21.3.1～21.3.3 矩形与正方形中的折叠 讲义 2025--2026学年人教版八年级数学下册

矩形与正方形中的折叠模型 一、核心解题原理 折叠问题的本质是轴对称变换。解决此类问题需紧扣以下三个不变性： 全等性：折叠前后的图形完全重合，对应边相等，对应角相等。 对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线。 位置关系：折叠后产生的新图形与原图形存在特定的角度或平行/垂直关系。 二、矩形折叠常见模型与策略 1. 对角线折叠模型（“8字型”相似） 现象：将矩形沿对角线折叠，重叠部分通常构成一个等腰三角形。 推导：利用平行线的内错角相等 + 折叠的角相等 等角对等边。 解法：设未知数（如重叠部分的腰长），在直角三角形中利用勾股定理列方程求解。 2. 顶点落边模型 现象：矩形的一个顶点折叠后落在对边或邻边上。 关键点： 寻找直角三角形：折叠后常产生新的直角三角形（原矩形的角）。 利用勾股定理：设折痕分得的线段长为 ，表示出其他边长，建立 的方程。 特殊情况：若顶点落在对角线上，常结合角平分线性质或相似三角形求解。 3. 双折叠与共线模型 现象：连续两次折叠，或多个点折叠后共线。 策略： 利用平角定义（ ）计算角度。 通过多次全等转换，将分散的线段集中到一个直角三角形中。 4. 面积与最值问题 面积计算：通常转化为求底和高，或利用“割补法”（总面积减去空白部分）。 最值问题： 将军饮马：利用对称点将折线转化为直线，求最短路径。 垂线段最短：当动点轨迹为圆或直线时，利用点到直线的距离求最小值。 三、正方形折叠的特殊性质 1. “半角模型”与旋转全等 场景：正方形内涉及 角的折叠（如顶点折叠使两边重合）。 结论：常出现线段和差关系（如 ）。 辅助线：通过旋转构造全等三角形，将分散线段拼接。 2. 中点与垂直平分线 场景：折痕经过正方形边的中点，或折叠后点落在中垂线上。 策略： 利用正方形四边相等、四角为直角的特性。 结合中位线定理或直角三角形斜边中线定理。 若涉及 或 角，常构造等边三角形。 3. 复杂组合折叠 类型：多次折叠、折叠后点落在对角线/折痕上。 解法： 设元法：设关键线段为 ，表示出所有相关线段。 相似/全等：寻找“一线三等角”或“K字型”相似模型。 方程思想：最终往往归结为勾股定理的一元二次方程。 四、通用解题步骤（“三步走”） 1. 标图： 在图上明确标出折叠前后的对应点（如 ）。 标记相等的边和角（使用相同符号）。 标出已知长度和直角。 2. 设元： 选择一条关键线段设为 （通常是折痕分成的段，或折叠后产生的未知边）。 用含 的代数式表示其他相关线段。 3. 建系/列方程： 首选：在直角三角形中利用勾股定理列方程。 次选：利用相似三角形对应边成比例，或三角函数关系。 求解：解方程并检验根的合理性（长度必须为正，且符合几何限制）。 五、易错点警示 分类讨论缺失： 当题目提到“等腰三角形”或“点落在边上”但未指定具体位置时，需考虑多种情况（如：哪两条边相等？点落在哪条边上？）。 案例：折叠后形成的三角形可能是以不同边为腰的等腰三角形，需分别讨论。 计算失误： 勾股定理列方程时，平方展开易出错（如 误算为 ）。 涉及根号运算时，化简不彻底。 六、典型结论速记 矩形对角线折叠：重叠部分是等腰三角形。 正方形折叠出 ：往往伴随线段和差关系。 折痕性质：折痕垂直平分对应点的连线。 最值原理：两点之间线段最短（展开图），垂线段最短。 一、核心解题原理 折叠问题的本质是轴对称变换。解决此类问题需紧扣以下三个不变性： 全等性：折叠前后的图形完全重合，对应边相等，对应角相等。 对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线。 位置关系：折叠后产生的新图形与原图形存在特定的角度或平行/垂直关系。 二、矩形折叠常见模型与策略 1. 对角线折叠模型（“8字型”相似） 现象：将矩形沿对角线折叠，重叠部分通常构成一个等腰三角形。 推导：利用平行线的内错角相等 + 折叠的角相等 等角对等边。 解法：设未知数（如重叠部分的腰长），在直角三角形中利用勾股定理列方程求解。 2. 顶点落边模型 现象：矩形的一个顶点折叠后落在对边或邻边上。 关键点： 寻找直角三角形：折叠后常产生新的直角三角形（原矩形的角）。 利用勾股定理：设折痕分得的线段长为 ，表示出其他边长，建立 的方程。 特殊情况：若顶点落在对角线上，常结合角平分线性质或相似三角形求解。 3. 双折叠与共线模型 现象：连续两次折叠，或多个点折叠后共线。 策略： 利用平角定义（ ）计算角度。 通过多次全等转换，将分散的线段集中到一个直角三角形中。 4. 面积与最值问题 面积计算：通常转化为求底和高，或利用“割补法”（总面积减去空白部分）。 最值问题： 将军饮马：利用对称点将折线转化为直线，求最短路径。 垂线段最短：当动点轨迹为圆或直线时，利用点到直线的距离求最小值。 三、正方形折叠的特殊性质 1. “半角模型”与旋转全等 场景：正方形内涉及 角的折叠（如顶点折叠使两边重合）。 结论：常出现线段和差关系（如 ）。 辅助线：通过旋转构造全等三角形，将分散线段拼接。 2. 中点与垂直平分线 场景：折痕经过正方形边的中点，或折叠后点落在中垂线上。 策略： 利用正方形四边相等、四角为直角的特性。 结合中位线定理或直角三角形斜边中线定理。 若涉及 或 角，常构造等边三角形。 3. 复杂组合折叠 类型：多次折叠、折叠后点落在对角线/折痕上。 解法： 设元法：设关键线段为 ，表示出所有相关线段。 相似/全等：寻找“一线三等角”或“K字型”相似模型。 方程思想：最终往往归结为勾股定理的一元二次方程。 四、通用解题步骤（“三步走”） 4. 标图： 在图上明确标出折叠前后的对应点（如 ）。 标记相等的边和角（使用相同符号）。 标出已知长度和直角。 5. 设元： 选择一条关键线段设为 （通常是折痕分成的段，或折叠后产生的未知边）。 用含 的代数式表示其他相关线段。 6. 建系/列方程： 首选：在直角三角形中利用勾股定理列方程。 次选：利用相似三角形对应边成比例，或三角函数关系。 求解：解方程并检验根的合理性（长度必须为正，且符合几何限制）。 五、易错点警示 分类讨论缺失： 当题目提到“等腰三角形”或“点落在边上”但未指定具体位置时，需考虑多种情况（如：哪两条边相等？点落在哪条边上？）。 案例：折叠后形成的三角形可能是以不同边为腰的等腰三角形，需分别讨论。 计算失误： 勾股定理列方程时，平方展开易出错（如 误算为 ）。 涉及根号运算时，化简不彻底。 六、典型结论速记 矩形对角线折叠：重叠部分是等腰三角形。 正方形折叠出 ：往往伴随线段和差关系。 折痕性质：折痕垂直平分对应点的连线。 最值原理：两点之间线段最短（展开图），垂线段最短。 矩形折叠模型 例题 如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 变式 如图，在矩形纸片中，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是（　　）． A．1 B． C．或1 D．或1 如图将矩形沿对角线折叠，使C落在处，交于点E，若，平分，则的长度为（   ） A．12cm B． C． D． 正方形折叠模型 例题 如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 变式 如图，正方形中，，E 在上， ，将沿折叠至，延长 交于 G，连，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4 个 正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 课堂练习 1.如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 2.如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 3.在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图的形状，连接，，，则 °； 【解决问题】（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接．如图2，当时，求证：平分； 【迁移应用】（3）如图，将矩形绕点顺时针转动，当点落在上时，连接，，交于点，过点作于点． ①求证：； ②若，，直接写出的长． 4.已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 课后作业 一、单选题 1．如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　） A．4 B．5 C．4.8 D． 2．如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，为对角线，将沿翻折，点B的对应点为点，与相交于点E，分别延长与相交于点F，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．在矩形中，，，点E为中点，将沿折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C． D． 二、解答题 6．九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小星将如图所示的矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为，展开后，连接，就可以得到一个四边形． (1)如图①，与的数量关系为_______，与的位置关系为_______． (2)如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点恰好落在上的点处，展开后，分别连接，，并延长交于点，证明：； (3)如图③，若将图①中的矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，使得点恰好与点重合，展开后，折痕所在的直线交的延长线于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 7．如图1，四边形ABCD是长方形，，，，，，点E是边上一点，连接，过点E作的垂线，交于点F，将沿所在直线翻折得到，其中点G是点B的对应点． (1)如图2，连接，若，直接写出的长为________； (2)连接DG，若是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，连接，若的延长线正好经过点D，直接写出的面积为________． 8．如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求证：． 9．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 10．数学活动《折纸与证明》中提道：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 【初步体验】 操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点的对应点为．（如图1所示） 操作②：沿剪开，易得一张正方形纸，把正方形对折后再展开，折痕为． 操作③：在上选一点（点不与点重合），沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，延长交于点，连接．（如图2所示） 问题1：当点在上时，猜想的度数并证明． 【初步探究】 同学们受到老师所提问题的启发，改变点在上的位置，如图3． 问题2：判断与的数量关系，并说明理由． 问题3：猜想线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 问题4：若正方形纸片的边长为8，当时，求的长． 11．在数学实践课上，学习兴趣小组对正方形展开探究： (1)【操作发现】 如图， 在正方形中，， 连接、， 易得， 将向下平移到，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)【问题探究】 如图，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接交折痕于点 P， 若，． 求此时的长； (3)【拓展延伸】 如图，若正方形的边长为a，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接与交于点P，取的中点Q，连接，，当最小时，求折痕的长（用含a的式子表示）． 12．【操作发现】 （1）如图1，正方形纸片，点E是边上一点，将沿翻折，点A的对应点F落在正方形内部，延长交边于点G，连接，易知； 【深入探究】 （2）如图2，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，然后继续进行（1）中的操作，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在折痕上，其它条件不变，把纸片展开，连接，求的度数； 【类比迁移】 （3）①如图3，将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，点E在线段上，把沿折叠，点A的对应点F刚好落在直线上，，求的长； ②若点E在线段的延长线上，①中其它条件不变，直接写出的长； 【拓展应用】 （4）如图4，在菱形中，，边长为10，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的边上，且，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 矩形折叠模型 例题 如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【分析】连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，，证明为等腰三角形，求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，，，E为边的中点， ∴，， ∴，， ∵将沿翻折，点D的对应点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 设，则，， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式 如图，在矩形纸片中，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是（　　）． A．1 B． C．或1 D．或1 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 当时，如图1：连接，勾股定理求得的长，可判断P，E，D三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当，证明是正方形，进而完成解答． 【详解】解：①当时，如图1，连接， ∵点P是的中点，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P，E，D三点共线， ∵， ∴， 设，则， 在和中， 根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴； ②当时，如图2， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∵点P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 综上所述：的长为或1． 故选C． 如图将矩形沿对角线折叠，使C落在处，交于点E，若，平分，则的长度为（   ） A．12cm B． C． D． 【分析】本题重点考查了折叠问题，矩形与折叠问题，角平分线的性质定理，用勾股定理解三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据折叠原理得到，，，，结合平行线的性质，得到，进而求得，设，则，，根据勾股定理求得的值，最后求得的长度． 【详解】解：根据折叠原理，得，，，， 又∵， ∴, ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理得，即， 解得， 根据勾股定理得， 得， ∴的长度为． 故选：C． 正方形折叠模型 例题 如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，折叠的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 先根据正方形的性质求出，由勾股定理求出，由折叠得到，，然后求出，再由等腰直角三角形求出，即可求解周长． 【详解】解：正方形， ∴，， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：A． 变式 如图，正方形中，，E 在上， ，将沿折叠至，延长 交于 G，连，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4 个 【分析】①根据正方形的性质和翻折的性质即可证明； ②设，则，根据翻折可得，再根据勾股定理可得x的值，进而证明； ③根据可得，由，可得，进而得，可得；④过点作于点H，求出的长，由求出的面积，即可判断． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ①由翻折可知： ， ∴， ∵， ∴， 所以①正确； ②∵， ∴， 设，则， 由翻折可知：，， ∴ ∴在中，根据勾股定理，得 ∴， 解得， ∴， 所以②正确； ③由可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 所以③正确； ④过点作于点H， ∵， ∴利用勾股定理得： ∴，即，则： ∴ ． 所以④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故选：C． 正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 课堂练习 如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的构造，以及用垂线段最短解决几何最值问题．利用三垂直全等模型构造全等三角形，利用轴对称及等腰三角形三线合一得比值，利用垂线段最短解决最小值问题． 【详解】解：如图： ∵正方形， ∴，， 分别作于E，于F，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由轴对称可得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，根据垂线段最短可得：， ∴， 故的最小值为， 故选：A． 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． (1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图的形状，连接，，，则 °； 【解决问题】（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接．如图2，当时，求证：平分； 【迁移应用】（3）如图，将矩形绕点顺时针转动，当点落在上时，连接，，交于点，过点作于点． ①求证：； ②若，，直接写出的长． （1）；（2）见解析；（3）①见解析，② 【分析】（1）利用两个矩形完全相同的条件，得到对应边相等，从而证明三角形全等，结合全等三角形的角相等关系，推导出为直角，再由等腰直角三角形的性质得出的度数； （2）利用等边对等角得到角相等，结合矩形对边平行的性质，通过平行线的内错角相等完成角的等量代换，从而证明角平分线； （3）①先通过矩形性质与平行线性质得到角相等，证明三角形全等，推出对应边相等，再结合矩形的边相等关系，证明另一组三角形全等，从而得到与相等； ②先利用勾股定理求出线段长度，结合全等三角形的对应边相等，得到相关线段的长度，再通过勾股定理计算出的长度，最终得出的长度． 【详解】解：（1）两个完全相同的矩形纸片， ，，， ， ， ， ； （2）证明：， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分； （3）①， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ； ②，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． (1)的长为 (2)见解析 (3)的长为5或3 【分析】（1）利用折叠的性质和勾股定理即可求解； （2）利用折叠的性质得出，，利用证得，得到，利用等边对等角得到，然后证得，得到，即可证得； （3）分①当在的延长线上时，②当在线段时，两种情况讨论，根据折叠的性质．利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 由折叠的性质可知， 在中，， ∴， 解得， ∴； （2）证明：由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当在的延长线上时，如图①， 由，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； ②当在线段时，如图②， 设，则， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 综上，的长为5或3． 1．C 【分析】先证明，得到，设，则，，，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 2．C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握矩形与折叠的性质． 由折叠可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可求得，，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴，， 如图，过点作于点， ∵， ∴，即点到的距离为． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了矩形的性质、图形翻折的性质、勾股定理及三角形面积的计算，解题的关键是利用翻折性质得到角相等，进而推出，再结合勾股定理求出线段长度． 先根据矩形性质与翻折性质证得；设，则，在中，由勾股定理列方程求出的长度；最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ，，，， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∵ 沿AC翻折得到， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 展开得， 化简得， 解得， ∴ ， 故选：A． 4．C 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，计算解答． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取的中点M，连接，根据矩形的性质和折叠的性质可得：，，，应用勾股定理可求出，用等面积法求出，利用三角形中位线定理可得，再用勾股定理求，进一步即可求出． 【详解】解：取的中点M，连接， ∵矩形中，，，点为中点，将沿折叠，使点落在矩形内的点处， ∴，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．(1)， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，即可得出答案； （2）根据全等三角形的判定与性质，垂直的判定方法，即可得证； （3）先连接，，，与交于点，根据折叠的性质，得出垂直平分，进一步得出，再通过推导角之间的关系，得出为直角三角形，最后利用直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ，， ，． 矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为， ，，， ， 即与的数量关系为，与的位置关系为． 故答案为：，． （2）证明：由（1）得，，， ． 由折叠得，， ， ． ， ． ， ， ， ． （3）解：，理由如下： 如图，连接，，，与交于点， 由矩形纸片沿进行折叠，使点落在边上的点处， 得，， ． 又矩形纸片沿中点所在直线进行折叠， 垂直平分， ， ， ， ． ， ． ， ，即， 为直角三角形． 点为的中点， . ， ． 7．(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形面积计算； （1）由翻折的性质得，，，从而得到四边形为正方形，最后在中勾股定理即可求解； （2）分两种情况：①当，设，利用在中建立方程求解；②当，设，过D点作，证明得到建立方程求解； （3）连接，若的延长线正好经过点D，设，则，，在中建立方程可求出，从求出的面积，再利用与的比例关系即可求出的面积. 【详解】（1）解：∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴在中，. （2）解：若是以为腰的等腰三角形，分两种情况： ①当，如图所示，设， ∵， ∴， 由翻折可得：， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ②当，如图所示，设，过D点作， ∵， ∴， 由翻折可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 由翻折可得：， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴. 综上：或. （3）解：连接，若的延长线正好经过点D，如图所示， 由翻折可知： ，，， ∵的延长线正好经过点D， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ∵, ∴. 8．(1)见解析 (2)3 (3)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据折叠的性质，正方形的性质，推出，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）由（2）可得，进而得到，得到，三角形的外角得到，全等三角形的性质，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．(1)①45；② (2)①成立，见解析；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）①根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； ②证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）①结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 10．问题1：，见解析；问题2：，见解析；问题3：，见解析；问题4： 【分析】问题1：连接．根据正方形的性质得出．证明是等边三角形，得出，求出即可； 问题2：证明，得出即可． 问题3：根据折叠得出．证明，得出，即可得出． 问题4：设，则根据勾股定理得出，求出，再根据，即可求出结果． 【详解】解：问题1：． 如图，连接． 垂直平分， ∴， 由折叠的性质，得， 四边形是正方形， ． ， 是等边三角形， ， ． ． 问题2：．理由如下： 四边形是正方形， ． 由折叠的性质，得， ． ， ∴， ． 问题3：．理由如下： 由折叠的性质，得：． ， ∴， ， ∴， ∴， ． 问题4：设，则． 由问题3，知． 在Rt中，， 由勾股定理，得， 即， 解得：， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握正方形的性质． 11．(1)； (2) (3) 【分析】（1）先证明，得出，，求出，根据平移得出，，得出，根据平行线的性质得出，即可得出结论； （2）过点M作于点G，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，最后求出结果即可； （3）根据折叠可知：，，根据直角三角形的性质得出，得出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当Q、P、在同一直线上时，且时，最小，即最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据平移可知：，， ∴，， ∴； （2）解：过点M作于点G，如图所示： 则， 根据折叠可知：，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当Q、P、在同一直线上时，且时，最小，即最小， 如图，连接， ∵点Q为的中点， ∴， ∵此时， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴当最小时，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，折叠的性质，平移的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 12．（1）见解析；（2）；（3）①；②10；（4）或 【分析】（1）由四边形是正方形，推出，，由折叠的性质得，利用即可证明； （2）连接，证明为等边三角形，同理（1）得，即可解答； （3）①根据题意得点在线段的垂直平分线上，求出，，由折叠的性质得：，，在中，由勾股定理求得，易证四边形为矩形，求出，设，则，利用勾股定理即可求解；②根据题意画出示意图，同理①即可解答； （4）根据题意分两种情况讨论，①当点落在边上时，②当点落在边上时，利用菱形的性质结合折叠的性质，解答即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得， ，， ∵， ∴； （2）连接， 由折叠的性质得 垂直平分，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 四边形是正方形， ， ∴， 同理（1）得， ∴； （3）①点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得 ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图， 同理得，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （4）①当点落在边上时，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ②当点落在边上时，如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由翻折得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得： ， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $