期中复习易错十八考点57题（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

期中复习（易错十八考点57题） 一．算术平方根（共5小题） 1．的平方根是（　　） A．2 B．±2 C． D．± 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D．3 3．观察下列各式：2，3，4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 　 　 ． 4．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 5．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15． （1）求这个正数是多少？ （2）的平方根又是多少？ 二．立方根（共1小题） 6．求下列各式中的x： （1）4x2＝25； （2）（x+1）3﹣8＝0． 三．无理数（共1小题） 7．在实数，0，，503，π，0.101中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 四．实数与数轴（共1小题） 8．如图，Rt△MBC中，∠MCB＝90°，点M在数轴﹣1处，点C在数轴1处，MA＝MB，BC＝1，则数轴上点A对应的数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 五．估算无理数的大小（共5小题） 9．估计介于（　　） A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间 C．0.6与0.7之间 D．0.7与0.8之间 10．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 11．已知，且a、b为两个连续的整数，则a+b＝　 　 ． 12．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： 　 　 ； 　 　 ． （2）若，写出满足题意的x的整数值 　 　 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数，　 　 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　 　 ． 13．已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分． （1）求a+b+c的值； （2）若x是的小数部分，求的平方根． 六．二元一次方程的解（共1小题） 14．已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 　 　 ． 七．二元一次方程组的解（共7小题） 15．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 16．在一本书上写着方程组的解是，其中y的值被墨渍盖住了，但我们可解得p的值为 　 　 ． 17．对于实数a，我们定义如下运算：当a≥0时，则[a]＝a+1；当a＜0时，则[a]＝﹣2a﹣1．例如：[1]＝1+1＝2，[﹣1]＝﹣2×（﹣1）﹣1＝1． ①若[a]＝0时，a＝ 　 　 ． ②若关于m、n的方程组满足，则此方程组的解为 　 　 ． 18．关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足x﹣y＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，请完成下面问题： （1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由； （2）方程组的解x与y具有“邻好关系”，求k的值． 19．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ （2）请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 20．定义：对于关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程cx+by＝a称为原方程ax+by＝c的“对称方程”．例如方程3x+2y＝7的“对称方程”为7x+2y＝3． （1）写出方程2x﹣3y＝﹣1的“对称方程”　 　 ，以及它们组成的方程组的解为 　 　 ； （2）若关于x，y的二元一次方程3x+my＝8与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； （3）若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a﹣b+c＝0，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝P的一个解，直接写出代数式（m﹣n）m+p（n﹣p）+2025的值． 21．阅读材料： 把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，像x+4y＝5与4x+y＝5这样的方程是互为共轭二元一次方程；像二元一次方程组，这样由互为共轭二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． （1）若关于x、y的方程组，为共轭二元一次方程组，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． （2）解共轭二元一次方程组：． 解：由①+②得：x+y＝2③，由①﹣③得：y＝1，由②﹣③得：x＝1． ∴是原方程组的解． 仿照上面方程组的解法解方程组：． （3）发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m、n之间的数量关系是 　 　 ． 八．解二元一次方程组（共1小题） 22．已知方程组中，a，b互为相反数，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．0 D．8 九．二元一次方程组的应用（共5小题） 23．如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为3cm，正方形B的边长为5cm，则此长方形的面积为（　　） A．63cm2 B．60cm2 C．56cm2 D．52cm2 24．阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　 　 cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 25．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　 　 张，正方形铁片 　 　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 26．忠县作为“中国柑橘城”，柑橘产业已经非常成熟，形成了多个特色品种，其中最出名的当属“爱媛果冻橙”和“沃柑”．某超市用12400元从农户处购进“果冻橙”和“沃柑”两个品种的柑橘共1000斤．进价和售价如下表所示： 果冻橙 沃柑 进价（元/斤） 13 12 售价（元/斤） 16 14 （1）求该超市购进“果冻橙”和“沃柑”各多少斤？ （2）由于水果运输过程中会有一定的损坏，“果冻橙”的损坏率为5%，“沃柑”的损坏率为m%，损坏的柑橘不能进行销售，若这批柑橘全部售出的总利润为1828元，求m的值； （3）该超市第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “果冻橙”优惠方案 一次性购买数量 不超过100斤的部分 超过100斤的部分 折扣数 九折 八折 “沃柑”优惠方案 购买总金额 不超过3000元 超过3000元但不超过5000元 超过5000元 返现金金额 0元 直接返现金200元 先返购买总金额的5%，再返现金200元 已知超市购进“果冻橙”共支付了3250元，购进“沃柑”共支付了5500元，运输中仍按照（2）中的损坏率考量，将第二次购进的两种柑橘全部卖完，一共可获得利润多少元？ 27．【问题背景】 2025年央视春晚节日《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件；B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、B两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 十．三元一次方程组的应用（共1小题） 28．问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则2x+y的值为 　 　 ． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （3） 甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 十一．点的坐标（共11小题） 29．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1） 30．已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（　　） A．若点A在y轴上，则a＝3 B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1 C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6 D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2 31．如果点A（3，m+2）在x轴上，那么点B（m+1，m﹣3）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（1，﹣1） D．（3，3）或（1，﹣1） 33．点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在y轴的右侧，则P点的坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2）或（3，﹣2） C．（3，2） D．（2，3）或（2，﹣3） 34．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2022秒瓢虫在（　　）处． A．（3，﹣2） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣2） D．（1，1） 35．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 　 　 ． 36．在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）到x轴距离是 　 　 ． 37．已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是 　 　 ． 38．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是 　 　 ． 39．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）． （1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 　 　 ． （2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解． （3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 十二．坐标与图形性质（共2小题） 40．点A的坐标为（1，2），直线AB∥y轴，且AB＝4，则点B的坐标为（　　） A．（5，2） B．（1，6）或（1，﹣2） C．（1，6） D．（5，2）或（﹣3，2） 41．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动 （1）求点B的坐标． （2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． （3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 十三．点到直线的距离（共1小题） 42．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是 　 　 cm． 十四．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 43．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 十五．平行线的判定（共1小题） 44．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变，绕点A旋转），当∠BAD＝　 　 时，CD∥AB． 十六．平行线的性质（共11小题） 45．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　） A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补 46．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 47．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 48．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 49．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 50．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（　　） A．122° B．120° C．118° D．115° 51．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　 　 ． 52．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为　 　 ． 53．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　 度． 54．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　 　 度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系． 55．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45° （1）求a、b的值； （2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 十七．平行线的判定与性质（共1小题） 56．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 十八．生活中的平移现象（共1小题） 57．如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（　　） A．56m2 B．66m2 C．72m2 D．96m2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习（易错十八考点57题） 一．算术平方根（共5小题） 1．的平方根是（　　） A．2 B．±2 C． D．± 【答案】D 【解答】解：∵2， ∴的平方根是±． 故选：D． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解答】解：由所给的程序可知，当输入64时，8， ∵8是有理数， ∴取其立方根可得到，2， ∵2是有理数， ∴取其算术平方根可得到， ∵是无理数， ∴y． 故选：A． 3．观察下列各式：2，3，4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 　　 ． 【答案】 【解答】解：（1+1）2， （2+1）3， （3+1）4， … ， 故答案为：． 4．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵12，6，4， ∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”； （2）∵6， ∴分两种情况讨论： ①当12时，﹣3m＝144， ∴m＝﹣48； ②当12时，﹣12m＝144， ∴m＝﹣12（不符合题意，舍）； 综上，m的值是﹣48． 5．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15． （1）求这个正数是多少？ （2）的平方根又是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数． 即：（m+3）+（2m﹣15）＝0 解得m＝4． 则这个正数是（m+3）2＝49． （2）3，则它的平方根是±． 二．立方根（共1小题） 6．求下列各式中的x： （1）4x2＝25； （2）（x+1）3﹣8＝0． 【答案】（1）x＝±；（2）x＝1． 【解答】解：（1）根据题意得x2， ∴x＝±； （2）根据题意得（x+1）3＝8， ∴x+1＝2， ∴x＝1． 三．无理数（共1小题） 7．在实数，0，，503，π，0.101中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：是分数，属于有理数； 0，503是整数，属于有理数； 0.101是有限小数，属于有理数； 无理数有：，π，共2个． 故选：A． 四．实数与数轴（共1小题） 8．如图，Rt△MBC中，∠MCB＝90°，点M在数轴﹣1处，点C在数轴1处，MA＝MB，BC＝1，则数轴上点A对应的数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【解答】解：在Rt△MBC中，∠MCB＝90°， ∴MB， ∴MB， ∵MA＝MB， ∴MA， ∵点M在数轴﹣1处， ∴数轴上点A对应的数是1． 故选：D． 五．估算无理数的大小（共5小题） 9．估计介于（　　） A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间 C．0.6与0.7之间 D．0.7与0.8之间 【答案】C 【解答】解：∵2.22＝4.84，2.32＝5.29， ∴2.22.3， ∵0.6，0.65， ∴0.60.65． 所以介于0.6与0.7之间． 故选：C． 10．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】C 【解答】解：2.62＝6.76，2.72＝7.29，2.82＝7.84，2.92＝8.41，32＝9， ∵7.84＜8＜8.41， ∴， ∴的点落在段③， 故选：C． 11．已知，且a、b为两个连续的整数，则a+b＝　7　 ． 【答案】7 【解答】解：∵9＜15＜16， ∴， ∴a＝3，b＝4， ∴a+b＝3+4＝7． 故答案为：7 12．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： 　2　 ； 　5　 ． （2）若，写出满足题意的x的整数值 　1，2，3　 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数，　3　 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　255　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36， ∴56， ∴[2]＝2，[]＝5， 故答案为：2，5； （2）∵12＝1，22＝4，且， ∴x＝1，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）第一次：[]＝10， 第二次：[]＝3， 第三次：[]＝1， 故答案为：3； （4）最大的正整数是255， 理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1， ∴对255只需进行3次操作后变为1， ∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255． 13．已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分． （1）求a+b+c的值； （2）若x是的小数部分，求的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分， ∴a＝（±2）2＝4，b3，c＝3， ∴a+b+c＝4+3+3＝10． （2）∵x是的小数部分，的整数部分是3， ∴x3， ∴319＝16， ∴±±4， ∴的平方根是±4． 六．二元一次方程的解（共1小题） 14．已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 　　 ． 【答案】 【解答】解：该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9， 当3+2m＝0时，解得m， 将m代入方程得，0×x+（2）y9， 解得y＝3； 当m﹣2＝0时，解得m＝2， 将m＝2代入方程得，（3+2×2）x+0×y＝2﹣9， 解得x＝﹣1， ∴不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是， 故答案为：． 七．二元一次方程组的解（共7小题） 15．若方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意得：， 解得． 故选：A． 16．在一本书上写着方程组的解是，其中y的值被墨渍盖住了，但我们可解得p的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，设被墨渍盖住的y的值为m， 则将x＝1，y＝m代入方程组可得，， ∴． 故答案为：． 17．对于实数a，我们定义如下运算：当a≥0时，则[a]＝a+1；当a＜0时，则[a]＝﹣2a﹣1．例如：[1]＝1+1＝2，[﹣1]＝﹣2×（﹣1）﹣1＝1． ①若[a]＝0时，a＝ 　　 ． ②若关于m、n的方程组满足，则此方程组的解为 　或　 ． 【答案】①； ②或． 【解答】解：①当a≥0时，得a+1＝0， 解得a＝﹣1（舍去）， 当a＜0时，得﹣2a﹣1＝0， 解得a． 故答案为：． ②当m﹣n≥0时，得m﹣n+1＝0， 则m﹣n＝﹣1（舍去）， 当m﹣n＜0时，得﹣2（m﹣n）﹣1＝0， 则m﹣n， 当m+n≥0时，得m+n+1＝2， 则m+n＝1， 当m+n＜0时，得﹣2（m+n）﹣1＝2， 则m+n， ∴原方程可化为或， 解得或． 故答案为：或． 18．关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足x﹣y＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，请完成下面问题： （1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由； （2）方程组的解x与y具有“邻好关系”，求k的值． 【答案】（1）x与y具有“邻好关系”，理由见解答； （2）2． 【解答】解：（1）x与y具有“邻好关系”．理由如下： ， 将①代入②，得3x+2（2x﹣4）＝13， 解得x＝3③， 将③代入①，得y＝2×3﹣4＝2， ∴原方程组的解为， ∵x﹣y＝3﹣2＝1， ∴x与y具有“邻好关系”． （2）将方程组的两个方程左、右分别相减， 得x﹣y＝k﹣1， ∵x与y具有“邻好关系”， ∴x﹣y＝1， ∴k﹣1＝1， ∴k＝2． 19．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ （2）请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】（1）甲把a看成了﹣5，乙把b看成了6；（2）原方程组的解：． 【解答】解：（1）， 把代入①，②得， ﹣3×4﹣b×（﹣1）＝﹣4， ∴b＝8， ﹣3a+5×（﹣1）＝10． ∴a＝﹣5； 把代入①、②得， 5a+5×4＝10， ∴a＝﹣2， 4×5﹣4b＝﹣4， ∴b＝6； ∴甲把a看成了﹣5，乙把b看成了6； （2）把a＝﹣2，b＝8代入原方程组， 原方程组为， 由②，得2x﹣4y＝﹣2③， ①+③，得y＝8， 把y＝8代入①，得x＝15， ∴原方程组的解：． 20．定义：对于关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程cx+by＝a称为原方程ax+by＝c的“对称方程”．例如方程3x+2y＝7的“对称方程”为7x+2y＝3． （1）写出方程2x﹣3y＝﹣1的“对称方程”　﹣x﹣3y＝2　 ，以及它们组成的方程组的解为 　　 ； （2）若关于x，y的二元一次方程3x+my＝8与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； （3）若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a﹣b+c＝0，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝P的一个解，直接写出代数式（m﹣n）m+p（n﹣p）+2025的值． 【答案】（1）﹣x﹣3y＝2，； （2）m＝﹣1，n＝﹣11； （3）2025． 【解答】解：（1）方程2x﹣3y＝﹣1的“对称方程”是﹣x﹣3y＝2， ， ①﹣②，得3x＝﹣3， 解得x＝﹣1， 将x＝﹣1代入②，得1﹣3y＝2， 解得y， ∴方程组的解为． 故答案为：﹣x﹣3y＝2，． （2）关于x，y的二元一次方程3x+my＝8与它的“对称方程”组成的方程组为， 将代入， 得， ①﹣②，得﹣5m＝5， 解得m＝﹣1， 将m＝﹣1代入①，得﹣3﹣n＝8， 解得n＝﹣11， ∴． （3）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c与它的“对称方程”组成的方程组为， ①﹣②，得（a﹣c）x＝c﹣a， 解得x＝﹣1， 将x＝﹣1代入①，得﹣a+by＝c， 解得y， ∵a﹣b+c＝0， ∴a+c＝b， ∴y＝1， ∴方程组的解为， 将代入mx+ny＝P，得﹣m+n＝p，即n﹣m＝p， ∴（m﹣n）m+p（n﹣p）+2025＝﹣pm+pm+2025＝2025． 21．阅读材料： 把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，像x+4y＝5与4x+y＝5这样的方程是互为共轭二元一次方程；像二元一次方程组，这样由互为共轭二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． （1）若关于x、y的方程组，为共轭二元一次方程组，则a＝ 　1　 ，b＝ 　3　 ． （2）解共轭二元一次方程组：． 解：由①+②得：x+y＝2③，由①﹣③得：y＝1，由②﹣③得：x＝1． ∴是原方程组的解． 仿照上面方程组的解法解方程组：． （3）发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m、n之间的数量关系是 m＝n ． 【答案】（1）1，3； （2）； （3）m＝n． 【解答】解：（1）根据题意，得1+a＝2，b+2＝5， 解得a＝1，b＝3． 故答案为：1，3． （2）①+②，得x+y＝﹣6③， ②﹣①，得x﹣y＝0④， ③+④，得2x＝﹣6， 解得x＝﹣3， 将x＝﹣3代入④，得y＝﹣3， ∴原方程组的解为． （3）将代入， 得， ①﹣②，得（1﹣k）（m﹣n）＝0， ∵k≠1， ∴m﹣n＝0， ∴m＝n． 故答案为：m＝n． 八．解二元一次方程组（共1小题） 22．已知方程组中，a，b互为相反数，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．0 D．8 【答案】D 【解答】解：因为a，b互为相反数， 所以a+b＝0，即b＝﹣a， 代入方程组得：， 解得：m＝8， 故选：D． 九．二元一次方程组的应用（共5小题） 23．如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为3cm，正方形B的边长为5cm，则此长方形的面积为（　　） A．63cm2 B．60cm2 C．56cm2 D．52cm2 【答案】A 【解答】解：由题意，可设正方形C和D的边长分别为xcm，ycm， ∴， ∴， ∴长方形的长为：5+4＝9（cm），宽为：3+4＝7（cm）， ∴长方形的面积为：7×9＝63（cm2）． 故选：A． 24．阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　20　 cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴xy＝10×6＝60． 故每个小长方形的面积为60； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm， 则，解得， 则12x+y＝12×1+8＝20． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm． （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得 ， 解得， ∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64． 故答案为：64． 25．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　7　 张，正方形铁片 　3　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得， 解得 答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：． ∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， ∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张）， ∴可做铁盒76÷4＝19（个）． 答：最多可以加工成19个铁盒． 解法二：设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，则（35﹣m﹣n）按1个长方形铁片和2个正方形铁片截． 由题意2[3m+（35﹣m﹣n）]＝4[4n+2（35﹣m﹣n）]， 整理得6m﹣5n＝105，其中1m+n≤35且m，n是正整数， 解得或， 可以加工成铁盒的数量为， 当m＝20，n＝3时，18（个）， 当m＝25，n＝9时，19（个）． 答：25张铁板按3个长方形截，9张铁板按4个正方形截，1张铁板按1个长方形2个正方形截，最多可以加工成19个铁盒． 26．忠县作为“中国柑橘城”，柑橘产业已经非常成熟，形成了多个特色品种，其中最出名的当属“爱媛果冻橙”和“沃柑”．某超市用12400元从农户处购进“果冻橙”和“沃柑”两个品种的柑橘共1000斤．进价和售价如下表所示： 果冻橙 沃柑 进价（元/斤） 13 12 售价（元/斤） 16 14 （1）求该超市购进“果冻橙”和“沃柑”各多少斤？ （2）由于水果运输过程中会有一定的损坏，“果冻橙”的损坏率为5%，“沃柑”的损坏率为m%，损坏的柑橘不能进行销售，若这批柑橘全部售出的总利润为1828元，求m的值； （3）该超市第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “果冻橙”优惠方案 一次性购买数量 不超过100斤的部分 超过100斤的部分 折扣数 九折 八折 “沃柑”优惠方案 购买总金额 不超过3000元 超过3000元但不超过5000元 超过5000元 返现金金额 0元 直接返现金200元 先返购买总金额的5%，再返现金200元 已知超市购进“果冻橙”共支付了3250元，购进“沃柑”共支付了5500元，运输中仍按照（2）中的损坏率考量，将第二次购进的两种柑橘全部卖完，一共可获得利润多少元？ 【答案】（1）购进“果冻橙”400]斤，“沃柑”600斤； （2）m的值为3； （3）第二次进货总利润为2600元． 【解答】解：（1）由题意，设购进“果冻橙”x斤，“沃柑”y斤， ∴． ∴x＝400，y＝600． 答：该超市购进“果冻橙”400斤，“沃柑”600斤； （2）由题意，∵总进价12400元，总利润1828元， ∴总售价为：12400+1828＝14228元． ∵“果冻橙”销售数量：400×（1﹣5%）＝380斤，则“果冻橙”售价：380×16＝6080元， ∴“沃柑”总售价：14228﹣6080＝8148元； 设“沃柑”可销售数量为n， ∴14n＝8148． ∴n＝582． ∴“沃柑”损坏数量：600﹣582＝18（斤）． ∴损坏率：． （3）由题意，设购进a斤“果冻橙”，支付3250元， ∴100×11.7+（a﹣100）×10.4＝3250． ∴a＝300． 设购进b斤“沃柑”，支付5500元（总金额12b元）， 根据12b＞5000，实际支付：12b﹣（12b×5%+200）＝5500， ∴b＝500． ∵实际销售“果冻橙”：300×（1﹣5%）＝285斤，总售价：285×16＝4560元；实际销售“沃柑”：500×（1﹣3%）＝485斤，总售价：485×14＝6790元， ∴总售价：4560+6790＝11350元． 又∵总进价：3250+5500＝8750元， ∴总利润：11350﹣8750＝2600元． 27．【问题背景】 2025年央视春晚节日《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件；B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、B两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 【解答】解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， ， ∴． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台， ∴80a+60（10﹣a）≤700， ∴a≤5， ∵每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180， ∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为4×5+180＝200万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 十．三元一次方程组的应用（共1小题） 28．问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则2x+y的值为 　2　 ． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【答案】（1）2；（2）答案见解析；（3）购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 【解答】解：（1）， ∴①﹣②得，2x+y＝2． 故答案为：2． （2）， ∴①+②得，3x＝3a+1， ∴x． 把x代入②得， 2y＝2﹣a， ∴y． ∴x+y． ∴无论a取何值，x+y的值始终不变． （3）由题意，设购买甲1件x元，乙1件y元，丙1件z元， 则， ∴①×8+②×4得，20x+20y+20z＝1080+420， ∴2x+2y+2z＝150． 答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 十一．点的坐标（共11小题） 29．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1） 【答案】C 【解答】解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1， ∴点P的横坐标是﹣1，纵坐标是2， ∴点P的坐标为（﹣1，2）． 故选：C． 30．已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（　　） A．若点A在y轴上，则a＝3 B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1 C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6 D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2 【答案】B 【解答】解：A．若点A在y轴上，则a+1＝0，解得a＝﹣1，故本选项错误； B．若点A在一三象限角平分线上，则a+1＝3﹣a，解得a＝1，故本选项正确； C．若点A到x轴的距离是3，则|3﹣a|＝3，解得a＝6或0，故本选项错误； D．若点A在第四象限，则a+1＞0，且3﹣a＜0，解得a＞3，故a的值不可以为﹣2； 故选：B． 31．如果点A（3，m+2）在x轴上，那么点B（m+1，m﹣3）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解答】解：∵A（3，m+2）在x轴上， ∴m+2＝0， 解得m＝﹣2， ∴m+1＝﹣1，m﹣3＝﹣5， ∴B（m+1，m﹣3）所在的象限是第三象限． 故选：C． 32．已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（1，﹣1） D．（3，3）或（1，﹣1） 【答案】D 【解答】解：∵点Q（﹣2+a，2a﹣7）到两坐标轴的距离相等， ∴|﹣2+a|＝|2a﹣7|， ∴﹣2+a＝2a﹣7或﹣2+a＝﹣（2a﹣7）， 解得a＝5或a＝3， 所以，点Q的坐标为（3，3）或（1，﹣1）． 故选：D． 33．点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在y轴的右侧，则P点的坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2）或（3，﹣2） C．（3，2） D．（2，3）或（2，﹣3） 【答案】B 【解答】解：∵点P在y轴右侧，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴点P的横坐标是3，纵坐标是2或﹣2， ∴点P的坐标是（3，2）或（3，﹣2）， 故选：B． 34．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2022秒瓢虫在（　　）处． A．（3，﹣2） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣2） D．（1，1） 【答案】D 【解答】解：∵A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1）， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴C矩形ABCD＝2（AB+AD）＝14， ∵14÷2＝7（秒）， ∴瓢虫爬行一周需要7秒， ∴2022÷7＝288……6， ∴6×2＝12， ∴12﹣3﹣4﹣3＝2， ∴第2022秒瓢虫在（1，1）处． 故选：D． 35．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 　（5，0）　 ． 【答案】（5，0） 【解答】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒． 故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）． 36．在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）到x轴距离是 　3　 ． 【答案】3 【解答】解：在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）到x轴的距离为3． 故答案为：3． 37．已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是 　（0，﹣8）　 ． 【答案】（0，﹣8） 【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在y轴上， ∴m+2＝0， 解得：m＝﹣2， 故2m﹣4＝﹣8， 故点P的坐标为：（0，﹣8）． 故答案为：（0，﹣8）． 38．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是 　（9，12）　 ． 【答案】（9，12） 【解答】解：依题意得A1点坐标为（3，0）， A2点坐标为（3，0+6）即（3，6）， A3点坐标为（3﹣9，6）即（﹣6，6）， A4点坐标为（﹣6，6﹣12）即（﹣6，﹣6）， A5点坐标为（﹣6+15，﹣6）即（9，﹣6）， ∴A6点坐标为（9，12）． 39．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）． （1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为 　（﹣5，﹣7）　 ． （2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解． （3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 【答案】（1）（﹣5，﹣7）． （2）1． （3）或． 【解答】解：（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为（﹣3﹣2，﹣1﹣6），即坐标为（﹣5，﹣7）． 故答案为：（﹣5，﹣7）． （2）∵点B（2，﹣3）， ∴点B的“a阶智慧点”为（2a﹣3，2﹣3a）． 又∵（2a﹣3，2﹣3a）在第三象限， ∴， 解得 ， ∵a取整数， ∴a＝1； （3）∵点C（m+2，1﹣3m）， ∴点C的“﹣5阶智慧点”为（﹣8m﹣9，16m﹣3）． ∵点C的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴|16m﹣3|＝1， ∴16m﹣3＝1 或 16m﹣3＝﹣1． 解得 或 ． 十二．坐标与图形性质（共2小题） 40．点A的坐标为（1，2），直线AB∥y轴，且AB＝4，则点B的坐标为（　　） A．（5，2） B．（1，6）或（1，﹣2） C．（1，6） D．（5，2）或（﹣3，2） 【答案】B 【解答】解：∵直线AB∥y轴， ∴点B的横坐标与点A的横坐标相同，为1． 设点B的坐标为（1，y），则有|y﹣2|＝4，解得y＝±4+2． ∴y＝6或﹣2， ∴点B的坐标为（1，6）或（1，﹣2）． 故选：B． 41．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动 （1）求点B的坐标． （2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． （3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】（1）（4，6）； （2）（4，4）； （3）7.5秒或4.5秒． 【解答】解：（1）∵a、b满足|b﹣6|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣6＝0， 解得a＝4，b＝6， ∴点B的坐标是（4，6）； （2）∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动， ∴点P的路程：2×4＝8， ∵OA＝4，OC＝6， ∴当点P移动4秒时，在线段AB上，AP＝8﹣4＝4， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是（4，4）； （3）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在OC上时， 点P移动的时间是：[2（4+6）﹣5]÷2＝7.5（秒）， 第二种情况，当点P在BA上时． 点P移动的时间是：（5+4）÷2＝4.5（秒）， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒． 十三．点到直线的距离（共1小题） 42．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是 　5　 cm． 【答案】5 【解答】解：∵PB⊥l，PB＝5cm， ∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm， 故答案为：5． 十四．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 43．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【解答】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 十五．平行线的判定（共1小题） 44．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变，绕点A旋转），当∠BAD＝　30°或150°　 时，CD∥AB． 【答案】30°或150°． 【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°； 如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°或30°． 十六．平行线的性质（共11小题） 45．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　） A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补 【答案】D 【解答】解：如图知∠A和∠B的关系是相等或互补． 故选：D． 46．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°， ∵a∥b，∠DCB＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°． 故选：B． 47．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 【答案】D 【解答】解：∵∠AGE＝32°，∠AGD＝180°， ∴∠DGE＝148°， 由折叠可得，∠DGH∠DGE＝74°， ∵AD∥BC， ∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°， 故选：D． 48．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β， ∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C＝β﹣α． （2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β， ∴∠AE2C＝α+β． （3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β， ∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C＝α﹣β． （4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°， ∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β． ∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β． （5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α． 故选：D． 49．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知： 图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， 图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 50．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（　　） A．122° B．120° C．118° D．115° 【答案】A 【解答】解：延长DC交AE于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DFE＝94°， ∵∠DCE是△CEF的一个外角， ∴∠DCE＝∠DFE+∠E＝122°， 故选：A． 51．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　112°　 ． 【答案】112° 【解答】解：∵EF⊥MN， ∴∠MFE＝90°， 如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB， ∵AB∥MN， ∴AB∥DG∥EH∥MN， ∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEH，∠HEF＝∠MFE＝90°， ∵∠DEF＝126°，∠BCD＝104°， ∴∠GDE＝∠DEH＝∠DEF﹣90°＝36°，∠CDG＝180°﹣104°＝76°， ∴∠CDE＝∠CDG+∠GDE＝112°， 故答案为：112°． 52．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为　55°　 ． 【答案】55° 【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠ADE＝∠CDE∠ADC， ∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE， ∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE， ∴∠BAD+∠BCD＝2∠E， ∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°， ∴∠E（∠BAD+∠BCD）（70°+40°）＝55°． 故答案为：55°． 53．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　 度． 【答案】（1）（x+y）；（2）（）n﹣1（x+y）． 【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 54．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　110　 度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为：110． （2）∠APC＝α+β， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴α＝∠APE，β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β； （3）如图所示，当P在BD延长线上时， ∠CPA＝α﹣β； 如图所示，当P在DB延长线上时， ∠CPA＝β﹣α． 55．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45° （1）求a、b的值； （2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0， ∴a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0， ∴a＝3，b＝1； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当0＜t＜60时， 3t＝（20+t）×1， 解得t＝10； ②当60＜t＜120时， 3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°， 解得t＝85； ③当120＜t＜160时， 3t﹣360＝t+20， 解得t＝190＞160，（不合题意） 综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行； （3）设A灯转动时间为t秒， ∵∠CAN＝180°﹣3t， ∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°， 又∵PQ∥MN， ∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t， 而∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°， ∴∠BAC：∠BCD＝3：2， 即2∠BAC＝3∠BCD． 十七．平行线的判定与性质（共1小题） 56．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）证明过程请看解答； （2）100°； （3）40°． 【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠DFB＝∠D， ∴AB∥CD； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABGABE， ∵AB∥HN， ∴∠2＝∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β＝∠3， ∴ABE+∠β＝∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3EDF， ∴ABE+∠βEDF， ∴∠β（∠EDF﹣∠ABE）， ∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β， 设∠DEB＝∠α， ∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α﹣60°＝∠β， ∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°） 解得∠α＝100° ∴∠DEB的度数为100°； （3）∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， ∴∠EBM＝∠MBKEBK， ∠CDN＝∠EDNCDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES＝∠CDE， ∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK， ∠G＝∠PBK， 由（2）可知：∠DEB＝100°， ∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°， ∴∠EBK﹣∠CDE＝80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN＝∠G， ∴∠PBK＝∠G＝∠CDNCDE， ∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK ∠EBKCDE （∠EBK﹣∠CDE） 80° ＝40°． 十八．生活中的平移现象（共1小题） 57．如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（　　） A．56m2 B．66m2 C．72m2 D．96m2 【答案】B 【解答】解：由题意得： （14﹣3）×6 ＝11×6 ＝66（平方米）， ∴绿化区的面积是66平方米， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $