21.3.3 课时1 正方形的性质-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（人教版·新教材）

该教案聚焦正方形的性质这一核心知识点，通过“正方形玻璃清理机器人”等生活情境导入，引导学生回顾矩形、菱形性质，构建从特殊平行四边形到正方形的知识支架，梳理边、角、对角线的性质及应用脉络。 资料题型丰富，涵盖选择、填空、证明及中考题变式，如机器人型号计算培养应用意识，证明题强化推理能力，结合几何直观深化性质理解。助力学生提升数学思维与问题解决能力，为教师提供梯度化教学资源，提升课堂效率。

21．3.3　正方形 课时1　正方形的性质 正方形的性质　 (山西朔州期末)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE，CE，若DE＝AB，则∠AEC的度数为(C) 1题图 A．105° B．120° C．135° D．150° 科技改变生活，科技的发展提升了我们的生活品质．如图，这是某公司生产的正方形玻璃清理机器人，当机器人到达玻璃窗的边沿清理时，机器人的顶点A，D分别在玻璃框EF，EG上，玻璃窗的顶角∠E＝90°，EA＝5 cm，∠EDA＝30°.机器人的型号和相关数据如下，可知此次参与清理的机器人的型号为(B) 2题图 型号 5001 5030 5075 6010 对角线长 10 cm 10 cm 15 cm 15 cm A．5001 B．5030 C．5075 D．6010 (北京朝阳区期中)如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD，CD上的点，且OE⊥OF，已知AD＝6，则图中阴影部分的面积是9． 3题图 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF. 4题图 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OC＝OD，∠OCE＝∠ODF＝45°，∠COD＝90°， ∴∠DOF＋∠COF＝90°. ∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°， ∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF，∴CE＝DF. 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.求证：∠EBC＝∠FDC. 5题图 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝90°， ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠DCF. 在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF(SAS)，∴∠EBC＝∠FDC. (恩施州中考)如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF. 6题图 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°. ∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC＝∠DFC＝90°， ∴∠BCE＋∠CBE＝90°＝∠BCE＋∠DCF， ∴∠CBE＝∠DCF. 在△CBE和△DCF中， ∴△CBE≌△DCF(AAS)，∴BE＝CF，CE＝DF， ∴DF＝CE＝CF＋EF＝BE＋EF. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是(B) A．四边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．对角线互相垂直 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的度数为(C) 2题图 A．15° B．35° C．45° D．55° 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，若∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(C) 3题图 A．1 B． C．4－2 D．3－4 (教材母题变式)如图，P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，PD.若△PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是75°． 4题图 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF. (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若AB＝5，AE＝3，求四边形BEDF的周长． 5题图 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠BCA＝45°. 又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF. (2)解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. ∵AE＝CF，∴OE＝OF， ∴四边形DEBF为平行四边形． ∵AC⊥BD，∴平行四边形DEBF为菱形． ∵AB＝5，∴OA＝OB＝5. ∵AE＝3，∴OE＝2，∴BE＝＝， ∴四边形DEBF的周长为4BE＝4. 如图，四边形ABCD是正方形，点P在线段AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为线段AC的中点． 【感知】 (1)如图①，当点P在线段AO上时． ①易证△ABP与△ADP全等(不需要证明)，进而得到PE与PD的数量关系是PE＝PD； ②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明)，进而得到PE与PD的位置关系是PE⊥PD； 【探究】 (2)如图②，当点P在线段OC上(点P不与点O，C重合)时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由． 6题图① 　 6题图② 解：(2)PE＝PD，PE⊥PD.理由如下： 设PE交CD于点F. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP. 又∵PC＝PC，∴△CBP≌△CDP， ∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC. ∵PB＝PE，∴PE＝PD，∠PBC＝∠PEB， ∴∠PDC＝∠PEB. ∵∠PFD＝∠CFE， ∴180°－∠PFD－∠PDC＝180°－∠CFE－∠PEB， 即∠DPF＝∠ECF. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°， ∴∠ECF＝180°－∠BCD＝90°， ∴∠DPF＝90°，∴PE⊥PD. 学科网（北京）股份有限公司 $