陕西西安市第一中学2026届高三下学期模拟（2）数学试题

第一中学2026届模拟试题（2） 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（ ） A. 20%，5120元 B. 10%，5120元 C. 20%，6400元 D. 10%，6400元 6. 已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 8. 已知，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 在上单调递增 10. 在棱长为2的正方体 中，已知， 分别为线段 ， 的中点，点在四边形内运动，则（ ） A. B. 当点在上运动时，三棱锥的体积为 C. D. 周长的最小值为 11. 若,且，数列的前n项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列 C. D. 数列的通项公式为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________． 13. 的展开式中常数项为__________． 14. 在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤．） 15. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． （1）求椭圆E的方程． （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆上一点处的切线方程为． 16. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程． （2）若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围． 17. 已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． （1）证明：是等差数列； （2）令，求． 18. 如图所示，是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，垂直于半圆O所在的平面，，，. （1）证明：平面平面； （2）当C点为半圆的中点时，求面与面所成的二面角的正弦值. 19. 某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时有2个节点在线（假设在线的不再宕机），3个为宕机（停摆，不能正常工作），每个月系统随机等概率地巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第n个月后在线节点数，表示其数学期望， （1）当时，求； （2）证明：． 第一中学2026届模拟试题（2） 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】29 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $