思路： 直接套用规律：横、纵坐标均变相反数，P(x,y)→P'(-x,-y)，牢记符号变化，无需复杂计算。 【典例9】．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，且点的坐标为（m，n），将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征与点的平移规律，解决本题的关键是需牢记“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”及“右加左减，上加下减”的平移规则． 本题先根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求出m、n的值，得到点Q的坐标，再利用点的平移规律求出的坐标，最后判断其所在象限即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴两点的横、纵坐标分别互为相反数， 即， 解第一个方程：，解得， 解第二个方程：，解得， ∴点的坐标为， ∵点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 根据“右加左减，上加下减”的平移规律， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即， ∵，， ∴点在第四象限． 故选：D． 跟随训练9-1．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征及有理数的乘方运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出和的值，进而求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， ∴，， 则， ∴． 跟随训练9-2．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 【题型10 已知两点关于原点对称求参数】 解题思路： 根据“横、纵坐标分别互为相反数”列方程，解参数值，如P(a,2b)与P'(3,4)关于原点对称，则a=-3，2b=-4，求a、b。 【典例10】．在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据横坐标和纵坐标都互为相反数即可做出判断． 【详解】解：∵点与点横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴与点关于原点中心对称， 故选：A 【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点中心对称的点的特征是解题的关键． 跟随训练10-1．平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出B与D关于原点对称，得出，解出即可． 【详解】解：∵平行四边形的四个顶点坐标分别是， ∴点A与点C关于原点对称， ∴点B与点D关于原点对称， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，坐标与图形性质是解题的关键． 跟随训练10-2．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是________． 【答案】（﹣x，﹣y） 【分析】先观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答． 【详解】解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2）， ∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称， ∴△PQR和△ABC关于原点对称． ∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点， ∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）． 故答案为：（﹣x，﹣y）． 【点睛】本题考查了两点成中心对称坐标的特点，关键熟悉关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数． 05 过关•检测 1．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 3．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称，确定两个图形的对称中心，结合与关于某点对称，故连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心，即可作答． 【详解】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 4．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 5．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质，中心对称的性质： 1．对称中心是连接对称点的线段的中点； 2．两个中心对称图形全等； 3．对应线段平行（或共线）且相等； 4．对称点的连线必过对称中心且被对称中心平分．掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ∴，，故C选项成立，不符合题意， ，，故B， D选项成立，不符合题意， 不一定成立，故A选项结论不一定成立．符合题意 故选：A． 6．如图，在的正方形网格中，从标号为①②③④的白色小正方形中选取一个并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，则应选取（   ）    A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义“绕着中心点旋转能与原图形重合即为中心对称图形”进行解答即可． 【详解】解：图中中间的相邻的对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个小正方形的中心对称图形，它原来在右上方，那么旋转后将在左下方，即③的位置． 故选：C． 7．若点与点关于点中心对称．则___________． 【答案】 【分析】本题考查了成中心对称的点的坐标特征，掌握中心对称的性质是解题的关键．根据成中心对称的两个点之间的坐标关系即可解决问题． 【详解】解：点与点关于点中心对称， ，， 解得，， ． 故答案为：． 8．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点_______，且_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______. 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 9．已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是__________． 【答案】 【分析】作F点关于AC的对称点，连接A并延长交BC延长线于点，将的最小值转化为求B点到A 的最短距离，根据垂线段的性质即可解答； 【详解】解：如图作F点关于AC的对称点，连接A 并延长交BC延长线于点B′，作BD⊥AB′于点D， 由对称性可得EF=E ， 由垂线段的性质可得B到AB′的最短距离为BD， ∴EF+EB=E+EB=B≥BD， Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°， ∴∠BAD=2∠BAC=30°， Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=， ∴线段的最小值是， 故答案为：； 【点睛】本题考查了对称的性质，垂线段的性质，30°直角三角形的性质；掌握相关性质是解题关键． 10．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 11．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到，请画出平移后的； (2)把绕原点O旋转后得到，请画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点  中心对称； (4)请计算的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) (4) 【分析】（1）根据点平移的规律即可求解； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可； （3）连接,它们相交于一点，即中心对称点； （4）由题可知：. 【详解】（1）解：根据题意可得： （2）解：根据题意可得： （3）解：根据题意得： 则与关于点中心对称； （4）解：根据题意得： ， 则. 13．如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，中心对称图形的性质，根据中心对称图形的性质可得，，求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，已知和． (1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为18 【分析】本题考查中心对称的性质，找对称中心． （1）连接，，交点即为点O； （2）由和中心对称，可得，，，三条边长度相加即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长为. 15．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，确定对称中心等知识，掌握中心对称图形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为：； （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20； 故答案为：20． 16．如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 【答案】(1)当时，．当时， (2)或 (3) (4)1或3 【分析】（1）由为的中点，根据点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，表示出线段长，再分类讨论即可求解； （2）当点M在边上，可得，列出方程即可；当点在边上，可得，列出方程即可； （3）根据题意分类讨论，表示出线段长，再根据面积公式求解即可； （4）当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解；当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ，点D为的中点， ， ∵点P关于点D的对称点为点Q， , ， 当时，， ． 当时，， ． ∴当时，．当时，． （2）解：如图1，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 如图2，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 所以，t的值为或． （3）解：当时，与重叠部分为，面积为4； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为，面积为4； 所以，． （4）解：t的值为1或3，理由如下： 如图3，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 如图4，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 综上所述，t的值为1或3． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质，解题关键是根据运动速度表示出线段长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $