精品解析：吉林省长春市十一高中北湖学校九年级2021-2022学年 下学期3月阶段学习成果验收数学学科试题

长春市十一高中北湖学校九年级2021-2022学年度下学期 阶段学习成果验收 数学学科 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 在数轴上，下列四个数的对应点中，离原点最近的是（ ）． A. B. 1.3 C. D. 0.6 2. 据科学家估计，地球的年龄大约是4 550 000 000年，将4 550 000 000用科学记数法表示为（ ） A. 455×107 B. 0.455×1010 C. 45.5×108 D. 4.55×109 3. 右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，沿方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点取，米，，使、、在一条直线上，那么开挖点与的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 8. 如图，在平面直角坐标系，等腰直角的顶点A、B均在函数的图象上，点C在y轴正半轴上，，若点A的横坐标为，点B的纵坐标为1，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 9. 分解因式：3a2﹣12=___． 10. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 __________________． 11. 如图，直线，将一个有角的三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的大小为_________度． 12. 如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处，若，，则折痕的长为______． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，若，，则______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，点B（0，2）是抛物线与y轴的交点，直线BC平行于x轴，交抛物线于点C，D为x轴上任意一点，若S△ABC＝3，S△BCD＝2，则点A的坐标为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的格线上确定一点，使与的长度之和最小； （2）在图②中的格线上确定两点、，使且的值最小． 18. 某学校需要购进甲、乙两种电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．求每台甲种电脑价格． 19. 如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证DE是⊙O的切线； （2）若BF＝1，BD=，则菱形ABCD的面积为 ． 20. 某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”（满分为100分）．竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两班40名学生数学成绩的频数分布统计表如下： 成绩 班级 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 （说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）b．甲班成绩在70≤x＜80这一组的是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78 c．甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下： 班级 平均分 中位数 众数 甲 74.2 n 85 乙 73.5 76 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中n的值． （2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属班级排在前20名，由表中数据可知该学生是 班的学生（填“甲”或“乙”），理由是 ． （3）假设学校1200名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数 21. 根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的倍，其中游泳池内剩余的水量与换水时间上之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）该游泳池清洗需要　　　　小时． （2）求排水过程中的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）若该游泳馆在换水结束分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午进入该游泳馆游泳，并说明理由． 22. 探究：如图①点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连结AE、AF、EF，将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形．若BE＝2，DF＝3，求AB的长； 拓展：如图②点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，且∠B＝∠D＝90°．连结AE、AF、EF将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形．若∠EAF＝30°，AB＝4，则△ECF的周长是　 　． 23. 在中，，，，点D是边的中点．点P从点B出发，沿折线以每秒7个单位长度的速度向终点A运动，同时点E从点B出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动．当点P不与点B、A重合时，作点P关于点D的对称点Q，连接、和．设点P的运动时间为t秒． （1）用含有t的代数式表示线段的长；（直接写出即可） （2）当时，求t的值； （3）当线段的长最小时，求t的值，并求的面积； （4）作点P关于直线的对称点F，连接、、当直线平分的面积时，直接写出t的值． 24. 在平面直角坐标系中，点，点（为常数，且），将点绕线段中点顺时针旋转得到点.经过A、B、三点的抛物线记为. （1）当时，求抛物线所对应的函数表达式. （2）用含的式子分别表示点的坐标和抛物线所对应的函数表达式．（直接写出即可） （3）当抛物线在直线和之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出的取值范围． （4）连结，点在线段上，过点作轴的平行线与抛物线交于、两点，连结、．当点将线段分成1：3两部分，且的面积为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中北湖学校九年级2021-2022学年度下学期 阶段学习成果验收 数学学科 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 在数轴上，下列四个数的对应点中，离原点最近的是（ ）． A. B. 1.3 C. D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】求出这四个数的绝对值，通过比较绝对值的大小得出答案． 【详解】解：∵|， ∴离原点最近的是， 故选C． 【点睛】本题考查数轴，理解绝对值的意义以及数轴表示数的方法是解决问题的前提． 2. 据科学家估计，地球的年龄大约是4 550 000 000年，将4 550 000 000用科学记数法表示为（ ） A. 455×107 B. 0.455×1010 C. 45.5×108 D. 4.55×109 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将4 550 000 000用科学记数法表示为4.55×109， 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从上面看，上面一排有两个正方形，下面一排只有一个正方形，故选B． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将不等式移项、合并同类项、系数化为1求得其解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案． 【详解】解：解不等式：， 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：， 数轴上表示如图所示， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及再数轴上表示不等式解集的能力，掌握“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则是解题的关键． 5. 如图，沿方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点取，米，，使、、在一条直线上，那么开挖点与的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出 ∠DBE=35° ，然后判断出 ΔBDE 是直角三角形，再根据余弦定理列出算式，求出点 E 离点 D 的距离即可． 【详解】∵∠ABD=145°， ∴∠EBD=35°， ∵∠D=55°， ∴∠E=90°， 在Rt△BED中，BD=1000米，∠D=55°， ∴ED=1000cos55°米， 故选:D 【点睛】本题考查了解直角三角形，用到的知识点是邻补角的定义和余弦定理，判断出 ΔBDE 是直角三角形是解题的关键． 6. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两， 由题意得，． 故选C． 【点睛】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 7. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小. 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握． 8. 如图，在平面直角坐标系，等腰直角的顶点A、B均在函数的图象上，点C在y轴正半轴上，，若点A的横坐标为，点B的纵坐标为1，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过点A、B作分别垂直于轴交于点，证明，根据全等三角形对应边相等得到，设，根据解题即可． 【详解】过点A、B作分别垂直于轴交于点， 设 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 9. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 10. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系可得，判别式，求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根 则判别式，解得 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次程根的情况与判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次程根的情况与判别式的关系． 11. 如图，直线，将一个有角的三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的大小为_________度． 【答案】107 【解析】 【详解】根据平行线的性质得到，由角的和差关系得到的大小即可． 【解答】解：∵， ∴， 根据题意有：， ∴． 故答案为：107． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处，若，，则折痕的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换（折叠问题）、平行线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形．根据折叠的性质可得，结合平角的定义求出的度数，进而求出的度数；利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，从而证明是等边三角形，得出；最后在中利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处， ， ，点在同一直线上， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等边三角形， ， 在中，，，， ， ． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图得，，由三线合一得．用勾股定理求出，用面积法求出，再用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图知，，， ． ，，， ， ， ， ， ， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，点B（0，2）是抛物线与y轴的交点，直线BC平行于x轴，交抛物线于点C，D为x轴上任意一点，若S△ABC＝3，S△BCD＝2，则点A的坐标为_____． 【答案】（1，﹣1） 【解析】 【分析】根据△BCD的面积求得BC，即可求得对称轴，根据△ABC的面积即可求得A的纵坐标，从而求得A的坐标． 【详解】∵点B（0，2）是抛物线与y轴的交点，直线BC平行于x轴，交抛物线于点C， ∴B、C关于对称轴对称， ∵S△BCD＝BC•OB＝2，B（2，0）， ∴BC＝2， ∴C（2，2）， ∴对称轴为直线x＝＝1， ∵S△ABC＝BC（2﹣yA）＝3， ∴y＝﹣1， ∴A（1，﹣1）， 故答案为（1，﹣1）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得三角形的高是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先计算完全平方公式和平方差公式，再合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 16. 在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的格线上确定一点，使与的长度之和最小； （2）在图②中的格线上确定两点、，使且的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意作对称点，转换成两点间线段最短的问题即可作图， （2）作法同上一问，先作出对称点，再作平行线即可完成图形． 【小问1详解】 如图所示． 【小问2详解】 如图所示． 18. 某学校需要购进甲、乙两种电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．求每台甲种电脑价格． 【答案】0.3万元 【解析】 【分析】设甲种电脑价格为x万元，则乙为x+0.2万元，再根据“12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同”，列出方程，求解即可． 【详解】解：设每台甲种电脑的价格为x万元， 由题意，得， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 答：每台甲种电脑的价格为0.3万元． 【点睛】本题主要考查了分式方程解决实际问题知识，找到等量关系列方程是解决问题的关键． 19. 如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证DE是⊙O的切线； （2）若BF＝1，BD=，则菱形ABCD的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，可证△DAF≌△DCE，可得∠DFA=∠DEC，证出∠ADE=∠DEC=90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线． （2）在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD2-（AD-BF）2=DB2-BF2，解方程可求出AD的长即可． 【详解】（1）证明：连接DF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C， ∵BF＝BE， ∴AB−BF＝BC−BE，即AF＝CE， 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠DFA＝∠DEC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DEC＝90° ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DFB＝90°， 在Rt△BDF中，BF＝1，BD=， ∴DF2＝BD2−BF2＝5﹣1＝4， ∴DF＝2， 在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2， ∴AB2＝22+（AB﹣1）2， 解得AB=， ∴S菱形ABCD＝AB•DF=＝5． 故答案为5． 【点睛】此题考查圆的综合，三角形全等的性质和判定，直径所对圆周角性质，菱形的性质，圆的切线的判定，勾股定理，拓展一元一次方程等知识，解题关键是根据勾股定理列方程解决问题． 20. 某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”（满分为100分）．竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两班40名学生数学成绩的频数分布统计表如下： 成绩 班级 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 （说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）b．甲班成绩在70≤x＜80这一组的是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78 c．甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下： 班级 平均分 中位数 众数 甲 74.2 n 85 乙 73.5 76 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中n的值． （2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属班级排在前20名，由表中数据可知该学生是 班的学生（填“甲”或“乙”），理由是 ． （3）假设学校1200名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数 【答案】（1）72.5；（2）甲，因为学生的成绩是74分，在他所属班级排名在前20名，所以他的成绩要高于班级成绩的中位数，而甲班的中位数是72.5，乙班的中位数是76，所以他是甲班的学生；（3）420人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解可得； （2）根据甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙班样本数据的中位数76分可得； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】（1）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数， 所以中位数； （2）甲， 这名学生的成绩为74分，大于甲班样本数据的中位数72.5分，小于乙班样本数据的中位数76分， 所以该学生在甲班排在前20名，在乙班排在后20名，而这名学生在所属班级排在前20名，说明这名学生是甲班的学生． 故答案为：甲，甲这名学生的成绩为74分，大于甲班样本数据的中位数72.5分，小于乙班样本数据的中位数76分． （3）人 答：估计成绩优秀的学生人数约为420人． 【点睛】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． 21. 根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的倍，其中游泳池内剩余的水量与换水时间上之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）该游泳池清洗需要　　　　小时． （2）求排水过程中的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）若该游泳馆在换水结束分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午进入该游泳馆游泳，并说明理由． 【答案】（1）1.2； （2）y=-800x+1200(0≤x≤1.5)； （3）不能，理由如下： 由题意得排水速度为1200÷1.5=800m3/h， ∴灌水速度为800÷1.6=500 m3/h， ∴灌水时间为1200÷500=2.4h， 所以对外开放时间为7+2.7+2.4+0.5=12.6＞12.5 ∴小致不能在中午进入该游泳馆游泳． 【解析】 【分析】（1）2.7-1.5即可求解； （2）设排水过程中与之间的函数关系式为，根据函数图象经过点，待定系数法即可求解； （3）根据题意计算出对外开放时间，与12:30比较即可求解． 【详解】解：（1）2.7-1.5=1.2h， （2）设排水过程中与之间的函数关系式为， 由题意得函数图象经过点， ∴ 解得 ∴与之间的函数关系式为； （3）略 【点睛】本题考查了一次函数与实际问题，根据实际问题结合图象理解题意是解题关键． 22. 探究：如图①点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连结AE、AF、EF，将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形．若BE＝2，DF＝3，求AB的长； 拓展：如图②点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，且∠B＝∠D＝90°．连结AE、AF、EF将△ABE、△ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形．若∠EAF＝30°，AB＝4，则△ECF的周长是　 　． 【答案】探究：AB＝6；拓展：． 【解析】 【分析】探究：设：正方形的边长为a，则EC=a-2，CF=a-3，则由勾股定理得：EF2=EC2+CF2，即可求解； 拓展：证明△ABC≌△ADC，∠BAE+∠DAF=∠EAF=30°，则∠BAD=60°，∠BAC=∠DAC=（∠BAD）=30°，CD=BC=ABtan∠BAC，即可求解． 【详解】探究： 设：正方形的边长为a，则EC＝a﹣2，CF＝a﹣3， 则EF＝BE+DF＝5，则EF2＝EC2+CF2， 即：25＝（a﹣2）2+（a﹣3）2，解得：a＝6或﹣1（舍去﹣1）， 故AB＝6； 拓展： 由题意得：AB＝CD＝4，连接AC， ∵AB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC， ∴BC＝CD，∠BAC＝∠DAC， ∵点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上， 故：∠BAE+∠DAF＝∠EAF＝30°，则∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝（∠BAD）＝30°， CD＝BC＝ABtan∠BAC＝4×＝， △ECF的周长＝EF+EC+FC＝AE+FD+EC+FC＝AC+CD＝2CD＝， 故答案为． 【点睛】本题考查的是翻折变换（折叠问题），涉及到正方形的性质、三角形全等等，其中（2）证明△ABC≌△ADC，是本题解题的关键． 23. 在中，，，，点D是边的中点．点P从点B出发，沿折线以每秒7个单位长度的速度向终点A运动，同时点E从点B出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动．当点P不与点B、A重合时，作点P关于点D的对称点Q，连接、和．设点P的运动时间为t秒． （1）用含有t的代数式表示线段的长；（直接写出即可） （2）当时，求t的值； （3）当线段的长最小时，求t的值，并求的面积； （4）作点P关于直线的对称点F，连接、、当直线平分的面积时，直接写出t的值． 【答案】（1）当，；当， （2） （3），的面积为 （4） 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出的长，进而得到的长，分2种情况，进行求解即可； （2）当时，易得，进而得到，利用三角函数求出的长，进而求出t的值即可； （3）根据对称得到，进而得到当最小时，的长最小，进而推出当时，的长最小，进行求解即可； （4）分两种情况，根据三角形的中线平分面积，结合三角形的中位线定理，推出，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵点E从点B出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动， ∴当，； 当，； 【小问2详解】 解：作， ∵， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点移动的距离为：， ∴； 【小问3详解】 解：∵对称， ∴， ∴当最小时，最小， 当点在上时，时，最小，此时， 当点在上时，时，最小，此时，， ∴的最小值为3， ∴当最小时，，， ∴， ∴， 作于点，如图， 则， ∴； 【小问4详解】 解：当点在上时，设交于点，直线交于点，如图，此时，， ∵对称， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分的面积， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在上时，，，则， ∴， 同理：， ∴，解得（不合题意，舍去）； 故． 24. 在平面直角坐标系中，点，点（为常数，且），将点绕线段中点顺时针旋转得到点.经过A、B、三点的抛物线记为. （1）当时，求抛物线所对应的函数表达式. （2）用含的式子分别表示点的坐标和抛物线所对应的函数表达式．（直接写出即可） （3）当抛物线在直线和之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出的取值范围． （4）连结，点在线段上，过点作轴的平行线与抛物线交于、两点，连结、．当点将线段分成1：3两部分，且的面积为时，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质，求出点，利用顶点式，将点代入式中求解即可； （2）根据旋转的性质可知，点横坐标为的中点，纵坐标在原来的基础上加上，再利用顶点求出解析式即可， （3）分两种情况来讨论，第一类，当函数的对称轴时；第二类，当函数的对称轴时来讨论，分别求出的取值，再和在一起； （4）点将线段分成1：3两部分，可以得出线段之间的关系，引进含的坐标，根据的面积建立的等式，求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知，点为抛物线的顶点. 当时，. 设所对应的函数表达式为. 将点代入，. ∴所对应的函数表达式为. （2）由旋转可得：. 同理可得：为抛物线的顶点， 设抛物线为： 把代入得： ， . （3）第一类：如下图所示： 当时函数有最高点， 时，， 时，， 符合题意， 函数对称轴为，此时，即满足题意； 第二类：如下图所示： 当时函数有最高点， 时，， 时，， ， ， 解得：， 综上：时满足题意． （4）过点作于点. ∵点将线段分成1：3两部分， ∴. ∴. ∵， ∴. 设，则. ∴点的坐标为. ∴. ∴. ∴点的坐标为，. ∵的面积为， ∴. ∴，（舍去）. ∴的值为.（如图所示） 【点睛】本题考查了二次函数的解析式与图形的性质，解题的关键是：掌握二次函数的顶点式，会利用旋转的性质求顶点坐标、通过数形结合的思想来解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $