专题02 方程（组）与不等式（组）（14大考点）（四川专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程（组）与不等式（组） 14大考点概览 考点01一元一次方程的解 考点08利用一元二次方程的根求代数式的值 考点02一元一次方程的实际应用 考点09一元二次方程的根的判别式 考点03二元一次方程（组）的解与解一元二次方程 考点10一元二次方程的实际应用 考点04二元一次方程（组）的实际应用 考点11不等式与解不等式 考点05分式方程的解与解分式方程 考点12不等式（组）中的整数解问题 考点06分式方程的实际应用 考点13一元一次不等式的实际应用 考点07一元二次方程的解与解一元二次方程 考点14方程与不等式综合的实际应用 一元一次方程的解 考点01 1．（2026·四川成都·一模）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________ ． 一元一次方程的实际应用 考点02 1．（2026·四川绵阳·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多3元；如果每人出7元，则少4元，问有多少人？设有x人．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川南充·一模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：“今有共买琎，人出半，盈四，人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”（琎：似玉的石头）译文：今有人合伙买琎，每人出钱，会多出钱，每人出钱，又差了钱．问人数、琎价各是多少？解设有个人，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二元一次方程（组）的解与解二元一次方程（组） 考点03 1．（2026·四川内江·一模）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是________． 2．（2026·四川巴中·一模）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)求该方程组的解（用含a的式子表示） (2)若x与y互为相反数，求a的值． 二元一次方程（组）的实际应用 考点04 1．（2026·四川绵阳·一模）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．学生可以报名参加书法、围棋、象棋三个社团，活动组织者为参加社团的同学们购买了毛笔、围棋、象棋(三种都购买)，共花费500元．其中毛笔每支20元，围棋每副25元，象棋每副30元，若象棋至少买5副，最多买6副，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 2．（2026·四川南充·一模）《九章算术》有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有辆车，有人，下面所列方程（组）正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·一模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·四川德阳·一模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？译文：今有若干人出行，如果三人同乘一辆车，两车空；二人同乘一辆车，有九人步行．问人与车各是多少？设人数为x人，车数为y辆，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川·一模）《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”意思是：今有只雀、只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将只雀、只燕交换位置而放，重量相同，只雀、只燕重量为斤．问燕、雀每只各重多少？（注：古代斤两）若设每只雀、燕分别重两、两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川成都·一模）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出7钱，会多2钱；每人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川成都·一模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头共价二十四两．问马，牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（  ） A． B． C． D． 8．（2026·四川成都·一模）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 9．（2026·四川内江·一模）某百货计划在春节前夕购进A、B两种服装进行销售．已知购进1件A 服装和2件B 服装，需元；购进3件A 服装和4件B服装，需元． (1)A、B 两种服装的进货单价分别是多少？ 10．（2026·四川德阳·一模）材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． (1)求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ 11．（2026·四川绵阳·一模）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆．设购进“晨光”型汽车a辆，80辆车全部售完的获利为W万元．根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 分式方程的解与解分式方程 考点05 1．（2026·四川成都·一模）分式方程的解是_______． 2．（2022·四川绵阳·一模）分式方程的解是______． 3．（2026·四川巴中·一模）若分式方程有增根，则a的值是______． 4．（2026·四川绵阳·一模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_________. 分式方程的实际应用 考点06 1．（2026·四川绵阳·一模）由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱．某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．则该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是（   ） A．800 B．1000 C．1200 D．1300 2．（2026·四川内江·一模）用A，B两个机器人搬运化工原料，A机器人比B机器人每小时多搬运，A机器人运所用时间与B机器人搬运所用时间相等，设A机器人每小时搬运化工原料，那么可列方程（    ） A． B． C． D． 一元二次方程的解与解一元二次方程 考点07 1．（2026·四川广元·一模）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·四川成都·一模）一元二次方程的解是（      ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·一模）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·一模）（2）解方程： 5．（2026·四川广元·一模）解下列方程： (1)； (2)． 6．（2026·四川成都·一模）(2)解方程： 7．（2026·四川成都·一模）（2）解方程：． 1．（2026·四川绵阳·一模）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ）．利用一元二次方程的根求代数式的值 考点08 A． B． C． D． 2．（2026·四川内江·一模）若α 、β是方程的两个实数根，则的值为____________． 3．（2026·四川成都·一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ____． 4．（2026·四川·一模）若，是方程的两个实数根，则的值为_____． 5．（2026·四川雅安·一模）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 6．（2026·四川成都·一模）若一元二次方程的一个根是，则的值为______． 7．（2026·四川内江·一模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 8．（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 9．（2026·四川成都·一模）设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 1．（2026·四川内江·一模）若关于x的方程无实根，则k可取的最小整数为（    ）一元二次方程根的判别式 考点09 A． B． C． D． 2．（2026·四川成都·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·四川绵阳·一模）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 4．（2026·四川泸州·一模）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·四川绵阳·一模）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 6．（2026·四川内江·一模）定义新运算“*”：对于实数，，，有，例如，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 7．（2026·四川南充·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 1．（2026·四川内江·一模）2023 年多地爆发支原体肺炎和甲流，某口罩生产厂家为提高生产量，特增加了先进的生产设备．10月份该厂家生产口罩120万个，12月份生产口罩 270万个，设这一季度口罩产量的月平均增长率为x，则可列方程为（    ）一元二次方程的实际应用 考点10 A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·一模）近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川内江·一模）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·一模）2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（　 　） A． B． C． D． 5．（2014·四川成都·一模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm. （1）若花园的面积为192m2, 求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值. 6．（2026·四川成都·一模）2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． (1)填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； (2)试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ (3)若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 7．（2026·四川南充·一模）某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为元．市场调查发现，当销售单价为元时，一天能卖出幅；若每涨价元，一天就会少卖幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅．设这种剪纸每天的总销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元（销售单价不高于元）． (1)若每天投入元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为__________幅；（用含，的代数式表示） (2)若商家计划每天投入广告费元，且希望每天的总销售利润达到元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格； (3)若商家决定不投入广告费，求总销售利润与之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ 不等式与解不等式 考点11 1．（2026·四川泸州·一模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川内江·一模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川雅安·一模）不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·一模）按要求完成下列各题： (2)解不等式组：． 5．（2026·四川巴中·一模）（2）解不等式组： 6．（2026·四川成都·一模）(2)解不等式组：． 7．（2026·四川成都·一模）(2)解不等式组：． 不等式（组）中的整数解问题 考点12 1．（2026·四川绵阳·一模）不等式的最小整数解为__________． 2．（2026·四川绵阳·一模）若关于y的不等式组有且只有五个整数解，则符合条件的所有整数m的和为________． 3．（2026·四川南充·一模）从不等式组的所有整数解中任意抽取一个数，它是偶数的概率是______． 4．（2026·四川泸州·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是______． 5．（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________. 6．（2026·四川泸州·一模）关于x的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 7．（2026·四川绵阳·一模）若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 8．（2026·四川内江·一模）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 9．（2026·四川南充·一模）定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有__________个． 一元一次不等式的实际应用 考点13 1．（2026·四川绵阳·一模）小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（    ） A．7种 B．6种 C．4种 D．3种 方程与不等式综合的实际应用 考点14 1．（2026·四川成都·一模）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 2．（2026·四川德阳·一模）城市吉祥物是城市形象的重要视觉符号，承载着城市的文化内涵、价值理念和人文情怀，是一座城市的形象图腾．为宣传东营城市文化，展示东营城市风采，东营市文化局和旅游局对接多家专业设计公司，最终确定“河东东”“海营营”为东营市城市吉祥物．一时间“河东东”“海营营”套装的销售日益火爆，据调查某特许零售店“河东东”“海营营”套装每盒进价7元，售价12元． (1)商店老板计划首月销售320盒，经过首月试销售，老板发现单盒“河东东”“海营营”套装售价每增长2元，月销量就将减少10盒．若老板希望“河东东”“海营营”套装月销量不低于300盒，则每盒售价最高为多少元？ (2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量300盒增加了盒，于是月销售利润达到了2100元，求的值； (3)在（1）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？ 3．（2026·四川泸州·一模）当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． (1)求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； (2)由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 4．（2026·四川绵阳·一模）某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元，乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，请你求出购进乒乓球拍数量的范围，以及如何进货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 5．（2026·四川内江·一模）某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？ 6．（2026·四川·一模）“走，去永州，品道州脐橙”，道州脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年11月29日在“道州脐橙”品牌推介活动上，某水果批发商用40000元购进一批道州脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种道州脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元． (1)该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱多少元？ (2)若两次购进的道州脐橙按同一价格售出，两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元，则销售单价至少是多少元？ 7．（2026·四川宜宾·一模）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 8．（2026·四川绵阳·一模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 9．（2026·四川泸州·一模）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案． 10．（2026·四川泸州·一模）“绿水青山就是金山银山”，某林场计划购买A，B两种树苗．已知购买2株A种树苗、3株B种树苗共需130元；购买3株A种树苗、1株B种树苗共需90元． (1)求A，B两种树苗每株各多少元？ (2)据了解，A，B两种树苗的成活率分别为，，现计划购买两种树苗共100株．若要求这批树苗的总成活率不低于，且购买总费用最少，求A种树苗最多购买多少株？此时购买两种树苗的总费用最少为多少？ 11．（2026·四川内江·一模）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 12．（2026·四川巴中·一模）硕果压枝，果香扑鼻，又到黄桃丰收季，东山的黄桃在各地享有盛名．某水果店购进甲、乙两种黄桃进行销售，两种黄桃的进价和售价如下表所示 黄桃品种 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种黄桃 a 15 乙种黄桃 18 已知用500元购进甲种黄桃的数量与用600元购进乙种黄桃的数量相同． (1)直接写出a的值为________； (2)该水果店计划购进甲、乙两种黄桃共100千克，其中甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克． ①求销售完这两种黄桃的最大利润． ②为增加销售量，水果店让利销售，将乙种黄桃的售价每千克降低元，甲种黄桃的售价不变，为保证销售完这两种黄桃的利润的最小值不低于370元，求m的最大值． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 14大考点概览 考点01一元一次方程的解 考点08利用一元二次方程的根求代数式的值 考点02一元一次方程的实际应用 考点09一元二次方程的根的判别式 考点03二元一次方程（组）的解与解一元二次方程 考点10一元二次方程的实际应用 考点04二元一次方程（组）的实际应用 考点11不等式与解不等式 考点05分式方程的解与解分式方程 考点12不等式（组）中的整数解问题 考点06分式方程的实际应用 考点13一元一次不等式的实际应用 考点07一元二次方程的解与解一元二次方程 考点14方程与不等式综合的实际应用 一元一次方程的解 考点01 1．（2026·四川成都·一模）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________ ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得到，代入方程可得，再解方程即可． 【详解】已知关于的一元一次方程的解为， ， 则 移项，得， ， 解得， 则关于y的一元一次方程的解为． 故答案为：． 一元一次方程的实际应用 考点02 1．（2026·四川绵阳·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多3元；如果每人出7元，则少4元，问有多少人？设有x人．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列方程，根据物品价格不变列方程即可． 【详解】设共有人， 每人出8元时，总钱为元，盈3元，故物价为元； 每人出7元时，总钱为元，不足4元，故物价为元. ∵物价相等， ∴， 故选A． 2．（2026·四川南充·一模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：“今有共买琎，人出半，盈四，人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”（琎：似玉的石头）译文：今有人合伙买琎，每人出钱，会多出钱，每人出钱，又差了钱．问人数、琎价各是多少？解设有个人，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设有个人，由题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设有个人， 由题意得：， 故选：． 二元一次方程（组）的解与解二元一次方程（组） 考点03 1．（2026·四川内江·一模）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是________． 【答案】 【分析】本题考查新定义题型． 根据“博文数”的定义列出关于和的等式，由“博文数”的定义可得∶ 十位数字是千位数字的倍， 即，个位数字比百位数字多， 即，由此求出，的值， 验证条件后即可得到所求四位数． 【详解】解∶ 根据题意， 四位自然数是“博文数”， ，， 解得， ， 因此这个数是，符合“博文数”的定义． 2．（2026·四川巴中·一模）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)求该方程组的解（用含a的式子表示） (2)若x与y互为相反数，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）根据互为相反数相加得零列式求解即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， 把代入①，得 解得， ∴； （2）解：∵x与y互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得． 二元一次方程（组）的实际应用 考点04 1．（2026·四川绵阳·一模）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．学生可以报名参加书法、围棋、象棋三个社团，活动组织者为参加社团的同学们购买了毛笔、围棋、象棋(三种都购买)，共花费500元．其中毛笔每支20元，围棋每副25元，象棋每副30元，若象棋至少买5副，最多买6副，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费元”，列出二元一次方程是解题的关键．设购买毛笔x支，围棋y副，分①当象棋买5副时，②当象棋买6副时两种情况，根据“共花费元”，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量． 【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副， ①当象棋买5副时， 根据题意得，，即， ∴． 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴此时有3种购买方案． ②当象棋买6副时， 根据题意得，，即， ∴． 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴此时有3种购买方案． 综上所述：共有6种购买方案 故选：B． 2．（2026·四川南充·一模）《九章算术》有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有辆车，有人，下面所列方程（组）正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总人数不变，分别从两种乘车情况中提取等量关系，列出方程组后即可判断正确选项． 【详解】解：设有辆车，有人， 根据题意得：． 3．（2026·四川成都·一模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系． 4．（2026·四川德阳·一模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？译文：今有若干人出行，如果三人同乘一辆车，两车空；二人同乘一辆车，有九人步行．问人与车各是多少？设人数为x人，车数为y辆，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程组是关键．设人数为x人，车数为y辆，如果三人同乘一辆车，两车空；二人同乘一辆车，有九人步行．据此即可列出二元一次方程组． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 5．（2026·四川·一模）《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”意思是：今有只雀、只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将只雀、只燕交换位置而放，重量相同，只雀、只燕重量为斤．问燕、雀每只各重多少？（注：古代斤两）若设每只雀、燕分别重两、两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“只麻雀和只燕子一共重两；只麻雀和只燕子的重量等于只麻雀和只燕子的重量”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 6．（2026·四川成都·一模）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出7钱，会多2钱；每人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找准等量关系是解题的关键． 由等量关系“每人出7钱时总出钱数比物价多2钱”和“每人出6钱时物价比总出钱数多3钱”列出方程组即可． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， 由每人出7钱，会多2钱，即； 每人出6钱，又会差3钱，即． 所以可列方程组为． 故选D． 7．（2026·四川成都·一模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头共价二十四两．问马，牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设马每匹两，牛每头两，根据“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意得： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 8．（2026·四川成都·一模）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元 (2)共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆 (3)购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元 【分析】（）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解； （）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 由题意得，， 解得， 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 由题意得，， 解得， ，均为正整数， ，，， 共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元； ， 购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元． 9．（2026·四川内江·一模）某百货计划在春节前夕购进A、B两种服装进行销售．已知购进1件A 服装和2件B 服装，需元；购进3件A 服装和4件B服装，需元． (1)A、B 两种服装的进货单价分别是多少？ 【答案】(1)A、B两种服装的进货单价分别是元/件、元/件； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键． （1）设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可； 【详解】（1）解∶设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件 由题意得： ， 解得 ， ∴A、B两种服装的进货单价分别是元/件、元/件； 10．（2026·四川德阳·一模）材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． (1)求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ 【答案】(1)A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； 【详解】（1）解：设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚， 由题意得， 解得， 答：A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； 11．（2026·四川绵阳·一模）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆．设购进“晨光”型汽车a辆，80辆车全部售完的获利为W万元．根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元 (2)该体验中心应购进“晨光”型30辆，“清风”型汽车50辆，才能使W最大，W最大为450万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元．根据题意列出二元一次方程组求解即可； 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元． 由题意得：，解得：． 答：“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元． 分式方程的解与解分式方程 考点05 1．（2026·四川成都·一模）分式方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出的值，再检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入，， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 2．（2022·四川绵阳·一模）分式方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案． 【详解】解：， 等号两边同时乘以，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 经检验，是该分式方程的解， 所以，该分式方程的解为． 故答案为：． 3．（2026·四川巴中·一模）若分式方程有增根，则a的值是______． 【答案】4 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-3=0，得到x=3，然后代入整式方程算出a的值即可． 【详解】方程两边同时乘以x-3得：1=a-x． ∵方程有增根， ∴x-3=0，解得：x=3， ∴1=a-3， 解得：a=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x的值是解答此题的关键． 4．（2026·四川绵阳·一模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_________. 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 当时，， 因此k的取值范围为且， 故答案为：且． 分式方程的实际应用 考点06 1．（2026·四川绵阳·一模）由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱．某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．则该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是（   ） A．800 B．1000 C．1200 D．1300 【答案】C 【分析】设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，则每天生产“乐融融”的个数是，根据总生产天数生产喜洋洋天数生产乐融融天数列方程求解即可． 【详解】解：设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，则每天生产“乐融融”的个数是 由题意得， 解得 经检验是原方程的解，符合题意 ∴该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是． 2．（2026·四川内江·一模）用A，B两个机器人搬运化工原料，A机器人比B机器人每小时多搬运，A机器人运所用时间与B机器人搬运所用时间相等，设A机器人每小时搬运化工原料，那么可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据A机器人运所用时间与B机器人搬运所用时间相等，列出方程即可． 【详解】解：设A机器人每小时搬运，则B机器人每小时搬运， ∵ A搬运所用时间为，B搬运所用时间为，且时间相等， ∴， 故选A． 一元二次方程的解与解一元二次方程 考点07 1．（2026·四川广元·一模）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果. 【详解】解：原方程为 . 移项得 . 方程两边同时加得 . 配方得 . 2．（2026·四川成都·一模）一元二次方程的解是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∴ 故选C． 3．（2026·四川成都·一模）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 4．（2026·四川成都·一模）（2）解方程： 【答案】（2） 【分析】（2）移项后用因式分解法解方程即可； 【详解】解：（2）， ， 或 ． 5．（2026·四川广元·一模）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ． 6．（2026·四川成都·一模）(2)解方程： 【答案】(2)， 【分析】（2）用因式分解法求解即可． 【详解】解： 解得：， 7．（2026·四川成都·一模）（2）解方程：． 【答案】（2） 【分析】（2）先确定，，再运用求根公式即可求解． 【详解】解：（2） ，， ∴， 解得，． 1．（2026·四川绵阳·一模）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ）．利用一元二次方程的根求代数式的值 考点08 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，通过根与系数的关系计算两根之和即可判断选项． 【详解】解：∵一元二次方程中，，， 又∵对于一元二次方程，两根之和， ∴， 故选：D． 2．（2026·四川内江·一模）若α 、β是方程的两个实数根，则的值为____________． 【答案】2021 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程得到，再根据根与系数关系得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵α 、β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2021． 3．（2026·四川成都·一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题可知， 因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以，，且， 则， 所以； 故答案为： 4．（2026·四川·一模）若，是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，代数式的变形求值，掌握好相关知识是关键． 由方程的解的意义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴， ∴， ∴， 由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∴原式． 故答案为：． 5．（2026·四川雅安·一模）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2024 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据根与系数的关系求出的值，最后将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：因为是方程的实数根，所以将代入方程得： ， 移项得， 又因为，是方程的两个实数根， ∴， ∴ ， ． 6．（2026·四川成都·一模）若一元二次方程的一个根是，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 把代入方程中得，然后解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（2026·四川内江·一模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，根据题意得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 9．（2026·四川成都·一模）设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 1．（2026·四川内江·一模）若关于x的方程无实根，则k可取的最小整数为（    ）一元二次方程根的判别式 考点09 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求出k的范围即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程无实根， ∴关于x的方程无实根， ∴， ∴， ∴， ∴k可取的最小整数为， 故选：B． 2．（2026·四川成都·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 即， 解得：． 故选：B． 3．（2026·四川绵阳·一模）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．需要讨论方程是否为二次方程，当时，方程变为一次方程，有实根；当时，利用判别式求范围． 【详解】解：∵ 方程有实数根， 当时，方程为， 解得，有实根； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴ ，即； 综上，． 故选：A． 4．（2026·四川泸州·一模）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由根的判别式，代入方程系数列方程计算即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 方程中，，，代入得， ， 化简得， 解得． 5．（2026·四川绵阳·一模）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据方程有实数根得出，列出不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有实数根， ∴， 解得：且． 6．（2026·四川内江·一模）定义新运算“*”：对于实数，，，有，例如，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】由新定义的运算，可得到关于的一元二次方程 再利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查根的判别式, 解答的关键是正确运用根的判别式． 7．（2026·四川南充·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用． （1）问根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式，建立关于的不等式求解范围． （2）问利用完全平方公式变形将转化为，结合根与系数的关系代入，得到关于的一元二次方程，再结合第(1)问得到的范围舍去不符合的解，得到的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，， ，， ∴， 整理得， 解得， 由（1）得 舍去， 因此． 1．（2026·四川内江·一模）2023 年多地爆发支原体肺炎和甲流，某口罩生产厂家为提高生产量，特增加了先进的生产设备．10月份该厂家生产口罩120万个，12月份生产口罩 270万个，设这一季度口罩产量的月平均增长率为x，则可列方程为（    ）一元二次方程的实际应用 考点10 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率的意义是解题关键．设这一季度口罩产量的月平均增长率为x，因为10月份120万个，则11月份为万个，12月份为万个，据此可列出方程． 【详解】设这一季度口罩产量的月平均增长率为x， 则根据题意可得出方程为： ， 故选：D 2．（2026·四川泸州·一模）近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2023年出口量为120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“增长后出口量=初始出口量×（1+年平均增长率）的增长年数次方”列方程，从2023年到2025年间隔2年，即可得出对应方程． 【详解】∵年平均增长率为x，从2023年到2025年共经过2年，初始出口量为2023年的120.3万辆，2025年出口量为261.5万辆， ∴可列方程为：． 3．（2026·四川内江·一模）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程． 根据传播模型，初始1人会做，第一节课后增加x人，第二节课后每个会做的人教会x人，总人数为． 【详解】解：初始会做人数为1， 第一节课后，会做人数变为， 第二节课，新教会人数为， ∴会做的总人数为． 故选：B． 4．（2026·四川成都·一模）2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列出方程即可． 【详解】解：设浏览量平均每月增长率为x，列方程是， 故选：D． 5．（2014·四川成都·一模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm. （1）若花园的面积为192m2, 求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值. 【答案】（1）12m或16m；（2）195m2. 【分析】（1）根据AB=x可得BC=28－x，然后根据面积列出一元二次方程求出x的值； （2）根据题意列出S和x的函数关系式，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值. 【详解】解：（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m，    ∴x（28﹣x）=192， 解得：x1=12，x2=16， 答：x的值为12m或16m （2）∵AB=xm， ∴BC=28﹣x， ∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196， ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m， ∵28-x≥15，x≥6     ∴6≤x≤13， ∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195， 答：花园面积S的最大值为195平方米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键． 6．（2026·四川成都·一模）2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． (1)填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； (2)试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ (3)若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)，． (2)当2元或16元时，平均每天盈利784元． (3)见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识点，解决此题的关键是正确列出一元二次方程． （1）根据题意分别列出代数式即可； （2）由（1）的结果可得到每天盈利为，再根据题意列出方程即可求解； （3）由（2）的思路可列出方程，再算出方程根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：由题意可得现在平均每天售卖盆，每盆盈利为元，即元． 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 整理得：， 解得：， 答：当为2元或16元时，平均每天的盈利为784元． （3）解：不能实现，理由如下： 由题可得方程： 整理得：， ∵ ∴原方程无解， ∴该销售商的这种想法不能实现． 【点睛】 7．（2026·四川南充·一模）某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为元．市场调查发现，当销售单价为元时，一天能卖出幅；若每涨价元，一天就会少卖幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅．设这种剪纸每天的总销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元（销售单价不高于元）． (1)若每天投入元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为__________幅；（用含，的代数式表示） (2)若商家计划每天投入广告费元，且希望每天的总销售利润达到元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格； (3)若商家决定不投入广告费，求总销售利润与之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)为了扩大销量，应上涨元 【分析】（1）先得出销售单价上涨元后的销售量，再求出投入元的广告费后的销售量即可； （2）把代入（1）中表达式，根据总销售利润达到元列一元二次方程，解方程求出的值，根据销售单价不高于元得出符合条件的的值即可； 【详解】（1）解：∵每涨价元，一天就会少卖幅，销售单价上涨元， ∴每天销售量为， ∵当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅， ∴实际销售量为幅． （2）解：当时，，销售量为幅， ∵每天的总销售利润达到元， ∴， 整理得：， 解得：，． ∵销售单价不高于元，即， 解得：， ∴不符合题意，舍去． 答：为了扩大销量，应上涨元． 不等式与解不等式 考点11 1．（2026·四川泸州·一模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐项判定即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，，， 观察四个选项，正确结论是B． 2．（2026·四川内江·一模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则系数化为1得， 故选：B． 3．（2026·四川雅安·一模）不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是解题关键． 根据解一元一次不等式组的步骤求解即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 故选：D． 4．（2026·四川成都·一模）按要求完成下列各题： (2)解不等式组：． 【答案】(2) 【分析】（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】（2）解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为． 5．（2026·四川巴中·一模）（2）解不等式组： 【答案】（2） 【分析】（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 6．（2026·四川成都·一模）(2)解不等式组：． 【答案】(2) 【分析】（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 7．（2026·四川成都·一模）(2)解不等式组：． 【答案】(2) 【分析】（2）求出每个不等式的解集取公共部分即可． 【详解】（2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 不等式（组）中的整数解问题 考点12 1．（2026·四川绵阳·一模）不等式的最小整数解为__________． 【答案】 【分析】先求得不等式的解集，进而取其最小整数解即可． 【详解】解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的最小整数解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键． 2．（2026·四川绵阳·一模）若关于y的不等式组有且只有五个整数解，则符合条件的所有整数m的和为________． 【答案】30 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解的情况求参数的取值范围，解一元一次不等式组可得，结合题意可得，求解即可得出的取值范围，从而可得或或或或，相加即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于y的不等式组有且只有五个整数解， ∴不等式组的整数解为，，，，， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴或或或或， ∴符合条件的所有整数m的和为， 故答案为：． 3．（2026·四川南充·一模）从不等式组的所有整数解中任意抽取一个数，它是偶数的概率是______． 【答案】 【分析】先解不等式组得到所有整数解，再根据概率公式计算所求概率． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：，即， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为：，共个， 其中偶数为，共个， 任意抽取一个数，它是偶数的概率是． 4．（2026·四川泸州·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】求解不等式组，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则解答此题即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得： ∵不等式无解, ∴ ∴． 6．（2026·四川泸州·一模）关于x的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组恰有个整数解，确定参数的取值范围. 【详解】解： 不等式①两边同乘去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解， 不等式组的整数解为，，， 可得：. 7．（2026·四川绵阳·一模）若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，然后根据不等式组有解且最多有3个整数解求出；再解分式方程得到是整数，据此求出符合题意的a的值即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， ∴； 解得：， ∵分式方程有整数解， ∴是整数，且且，即 ∴， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 8．（2026·四川内江·一模）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负数，可得且，进而得到且，问题随之得解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解， 不等式组的解集为：，其整数解为：3、2、1， ∴， 解得：， 解方程，得， 关于的分式方程的解为的解为非负数， 且， 解得且， 且， 则所有满足条件的整数m的值之和是， 故答案为：． 9．（2026·四川南充·一模）定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有__________个． 【答案】3 【分析】根据新定义化简不等式组.求出解集后，找出解集中的负整数，即可得到负整数解的个数． 【详解】解： 将不等式组，即化简得 解得 解得 不等式组的解集为 不等式组的负整数解为，共个． 一元一次不等式的实际应用 考点13 1．（2026·四川绵阳·一模）小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（    ） A．7种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【分析】设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可． 【详解】解：设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得， ， 解得，3≤x≤9， ∵x为整数，也为整数， ∴x=3或6或9， ∴有3种购买方案． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键所在． 方程与不等式综合的实际应用 考点14 1．（2026·四川成都·一模）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【答案】(1)甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个 (2)最少需要购买甲种分类垃圾桶个 【分析】（1）设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个，根据“用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列出分式方程，求解即可； （2）设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个，根据“用不超过元的资金”列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个， 由题意可知：， 解得， 经检验是所列方程的根且符合题意 （元/个） 答：甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个； （2）解：设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个， 由题意可知：， 解得， 答：最少需要购买甲种分类垃圾桶个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 2．（2026·四川德阳·一模）城市吉祥物是城市形象的重要视觉符号，承载着城市的文化内涵、价值理念和人文情怀，是一座城市的形象图腾．为宣传东营城市文化，展示东营城市风采，东营市文化局和旅游局对接多家专业设计公司，最终确定“河东东”“海营营”为东营市城市吉祥物．一时间“河东东”“海营营”套装的销售日益火爆，据调查某特许零售店“河东东”“海营营”套装每盒进价7元，售价12元． (1)商店老板计划首月销售320盒，经过首月试销售，老板发现单盒“河东东”“海营营”套装售价每增长2元，月销量就将减少10盒．若老板希望“河东东”“海营营”套装月销量不低于300盒，则每盒售价最高为多少元？ (2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量300盒增加了盒，于是月销售利润达到了2100元，求的值； (3)在（1）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每盒售价最高为16元； (2)a的值为2； (3)当每盒售价为16元时，月销售利润最大，最大利润为2700元． 【分析】（1）设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为x元，则月销量为盒，根据月销量不低于300盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）利用月销售利润每盒的销售利润月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 【详解】（1）设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为x元， 则月销量为盒， 依题意得：，解得：， 答：每盒售价最高为16元； （2）依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：a的值为2； 3．（2026·四川泸州·一模）当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． (1)求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； (2)由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 【答案】(1)每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； (2)该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意： ， 解得：， 答：每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； （2）解：设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最小值取13， 答：该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人． 4．（2026·四川绵阳·一模）某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元，乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． (1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； (2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，请你求出购进乒乓球拍数量的范围，以及如何进货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 【答案】(1)每套乒乓球拍的进价是 30 元，羽毛球拍的进价是 45 元 (2)购进乒乓球拍数量范围是 67 套到 120 套；当购进 67 套乒乓球拍和 133 套羽毛球拍时，获利最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）设每套乒乓球拍的进价为元，羽毛球拍的进价为元，根据“购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元”列出方程组求解即可． （2）设购进乒乓球拍套，则购进羽毛球拍套，设总利润为w，根据“购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，购进乒乓球拍的套数不超过120套”列出不等式组求出，再表示出w，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每套乒乓球拍的进价为元，羽毛球拍的进价为元． 根据题意列方程组：， 解得：． 答：每套乒乓球拍的进价是 30 元，羽毛球拍的进价是 45 元． （2）解：设购进乒乓球拍套，则购进羽毛球拍套，设总利润为w， ∴， 解得：， 总利润， ∵， ∴当时，利润最大． 答：购进乒乓球拍数量范围是 67 套到 120 套；当购进 67 套乒乓球拍和 133 套羽毛球拍时，获利最大． 5．（2026·四川内江·一模）某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？ 【答案】（1）购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元；（2）共有11种进货方案；（3）当；种70件，种30件时可获利最多；当，种60件，种40件时可获利最多 【分析】（1）设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意得出分式方程，解方程组即可得出结论； （2）设购进种纪念品件，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，即可得出结论； 【详解】解：（1）设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意可知： ，解得：， ． 答：购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元． （2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意可得： ， 解得：， 只能取正整数， ，共有11种情况， 故该商店共有11种进货方案分别为：种70件，种30件；种69件，种31件；种68件，种32件；种67件，种33件；种66件，种34件；种65件，种35件；种64件，种36件；种63件，种37件；种62件，种38件；种61件，种39件；种60件，种40件． 6．（2026·四川·一模）“走，去永州，品道州脐橙”，道州脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年11月29日在“道州脐橙”品牌推介活动上，某水果批发商用40000元购进一批道州脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种道州脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元． (1)该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱多少元？ (2)若两次购进的道州脐橙按同一价格售出，两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元，则销售单价至少是多少元？ 【答案】(1)该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱80元 (2)销售单价至少是98元 【分析】（1）设该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱x元，则第二批道州脐橙每箱元，根据某水果批发商用40000元购进一批道州脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种道州脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设销售单价是m元，根据两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱x元，则第二批道州脐橙每箱元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱80元； （2）解：设销售单价是m元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：销售单价至少是98元． 7．（2026·四川宜宾·一模）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】(1)A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 (2)该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 8．（2026·四川绵阳·一模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】(1)毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元 (2)学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元，根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾，分别按两种优惠方案购买，根据“总费用不超过480元，且购进扫把簸箕套装不少于50套”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的值（即购进扫把簸箕套装的数量），再将其代入中，即可求出购进毛巾的数量． 【详解】（1）解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元， 根据题意得：， 解得． 答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元． （2）解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾， 按方案1购买时， ，解得， ∴（条）． 按方案2购买时， ， ∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买． 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． 9．（2026·四川泸州·一模）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案． 【答案】(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元． (2)该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键． （1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据等量关系“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出方程组求解即可； （2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 依题意得：，解得：． 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． （2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球， 购买篮球和足球的总费用 依题意得：， 解不等式①得：． 解不等式②得：． ∴m的取值范围为：， ∵购买篮球和足球的总费用，， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，最省钱， ∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 10．（2026·四川泸州·一模）“绿水青山就是金山银山”，某林场计划购买A，B两种树苗．已知购买2株A种树苗、3株B种树苗共需130元；购买3株A种树苗、1株B种树苗共需90元． (1)求A，B两种树苗每株各多少元？ (2)据了解，A，B两种树苗的成活率分别为，，现计划购买两种树苗共100株．若要求这批树苗的总成活率不低于，且购买总费用最少，求A种树苗最多购买多少株？此时购买两种树苗的总费用最少为多少？ 【答案】(1)A种树苗每株20元，B种树苗每株30元 (2)A种树苗最多购买40株，此时购买两种树苗的总费用最少为2600元 【分析】（1）设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，根据已知条件列出二元一次方程组求解； （2）设购买A种树苗m株，则购买B种树苗株，根据总成活率不低于列出一元一次不等式，求出m的取值范围，再根据总费用的表达式求出最小值． 【详解】（1）解：设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元， 根据题意，可列方程组， 解得， ∴A种树苗每株20元，B种树苗每株30元． （2）解：设购买A种树苗m株，则购买B种树苗株， 根据题意，可列不等式， 解得， 购买两种树苗的总费用， ∵， ∴W随m的增大而减小， 又∵， ∴当时，W取得最小值，最小值（元）， ∴A种树苗最多购买40株，此时购买两种树苗的总费用最少为2600元． 11．（2026·四川内江·一模）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 【答案】(1)购买1套A型器材和1套B型器材各需、元； (2)①A型器材最多购买套；②共有三种购买方案，详见解析． 【分析】（1）设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，根据题意，列出二元一次方程组，求解即可； （2）①设购买A型器材套，根据题意，列出不等式，求解即可；②根据题意，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，由题意可得： ，解得 答：购买1套A型器材和1套B型器材各需、元； （2）解：①设购买A型器材套，则购买B型器材为套， 由题意可得： 解得， 答：A型器材最多购买套； ②设购买A型器材套，则购买B型器材为套， 由①可得： 根据题意可得：，解得 ∴ 又∵为正整数， ∴的取值为，即有三种购买方案， 具体为：A型器材为套，B型器材套， A型器材为套，B型器材套， A型器材为套，B型器材套． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组和不等式组． 12．（2026·四川巴中·一模）硕果压枝，果香扑鼻，又到黄桃丰收季，东山的黄桃在各地享有盛名．某水果店购进甲、乙两种黄桃进行销售，两种黄桃的进价和售价如下表所示 黄桃品种 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种黄桃 a 15 乙种黄桃 18 已知用500元购进甲种黄桃的数量与用600元购进乙种黄桃的数量相同． (1)直接写出a的值为________； (2)该水果店计划购进甲、乙两种黄桃共100千克，其中甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克． ①求销售完这两种黄桃的最大利润． ②为增加销售量，水果店让利销售，将乙种黄桃的售价每千克降低元，甲种黄桃的售价不变，为保证销售完这两种黄桃的利润的最小值不低于370元，求m的最大值． 【答案】(1)10 (2)570元； 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）根据用500元购进甲种黄桃的数量与用600元购进乙种黄桃的数量相同列出分式方程求解即可； （2）①设购进甲种黄桃x千克，利润为W，由题意得y关于x的一次函数，利用一次函数的性质即可求解；②由题意得， ，则当，W最小，最小值为，再根据利润不低于370元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； （2）解：①设购进甲种黄桃x千克，利润为W， ∵甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克， ∴， 由题意得， ， ∵， ∴W随x增大而减小， ∴当，W最大，最大值为， ∴销售完这两种黄桃的最大利润为570元； ②设购进甲种黄桃x千克，利润为W， ∵甲种黄桃不少于30千克且不超过60千克， ∴， 由题意得， ， ∵， ∴ ∴W随x增大而增大， ∴当，W最小，最小值为， ∴， ∴ ∴m的最大值为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $