第一章 三角形的证明及其应用 检测（一）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步单元卷(北师大版·新教材)

班级： 姓名： 学号： 2025-2026学年八年级数学北师版下册 第一章三角形的证明及其应用检测（一） (说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分120分) 题号 三 总分 得分 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题意，请选出并填 入下表相应的位置) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 1.如图，∠B=35°，∠CAD=60°，则∠C的度数为 D A.15° B.25 C.35° D.45° 智想 2.用反证法证明“√2是无理数”时，应先假设 A.√2是分数 B.√2是整数 C.√2是有理数 D.√2是实数 3.某校举办“叩问苍穹，征途永志”主题活动，邀请学生参与设计航天纪念章.小明以正八边形为边 框，设计了如图所示的作品，则此正八边形纪念章的内角和为 A.1800 B.1440 C.1260° D.1080° 第3题图 第4题图 4.将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一直线上），连接另外两个锐角顶点，测 得∠1=40°，则∠2的度数为 A.65° B.55 C.45° D.75° 5.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC交CD于点E.若BC=18,DE=6,则△BCE的 面积为 A.108 B.54 C.27 D.9 D B C 第5题图 第6题图 6.如图，一斜坡的坡面与地面呈钝角∠PAQ,王师傅要在该坡角处铺设木板，他的做法是：①将两块 等宽长方形木板的长边分别贴住坡面AP和地面AQ,且两块长方形木板的顶角交于点A,两长边 交于点D,分别在两块长方形木板上做标记；②裁剪两个全等的△ABD和△ACD.这样就可以在 坡角处贴合地面铺设木板，则△ABD≌△ACD的依据是 A.HL B.SAS C.ASA D.AAS 7.如图，在△ABC中，DE垂直平分AC,分别交BC,AC于点D,E,连接AD.若AE=6cm,△ABD的周长 为26cm,则△ABC的周长为 A.44cm B.38 cm C.32 cm D.26 cm C 第7题图 第8题图 8.如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E,使CE=CD,连接DE,则∠BDE的度 数为 A.105 B.120° C.135 D.150 9.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则点C到AB 的距离为 A.3 B.√3 c 9 0.5 M B 第9题图 第10题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且 MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为 A.8 B.4√3 C.6 D.4 1 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将正确答案填在题中横线上） 11.命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是 12.如图，ACLBC,ADLBD,垂足分别是点C,D,若要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD,则应添加 的条件是 第12题图 第13题图 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，以AC的长为半径作弧，交边AB于点D.若AB=10, BC=8,则BD的长为 14.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成， 两根棒在点O处相连并可绕点O转动，点C固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠AOB= 25°，则∠CDE的度数为 E 智想 D B 第14题图 第15题图 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,点D为AC上一点，将△ABD沿BD折叠，点A恰好 落在BC延长线上的点E处，则CD的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(本题7分)若一个多边形的外角和是它内角和的子，求这个多边形的边数. 2 17.(本题8分)如图，在△ABC中，ADLBC于点D,BE平分∠ABC交AC于点E,∠ABC=64°，∠AEB= 70°.求∠CAD的度数 B D 三育 18.(本题8分)如图，AB⊥BC于点B,AE⊥DE于点E,AB=AE,∠1=∠2.求证：BC=DE. B ◇E 12入 19.(本题8分)如图，∠ACB=90°，AC=BC,点D为△ABC外一点，且AD=BD,DE⊥AC,交CA的延长线 于点E,连接CD.求证：CE=DE. 20.(本题9分)某班组织学生进行设计创意花坛的项目化学习活动.智慧小组的活动报告如下： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 实践工具 卷尺、铅笔等 如图，四边形ABCD是校园里的一块空地，栅栏AC将该空地分割成两块区域 想 (宽度忽略不计)，其中△ABC区域种植三色堇，△ACD区域种植矮牵牛. 设计说明 B 测量数据 ∠BAC=90°，AB=8m,BC=17m,CD=9m,AD=12m. 项目任务求三色堇和矮牵牛的种植面积各为多少. 21.（本题10分)如图，△ABC的两条高CD,BE相交于点0，且OB=OC. (1)求证：△ABC是等腰三角形 (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由. E 入0 卓育 3 22.（本题12分)下面是果果同学的数学日记片段，请认真阅读并完成相应的任务. 3月6日星期五晴 对含30°角的直角三角形的进一步探究 我发现在基本的几何图形中，通过增加新的几何元素，会出现新的结论.下面是我对 含30°角的直角三角形进行的一些探究.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. 【初步探究】 如图2，在图1的基础上，作△ABC的角平分线BD,可以得到AD=2CD. 如图3，在图1的基础上，作边AB的垂直平分线，分别交边AC,AB于点D,E,也可以得到AD= 2CD. 【深入探究】 如图4，在图1的基础上，作△ABC的高CF,可以发现线段AF与BF的数量关系， B D D 图1 图2 7图3 图4 任务： (1)求证：AD=2CD.(从图2、图3中选择一个进行证明)》 (2)请直接写出图4中线段AF与BF的数量关系， (3)如图5，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°.利用尺规在BC边上找一点P,使得CP=2BP.(要求：保 留作图痕迹，不写作法) 不 图5 4 23.（本题13分)综合与探究 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,∠B=∠D=60°，连接AC,点E,F分别在边BC,CD 上，且BE=CF ①求证：△AEF是等边三角形 ②若AC=6,求四边形AECF的面积. (2)某小区有一块四边形空地ABCD,如图2，经测量：AB=AD=9m,AC=10m,∠BCD=120°，∠BAD= 60°，物业决定以△ABD和△BCD为大致轮廓种植月季和薰衣草，如图3，为了观赏方便，过 点E规划三条路线EC,EF,EG(宽度忽略不计)，其中CE⊥BD于点E,EF⊥AB于点F,EG⊥AD 于点G,请直接写出三条路线的长度之和， D B 图1 图2 图3 卓育 参考答案及详解 2025-2026学年八年级数学北师版下册 ∴.∠ACM=LNMC. 第一章三角形的证明及其应用检测（一） .MN=CN -1~5.BCDAB 6~10.ABBDC .:MN平分∠AMC 解析 ·.∠AMN=∠NMC. 2.用反证法证明“√2是无理数”时，应先假设√2不是无理数， ∴.∠AMN=∠NMC=∠ACM. 即√2是有理数 .∠A=90°， 4.如图 ∴.∠AMC+∠ACM=90°，即∠AMN+∠NMC+∠ACM=90° ·.∠AMN=30° .AN=1,..MN=2AN=2...CN=2 ..AC=AN+CN=3. .MN∥BC,.∠B=∠AMN=30° 由题意，得∠3=180°-60°-45°=75° .BC=2AC=6. .∠2=180°-∠1-∠3=180°-40°-75°=65°. 二、11.三个内角都相等的三角形是等边三角形 7.·DE垂直平分AC, 12.答案不唯一，如AC=BD或BC=AD ..AD=CD,AE=CE..'.AC=AE+CE=12 cm. 13.414.80° .AB+AD+BD=26 cm. 15.1.5 ..AB+CD+BD=AB+BC=26 cm. 解析 .∴△ABC的周长为AB+BC+AC=26+12=38(cm). 13.由作图知AD=AC. 8.·△ABC为等边三角形，BD为中线 在Rt△ABC中，AC=√AB2-BC2=√102-82 ∴.BD⊥AC,∠ACB=60°. .AD=6. ∴.∠BDC=90° 智想 ..BD=AB-AD=10-6=4. .CE=CD.∠ACB=∠CED+∠CDE. 14..OC=CD=DE. ∴.∠CDE=∠CED=30°. .∠DCE=∠DEC,∠ODC=∠AOB=25 .∴.∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°. ∴.∠DCE=∠AOB+∠ODC=50° 9.如图，过点C作CD⊥AB于点D,过点A作AE⊥BC,交BC的延 .∴∠DEC=50° 长线于点E. .∠CDE=180°-∠DEC-∠DCE=180°-50°-50°=80° 15.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC2+BC2=√42+32= 5. 由折叠的性质，得DE=AD,BE=AB=5 .∴CE=BE-BC=5-3=2 由网格知BC=3,AE=3,AB=√32+42=5」 .:∠ACB=90°，∴.∠DCE=180°-∠ACB=90° 5ww-BG-AE-AB-CD. 设CD=x,则AD=AC-CD=4-x ∴CD=BCAE9 .DE=4-x. AB5 在Rt△DCE中，由勾股定理，得CD+CE2=DE2 “点C到AB的距离为？ 即x2+22=(4-x)2,解得x=1.5. ..CD=1.5. 10..MN∥BC,∴.∠BCM=∠NMC. 三、16.解：设这个多边形的边数为n. (1分) .CM平分∠ACB,∴.∠ACM=∠BCM: 根据题意，得子m-2180=360 (4分) 理由：.∠BDO=∠CE0,∠BOD=∠COE,OB=OC, ∴.△BDO≌△CEO(AAS). (8分) 解得n=5. (6分) ∴.OD=0E (9分) ∴这个多边形的边数为5. (7分) 又OD⊥AB,OE⊥AC 17.解：.BE平分∠ABC .点O在∠BAC的平分线上. (10分) ∠E8C-ABc=32 (2分) 22.（1)证明：选择题图2 ∴.∠C=∠AEB-∠EBC=70°-32°=38° (4分) 如图，过点D作DH⊥AB于点H,则∠AHD=90° (1分) AD⊥BC ∴.∠ADC=90° (6分) .∠CAD=90°-LC=90°-38°=52°. (8分) 18.证明：∠1=∠2，∴.AC=AD (2分) .∠C=90°，.CDLBC. .AB⊥BC,AE⊥DE .:BD平分∠ABC, ∴.∠B=∠E=90° (4分) .AC=AD,AB=AE ∴.CD=DH (3分) 在Rt△ADH中，∠A=30°，.AD=2DH (5分) ·.Rt△ABC≌Rt△AED(HL). (6分) ..AD=2CD. (6分) .BC=DE (8分) 19.证明：·.AC=BC,AD=BD. 选择题图3. (1分) ·.CD是线段AB的垂直平分线 如图，连接BD. (2分) .AC=BC,∠ACB=90°，.∠AC =1∠ACB=45 (4分) DE⊥AG,.∠CED=90° :.∠CDE=90°-∠ACD=45° (5分) ∴.∠CDE=∠ACD (6分) .DE垂直平分AB,.AD=BD. (2分) ∴.CE=DE (8分) ∴∠ABD=∠A=30°. (3分) 20.解：在Rt△ABC中，AC=√BC-AB2=√17-82=15(m.(2分) .:∠ABC=90°-∠A=60°. .AD2=122=144.CD2=92=81.AC2=225 ∴.∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30° (4分) ·.AD2+CD2=AC2 (4分) .BD=2CD. (5分) ∴.△ACD是直角三角形，且∠D=90° (6分) ∴.AD=2CD. (6分) ∴S-号B-4AC=×8x15=60(m）.3w0-cD *12xg (2)AF=3BF (9分) (3)答案不唯一. =54(m2). (8分) 答：三色堇的种植面积为60m,矮牵牛的种植面积为54m2. (9分) 21.(1)证明：0B=0C .∠OBC=L0CB. (1分) CD,BE是△ABC的高， ∴.∠BDO=∠CE0=90° (2分) ∴.∠ABC+LOCB=90°，∠ACB+LOBC=90°. (3分) ∴.∠ABC=LACB. (4分) ..AB=AC. (11分) .△ABC是等腰三角形 (5分) 如图，点P即为所求 (12分) (2)解：点O在∠BAC的平分线上， (6分) 23.(1)①证明：：AB=BC=CD=DA,∠B=∠D=60° 5 .,△ABC,△ADC都是等边三角形 (1分) .:∠BCD=120°，∠BAD=60° ∠BAC=LACF=60°，AB=AC ∴.∠ABC+∠D=360°-∠BAD-∠BCD=180°. .∠B=60°， ·.∠ABC+∠ABM=180°， ∴.∠B=∠ACF (2分) ∴.∠D=∠ABM 又BE=CF, 又.AD=AB,DC=BM. △ABE≌△ACF(SAS), (3分) ∴.△ADC≌△ABM(SAS). .AE=AF,∠BAE=∠CAF .∴.AC=AM=10.∠DAC=∠BAM. ∴.∠EAF=∠EAC+∠CAF=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60° ∴.∠CAM=∠BAM+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=60° (4分) .∴.△AMC为等边三角形.∴.CM=10. .·.△AEF是等边三角形， (5分) AC=AM.ANLBC..CN-zCM-5. ②解：由①知△ABE≌△ACF, AW=√AC2-CW2=√102-52=5√3 .S△ABE=S△ACr ∴.S图边形ABC=S△ABC+SAACK=S△ABC+SAhB=S△ABC (6分) +5.ww-jCM-AN-jx10x5/3-25/3. 如图，过点A作AGLBC于点G. (7分) ·.·△ADC≌△ABM .SA△iDc=S△Bn .S四边形ABn=SaA0=25√3。 智根 如图，连接AE. B EG △ABC是等边三角形. ∴.AB=AC=BC=6 D ACLBC..CG-BG-3. (8分) .AG=√AC2-CG=√62-32=3√3 .AB=AD,∠BAD=60°， (9分) .△ABD是等边三角形 +.S.w-BC.AG-zx6x3/3-9/3. ∴.AB=AD=BD=9 .S四边形HBcp=9√3. (10分) CE⊥BD,EF⊥AB.EG⊥AD (2)50V3 m. (13分) Ct+SA+Sa,即，2EE?ECCE=25月 解析如图，延长CB至点M,使BM=DC,连接AM,过点A作 EF+EG+CE-503 AN⊥BC于点N. 三条路线的长度之和为50√3 m. 9 R 6