专题2 勾股定理17种题型（期中复习讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册

专题2 勾股定理 一、核心定理：勾股定理 1. 内容: 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90∘，直角边a、b，斜边c，则：a2+b2=c2 2. 公式变形（求边）: 求斜边：​; 求直角边：，. 3. 前提与注意: · 仅适用于直角三角形，非直角三角形不成立; · 必须分清直角边、斜边；未明确直角时，需分类讨论（谁是斜边）. 4. 经典证明（面积法）: · 赵爽弦图：4个全等直角三角形拼大正方形，，化简得a2+b2=c2 · 总统证法（伽菲尔德）：拼直角梯形，利用梯形面积= 3个直角三角形面积和推导。 二、逆定理：勾股定理的逆定理 1. 内容: 文字表述：若三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，且‘“c所对的角为直角”. 2. 作用: 判定三角形是否为直角三角形（边的判定法，替代 “有一个角是90°”）. 3. 互逆命题/互逆定理: 互逆命题：题设、结论互换的两个命题（原命题↔逆命题）; 互逆定理：原命题、逆命题均为真命题，互为逆定理（勾股定理↔逆定理）. 三、核心概念：勾股数 1. 定义: 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 2. 常见勾股数（必记）: 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)、(9,40,41); 规律：勾股数的正整数倍仍是勾股数（如6,8,10；10,24,26）. 四、重要应用（题型/场景） 1. 几何计算: 已知直角三角形两边，求第三边（直接套公式）; 求斜边上的高：（面积法：）; 折叠问题：折叠后全等，设未知数，列勾股方程求解; 矩形、正方形、等腰三角形、圆（直径所对圆周角为直角）中的边长计算. 2. 实际应用: 距离/高度：梯子靠墙、航海、旗杆高度、两点最短距离; 判定直角：工程、测量中判断是否垂直（如地基、支架）. 3. 最短路径（立体展开）: 长方体/正方体表面最短路径：将立体展开为平面，构造直角三角形，用勾股定理求线段长（蚂蚁爬行问题）. 1.非直角三角形误用a2+b2=c2（必须先证直角）； 2.混淆直角边与斜边，未分类讨论导致漏解； 3.勾股数必须是正整数，小数/分数不叫勾股数； 4.逆定理中，c是最长边，对应直角，不可随便指定. 1. 用定理：先找直角 · 看见Rt△ →直接写：a2+b2=c2 · 没标直角：先判断谁是斜边（最长边） 2. 求边长三句口诀 · 已知两直角边：; · 已知斜边和一直角边：，； · 求高：面积法. 3. 判定直角（逆定理） · 算三边：短² +中² =长² →直角△; · 长² > 短²+中² →钝角△; · 长² < 短²+中² →锐角△. 4. 设未知数技巧（折叠题必用） · 设一条边为x，用全等/线段和差表示其他边; · 列方程：直角12 +直角22 =斜边2. 5. 立体最短路径 · 展开成平面→画直角三角形→算斜边; · 长方体：长、宽、高两两相加做直角边. 6. 常用技巧 · 勾股数优先：3,4,5；5,12,13…直接口算; · 分类讨论：没说谁是斜边，分两种情况; · 数形结合：画图标边，避免看错. 题型一 用勾股定理解直角三角形 【例1】（25-26八年级下·陕西延安·月考）已知一个直角三角形的两边长分别为4和3，则第三边长为（   ） A．25 B．或5 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题未明确给出的两边中哪条是斜边，因此需要分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长即可． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为4和3，未明确哪条边是斜边，∴分两种情况讨论： ① 当4为斜边，3为直角边时，由勾股定理得，第三边长为； ② 当3和4都为直角边时，由勾股定理得，第三边长为； 因此第三边长为或5． 【变式1-1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（    ） A．13 B．17 C．15 D．10 【答案】A 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得，斜边长为． 【变式1-2】（25-26八年级下·河北唐山·月考）中，∠B=90°，，，的对边分别为，，，若，则______． 【答案】 【分析】根据二次根式和绝对值的非负性，求出的值，然后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵中，，，，的对边分别为，，， ∴由勾股定理得． 【变式1-3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）如图，在△ABC中，，，，则边上的高为（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据勾股定理求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴． 题型二 已知两点坐标求两点距离 【例2】（25-26八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：∵原点坐标为，点坐标为， ∴根据勾股定理，点到原点的距离为：． 【变式2-1】（25-26八年级下·上海·月考）点和点之间的距离是_____． 【答案】 【分析】先表示出两点之间的横向的距离和纵向的距离，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， 所以点A和B之间的距离是． 【变式2-2】（25-26八年级下·甘肃武威·月考）在平面直角坐标系中，已知点，则线段的长度为________． 【答案】 【分析】利用横纵坐标的差结合勾股定理即可计算出线段的长度． 【详解】解：， 线段的长度． 【变式2-3】（21-22九年级上·浙江温州·月考）二次根式的最小值是（   ） A．5 B． C．12 D．13 【答案】D 【分析】将二次根式转化为两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：可看成点到点或点的距离， 可看成点到点或点的距离， ∵点关于x轴对称，点关于x轴对称， ∴连接交x轴于点A，此时取最小值，此时． 题型三 勾股数问题 【例3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，2， 【答案】A 【分析】能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、因为，且6，8，10均为正整数，所以这组数是勾股数； B、，，，所以这组数不是勾股数； C、，，，所以这组数不是勾股数； D、不是正整数，所以这组数不是勾股数． 【变式3-1】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】先明确勾股数的定义：若三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数，本题根据定义逐一验证各选项即可得到结果． 【详解】∵A选项，最大数为，且，，， ∴A不是勾股数； ∵B选项，最大数为，且，，， ∴B是勾股数； ∵C选项，最大数为，且，，， ∴C不是勾股数； ∵D选项，最大数为，且，，， ∴D不是勾股数； 综上，选B． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 【变式3-3】（25-26八年级下·云南昆明·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，4，6 B．7，10，17 C．6，8，10 D．4，5，6 【答案】C 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A选项：∵，，∴，故选项A中的数不是勾股数，不符合题意； B选项：∵，，∴，故选项B中的数不是勾股数，不符合题意； C选项：∵，，且三个数均为正整数，∴，故选项C中的数是勾股数，符合题意； D选项：∵，，∴，故选项D中的数不是勾股数，不符合题意． 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例4】（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，在中，，以△ABC的三边为边向外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据三个正方形的面积为直角三角形的三边的平方，结合勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：，，， 由勾股定理，得，即， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积_______． 【答案】225 【分析】设的边长为，直角三角形斜边的长为，另一直角边为，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设的边长为，直角三角形斜边的长为，另一直角边为，则，， 由勾股定理得：， 所以，图中字母所代表的正方形面积是． 【变式4-2】（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，斜边的长为，分别以△ABC的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰直角三角形的性质，用斜边长表示出三个阴影三角形的面积，再利用勾股定理将阴影部分面积转化为与有关的式子，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，且， ∴，即， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵在 中，， ∴， ∵， ∴． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知在中，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理结合半圆面积公式即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 题型五 勾股定理与网格问题 【例5】（21-22七年级下·浙江金华·开学考试）如图是的方格（每个小方格的边长为 1 个单位长度），图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为（    ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据每一个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，再根据勾股定理，列出算式，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 阴影正方形的边长是：． 【变式5-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意． 故选：C． 【变式5-2】（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，△ABC在每个小正方形边长为1的方格纸中，点A，B，C恰好在格点上，求△ABC中边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用割补法求出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴中边上的高为． 【变式5-3】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使△ABC是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有_____个． 【答案】5/五 【分析】本题考查了等腰三角形的定义；利用等腰三角形的定义和网格的特征找到其中一个端点为A或B且与相等且另一个端点为格点的线段即可，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形. 【详解】如图，共有5个格点符合要求， 故答案为：5． 题型六 勾股定理与折叠问题 【例6】（2026·河南周口·一模）如图，在△ABC中，，，点D在上，点E在上，将△ADE沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由折叠得， ， ． 【变式6-1】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 【变式6-2】（21-22八年级下·辽宁抚顺·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合折叠性质得，设，，根据勾股定理列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：依题意得：，，，， 设，， 中，， ， 解得， ． 【变式6-3】（25-26八年级下·山东德州·月考）如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，，求的长． 【答案】 【分析】根据折叠以及长方形的性质可得，先对运用勾股定理求解，再设，由折叠可得，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的长为． 题型七 利用勾股定理求两条线短的平方和（差） 【例7】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在△ABC中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【变式7-1】（25-26八年级下·陕西安康·月考）在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，再根据，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 【变式7-2】（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在△ABC中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【答案】60 【分析】本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，，从而得到，再代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：60． 【变式7-3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 题型八 利用勾股定理证明线段平方关系 【例8】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 【变式8-1】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）解：， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； （2）解：中，， ， ， ， ． 【变式8-2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在△ABC中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长到G使，连接，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由（1）知， ∵在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 题型九 勾股定理与无理数 【例9】（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图所示，在数轴上点A表示的实数是_______． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， 点A在负半轴上， ∴点A表示的实数是． 【变式9-1】（25-26八年级下·福建·期中）如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得点是以为圆心，以为半径的圆与轴的交点，再进一步确定的值即可． 【详解】解：∵， ∴点是以为圆心，以为半径的圆与轴的交点， ∴． 【变式9-2】（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在数轴上点表示的实数是_____． 【答案】 【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，结合数轴即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是． 【变式9-3】（25-26八年级下·云南昭通·月考）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． 题型十 勾股定理的实际应用 【例10】（25-26八年级下·天津·月考）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可求出结果． 【详解】解：在，，， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， ． 【变式10-1】（24-25八年级下·新疆伊犁·月考）连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（   ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 【答案】C 【分析】根据题意设旗杆的高为x米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高． 【详解】解：如图：设旗杆的高为x米，则绳子的长为米， 在中，米， ， ， 解得， ， 旗杆的高为12米． 【变式10-2】（25-26八年级下·云南昆明·月考）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理即可求得树折断之前的高度． 【详解】解：如图： ， ， ， 即， ∴这棵树在折断之前的高度． 【变式10-3】（25-26八年级下·陕西延安·月考）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 【答案】在进行爆破时，公路段有危险，理由见解析 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴在进行爆破时，公路段有危险． 题型十一 利用勾股定理求立体图形中的最短路径问题 【例11】（2026九年级下·吉林长春·专题练习）如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．4米 【答案】B 【分析】先把正方体展开，连接，再根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：将正方体展开，如图所示： 在直角中， ∵，，， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最短路径为米． 【变式11-1】（25-26八年级下·四川德阳·月考）如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】画出圆柱侧面展开图，根据“两点之间，线段最短”，线段长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程，求出的长，根据勾股定理即可求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，长方形为圆柱的侧面展开图，B为边中点，根据“两点之间，线段最短”可知，线段的长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程． 由题意得， 在中，根据勾股定理得， ∴需要爬行的最短路程是15． 【变式11-2】（25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】D 【分析】根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈雕龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为3米，柱身高约8米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的雕龙的长度至少（米）． 【变式11-3】（25-26八年级下·湖北·月考）如图所示，一只蚂蚁以的速度从点M爬到点N，最快需要时间为________． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开图，利用勾股定理求最短路径问题，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：①展开正面和右面，如图，连接， ∵长，高， ∴， ②展开正面和上面， 如图，连接， ∴， ③展开左面和上面， ∴， ∴爬行的最短距离为， ∴最快需要时间为：． 题型十二 利用勾股定理求线段和的最值问题 【例12】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在△ABC中，，，直线是边的垂直平分线，点P是直线上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，线段垂直平分线的性质，连接，设与交于点，由题意得到点关于对称，，则当和重合时，的值最小，最小值为的长，解此题的关键是找出的位置． 【详解】解：连接，设与交于点，如图： ∵直线是边的垂直平分线， ∴点关于对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【变式12-1】（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取点关于直线的对称点，连接，，的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如下图所示，取点关于直线的对称点，连接，， 点与点关于直线对称， ， ， 即的最小值为的长， 在中， ，， ， 的最小值为． 【变式12-2】（22-23八年级上·重庆·周测）已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长度，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时取得最小值，点即为所求点， 点， 点关于轴的对称点的坐标为， ，， ， 的最小值为. 【变式12-3】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是________． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，勾股定理求最短路径，理解最短路径的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意，作图，作点关于的对称点，连接，则线段是最短路径，过点作延长线点，图形结合，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∴，，，作点关于的对称点，连接，则线段是最短路径，过点作延长线点，， ∴，，， ∴， 故答案为： ． 题型十二 利用勾股定理求线段和的最值问题 【例13】（25-26八年级下·河南信阳·月考）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．1，，2 B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理，逐个判断选项即可． 【详解】解：A：，， ，能构成直角三角形，符合题意； B：，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C：，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，不符合题意； D：，，，不能构成直角三角形，不符合题意． 【变式13-1】（25-26八年级下·广东汕头·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．，， D．0.3，0.4，0.5 【答案】C 【分析】只需验证每组中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、，故能构成直角三角形，不符合题意； B、，故能构成直角三角形，不符合题意； C、该组三边长为 ，，，且，，则，故不能构成直角三角形，符合题意； D、，故能构成直角三角形，不符合题意． 【变式13-2】（25-26八年级下·山东德州·月考）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D．1，2，3 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理，验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项：，， ，能构成直角三角形，符合题意； B选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； C选项：三边长为，，， ，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； D选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意． 【变式13-3】（25-26八年级下·陕西西安·月考）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形内角和定理，计算各选项的内角度数，判断A、C、D，利用勾股定理的逆定理判断B． 【详解】解：A．∵，， ∴， 解得， ∴是直角三角形， ∴选项A不符合题意； B．∵， 可设，，，， ∵ ，， ∴， ∴不是直角三角形， ∴选项B符合题意； C．∵，， ∴， 解得， ∴是直角三角形， ∴选项C不符合题意； D．∵， 可设，，， ∴， 解得， 可得， ∴是直角三角形， ∴选项D不符合题意． 题型十四 勾股定理及其逆定理的综合应用 【例14】（25-26七年级下·贵州遵义·月考）已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理可知的长度； （2）根据勾股定理的逆定理可知，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）在中，，，， 根据勾股定理得，； （2）在中，，，， ， ∴为直角三角形，且， ． 【变式14-1】（25-26八年级下·天津·月考）如图，四边形ABCD中，，，，，∠B=90°．求四边形ABCD的面积． 【答案】 【分析】根据勾股定理可知,再根据勾股定理的逆定理可知，即可求解面积． 【详解】解：连接, ∵，，， 根据勾股定理可知，, ∵，， ∴, , 则． 【变式14-2】（25-26八年级下·陕西延安·月考）某中学计划在如图所示的阴影区域展示学生学习数学知识的笔记，现测得，，，，，试求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积是96 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故阴影部分的面积是96． 【变式14-3】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． (1)求点之间的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理的运用进行解答即可． （1）连接，根据勾股定理的运用，解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，再根据四边形的面积为：，进行解答，即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∴，的距离为． （2）解：由（1）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为：． 题型十五 等腰三角形的存在性问题 【例15】（21-22七年级上·山东济南·期末）在直角坐标系中，已知点，在y轴负半轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，分别求出的值，再分三种情况：①，②和③，建立方程，利用平方根的性质解方程或解一元一次方程即可． 【详解】解：由题意，设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①当时，为等腰三角形， ∴，即， ∴或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； ②当时，为等腰三角形， ∴，即， ∴或（均不符合题意，舍去）； ③当时，为等腰三角形， ∴，即， ∴，不符合题意，舍去； 综上，点的坐标为． 【变式15-1】（25-26八年级上·广西柳州·期末）在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及平面直角坐标系中点的坐标特征． 解题的关键在于分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，再结合点在轴上这一条件，确定点的位置． 【详解】解：当时 已知，根据两点间距离公式，可得． 因为点在轴上，设，则． 由，即，解得，此时点的坐标为或，有个点． 当时 设，，根据两点间距离公式，． 因为，且，所以． 两边同时平方可得，即． 开方得． 当时，，此时与原点重合，不符合三角形的定义，舍去． 当时，，此时点的坐标为，有个点． 当时 设，，，． 由，即． 两边同时平方可得． 展开得． 移项化简得，解得，此时点的坐标为，有个点． 综上，符合条件的点有，，，，共个． 故选D． 【变式15-2】（25-26八年级上·上海·月考）已知，，在坐标轴上求点，使△AOB是等腰三角形． 【答案】或或或或或或或 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、等腰三角形的定义、利用平方根解方程、点的坐标，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．分两种情况：①当点在轴上时，②当点在轴上时，先分别求出，，的长，再根据等腰三角形的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当点在轴上时， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， （Ⅰ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时，是等腰三角形， 则，即， 整理得：， ， 解得或（舍去）， 此时点的坐标为； （Ⅲ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； ②当点在轴上时， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， （Ⅰ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时，是等腰三角形， 则，即， 整理得：， ， 解得或（舍去）， 此时点的坐标为； （Ⅲ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或或或或或． 【变式15-3】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并作出关于x轴对称的图形． (2)在第二象限找一点D，使得轴且，写出点D的坐标． (3)在x轴取一点P，使得是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点D的坐标为 (3)点P的坐标为、或 【分析】本题主要考查了利用网格画轴对称图形，两点之间的距离，根据等腰三角形确定点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系． （1）确定点的坐标画出三角形，根据轴对称的性质确定对称点的坐标，然后进行连接即可； （2）根据两点之间的距离确定点的坐标即可； （3）根据等腰三角形的性质确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，和即为所求； （2）解：如图，点即为所求， 点D的坐标为； （3）解：如图所示， 当时，此时； 当时， 由勾股定理得，， 此时； 当时，此时； 综上，点P的坐标为、或． 题型十六 直角三角形的存在性问题 【例16】（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 【变式16】（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在长方形中，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒．连接． (1)求当为何值时，是直角三角形； (2)直接写出当为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1)或 (2)或4或或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）分两种情况，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论； （2）分，，三种情况讨论，根据勾股定理和等腰三角形的性质可求t的值． 【详解】（1）解：当时，如图， 在四边形是长方形， ∴，， 在中，，， ∴ ∵，，点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒． ∴，， ，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 当时，此时点P与点C重合， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是直角三角形； （2）若为等腰三角形， 则或或， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当在的延长线上时，且， ∴， ∴； 综上所述：当或4或或时，为等腰三角形． 题型十七 勾股定理逆定理的其他拓展问题 【例17】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【变式17-1】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在△ABC中，，设为最长边，当时，△ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． (1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为________三角形；当三边分别为6、8、11时，△ABC为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，△ABC为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当△ABC为直角三角形时，则的取值为________； 当△ABC为锐角三角形时，则的取值范围________； 当△ABC为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形 当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，△ABC为锐角三角形； 当时，△ABC为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当△ABC为锐角三角形时，， ； 当△ABC为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 【变式17-2】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 【变式17-3】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 勾股定理 一、核心定理：勾股定理 1. 内容: 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90∘，直角边a、b，斜边c，则：a2+b2=c2 2. 公式变形（求边）: 求斜边：​; 求直角边：，. 3. 前提与注意: · 仅适用于直角三角形，非直角三角形不成立; · 必须分清直角边、斜边；未明确直角时，需分类讨论（谁是斜边）. 4. 经典证明（面积法）: · 赵爽弦图：4个全等直角三角形拼大正方形，，化简得a2+b2=c2 · 总统证法（伽菲尔德）：拼直角梯形，利用梯形面积= 3个直角三角形面积和推导。 二、逆定理：勾股定理的逆定理 1. 内容: 文字表述：若三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，且‘“c所对的角为直角”. 2. 作用: 判定三角形是否为直角三角形（边的判定法，替代 “有一个角是90°”）. 3. 互逆命题/互逆定理: 互逆命题：题设、结论互换的两个命题（原命题↔逆命题）; 互逆定理：原命题、逆命题均为真命题，互为逆定理（勾股定理↔逆定理）. 三、核心概念：勾股数 1. 定义: 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 2. 常见勾股数（必记）: 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)、(9,40,41); 规律：勾股数的正整数倍仍是勾股数（如6,8,10；10,24,26）. 四、重要应用（题型/场景） 1. 几何计算: 已知直角三角形两边，求第三边（直接套公式）; 求斜边上的高：（面积法：）; 折叠问题：折叠后全等，设未知数，列勾股方程求解; 矩形、正方形、等腰三角形、圆（直径所对圆周角为直角）中的边长计算. 2. 实际应用: 距离/高度：梯子靠墙、航海、旗杆高度、两点最短距离; 判定直角：工程、测量中判断是否垂直（如地基、支架）. 3. 最短路径（立体展开）: 长方体/正方体表面最短路径：将立体展开为平面，构造直角三角形，用勾股定理求线段长（蚂蚁爬行问题）. 1.非直角三角形误用a2+b2=c2（必须先证直角）； 2.混淆直角边与斜边，未分类讨论导致漏解； 3.勾股数必须是正整数，小数/分数不叫勾股数； 4.逆定理中，c是最长边，对应直角，不可随便指定. 1. 用定理：先找直角 · 看见Rt△ →直接写：a2+b2=c2 · 没标直角：先判断谁是斜边（最长边） 2. 求边长三句口诀 · 已知两直角边：; · 已知斜边和一直角边：，； · 求高：面积法. 3. 判定直角（逆定理） · 算三边平方：短² +中² =长² →直角△; · 长² > 短²+中² →钝角△; · 长² < 短²+中² →锐角△. 4. 设未知数技巧（折叠题必用） · 设一条边为x，用全等/线段和差表示其他边; · 列方程：直角12 +直角22 =斜边2. 5. 立体最短路径 · 展开成平面→画直角三角形→算斜边; · 长方体：长、宽、高两两相加做直角边. 6. 常用技巧 · 勾股数优先：3,4,5；5,12,13…直接口算; · 分类讨论：没说谁是斜边，分两种情况; · 数形结合：画图标边，避免看错. 题型一 用勾股定理解直角三角形 【例1】（25-26八年级下·陕西延安·月考）已知一个直角三角形的两边长分别为4和3，则第三边长为（   ） A．25 B．或5 C．5 D． 【变式1-1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（    ） A．13 B．17 C．15 D．10 【变式1-2】（25-26八年级下·河北唐山·月考）中，∠B=90°，，，的对边分别为，，，若，则______． 【变式1-3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）如图，在△ABC中，，，，则边上的高为（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．10 题型二 已知两点坐标求两点距离 【例2】（25-26八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·上海·月考）点和点之间的距离是_____． 【变式2-2】（25-26八年级下·甘肃武威·月考）在平面直角坐标系中，已知点，则线段的长度为________． 【变式2-3】（21-22九年级上·浙江温州·月考）二次根式的最小值是（   ） A．5 B． C．12 D．13 题型三 勾股数问题 【例3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，2， 【变式3-1】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【变式3-3】（25-26八年级下·云南昆明·月考）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，4，6 B．7，10，17 C．6，8，10 D．4，5，6 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例4】（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，在中，，以△ABC的三边为边向外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【变式4-1】（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积_______． 【变式4-2】（25-26八年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，斜边的长为，分别以△ABC的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知在中，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于（   ） A． B． C． D． 题型五 勾股定理与网格问题 【例5】（21-22七年级下·浙江金华·开学考试）如图是的方格（每个小方格的边长为1个单位长度），图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为（    ） A．5 B． C． D．3 【变式5-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，△ABC在每个小正方形边长为1的方格纸中，点A，B，C恰好在格点上，求△ABC中边上的高为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使△ABC是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有_____个． 题型六 勾股定理与折叠问题 【例6】（2026·河南周口·一模）如图，在△ABC中，，，点D在上，点E在上，将△ADE沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式6-2】（21-22八年级下·辽宁抚顺·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26八年级下·山东德州·月考）如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，，求的长． 题型七 利用勾股定理求两条线短的平方和（差） 【例7】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在△ABC中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【变式7-1】（25-26八年级下·陕西安康·月考）在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【变式7-2】（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在△ABC中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【变式7-3】（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 题型八 利用勾股定理证明线段平方关系 【例8】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【变式8-2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在△ABC中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【变式8-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 题型九 勾股定理与无理数 【例9】（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图所示，在数轴上点A表示的实数是_______． 【变式9-1】（25-26八年级下·福建·期中）如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在数轴上点表示的实数是_____． 【变式9-3】（25-26八年级下·云南昭通·月考）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 题型十 勾股定理的实际应用 【例10】（25-26八年级下·天津·月考）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 【变式10-1】（24-25八年级下·新疆伊犁·月考）连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（   ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 【变式10-2】（25-26八年级下·云南昆明·月考）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26八年级下·陕西延安·月考）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 题型十一 利用勾股定理求立体图形中的最短路径问题 【例11】（2026九年级下·吉林长春·专题练习）如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．4米 【变式11-1】（25-26八年级下·四川德阳·月考）如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 【变式11-2】（25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 【变式11-3】（25-26八年级下·湖北·月考）如图所示，一只蚂蚁以的速度从点M爬到点N，最快需要时间为________． 题型十二 利用勾股定理求线段和的最值问题 【例12】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在△ABC中，，，直线是边的垂直平分线，点P是直线上一动点，则周长的最小值为______． 【变式12-1】（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【变式12-2】（22-23八年级上·重庆·周测）已知点，，点在轴上，则的最小值为______． 【变式12-3】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是________． 题型十三 判断三边是否构成直角三角形 【例13】（25-26八年级下·河南信阳·月考）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．1，，2 B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6 【变式13-1】（25-26八年级下·广东汕头·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．，， D．0.3，0.4，0.5 【变式13-2】（25-26八年级下·山东德州·月考）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D．1，2，3 【变式13-3】（25-26八年级下·陕西西安·月考）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型十四 勾股定理及其逆定理的综合应用 【例14】（25-26七年级下·贵州遵义·月考）已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式14-1】（25-26八年级下·天津·月考）如图，四边形ABCD中，，，，，∠B=90°．求四边形ABCD的面积． 【变式14-2】（25-26八年级下·陕西延安·月考）某中学计划在如图所示的阴影区域展示学生学习数学知识的笔记，现测得，，，，，试求阴影部分的面积． 【变式14-3】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． (1)求点之间的距离； (2)求四边形的面积． 题型十五 等腰三角形的存在性问题 【例15】（21-22七年级上·山东济南·期末）在直角坐标系中，已知点，在y轴负半轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（25-26八年级上·广西柳州·期末）在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式15-2】（25-26八年级上·上海·月考）已知，，在坐标轴上求点，使△AOB是等腰三角形． 【变式15-3】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并作出△ABC关于x轴对称的图形． (2)在第二象限找一点D，使得轴且，写出点D的坐标． (3)在x轴取一点P，使得是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点P的坐标． 题型十六 直角三角形的存在性问题 【例16】（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【变式16】（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在长方形中，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒．连接． (1)求当为何值时，是直角三角形； (2)直接写出当为何值时，是等腰三角形． 题型十七 勾股定理逆定理的其他拓展问题 【例17】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【变式17-1】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在△ABC中，，设为最长边，当时，△ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． (1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为________三角形； (2)猜想：当________时，△ABC为锐角三角形；当________时，△ABC为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当△ABC为直角三角形时，则的取值为________； 当△ABC为锐角三角形时，则的取值范围________； 当△ABC为钝角三角形时，则的取值范围________． 【变式17-2】（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【变式17-3】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知△ABC的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 学科网（北京）股份有限公司 $