精品解析： 吉林省长春市新区吉大彗谷学校2021-2022 学年九年级下学期数学第一次线上测试题

2021－2022学年度下学期九年级第一次线上测试数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 在，-3，0，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. -3 C. 0 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据比较有理数大小的方法，可得答案． 【详解】解：－3＜﹣＜0＜5.故最小的数是－3． 故选B． 【点睛】本题考查了有理数比较大小，掌握正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键． 2. 近年来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.00000011米，其中数据0.00000011用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000011=， 故选B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项是中心对称图形而不是轴对称图形； B选项是轴对称图形而不是中心对称图形； C选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形； D选项既是轴对称图形也是中心对称图形． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义，整数指数没的运算，积的乘方运算，再逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴选项B不符合题意； ∵， ∴选项C符合题意； ∵， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 5. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故． 故选A 【点睛】考核知识点：由正弦求边.理解正弦定义是关键. 6. 如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵EC=EA．∠CAE=30°，∴∠C=30°，∴∠AED=30°+30°=60°．∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AED=60°．故选D． 点睛：本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键． 7. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质可计算出的度数． 【详解】解：由作法得，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理． 8. 如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在边上，且，以为边向下作矩形，使得点在边上，反比例函数的图象经过边与交于点．若，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，证明，可得，证明∽，可求的长，即可求点坐标，代入解析式可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴点， ∴． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，的公因式是，提出公因式后括号里剩下，所以分解因式的结果为． 【详解】解：， 故答案为： ． 10. 净月潭景区门票价格为每人每次30元，小致办理了年卡，年卡费用是每人240元，一年内进入景区次数不限，小致一年内共去了净月潭景区n次（），则小致这一年在该景区门票费用上节约了________元． 【答案】 【解析】 【分析】先求出小致一年内单次去的总费用，再减去年卡费用即可． 【详解】解：∵单次去总费用 ∴节约费用 故答案为： 【点睛】本题主要考查了列代数式，仔细审题从中获取相关信息是解题的关键． 11. 如图，已知＝，＝，添加一个条件_____，使△． 【答案】∠＝（答案不唯一） 【解析】 【分析】添加条件＝，根据证明△即可． 【详解】解：在和中， ， （）． 故答案为：＝（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 13. 如图，点、、均在上，若，，则阴影部分的面积为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理和扇形面积公式可以算出面积． 【详解】解：， ， 阴影部分的面积， 故答案为：； 【点睛】本题考查了圆周角定理与扇形的面积公式的应用，解题关键是掌握圆周角定理与扇形面积公式．圆周角定理：一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半．扇形面积公式： （为扇形的圆心角）． 14. 已知函数y＝﹣x2+2x+6，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是6≤y≤7，则实数m的取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，求出顶点坐标，将x＝0代入解析式求出抛物线与y轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，7）， 把x＝0代入y＝﹣x2+2x+6得y＝6， ∴抛物线经过（0，6）， （0，6）关于对称轴的对称点为（2，6）， ∴1＜m≤2时满足题意， 故答案为：1＜m≤2． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系 三、解答题（共58分） 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 16. 为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区物业部门准备在已经接种疫苗的居民中招募2名志愿宣传者，现有2名男性2名女性共4名居民报名． （1）从4人中抽取1人为男性的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，求要从这4人中随机挑选2人，恰好抽到一名男性和一名女性的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）找出从4人中抽取1人的等可能情况，再找出其中抽取1人为男性的情况，利用概率公式计算即可； （2）列表或画树状图，列出所有等可能的结果，从中找出满足条件的等可能结果，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵从4人中抽取1人的等可能情况有4种，其中抽取1人为男性的情况有2种， ∴从4人中抽取1人为男性的概率是, 故答案为； 【小问2详解】 解：由题可列下表： 由表可知，共有12种等可能的结果，而两个人选中一名男性和一名女性的结果有8种， ∴． 【点睛】本题考查列举法求概率和列表或画树状图求概率，掌握列举法求概率的方法和列表或画树状图求概率方法与步骤，关键是从中找出满足条件的等可能结果，熟悉概率公式． 17. 抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少万个口罩? 【答案】口罩厂现在每天生产10万个口罩 【解析】 【分析】设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产(x + 4)万个口罩，根据工作时间=工作总量工作效率，结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解方程，即可得出答案． 【详解】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩， 依题意，得：， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意， 则x+4＝10， 答：口罩厂现在每天生产10万个口罩 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18. 在6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段AB，其中点A在直线MN上．请用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在直线MN上找到一点C，作△ABC，使得∠ACB＝45°； （2）在图②中，在直线MN上找到一点D，作△ABD，使得∠ABD＝45°； （3）在图③中，在直线MN上找到一点E，作△ABE，使得∠EAB＝∠EBA． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质作于，在的右侧找点使，连接即可，如图①； （2）根据等腰直角三角形的性质作，且，连接与的交点即为，如图②； （3）由题意知，是等腰三角形，则在的垂直平分线上，找、两点，使与相互垂直且平分，延长与的交点即为，如图③． 【小问1详解】 解：作于，由图可知，，在的右侧找点使，连接即可，此时△ABC，满足，如图①； 【小问2详解】 解：作，且，连接与的交点即为，此时△ABD，满足，如图②； 【小问3详解】 解：找、两点，使与相互垂直且平分，延长与的交点即为，此时△ABE，满足，如图③； 【点睛】本题考查了根据等腰三角形，垂直平分线的性质在网格中作图．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形，垂直平分线的性质． 19. 某校为了进一步宣传垃圾分类相关知识，举办了全体1200名学生参加的垃圾分类知识竞赛，并随机抽取了参加竞赛的40名选手的成绩（满分100分，得分为正整数且无满分，最低75分），将抽出的成绩分成五组，绘制了不完整的统计图表． 分数段 频数 频率 74.5～79.5 2 0.05 79.5～84.5 m 0.2 84.5～89.5 12 0.3 89.5～94.5 14 n 94.5～99.5 4 0.1 （1）表中m＝_____，n＝_____； （2）请在图中补全频数分布直方图； （3）小明同学的成绩被抽取到了，且他的成绩是40位参赛选手成绩的中位数，则他的成绩落在的分数段为_____； （4）请你估计全校成绩为优秀（90分及以上）的学生人数． 【答案】（1）8，0.35 （2）见解析 （3） （4）540人 【解析】 【分析】（1）根据频率=频数÷总数求解可得； （2）根据（1）的数据即可补全图形； （3）根据中位数的概念求解可得； （4）用总人数乘以样本中第4、5组的频率和即可． 【小问1详解】 解：m=40×0.2=8，n=14÷40=0.35， 故答案为：8，0.35； 【小问2详解】 解：补全图形如下： ， 【小问3详解】 解：由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在84.5～89.5， ∴测他的成绩落在分数段84.5～89.5内， 故答案为：84.5～89.5． 【小问4详解】 解：估计全校成绩为优秀（90分及以上）的学生人数为1200×（0.35+0.1）=540（人）． 【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点的圆分别交于点，连接．求证：是圆的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，由平分，可得，由，可得，则，，进而可得，进而结论得证． 【详解】证明：如图1，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵是半径， ∴是圆O的切线． 21. 某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____． （2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值． 【答案】（1）3，；（2），；（3）5或40． 【解析】 【分析】（1）根据加油量为即可得；根据时剩余油量为即可得； （2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得； （3）先求出机器加油过程中的关于的函数解析式，再求出时，两个函数对应的x的值即可． 【详解】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为 机器工作的过程中每分钟耗油量为 故答案为：3，； （2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作 则自变量的取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点 设机器工作时关于的函数解析式 将点代入得： 解得 则机器工作时关于的函数解析式； （3）设机器加油过程中的关于的函数解析式 将点代入得： 解得 则机器加油过程中的关于的函数解析式 油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况： ①在机器加油过程中 当时，，解得 ②在机器工作过程中 当时，，解得 综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40． 【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键． 22. 综合与实践 问题情境：如图（1），在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外的一点，且BD＝BC，∠DBC＝30°，连接AD． （1）若BC＝4，则D到BC边的距离为______． （2）小明在图（1）的基础上，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABE，得到图（2），连接CE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论． （3）在图（2）中，试猜想AE与AD的数量和位置关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）2 （2）△BCE为等边三角形；证明见解析 （3）AE＝AD，AE⊥AD；证明见解析 【解析】 【分析】（1）过点D作DF⊥BC于F，由含30度角直角三角形的性质求得DF＝BD＝BC； （2）△BCE为等边三角形．根据对称图形的性质得到BE＝BC． （3）由△ABD≌△ABE得AE＝AD，再证明，从而可得AE⊥AD，故可得结论． 【小问1详解】 如图（1），过点D作DF⊥BC于F， ∵BD＝BC＝4，∠DBC＝30°， ∴DF＝BD ∴DF＝BC=． 故答案是：2； 【小问2详解】 △BCE为等边三角形． 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°． ∵∠DBC＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°． ∵以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABE， ∴△ABD≌△ABE， ∴∠ABE＝∠ABD＝15°，BE＝BD， ∴∠EBC＝15°＋15°＋30°＝60°． ∵BD＝BC， ∴BE＝BC， ∴△BCE为等边三角形． 【小问3详解】 AE＝AD，AE⊥AD． 证明：∵△ABD≌△ABE， ∴AE＝AD． ∵△EBC是等边三角形， ∴∠BEC＝60°，BE＝CE． ∵AB＝AC， ∴△ABE≌△ACE， ∴， ∴∠EAB＝180°－∠AEB－∠EBA＝135°． ∵∠EAB＝∠DAB， ∴∠EAD＝360°－135°－135°＝90°， ∴AE⊥AD，AE＝AD． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 23. 如图，在中，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿边向点运动，到点停止．当点与点、不重合时，过点作，交边或者边于点，点关于点的对称点为点，以、为边作矩形．设点的运动时间为，． （1）用含的代数式表示； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当点与点不重合时，连接．直接写出线段将矩形分成的两部分恰好能拼成无重叠且无缝隙的一个三角形时t的值． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点M在边上时，当点M在上时，即可求解； （2）结合矩形的性质得到关于t的方程，即可求解； （3）分三种情况，结合矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 过点C作于点D， 在中，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点M在边上时，此时， 在中，， ∴； 当点M在上时，此时， 根据题意得：为等腰直角三角形， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 解：如图， 根据题意得：，， 由（1）得：，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：如图，当过的中点F，且点M在边上时，延长于点E，则， 根据题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴线段将矩形分成的两部分恰好能拼成无重叠且无缝隙的一个三角形，符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，解得：（负值舍去）； 如图，当点Q与点B重合时，点M在边上，此时矩形的对角线在上， ∵， ∴， 此时线段将矩形分成的两部分恰好能拼成无重叠且无缝隙的一个三角形，符合题意， 此时，即； 如图，当过的中点H，且点M在边上时， 延长交于点G， 同理， 此时线段将矩形分成的两部分恰好能拼成无重叠且无缝隙的一个三角形，符合题意， 根据题意得：，，， ∴， ∴，即， 解得：； 综上所述，t的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021－2022学年度下学期九年级第一次线上测试数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 在，-3，0，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. -3 C. 0 D. 5 2. 近年来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.00000011米，其中数据0.00000011用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 7. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（　　）． A. B. C. D. 8. 如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在边上，且，以为边向下作矩形，使得点在边上，反比例函数的图象经过边与交于点．若，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 6 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 10. 净月潭景区门票价格为每人每次30元，小致办理了年卡，年卡费用是每人240元，一年内进入景区次数不限，小致一年内共去了净月潭景区n次（），则小致这一年在该景区门票费用上节约了________元． 11. 如图，已知＝，＝，添加一个条件_____，使△． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 13. 如图，点、、均在上，若，，则阴影部分的面积为 __． 14. 已知函数y＝﹣x2+2x+6，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是6≤y≤7，则实数m的取值范围是 __． 三、解答题（共58分） 15. 计算：． 16. 为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区物业部门准备在已经接种疫苗的居民中招募2名志愿宣传者，现有2名男性2名女性共4名居民报名． （1）从4人中抽取1人为男性的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，求要从这4人中随机挑选2人，恰好抽到一名男性和一名女性的概率． 17. 抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少万个口罩? 18. 在6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段AB，其中点A在直线MN上．请用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在直线MN上找到一点C，作△ABC，使得∠ACB＝45°； （2）在图②中，在直线MN上找到一点D，作△ABD，使得∠ABD＝45°； （3）在图③中，在直线MN上找到一点E，作△ABE，使得∠EAB＝∠EBA． 19. 某校为了进一步宣传垃圾分类相关知识，举办了全体1200名学生参加的垃圾分类知识竞赛，并随机抽取了参加竞赛的40名选手的成绩（满分100分，得分为正整数且无满分，最低75分），将抽出的成绩分成五组，绘制了不完整的统计图表． 分数段 频数 频率 74.5～79.5 2 0.05 79.5～84.5 m 0.2 84.5～89.5 12 0.3 89.5～94.5 14 n 94.5～99.5 4 0.1 （1）表中m＝_____，n＝_____； （2）请在图中补全频数分布直方图； （3）小明同学的成绩被抽取到了，且他的成绩是40位参赛选手成绩的中位数，则他的成绩落在的分数段为_____； （4）请你估计全校成绩为优秀（90分及以上）的学生人数． 20. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点的圆分别交于点，连接．求证：是圆的切线． 21. 某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____． （2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值． 22. 综合与实践 问题情境：如图（1），在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外的一点，且BD＝BC，∠DBC＝30°，连接AD． （1）若BC＝4，则D到BC边的距离为______． （2）小明在图（1）的基础上，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABE，得到图（2），连接CE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论． （3）在图（2）中，试猜想AE与AD的数量和位置关系，并证明你的猜想． 23. 如图，在中，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿边向点运动，到点停止．当点与点、不重合时，过点作，交边或者边于点，点关于点的对称点为点，以、为边作矩形．设点的运动时间为，． （1）用含的代数式表示； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当点与点不重合时，连接．直接写出线段将矩形分成的两部分恰好能拼成无重叠且无缝隙的一个三角形时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $