23.3 一次函数与方程(组)、不等式第1课时教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级下册

23.3 一次函数与方程(组)、不等式 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 教学目标 课题 23.3 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 授课人 素养目标 1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的转化关系及其本质联系. 2.使学生能初步运用函数的图象解释一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象求一元一次方程的解、一元一次不等式的解集. 3.掌握用图象求解方程、不等式的方法，进一步体会数形结合思想的应用. 教学重点 用函数观点解决一元一次方程和一元一次不等式的问题. 教学难点 “一次”关系的理解及相互转化. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：设置疑问，导入新课 【问题导入】 (1)观察下面的一元一次方程与一元一次不等式，它们有什么共同之处? 2x－2>0，2x－2=0，2x－2<0. (2)上面的一元一次方程的解与一元一次不等式的解集，和一次函数y=2x－2的图象有关系吗? 上述一元一次方程或不等式左边的式子与一次函数右边的式子相同，很明显，一元一次方程、不等式与一次函数之间存在着某种联系，但这种联系还需要我们进一步去探寻. 今天，我们将以函数的角度来观察和解读一元一次方程及不等式的解(集). 【教学建议】 让学生自由发言即可，教师适时引导学生关注式子结构方面的共同点，为导入新课做准备. 设计意图 提出问题，引发学生对函数与方程、不等式之间联系的思考. 活动二：问题引入，自主探究 探究点1 一次函数与一元一次方程 阅读教材P127上方的思考，将下面的表格补充完整. 1.从“数”的角度看： 一元一次方程问题 一次函数问题 2x－1=0 解方程2x－1=0 当一次函数y=2x－1的函数值为 0 时，x取何值 2.从“形”的角度看： 一次函数问题 图象 2x－1=0 在直线y=2x－1上取纵坐标为 0 的点，求其横坐标 一次函数y=2x－1的图象与x轴交点的横坐标是 0.5 ，纵坐标为0，所以当自变量x的值为 0.5 时，函数值为0.由此可以得出一元一次方程2x－1=0的解是 x=0.5 . 问题：我们知道，任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，那么在函数观点下，应如何看待解方程ax+b=0呢? 答：解一元一次方程ax+b=0(a≠0)，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的横坐标. 归纳总结： 拓展：解一元一次方程ax+b=c(a≠0)，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为c时，求自变量x的值；或相当于已知直线y=ax+b，求它与直线y=c的交点的横坐标. 【对应训练】 已知一次函数y=－2x+2的图象如图所示.根据图象回答： (1)求方程－2x+2=0的解； (2)求方程－2x+2=2的解. 解：(1)一次函数y=－2x+2的图象与x轴的交点为(1，0)，所以方程－2x+2=0的解为x=1. (2)一次函数y=－2x+2的图象过点(0，2)，所以方程－2x+2=2的解为x=0. 【教学建议】 让学生结合函数图象分组讨论，从函数的角度解释给出的方程，再由教师引导学生得出一般性结论. 教学中注意引导学生对方程进行变形，总结出函数观点下解一元一次方程ax+b=0的意义. 设计意图 用数形结合的方法，建立一次函数与一元一次方程的联系. 设计意图 探究点2 一次函数与一元一次不等式 阅读教材P127下方的思考，将下面的表格补充完整. 1.从“数”的角度看： 一元一次不等式问题 一次函数问题 2x－1>0 解不等式2x－1>0 当一次函数y=2x－1的函数值 大于0 时，x应在什么范围内 2x－1<0 解不等式2x－1<0 当一次函数y=2x－1的函数值 小于0 时，x应在什么范围内 2.从“形”的角度看： 一次函数问题 图象 2x－1>0 在直线y=2x－1上取纵坐标 大于0 的范围，求其横坐标的范围 2x－1<0 在直线y=2x－1上取纵坐标 小于0 的范围，求其横坐标的范围 当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴 上方 ，其横坐标 大于0.5 ，即函数值大于0时x的取值范围是 x>0.5 ；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴 下方 ，其横坐标 小于0.5 ，即函数值小于0时x的取值范围是 x<0.5 .由此得出不等式2x－1>0的解集是 x>0.5 ，2x－1<0的解集是 x<0.5 . 问题：对于可化为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的一元一次不等式，在函数观点下，应如何看待解不等式ax+b>0或ax+b<0? 答：解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a≠0)，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围. 归纳总结： 拓展：解一元一次不等式ax+b>c或ax+b<c(a≠0)，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于c或小于c时，求自变量x的取值范围；或相当于已知直线y=ax+b与y=c，确定它们的交点上方部分或下方部分点的横坐标的取值范围.(该方法可推广至结合图象比较两个函数之间的大小关系) 【对应训练】 教材P130练习第1题. 【教学建议】 学生类比探究点1的探究过程，从函数的角度对一元一次不等式进行探究.教师应引导学生从“数”与“形”两个方面进行分析，增强学生的直观感受度. 应提醒学生，在平面直角坐标系中，自变量由小到大对应横轴从左到右，函数值由小到大对应纵轴从下到上. 类比研究一次函数和一元一次方程的联系的方法，建立一次函数与一元一次不等式的联系. 活动三：重点突破，提升探究 例 函数y=2x+6的图象如图所示. (1)求方程2x+6=0的解； (2)求不等式2x+6>0的解集； (3)求不等式组－1≤2x+6≤3的解集. 解：(1)因为图象过点(－3，0)， 所以方程2x+6=0的解为x=－3. (2)因为当函数y=2x+6的图象在x轴上方时，x>－3，所以不等式2x+6>0的解集为x>－3. (3)因为函数图象过F(－1.5，3)，G(－3.5，－1)两点，当函数y=2x+6的函数值满足－1≤y≤3时，－3.5≤x≤－1.5，所以不等式组的解集是－3.5≤x≤－1.5. 【对应训练】 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，其与x轴的交点坐标是(－0.5，0)，利用函数图象回答： (1)当x取何值时，kx+b=0? (2)当x取何值时，kx+b>1.5? (3)当x取何值时，0.5<kx+b<2.5? 解：(1)因为一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是(－0.5，0)，所以当x=－0.5时，kx+b=0. (2)当x>1时，kx+b>1.5. (3)因为0.5<kx+b<2.5，所以0.5<y<2.5. 由函数图象，得当0<x<2时，0.5<kx+b<2.5. 【教学建议】 让学生独立思考完成.解决此类问题，通常是找出直线与坐标轴的交点或者根据题目给出的函数值求得对应自变量的值，然后结合图象的增减性来判断对应的自变量的取值范围. 设计意图 让学生进一步体会用函数图象可以直观地求方程、不等式的解或解集. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.如何利用函数解一元一次方程? 2.如何利用函数解一元一次不等式? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P130习题23.3第1，2题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 23.3 一次函数与方程(组)、不等式 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程的关系. 2.一次函数与一元一次不等式的关系. 教学反思 本节课是在一次函数的基础上进行的一次综合与扩展教学.从简单的一元一次方程和一次函数的函数值为0的例子入手，让学生初步感知两者之间的联系，再从更多的例子中寻找一元一次方程和一次函数的联系，最后得出一般规律.以此作为基础，继而类比探究出一元一次不等式与一次函数的关系. 学科网（北京）股份有限公司 $