专题02 方程（组）与不等式（组）（4大考点）（辽宁专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程（组）与不等式（组） 4大考点概览 考点01一次方程（组）及其解法及应用 考点02一元二次方程及其解法及应用 考点03分式方程（组）及其解法及应用 考点04一元一次不等式（组）及其解法及应用 一次方程（组）及其解法及应用 考点01 1．（2026·辽宁铁岭·一模）在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲持钱数为，乙持钱数为，根据题意找出两个等量关系，即可列出正确方程组． 【详解】解：设甲持钱数为，乙持钱数为， ∵乙把自己一半的钱给甲后，甲的钱数为， ∴， ∵甲把自己的钱给乙后，乙的钱数为， ∴， ∴可得方程组：． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）某村通过电商平台推广山野菜．原计划用一批A型货车运输，若每辆货车装载3吨，恰好能一次性运完所有山野菜．实际运输时更换为载重量比A型货车少1吨的B型货车，且车辆数量比原计划增加了2辆，也恰好能一次性运完．这批山野菜的总重量为（   ） A．12吨 B．15吨 C．18吨 D．24吨 【答案】A 【分析】本题为一元一次方程应用题，利用山野菜总重量不变的关系，设原计划车辆数为未知数，列方程求解即可得到总重量． 【详解】解：设原计划使用A型货车辆，则山野菜总重量为吨， ∵ B型货车载重量比A型少1吨， ∴ B型货车每辆装载量为吨， ∵ 实际使用B型货车的数量比原计划多2辆， ∴ 实际车辆数为辆，总重量可表示为吨， ∵ 山野菜总重量不变， ∴ 列方程得：， 解得， ∴ 总重量为吨． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为（   ） A．16 B．4或16 C．4或 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查从图像中获取信息和解方程组，由图像可知三角形的最大面积为24，此时点P位于边BC，当点P与点C重合时x为14，设和，即可列出，结合已知即可化简得到，解得a和b，进一步分点P位于上和点P位于上时，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设，， 由图像知，， 化简得， 解得， ∵， ∴， 则， 当点P位于上时，， 解得，则； 当点P位于上时，， 解得， 则； 4．（2026·辽宁抚顺·一模）某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 【答案】(1)元 (2)件 【分析】（1）先求出甲、乙两种商品各购进多少件，再求出甲、乙两种商品的利润和即可； （2）设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴(元) ． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1970元的利润． （2）解：设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意，得， 解得． 答：该超市最少需要购进100件甲种商品． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知购进件甲种商品和件乙种商品共需元；购进件甲种商品和件乙种商品共需元．甲种商品每件的售价为元，乙种商品每件的售价为元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价； (2)若该商店计划购进甲、乙两种商品共件，实际出售时甲种商品的售价不变，乙种商品打八折出售，且总利润不超过元，则最多能购进乙种商品多少件 【答案】(1)甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元 (2)最多能购进乙种商品件 【分析】（1）设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，列方程组求出、的值即为甲、乙两种商品的进价； （2）设购进乙种商品件，则购进甲种商品件，根据总利润不超过元，列一元一次不等式求出的取值范围，再根据是整数，确定的最大值． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元； （2）解：设购进乙种商品件，则购进甲种商品件， 根据题意得：， 解得：， 是整数， 的最大值为， 答：最多能购进乙种商品件． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）某商家购进甲、乙两款玩具进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价相同）： 甲款数量／件 乙款数量／件 进货总费用／元 第一次 第二次 (1)求甲、乙两款玩具的进货单价； (2)由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具共件，若每件甲款玩具的售价为元，每件乙款玩具的售价为元，且销售完这件玩具所获得的利润不低于元，则该商家最少需购进乙款玩具多少件？ 【答案】(1)甲款玩具的进货单价为元，乙款玩具的进货单价为元 (2)件 【分析】（）设甲款玩具的进货单价为元，乙款玩具的进货单价为元，根据两次进货的总费用列出二元一次方程组即可求解； （）设该商家购进乙款玩具件，则购进甲款玩具件，根据题意列出一元一次不等式即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲款玩具的进货单价为元，乙款玩具的进货单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲款玩具的进货单价为元，乙款玩具的进货单价为元； （2）解：设该商家购进乙款玩具件，则购进甲款玩具件， 甲款玩具每件利润为元，乙款玩具每件利润为元， 根据题意，得， 解得， 答：该商家最少需购进乙款玩具件． 7．（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 【答案】(1)A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 【分析】（1）设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元，根据题意列出二元一次方程并求解即可； （2）设购进A型玩具个，B型玩具个，根据题意，可得，结合均为正整数，可得答案． 【详解】（1）解：设A型玩具每个的进价为元，B型玩具每个的进价为元， 根据题意，可得， 解得， 答：A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元； （2）解：设购进A型玩具个，B型玩具个， 根据题意，可得， 整理可得， ∵均为正整数， ∴或或， 即共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个； 方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个； 方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个． 8．（2026·辽宁抚顺·一模）某学习兴趣小组在数学课上进行了项目化学习研究，研究如下： 【提出驱动性问题】商品优惠问题． 【设计实践性任务】选择“素材1”“素材2”设计了“问题1”“问题2”的实践活动． 探究商品优惠问题 素材 素材1 A，B两商场以同样的价格出售篮球运动服和篮球两种商品，已知套篮球运动服比个篮球贵元，套篮球运动服比个篮球贵元． 素材2 为了促销，A，B两商场推出优惠活动： A商场：每购买满套篮球运动服，送一个篮球． B商场：原价购买篮球运动服，篮球的价格打八折． 请根据以上提供的信息，帮学习兴趣小组解决问题． (1)求一个篮球和一套篮球运动服的价格． (2)若需要购买篮球个，篮球运动服套．学习兴趣小组通过调查发现，A，B两家商场在促销两种商品的优惠活动中，因购买篮球的数量不同，花费的费用也不同，请帮学习兴趣小组提出一个比较划算的购买方案． 【答案】(1)一个篮球的价格为元，一套篮球运动服的价格为元． (2)当时，选择A商场比较划算；当时，选择A，B商场费用一样；当时，选择B商场比较划算． 【分析】（1）设一个篮球的价格为元，则一套篮球运动服的价格为元，根据题意列出方程并求解即可； （2）根据优惠方案写出在两个商场购买商品所需费用的代数式，比较两个代数式得出结论． 【详解】（1）解：设一个篮球的价格为元，则一套篮球运动服的价格为元， 根据题意，可列方程， 解得． ∴（元）． 答：一个篮球的价格为元，一套篮球运动服的价格为元． （2）解：根据题意，在商场买套篮球运动服会赠送个篮球， ∴A商场所需要花费的费用为元， ∵商场篮球运动服原价，篮球打八折， ∴B商场所需要花费的费用为元． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得． 答：当时，选择A商场比较划算；当时，选择A，B商场费用一样；当时，选择B商场比较划算． 一元二次方程及其解法及应用 考点02 1．（2026·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，据此分析各选项． 【详解】解：A、，展开得，是一元二次方程； B、化简得，不是一元二次方程； C、 ，若，则方程不是二次方程，因此不一定是一元二次方程； D、不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 2．（2026·辽宁葫芦岛·一模）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握方程根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 先求出方程根的判别式的值，然后根据方程根的判别式与根的情况的关系即可解答． 【详解】解：方程，其中 判别式 由于，方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算判别式 的值，即可判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程定义解答即可． 【详解】解：A. ，是二元二次方程，不符合题意； B. ，是一元二次方程，符合题意，不是整式方程，不符合题意； C. ，不是整式方程，不符合题意； D. ，当时，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）一元二次方程的根是____． 【答案】 【详解】解： 或 解得． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．若点将矩形所在边分为了两部分，则的长为___________． 【答案】 【分析】根据点将矩形所在边分为两部分进行分类讨论：①，先延长交的延长线于点，根据题意判断出，是的角平分线，结合矩形的性质证明和为等腰三角形，接着设，得到，，根据进行勾股定理进行列方程即可；②，同理可得，设，，根据通过勾股定理列方程即可． 【详解】分类讨论：①， 如图，延长交的延长线于点， ， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴． ∴设，则， ∵根据题意得：， ∴ ∵据题意得：是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在中， ∴由勾股定理得：， 即：． 解得． 当时，此时；不合题意，舍去． ∴． ∴， ②， 同理可得， ∴设，则 ∴． ∵在中， ∴由勾股定理得： 即： 解得， ，即， 又∵， ∴此种情况不成立． 7．（2026·辽宁丹东·一模）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握用求根公式和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）用求根公式直接计算即可； （2）用因式分解法整理方程，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：因式分解得， 整理得， ，． 8．（2026·辽宁铁岭·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 经检验：是分式方程的解． （2）解： 移项得，， ∴ 提取公因式得，， ∴或， 解得：，． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）数学小组同学进行如下操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为厘米； (1)如果围成的两个正方形的面积之和等于，那么是多少厘米？ (2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为．”小红的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)小红的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键． （1）设其中较短一段长为，则另一段长为，就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于，建立方程求出其解即可； （2）根据题意，判断方程解的情况即可． 【详解】（1）解：其中较短一段长为，则另一段长为， 依题意得， 解得， 因为是较短的一段， 所以，即， 故不合题意，舍去， 答：的值为时，围成的两个正方形面积之和为； （2）解：小红的说法正确 ， 整理得，， ，原方程无实数根， 两个正方形的面积之和不可能等于， 答：小红的说法正确． 10．（2026·辽宁铁岭·一模）春节期间，某仓储超市代销礼盒，根据以往销售经验：当一盒利润为元时，日销售量可达到盒，一盒售价每提高元，日销售量减少盒（注：礼盒成本不变）． (1)求一盒售价提高多少元时，销售礼盒的日销售利润为元； (2)求一盒售价提高多少元时，销售礼盒的日销售利润最大，最大利润是多少． 【答案】(1)一盒售价提高元或元时，销售礼盒的日销售利润为元 (2)一盒售价提高元时，销售礼盒的日销售利润最大，最大利润是元 【分析】设一盒售价提高元时，销售礼盒的日销售利润为元，根据一盒售价每提高元，日销售量减少盒，利用利润每盒利润销售量，列方程求解即可； （2）设日销售利润为，利用利润每盒利润销售量，得出关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设一盒售价提高元时，销售礼盒的日销售利润为元， ∵一盒利润为元时，日销售量可达到盒，一盒售价每提高元，日销售量减少盒， ∴， 整理得，， 解得：，， ∴一盒售价提高元或元时，销售礼盒的日销售利润为元． （2）解：设日销售利润为， ∴， ∵， ∴时，有最大值，最大值为元， ∴一盒售价提高元时，销售礼盒的日销售利润最大，最大利润是元． 分式方程（组）及其解法及应用 考点03 1．（2026·辽宁锦州·一模）为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知型观光车的单价是型观光车单价的1.5倍，用45万元购进型观光车的数量比用40万元购进型观光车的数量少5辆． (1)A型和B型观光车的单价各是多少万元？ (2)该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 【答案】(1)A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元 (2)最多可以购买30辆A型观光车 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； 【详解】（1）设型观光车的单价为万元，则型观光车的单价为万元． 根据题意得 解得 经检验，是所列方程的根． （万元） 答：A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元． （2）设购买型观光车辆，则购买型观光车辆． 根据题意得． 解得． 最多可以购买30辆A型观光车． 2．（2026·辽宁盘锦·一模）荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． (1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？ (2)荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？ 【答案】(1)购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元 (2)荣庆公司最多可购买18个该品牌台灯 【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元．则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程求解即可； （2）设公司购买台灯的个数为a个，则还需要购买手电筒的个数是个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元． 根据题意 得 解得 ， 经检验，是原方程的解． 所以． 答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元； （2）解：设公司购买a个该品牌台灯，则还需要购买个手电筒，由题意得 解得， 答：荣庆公司最多可购买18个该品牌的台灯． 3．（2026·辽宁辽阳·一模）知识改变命运，阅读点亮人生，为激发年轻人的阅读兴趣，某市举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的读书活动．在活动中某书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本，已知种图书每本的进价比种图书贵元，且用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本． (1)求，两种图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店老板第二次购进两种书共本，已知每本种图书的售价为元，每本种图书的售价为元，若该老板希望销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元，则至多购进种图书多少本？ 【答案】(1)种图书每本进价是元，种图书每本进价是元 (2)至多购进种图书本 【分析】（1）设种图书每本进价是元，则种图书每本进价是元，根据“用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本”列方程求解即可； （2）设购进种图书本，则购进种图书本，根据“销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元”列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设种图书每本进价是元，则种图书每本进价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴种图书每本进价是元，种图书每本进价是元； （2）解：设购进种图书本，则购进种图书本， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴的最大整数为， ∴至多购进种图书本． 一元一次不等式（组）及其解法及应用 考点04 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节，某校计划采购一批树苗，参加植树节活动．经了解，购买1棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需125元；购买2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需300元． (1)求甲、乙两种树苗的单价； (2)学校决定购买甲、乙两种树苗共50棵，且两种树苗的总费用不超过2000元，求最多可购买多少棵乙种树苗． 【答案】(1)甲种树苗的单价为25元，乙种树苗的单价为50元 (2)最多可购买30棵乙种树苗 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设甲种树苗的单价为元，乙种树苗的单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗，根据题意建立一元一次不等式，解不等式，求出的最大正整数值，由此即可得． 【详解】（1）解：设甲种树苗的单价为元，乙种树苗的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：甲种树苗的单价为25元，乙种树苗的单价为50元． （2）解：设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大正整数值为30， 答：最多可购买30棵乙种树苗． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）当下新能源汽车产业快速崛起，某电池生产厂引入A，B两种型号的自动化电芯组装设备，提升产能的同时保障了产品一致性．已知2台A型设备和3台B型设备同时工作1小时可完成140个电芯的组装；3台A型设备和2台B型设备同时工作1小时可完成160个电芯的组装． (1)求每台A，B型设备每小时分别完成多少个电芯的组装． (2)由于电力负荷限制，该厂同一时间内最多可启动8台设备．若要确保每小时完成220个电芯的组装，则该厂同一时间内至少需要启动多少台A型设备？ 【答案】(1)每台A型设备每小时完成40个电芯的组装，每台B型设备每小时完成20个电芯的组装 (2)3 【分析】（1）设每台A型设备每小时完成x个电芯的组装，每台B型设备每小时完成y个电芯的组装．由题意，得，解方程组求解即可； （2）设同一时间内启动台A型设备，则启动台B型设备．由题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型设备每小时完成x个电芯的组装，每台B型设备每小时完成y个电芯的组装． 由题意，得 解得 答：每台A型设备每小时完成40个电芯的组装，每台B型设备每小时完成20个电芯的组装． （2）解：设同一时间内启动台A型设备，则启动台B型设备． 由题意，得． 解得． 由m是整数，故m的最小值为3． 答：该厂同一时间内至少需要启动3台A型设备． 3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）新学期开始了，同学们将走出教室进行适当的体育锻炼，某校9.1班想集体购买跳绳和毽子，已知购买2条跳绳和3个毽子，需花费26元，购买1条跳绳和4个毽子，需花费18元． (1)求跳绳和毽子的单价各是多少元？ (2)经商谈，商家给予9.1班购买一条跳绳即赠送一个毽子的优惠，如果9.1班需要毽子的数量是跳绳数量的2倍还多8个，且该班级购买跳绳和毽子的总费用不超过260元，那么该班级最多可购买多少条跳绳？ 【答案】(1)跳绳的单价是10元，毽子的单价是2元 (2)9.1班的跳绳最多买20条 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设跳绳的单价是元，毽子的单价是元，根据“已知购买2条跳绳和3个毽子，需花费26元，购买1条跳绳和4个毽子，需花费18元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设9.1班购买条跳绳，则还需购买个毽子，利用总价单价数量，结合总价不超过260元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）设跳绳的单价是元，毽子的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：跳绳的单价是10元，毽子的单价是2元； （2）设9.1班购买条跳绳，则还需购买个毽子， 由题意得，， 解得， 为正整数， 的最大值为20． 答：9.1班的跳绳最多买20条． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 一次方程（组）及其解法及应用 考点01 1．B 2．A 3．B 4．(1)元 (2)件 5．(1)甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元 (2)最多能购进乙种商品件 6．(1)甲款玩具的进货单价为元，乙款玩具的进货单价为元 (2)件 7．(1)A型玩具每个的进价为25元，B型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进A型玩具2个，B型玩具15个；方案2：购进A型玩具4个，B型玩具10个；方案3：购进A型玩具6个，B型玩具5个 8．(1)一个篮球的价格为元，一套篮球运动服的价格为元． (2)当时，选择A商场比较划算；当时，选择A，B商场费用一样；当时，选择B商场比较划算． 一元二次方程及其解法及应用 考点02 1．A 2．B 3．B 4．B 5． 6． 7．(1)，； (2)，． 8．(1) (2)， 9．(1) (2)小红的说法正确，理由见解析 10．(1)一盒售价提高元或元时，销售礼盒的日销售利润为元 (2)一盒售价提高元时，销售礼盒的日销售利润最大，最大利润是元 分式方程（组）及其解法及应用 考点03 1．(1)A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元 (2)最多可以购买30辆A型观光车 2．(1)购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元 (2)荣庆公司最多可购买18个该品牌台灯 3．(1)种图书每本进价是元，种图书每本进价是元 (2)至多购进种图书本 一元一次不等式（组）及其解法及应用 考点04 1．(1)甲种树苗的单价为25元，乙种树苗的单价为50元 (2)最多可购买30棵乙种树苗 2．(1)每台A型设备每小时完成40个电芯的组装，每台B型设备每小时完成20个电芯的组装 (2)3 3．(1)跳绳的单价是10元，毽子的单价是2元 (2)9.1班的跳绳最多买20条 2/3 3/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 4大考点概览 考点01一次方程（组）及其解法及应用 考点02一元二次方程及其解法及应用 考点03分式方程（组）及其解法及应用 考点04一元一次不等式（组）及其解法及应用 一次方程（组）及其解法及应用 考点01 1．（2026·辽宁铁岭·一模）在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）某村通过电商平台推广山野菜．原计划用一批A型货车运输，若每辆货车装载3吨，恰好能一次性运完所有山野菜．实际运输时更换为载重量比A型货车少1吨的B型货车，且车辆数量比原计划增加了2辆，也恰好能一次性运完．这批山野菜的总重量为（   ） A．12吨 B．15吨 C．18吨 D．24吨 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为（   ） A．16 B．4或16 C．4或 D．20 4．（2026·辽宁抚顺·一模）某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 5．（2026·辽宁抚顺·一模）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知购进件甲种商品和件乙种商品共需元；购进件甲种商品和件乙种商品共需元．甲种商品每件的售价为元，乙种商品每件的售价为元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价； (2)若该商店计划购进甲、乙两种商品共件，实际出售时甲种商品的售价不变，乙种商品打八折出售，且总利润不超过元，则最多能购进乙种商品多少件 6．（2026·辽宁抚顺·一模）某商家购进甲、乙两款玩具进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价相同）： 甲款数量／件 乙款数量／件 进货总费用／元 第一次 第二次 (1)求甲、乙两款玩具的进货单价； (2)由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具共件，若每件甲款玩具的售价为元，每件乙款玩具的售价为元，且销售完这件玩具所获得的利润不低于元，则该商家最少需购进乙款玩具多少件？ 7．（2026·辽宁盘锦·一模）随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元． (1)求A、B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A、B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案． 8．（2026·辽宁抚顺·一模）某学习兴趣小组在数学课上进行了项目化学习研究，研究如下： 【提出驱动性问题】商品优惠问题． 【设计实践性任务】选择“素材1”“素材2”设计了“问题1”“问题2”的实践活动． 探究商品优惠问题 素材 素材1 A，B两商场以同样的价格出售篮球运动服和篮球两种商品，已知套篮球运动服比个篮球贵元，套篮球运动服比个篮球贵元． 素材2 为了促销，A，B两商场推出优惠活动： A商场：每购买满套篮球运动服，送一个篮球． B商场：原价购买篮球运动服，篮球的价格打八折． 请根据以上提供的信息，帮学习兴趣小组解决问题． (1)求一个篮球和一套篮球运动服的价格． (2)若需要购买篮球个，篮球运动服套．学习兴趣小组通过调查发现，A，B两家商场在促销两种商品的优惠活动中，因购买篮球的数量不同，花费的费用也不同，请帮学习兴趣小组提出一个比较划算的购买方案． 一元二次方程及其解法及应用 考点02 1．（2026·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁葫芦岛·一模）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 3．（2026·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 4．（2026·辽宁抚顺·一模）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）一元二次方程的根是____． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．若点将矩形所在边分为了两部分，则的长为___________． 7．（2026·辽宁丹东·一模）解下列方程： (1)； (2)． 8．（2026·辽宁铁岭·一模）解方程： (1)； (2)． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）数学小组同学进行如下操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为厘米； (1)如果围成的两个正方形的面积之和等于，那么是多少厘米？ (2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为．”小红的说法对吗？请说明理由． 10．（2026·辽宁铁岭·一模）春节期间，某仓储超市代销礼盒，根据以往销售经验：当一盒利润为元时，日销售量可达到盒，一盒售价每提高元，日销售量减少盒（注：礼盒成本不变）． (1)求一盒售价提高多少元时，销售礼盒的日销售利润为元； (2)求一盒售价提高多少元时，销售礼盒的日销售利润最大，最大利润是多少． 分式方程（组）及其解法及应用 考点03 1．（2026·辽宁锦州·一模）为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进两种型号的观光车．已知型观光车的单价是型观光车单价的1.5倍，用45万元购进型观光车的数量比用40万元购进型观光车的数量少5辆． (1)A型和B型观光车的单价各是多少万元？ (2)该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 2．（2026·辽宁盘锦·一模）荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． (1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？ (2)荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？ 3．（2026·辽宁辽阳·一模）知识改变命运，阅读点亮人生，为激发年轻人的阅读兴趣，某市举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的读书活动．在活动中某书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本，已知种图书每本的进价比种图书贵元，且用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本． (1)求，两种图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店老板第二次购进两种书共本，已知每本种图书的售价为元，每本种图书的售价为元，若该老板希望销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元，则至多购进种图书多少本？ 一元一次不等式（组）及其解法及应用 考点04 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节，某校计划采购一批树苗，参加植树节活动．经了解，购买1棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需125元；购买2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需300元． (1)求甲、乙两种树苗的单价； (2)学校决定购买甲、乙两种树苗共50棵，且两种树苗的总费用不超过2000元，求最多可购买多少棵乙种树苗． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）当下新能源汽车产业快速崛起，某电池生产厂引入A，B两种型号的自动化电芯组装设备，提升产能的同时保障了产品一致性．已知2台A型设备和3台B型设备同时工作1小时可完成140个电芯的组装；3台A型设备和2台B型设备同时工作1小时可完成160个电芯的组装． (1)求每台A，B型设备每小时分别完成多少个电芯的组装． (2)由于电力负荷限制，该厂同一时间内最多可启动8台设备．若要确保每小时完成220个电芯的组装，则该厂同一时间内至少需要启动多少台A型设备？ 3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）新学期开始了，同学们将走出教室进行适当的体育锻炼，某校9.1班想集体购买跳绳和毽子，已知购买2条跳绳和3个毽子，需花费26元，购买1条跳绳和4个毽子，需花费18元． (1)求跳绳和毽子的单价各是多少元？ (2)经商谈，商家给予9.1班购买一条跳绳即赠送一个毽子的优惠，如果9.1班需要毽子的数量是跳绳数量的2倍还多8个，且该班级购买跳绳和毽子的总费用不超过260元，那么该班级最多可购买多少条跳绳？ 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $