精品解析：吉林省长春市南湖实验中学2022-2023学年九年级下学期第一次推荐生考试数学学科试题

2022-2023学年度九年级下学期第一次推荐生考试 数学学科试题 本试卷包括三道大题，共24道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中，最大的是（ ） A. -1.2 B. C. 1 D. 0 2. 疫情防控工作开始以来，长春市名机关党员干部全部下沉到居住社区对接抗疫．这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个几何体中，三视图均为圆的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是不等式的一个解，则n的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，在相距am的东西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东α度的方向，在炮台B测得敌舰在它的正南方，则敌舰C与炮台B之间的距离为（　　） A. B. asinαm C. D. atanαm 6. 用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（ ） A. 4cm B. 8cm C. （a+4）cm D. （a+8）cm 7. 如图，已知AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OB交⊙O于点C，∠B=38°，点D是⊙O上一点，连接CD，AD．则∠D等于（ ） A. 76° B. 38° C. 30° D. 26° 8. 如图，在平面直角坐标系中，的边轴，点的坐标为，点的坐标为，点B、D的横坐标均为整数，若点B、D都在函数的图象上，则的值可能为（ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 21 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：______．（填“”、“”或“”） 10. 分解因式：2a3﹣8a=________． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 12. 用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm． 13. 如图，在正方形中，，点E为的中点，点F为边一动点，将沿翻折得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 14. 已知抛物线（为常数，且），在轴上存在点，过点垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则的取值范围为______． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． （1）袋子中白球的个数是______． （2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球．请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的小球颜色不同的概率． 17. 供电局的电力维修工人要到30千米的郊区进行电力抢修，维修工人骑摩托车先从供电局出发，15分钟后，抢修车装载着所有的材料出发，沿着与维修工人相同的路线行驶，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度． 18. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图中找到格点，连接，使； （2）在图中的上找一点，连接，使得； （3）在图中的上找一点，连接，使得． 19. 如图，为的直径，D为上一点，过点D作的切线交射线于点C．过点A作，垂足为E，连接． （1）求证：． （2）若，，则的长为______． 20. 2022年初，受“病毒”的影响，某校开展了“居家、学习、战疫情”的号召，小明同学抽样调查了本班20名学生每天用于学习的时间，数据如下（单位：小时） 5.5 5 2 2 1.5 4 7 0.5 2 1.5 3.5 2 4 3 1.5 5.5 6 6.5 4 3.5 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格： 学习时间（小时） 人数 4 a 6 3 分析数据：补全下列表格中的统计量： 平均数 中位数 众数 3.525 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）请写出表中______；______；______． （2）为调动学生的积极性，该班班主任根据学生每天学习的时间制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的学生将获得奖励．如果想让一半左右的学生能获奖，应根据______来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”） （3）如果我校现有学生1500人，估计每天学习时间达到或超过3.5小时的学生人数． 21. 由于连降暴雨，某水库水位不断上涨．暴雨停止后，经勘测发现，水库水位已经超过警戒线水位．防汛指挥部指令，将五个水流量相同的泄洪闸打开紧急泄洪．6小时后水位降到了警戒线以下，关闭三个泄洪闸减少水流量继续泄洪．水库水位y（m）与泄洪时间x（h）的关系如图所示，根据图像解答下列问题． （1）当0≤x≤6时，求y 与 x之间的函数关系式； （2）该水库的警戒线水位为多少？ （3）若水位高度降至125米时关闭所有泄洪闸，此次泄洪共持续多长时间？ 22. 现有长方形纸片，，． 【动手操作】小秋将这张长方形纸片按如图那样折叠，折痕分别为、，可得结论：，．方法提示：过点作于点，可证，可得上述结论（不需要证明）． （1）【操作探究】小秋同学在操作的过程中发现与相等．你认为小秋同学的发现是否正确？如果正确，请给出证明，如果不正确，请说明理由 （2）【结论应用】在【操作探究】的过程中： 延长交矩形边于点，当点恰好落在某一锐角的角平分线上时，则______．（直接写出结果） 23. 如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的方向向终点运动，连接（点不与点、重合），点运动的时间为（秒）． （1）点到的距离为______； （2）点在上运动时，连接，当是以为底的等腰三角形时，求的长； （3）点在运动的过程中，以为斜边向的右侧作等腰直角三角形． ①若边与的边所成的角被的直角边平分时，求与重叠部分图形的面积； ②设的中点为点，当点、点与某一顶点共线时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）的最低点的纵坐标为．线段的两个端点坐标为，． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）过点A、B分别作直线、垂直于x轴．当时，求抛物线夹在直线、之间的部分（含端点）的图象的最高点的纵坐标； （3）将线段绕点B顺时针旋转得到线段，以线段、为邻边构造正方形． ①当抛物线在正方形内部的图象的点的纵坐标y随x的增大而增大时，求m的取值范围； ②当抛物线与正方形，有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年度九年级下学期第一次推荐生考试 数学学科试题 本试卷包括三道大题，共24道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中，最大的是（ ） A. -1.2 B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据比较实数大小的法则：正数大于0，0大于负数，比较即可求解． 【详解】解：∵-1.2<0<1<, ∴最大的是， 故选：B． 【点睛】本题考查比较实数大小，掌握比较实数大小的法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键． 2. 疫情防控工作开始以来，长春市名机关党员干部全部下沉到居住社区对接抗疫．这个数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数． 【详解】解：． 3. 下列四个几何体中，三视图均为圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项，正视图、左视图都是矩形，不符合题意； 选项，正视图、左视图都是三角形，不符合题意； 选项，三视图都是圆，符合题意； 选项，三视图都是正方形，不符合题意． 4. 若是不等式的一个解，则n的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解的定义，将代入原不等式，得到关于的不等式，求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴将代入不等式，不等式成立，可得， 解得． ∵选项中只有满足， ∴的值可以是． 5. 如图，在相距am的东西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东α度的方向，在炮台B测得敌舰在它的正南方，则敌舰C与炮台B之间的距离为（　　） A. B. asinαm C. D. atanαm 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得出∠ACB＝∠DAC＝α，AB＝am，然后在中通过进一步分析求解即可. 【详解】∵∠DAC+∠CAB=90°，∠ACB+∠CAB=90°， ∴∠ACB＝∠DAC＝α， 在中， ∵， ∴， ∴BC＝， 即敌舰C与炮台B之间的距离为m， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键. 6. 用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（ ） A. 4cm B. 8cm C. （a+4）cm D. （a+8）cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案． 【详解】∵原正方形的周长为acm， ∴原正方形的边长为cm， ∵将它按图的方式向外等距扩1cm， ∴新正方形的边长为（+2）cm， 则新正方形的周长为4（+2）=a+8（cm）， 因此需要增加的长度为a+8﹣a=8cm， 故选：B． 【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及规范书写代数式． 7. 如图，已知AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OB交⊙O于点C，∠B=38°，点D是⊙O上一点，连接CD，AD．则∠D等于（ ） A. 76° B. 38° C. 30° D. 26° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：先根据切线的性质得到∠OAB=90°，再利用互余计算出∠AOB=52°，然后根据圆周角定理求解． 解：∵AB是⊙O的切线， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB=90°， ∵∠B=38°， ∴∠AOB=90°﹣38°=52°， ∴∠D=∠AOB=26°． 故选D． 考点：切线的性质． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的边轴，点的坐标为，点的坐标为，点B、D的横坐标均为整数，若点B、D都在函数的图象上，则的值可能为（ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．设点的坐标为，得到点的坐标为，据此求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，k为整数，则， 点的坐标为， ， ， 为整数， 为4的倍数， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题可运用平方法比较正实数的大小，两个正实数比较，平方结果更大的原数更大． 【详解】解：，， 且，， 又， ． 10. 分解因式：2a3﹣8a=________． 【答案】2a（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式的性质，可得根的判别式的值为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． 12. 用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm． 【答案】32 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和即可求出AM的最小值． 【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN； ∴△APM∽△BPN； ∴＝， ∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1， ∴＝，即AM＝4BN； ∴当BN8cm时，AM32cm； 故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压32cm． 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 13. 如图，在正方形中，，点E为的中点，点F为边一动点，将沿翻折得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得，由可得当点在线段上时，线段的长度最小，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形，  ，  点为的中点  由折叠的性质可知： ∵， 则 ∴当点在线段上时，线段的长度最小 在中，由勾股定理得：  线段的长度的最小值为． 14. 已知抛物线（为常数，且），在轴上存在点，过点垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先联立直线与抛物线方程得到一元二次方程，利用的长度得到关于的表达式，再根据的取值范围结合二次函数的性质求出的取值范围． 【详解】解：由题意得，过点垂直于轴的直线为， 将代入抛物线得：， 整理得：， 设，，由得， 由根与系数的关系得，， 因为， ∴， ， ， 整理得， 由，根据二次函数的性质，的最小值为（当时取得），最大值为（当时取得），即， ∴，即． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． （1）袋子中白球的个数是______． （2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球．请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的小球颜色不同的概率． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）首先得到从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，然后求出球的总个数，进而求解即可； （2）画树状图列举出所有可能的情况和两次摸到的小球颜色不同情况，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 ∴从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 ∵红球有1个， ∴球的总个数为 ∴袋子中白球的个数是（个）； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中两次摸到的小球颜色不同的结果有4种， ∴两次摸到的小球颜色不同的概率为． 17. 供电局的电力维修工人要到30千米的郊区进行电力抢修，维修工人骑摩托车先从供电局出发，15分钟后，抢修车装载着所有的材料出发，沿着与维修工人相同的路线行驶，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度． 【答案】摩托车的速度是40千米/小时 【解析】 【分析】根据题意设摩托车的速度为x千米/小时，然后列出方程进行解答即可． 【详解】设摩托车的速度为x千米/小时 根据题意得： 经检验是方程的解 答：摩托车的速度是40千米/小时 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用问题，解题关键是根据题目的等量关系式（基本等量关系：速度=路程÷时间）列出方程求解． 18. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图中找到格点，连接，使； （2）在图中的上找一点，连接，使得； （3）在图中的上找一点，连接，使得． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】（）以为直角边，构造等腰直角三角形，则点即为所求； （）连接，以为直角边，构造等腰直角三角形，然后连接，，交于点，则点即为所求； （）连接，以为直角边，构造等腰直角三角形，然后连接，，交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，以为直角边，构造等腰直角三角形，则点即为所求， 理由：由网格可知，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接，以为直角边，构造等腰直角三角形，然后连接，，交于点，则点即为所求， 理由：由网格可知，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴点即为所求； 【小问3详解】 解：如图，连接，以为直角边，构造等腰直角三角形，然后连接，，交于点，则点即为所求， 理由：由网格可知，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴点即为所求． 19. 如图，为的直径，D为上一点，过点D作的切线交射线于点C．过点A作，垂足为E，连接． （1）求证：． （2）若，，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2）48 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质以及垂直的定义得出直角，证明，得出，然后利用三角形外角的性质以及等量代换即可得出结论； （2）利用锐角三角函数进行求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 解得， 设的半径为， ∴， 解得， ∵为的直径， ∴． 20. 2022年初，受“病毒”的影响，某校开展了“居家、学习、战疫情”的号召，小明同学抽样调查了本班20名学生每天用于学习的时间，数据如下（单位：小时） 5.5 5 2 2 1.5 4 7 0.5 2 1.5 3.5 2 4 3 1.5 5.5 6 6.5 4 3.5 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格： 学习时间（小时） 人数 4 a 6 3 分析数据：补全下列表格中的统计量： 平均数 中位数 众数 3.525 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）请写出表中______；______；______． （2）为调动学生的积极性，该班班主任根据学生每天学习的时间制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的学生将获得奖励．如果想让一半左右的学生能获奖，应根据______来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”） （3）如果我校现有学生1500人，估计每天学习时间达到或超过3.5小时的学生人数． 【答案】（1），， （2）中位数 （3）825人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义，结合20个数据求解即可； （2）根据中位数的意义即可求解； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：由本班20名学生每天用于学习的时间可得，， 将数据从小到大排列为： 0.5，1.5，1.5，1.5，2 ，2，2 ，2，3，3.5，3.5，4，4，4，5，5.5，5.5，6，6.5，7 ∴中位数；众数； 【小问2详解】 解：如果想让一半左右的学生能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适； 【小问3详解】 解：（人） 答：每天学习时间达到或超过3.5小时的学生有人． 21. 由于连降暴雨，某水库水位不断上涨．暴雨停止后，经勘测发现，水库水位已经超过警戒线水位．防汛指挥部指令，将五个水流量相同的泄洪闸打开紧急泄洪．6小时后水位降到了警戒线以下，关闭三个泄洪闸减少水流量继续泄洪．水库水位y（m）与泄洪时间x（h）的关系如图所示，根据图像解答下列问题． （1）当0≤x≤6时，求y 与 x之间的函数关系式； （2）该水库的警戒线水位为多少？ （3）若水位高度降至125米时关闭所有泄洪闸，此次泄洪共持续多长时间？ 【答案】（1） （2）该水库的警戒线水位为127.5m （3）此次泄洪共持续了16h 【解析】 【分析】（1）当时，设y 与 x之间的函数关系式为，根据题意，得，求出的值，进而可得关系式； （2）将代入解析式求解即可； （3）由题意得，5个泄洪闸全开时的水位下降速度为：，关闭3个泄洪站后的水位下降速度为：， 根据计算总时间即可． 【小问1详解】 解：当时，设y 与 x之间的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， ∴当时，设y 与 x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意得，当时， ∴该水库的警戒线水位为127.5m． 【小问3详解】 解：由题意得，5个泄洪闸全开时的水位下降速度为：， ∴关闭3个泄洪站后的水位下降速度为：， ， ∴此次泄洪共持续了16h． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，函数图像．解题的关键在于求出函数解析式． 22. 现有长方形纸片，，． 【动手操作】小秋将这张长方形纸片按如图那样折叠，折痕分别为、，可得结论：，．方法提示：过点作于点，可证，可得上述结论（不需要证明）． （1）【操作探究】小秋同学在操作的过程中发现与相等．你认为小秋同学的发现是否正确？如果正确，请给出证明，如果不正确，请说明理由 （2）【结论应用】在【操作探究】的过程中： 延长交矩形边于点，当点恰好落在某一锐角的角平分线上时，则______．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于点，证明得出，证明，得出，再证明，； （2）分两种情况得出当平分时，当平分时，分情况画出图形，分别求得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下， 如图所示，连接，过点作于点， ∵四边形是长方形 ∴， ∴ ∵，， ∴ ∵折叠 ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，当平分时， 依题意，，平分 ∴， 在中， ∴ ∴， ∵折叠 ∴ ∴； 如图，当平分时， 同理可得， 设，， ∴，， 由（1）可得 ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 在中， ∴ 解得：，即 综上所述，当点恰好落在某一锐角的角平分线上时，或 23. 如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的方向向终点运动，连接（点不与点、重合），点运动的时间为（秒）． （1）点到的距离为______； （2）点在上运动时，连接，当是以为底的等腰三角形时，求的长； （3）点在运动的过程中，以为斜边向的右侧作等腰直角三角形． ①若边与的边所成的角被的直角边平分时，求与重叠部分图形的面积； ②设的中点为点，当点、点与某一顶点共线时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）①或；②或或 【解析】 【分析】（1）作于点，根据正弦函数的定义求解即可； （2）作于点，作于点，根据题意可知，，由等腰三角形的性质可得，利用三角函数可计算出，则．容易证明四边形是矩形，则； （3）①由等腰直角三角形的性质可得，因此当边或平分与的边所成的角时，该角为，即与的边互相垂直．分类讨论，当时，设与的交点为，作于点，容易判断点与点重合，此时重叠部分为．利用三角函数可得，，从而计算出，进一步计算出的面积；当时，设与的交点为，作于点，此时重叠部分为，同样的方法可计算出，再算出的面积即可； ②分类讨论，当直线过点时，连接， 过点作的垂线，交的延长线于点，由等腰三角形的性质可得，垂直平分，则．由（1）可知，，使用勾股定理计算出，，则，点的运动路程为，除以运动速度得出的值；当直线过点时，同理，同样方法计算出的值；当直线过点时，同理，则，同样方法计算出的值即可． 【小问1详解】 解：如图，作于点H， 在中，， ∴点到的距离为； 【小问2详解】 解：如图，作于点，作于点， 由题意可知，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 【小问3详解】 解：①∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴当边或平分与的边所成的角时，该角为，即与的边互相垂直， （Ⅰ）当时，如图，此时与也垂直，设与的交点为，作于点， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴点与点重合， ∴此时重叠部分为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴； （Ⅱ）当时，如图，此时与也垂直，设与的交点为，作于点，此时重叠部分为， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，重叠部分图形的面积为或； ②（Ⅰ）当直线过点时，如图，连接， 过点作的垂线，交的延长线于点， ∵， 又∵点为中点， ∴垂直平分， ∴， 由（1）可知，， 在中，， 在中，， ∴， ∴点运动的时间； （Ⅱ）当直线过点时，如图，连接， 由①可知，， 同理（Ⅰ）可得，， ∴点运动的时间； （Ⅲ）当直线过点时，如图， 同理可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点运动的时间； 综上所述，的值为或或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）的最低点的纵坐标为．线段的两个端点坐标为，． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）过点A、B分别作直线、垂直于x轴．当时，求抛物线夹在直线、之间的部分（含端点）的图象的最高点的纵坐标； （3）将线段绕点B顺时针旋转得到线段，以线段、为邻边构造正方形． ①当抛物线在正方形内部的图象的点的纵坐标y随x的增大而增大时，求m的取值范围； ②当抛物线与正方形，有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）先将解析式化为顶点式，再根据抛物线的最低点的纵坐标为得到，即可得到答案； （2）根据题意得到，故抛物线夹在直线、之间的部分，即可求出最高点的纵坐标； （3）①根据和时分别进行讨论即可； ②分当两个交点分别在左右竖直边上时，两个交点分别在水平边与竖直边上时，两个交点分别在上下水平边上时三种情况进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：， 抛物线的最低点的纵坐标为， ， 解得，代入抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 过点A、B分别作直线、垂直于x轴， ， 当时，， 当时，， 因此，最高点的纵坐标为； 【小问3详解】 解：①抛物线的对称轴为，开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， ，， ， 要使抛物线在正方形内部的图象的点的纵坐标y随x的增大而增大， 抛物线对称轴右侧的部分需要经过正方形内部， 令，得， 当时，如图，正方形与抛物线没有公共部分不符合题意， 当时，如图，由题意知，此时， 当在抛物线上时，得（负值舍去）， 当在抛物线与轴的交点重合时，得， ∴当时，在正方形内部的图象的点的纵坐标y随x的增大而增大， 综合可得，； ②当两个交点分别在左右竖直边上时， 或， 解得的解都不符合题意，舍去， 当两个交点分别在水平边与竖直边上时， 或，或或，或，或或， 解得的解符合题意的有和，其余不符合题意的舍去， 两个交点分别在上下水平边时， 或， ∴解得的解都不符合题意，舍去， 综上，m的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $