21.3.3 正方形的性质与全等三角形综合问题 讲义-2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学讲义以正方形性质与全等三角形综合应用为核心，通过框架图系统梳理核心原理、四步通用解题思路及高频辅助线技巧，清晰呈现边、角、对角线性质与全等判定的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于“模型-变式-实战”的递进式练习设计，如十字架模型例题引导学生通过构造全等三角形培养推理意识，变式训练结合折叠、对称等情境发展几何直观。分层题目满足不同学生需求，教师可据此实施精准复习教学。

正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 知识点解析 一、核心原理 依托正方形的边、角、对角线核心性质（四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等/平分内角），构造全等三角形的判定条件（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），通过全等实现角的等量转化、线段的相等推导，本质是用正方形性质造全等条件，用全等结论推边/角关系，解决证明/计算问题。 二、通用解题思路（四步法） 1. 标正方形性质，找隐含条件：标注正方形的等边、直角、对角线带来的等角（如45°角）/等线段/垂直关系，提取全等所需的边等、角等基础条件； 1. 定目标三角形，找构造方向：根据题干求证（证边等/角等/垂直）或计算需求，锁定要证的全等三角形，结合正方形性质补全全等条件（如作辅助线连对角线、延长线段，构造公共边/公共角/直角）； 1. 证三角形全等，得结论：用SSS/SAS/ASA/AAS/HL证明三角形全等，推出对应边相等、对应角相等的核心结论； 1. 结合正方形性质，推最终结果：将全等结论与正方形的边/角/对角线性质结合，做角度和差、线段代换，完成证明或计算。 三、核心技巧与注意事项 1. 高频辅助线：连正方形对角线（造45°等角、等腰直角三角形，提供全等边/角）；延长边或作垂线（造直角，满足SAS/ASA判定）； 1. 优先用SAS/ASA证全等：正方形的直角和等边为SAS/ASA提供天然条件，优先选择，简化证明； 1. 抓等量代换核心：全等得的等边/等角，需结合正方形的边相等、角互补/互余做代换，实现未知向已知的转化； 1. 避免角/边对应错误：标注全等三角形时按对应顶点顺序写，确保对应边、角匹配，防止推导失误。 例题分析 例1．（25-26八年级下·上海闵行·月考）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 例2．（25-26八年级下·上海青浦·月考）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 【答案】(1)；证明见详解 (2) (3)或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，作于，于，则，四边形为矩形，证明，即可得解； （2）由正方形的性质和勾股定理可得，，，由点在边的延长线上可得为钝角，证明，得出，即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于，于；当点在的延长线上时，作于，延长交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：， 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴如图所示，为钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 例3．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，正方形中，点是边的中点，延长至点，使得． (1)求证： ； (2)的平分线交于点，若正方形的边长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，进而可证明结论； （2）证明，得到．设，则，，结合勾股定理，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，． ∴． ∴． 在和中 ，，， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）证明：根据题意可知，． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 设，则，． ∵， ∴． ∴． ∴． 例4．（25-26九年级下·北京顺义·月考）如图，在正方形中，P是边上的一动点（不与点D，C重合），，点D关于直线的对称点为E，连接，连接并延长交射线于点F，连接． (1)根据题意补全图形，并直接写出的大小（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图形见解析； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据对称的性质得到、，根据正方形的性质得到、，据此求解的大小即可； （2）易证得，进而得到，根据得到，从而得到，从而得出结论； （3）连接，过点D作交于点M，根据正方形的性质结合垂线的性质得到，由得到，进而得到，证明，进而得到，利用得到结论即可． 【详解】（1）解：如图， 点D关于直线的对称点为E， 、， 四边形是正方形， 、， ， ， ， ； （2）证明：由（1）知：、 在和中， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ； （3）， 证明：连接，过点D作交于点M， 四边形是正方形， 、， 、， ， 由（2）知：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 变式训练 变式1．（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3） 【分析】（1），由折叠得到，，，从而推出，，，，得到，推出点三点共线，即可说明； （2），将绕点逆时针旋转，得到，连接，由旋转可得，，得到，，，，推出，证得，得到，再利用勾股定理即可说明； （3）将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点，得到，，，，，，从而可得，，可证明四边形是正方形，设，则，，，利用勾股定理，可得到，解得，（舍去），得到，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由：由折叠可得，，， ∴，，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴； （2）解：，理由： 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 由旋转可得，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴； （3）解：如图所示，将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点， ∴，，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，，， 在中，由勾股定理，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 变式2．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析；③ 【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到，根据等角的补角相等得到，根据即可证明； （2）①根据，得到，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，即可证明四边形为正方形； ②延长交于点K，根据正方形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，证明，得到，即可证明； ③取中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，延长交于P，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，可知，根据得到，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵四边形为正方形， ∴ ∵， ∴， ∴． ∴四边形为正方形； ②证明：延长交于点K， ∵四边形为正方形， ∴． 又∵四边形为正方形， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③解：取中点O，连接， ∵ ∴ 延长交于P， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴ ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 变式3．（2026·甘肃兰州·一模）在数学综合实践课上，某兴趣小组的同学们通过折叠正方形探究与轴对称有关的几何问题．如图，在正方形中，点是线段上的一点，将沿折叠，使点落在点处，得到后再展平，连接并延长交于点． (1)【初步探究】如图1，小刚发现，请说明理由； (2)【深入探究】如图2，连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查正方形的折叠问题和全等三角形的性质和判定． （1）由折叠和正方形性质得，利用证全等即可； （2）由得，根据轴对称的性质得，推出，利用证明，得，再由折叠可得，所以，即可推出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， 由折叠可得：，， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接， 由（1）得， ， 四边形是正方形， ，， ， 根据轴对称的性质得：， ， ， 在和中，，，， ， ， 由折叠可得：， ，   ． 变式4．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图1，在正方形中，交于点F，连接． (1)探究与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，过点A作于点N，分别交于点M，P，探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）过点C作交于点H，根据正方形的性质得到，即可得到，进而得到结论； （2）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由：过点C作交于点H， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2），理由如下： 如图2，过点A作直线于H， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 实战演练 1．（25-26八年级下·湖北十堰·月考）【云端共舞】 (1)已知：如图①，在四边形中，，，，，则 ． (2)如图②，在正方形中，点，为边和上的动点（不含端点），下列三个结论：①当时，则；②；③的周长不变．其中正确结论的个数是 ． (3)【千里江山】如图③，边长为的正方形中，，，分别是边，，上的点，与相交于点，且，，求线段的长． 【答案】(1)5 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等： （1）过点D作，交的延长线于点E，可证明四边形是平行四边形，则；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由勾股定理得，当时，可证明，则可证明，得到，再由，可得，据此可判断①；延长到点H，使得，连接，证明，得到，，再证明，得到；根据四边形内角和为360度和平角的定义可得，据此可判断②；根据三角形的周长公式和线段的和差关系可得的周长，据此可判断③； （3）过点A作，交于点T，连接，可证明四边形是平行四边形，得到，则，；证明，则由（2）可知；设，则，由勾股定理得，解方程得到，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）如图所示，过点D作，交的延长线于点E， ∵， ∴，即； ∵，即，且， ∴四边形是平行四边形， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴，即； （2）∵四边形是正方形， ∴，； 在中，由勾股定理得， 当时，则， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； 如图所示，延长到点H，使得，连接，则， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴的周长， ∴的周长等于正方形的边长的2倍， ∴的周长是定值，故③正确； （3）如图所示，过点A作，交于点T，连接， ∵四边形是边长为3的正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴由（2）可知； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ ∴． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当与正方形的某条边的夹角为时，直接写出的度数； (4)若点为中点，连接，试判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4)，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，于点，然后证明，即可得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解，则，再证明，即可得到； （3）分两种情况讨论，即与的夹角为或与的夹角为，根据正方形的性质以及四边形内角和定理求解即可； （4）可得此时重合，由四边形是正方形，得到． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：在正方形中， ∴ ∵ ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴， ∴； （3）解：当与的夹角为时，即，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵在四边形中，，而 ∴； 当与的夹角为时，即，如图，设交于点， 由题意得， ∵ ∴ 综上：的度数为或； （4）解：，理由如下： 如图， ∵在正方形中，， 又∵点为的中点， ∴，即， ∵，点在射线上， ∴此时重合， ∵四边形是正方形， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 知识点解析 一、核心原理 依托正方形的边、角、对角线核心性质（四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等/平分内角），构造全 等三角形的判定条件(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)，通过全等实现角的等量转化、线段的相等推导，本质是用正方 形性质造全等条件，用全等结论推边角关系，解决证明/计算问题。 二、通用解题思路（四步法） 1.标正方形性质，找隐含条件：标注正方形的等边、直角、对角线带来的等角（如45°角）/等线段/垂直关系， 提取全等所需的边等、角等基础条件： 2.定目标三角形，找构造方向：根据题干求证（证边等/角等/垂直）或计算需求，锁定要证的全等三角形， 结合正方形性质补全全等条件（如作辅助线连对角线、延长线段，构造公共边/公共角/直角）： 3.证三角形全等，得结论：用SSS/SAS/ASA/AAS/HL证明三角形全等，推出对应边相等、对应角相等的核心 结论： 4.结合正方形性质，推最终结果：将全等结论与正方形的边/角/对角线性质结合，做角度和差、线段代换， 完成证明或计算。 三、核心技巧与注意事项 1.高频辅助线：连正方形对角线（造45°等角、等腰直角三角形，提供全等边/角）；延长边或作垂线（造直 角，满足SAS/ASA判定)； 2.优先用SAS/ASA证全等：正方形的直角和等边为SAS/ASA提供天然条件，优先选择，简化证明： 正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 3.抓等量代换核心：全等得的等边/等角，需结合正方形的边相等、角互补/互余做代换，实现未知向已知的 转化； 4.避免角边对应错误：标注全等三角形时按对应顶点顺序写，确保对应边、角匹配，防止推导失误。 例题分析 例1.(25-26八年级下·上海闵行·月考)问题发现 B B B H D' G E D E D 图1 图2 图3 (1)基本模型一一十字架模型 如图1所示，在正方形ABCD内，点E在边DC上，点F在边BC上，AE、DF交于点H,①若AE⊥DF则有结 论AE=DF;②反之若有AE=DF,则有结论AE⊥DF. 对于上述问题请选择一个命题加以证明。 (2)模型运用 如图2，在正方形ABCD中，AB=4,点E在边CD上（不与C、D重合），连接AE,将△ADE沿AE翻折，得 到△AD'E,连接DD'并延长交BC于点F'. ①若DE=3,求DD'的值. ②如图3，若AE与DF交于点G,连接BG,若BG∥D'E,求证：△ADD'≌△BAG 2 正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 例2.(25-26八年级下·上海青浦·月考)如图，己知：正方形ABCD边长为1，点P是对角线AC上一点， PQ⊥BPPQ 交射线DC于点. 1 D D ()当点”在边CD上时，线段P吧与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论： 0 PO 2当点在边DC的延长线上， △PC0是等腰三角形时，求PC的长： 1 (3)当以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为3时，请直接写出PC的长是 正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 例3.(25-26八年级下·江苏南通·月考)如图，正方形ABCD中，点E是边AB的中点，延长BC至点F,使得 CF=AE A B ∠EDF=90° (1)求证： Co 2∠EDF的平分线交BC于点2，若正方形的边长为2，求C2的长 正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 例4.(25-26九年级下·北京顺义·月考)如图，在正方形ABCD中，P是边DC上的一动点（不与点D,C重合）， ∠DAP=a,点D关于直线AP的对称点为E,连接AE,连接BE并延长交射线AP于点F,连接DF. B C P D (I)根据题意补全图形，并直接写出∠ABF的大小（用含的代数式表示）； (2)求证：BF⊥DF: (3)连接CF,用等式表示线段AF,DF,CF之间的数量关系，并证明. 正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 变式训练 变式1.(25-26九年级下·甘肃张掖开学考试)【模型建立】(1)如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边 AB,AD上的点，连接CE,CF，∠ECF=45°，连接EF,探究线段DF,EF,BE之间的数量关系.小明发现可 以将△CBE沿CE折叠，△CDF沿CF折叠，CB和CD恰好重合在CG上，进而利用折叠的性质来证明此问题.请 你根据小明的解题方法探究DF,EF,BE之间的数量关系： D G B 4BC中，∠4C8=0,点DE在B边上，连接 CD,CE∠DCE=45 【类比探究】(2)如图，在等腰直角 探究线段AD,DE,EB之间的数量关系： 【拓展迁移】(3)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,若AD=6,DB=4,∠ACB=45°，求△ABC的面积. D 6 正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 ABCD BC.CD 变式2.（2026浙江台州一模)如图，在正方形 中，点E,F分别是边 上的动点（不包含端点）， AG⊥EF于点G,GM⊥AB于点M,EF=AG. F F D D M M 图1 图2 (I)如图1，求证：△AMG≌△ECF. (2)如图2，过点E作E⊥BC AG,MG 别交 于点H,N. ①求证：四边形BMNE为正方形： ②求证：HE+GN=AB: ③若AB=1,请直接写出HE的取值范围. > 正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 变式3.(2026·甘肃兰州一模)在数学综合实践课上，某兴趣小组的同学们通过折叠正方形探究与轴对称有关的 几何问题.如图，在正方形ABCD中，点E是线段AD上的一点，将△ABE沿BE折叠，使点A落在点P处，得到 △PBE后再展平，连接EP并延长交CD于点F. A 刀 A E G F 图1 图2 (I)【初步探究】如图1，小刚发现△BPF≌△BCF,请说明理由： (2)【深入探究】如图2，连接AP并延长交CD于点G,求证：EF=DG+CF. 正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 ABCD中，DE LBE交BC BD,CE 变式4.(25-26八年级下·江苏常州期中)如图1，在正方形 于点F,连接 D F F B E E 图1 图2 (I)探究∠EBD与∠ECB之间的数量关系，并证明： 2如图2，过点A作1NLDE BD,CD DN,BE,AN 于点N,分别交于点M,P,探究线段 之间的数量关系，并证明. 9 正方形的性质与全等三角形综合问题讲义 实战演练 1.(25-26八年级下·湖北十堰月考)【云端共舞】 图① 图② 图③ (I)已知：如图O,在四边形ABCD中，AD∥BC,AC⊥BD,AC=3,BD=4,则AD+BC=_ (2)如图②，在正方形ABCD中，点M,N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN=45°下列三个结论：① 当MN=2MC时，则∠B1M=2-5°，②2Z1MN-∠MNC=90°，③△MNC的周长不变.其中正确结论的个数是. (3)【千里江山】如图③，边长为3的正方形ABCD中，E,F,G分别是边AB,CD,BC上的点，EF与AG相 交于点O,且∠AOE=45°，EF=√10，求线段AG的长. 10