数量积常见求法与数量积坐标表示基础训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

平面向量(4)：数量积常见求法 数量积坐标表示基础 一、单选题 1．在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于（    ） A． B． C． D． 2．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 3．如图是函数在一个周期内的图象，该函数图象分别与轴、轴相交于、B两点，与过点的直线相交于另外两点、，则（        ）      A． B． C． D． 4．如图，线段，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，，设O为原点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D． 6．如图，在中，，，，则 A． B． C． D． 7．已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的最大值为（    ） A．0 B． C．3 D． 8．如图，，，都是边长为2的等边三角形，顶点，，，，在同一条直线上，边上有10个不同的点，记，则的值为（    ） A． B．45 C． D．180 9．中，，O是外接圆圆心，则的最大值为（　　） A．0 B．1 C．3 D．5 二、多选题 10．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D．的最大值为3 三、填空题 11．已知点，点，点满足，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值是 ． 四、解答题 12．如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 答案第8页，共8页 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量(4)：数量积常见求法 数量积坐标表示基础参考解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C C D C D C ACD 1．A 【难度】0.85 【知识点】向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】先根据向量的加法求出，然后求出，进而可直接求解. 【详解】因为M是的中点，所以，    又因为点P在上且满足，，所以， 所以. 故选：A. 2．C 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、平面向量数量积的几何意义 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 3．D 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、正弦函数图象的应用 【分析】先求得两点的坐标，根据对称性求得，进而求得. 【详解】因为函数，由，所以， 令，即，可得 即，当时，，所以， 因为函数关于点A对称，所以关于A的对称点为，即的中点为A， 所以 又因为，所以. 故选：D      4．C 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的坐标表示 【分析】令，由边长为1，2的长方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 【详解】解：如图令，，由于，故，， 如图，，故，， 故，同理可求得，即， ∴， ∵，∴．∵，∴的最大值是3，最小值是1， 故选：C． 5．C 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量、用定义求向量的数量积 【分析】根据平面向量的线性运算将，，，，，都用向量和表示，由向量数量积的运算可求出，的值，再进行数量积运算即可求出的值. 【详解】因为是的中点，，是上的两个三等分点， 所以，， ，， 所以， ， 可得，， 又因为， 所以， 故选：C． 6．D 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴， 故选． 7．C 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、用基底表示向量 【分析】利用基底表示和，再求数量积. 【详解】， 所以， ， ， ， ，， 当时，取得最大值. 故选：C 8．D 【难度】0.65 【知识点】向量模的坐标表示 【解析】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，可把向量用坐标表示出来，由在直线上得出满足的关系，计算后可得结论． 【详解】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，，设，则，，又，，即， 所以，所以. 故选：D. 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，解题关键是建立平面直角坐标系． 9．C 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理及辨析、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出的最大值即可计算作答. 【详解】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点， 在中，，则，即， ，同理， 因此， ， 由正弦定理得：，当且仅当时取“=”， 所以的最大值为3. 故选：C 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 10．ACD 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、垂直关系的向量表示 【分析】应用向量垂直计算判断A，应用向量平行得出正切进而得出角判断B，根据投影向量公式计算得出夹角判断C，应用向量坐标模长公式计算结合正弦值域判断D. 【详解】对于A，由，得，因此，故A正确； 对于B，若，则，所以，所以，故B错误； 对于C，因，， 由在上的投影向量为，解得， 又，，故C正确； 对于D，因， 故， 当，即时， 也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确. 故选：ACD. 11． 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、已知切线求参数、轨迹问题——圆 【分析】首先求点的轨迹方程，再根据几何关系计算数量积，转化为关于的式子，结合对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】，因为，所以， 化简得，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上． 设，则 ． 因为，所以，所以． 因为在上单调递增，所以在时取最小值， 最小值为． 故答案为： 12．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、平面向量基本定理的应用、向量夹角的计算、用基底表示向量 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 答案第8页，共8页 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $