10.1 幂的运算学案2025-2026学年青岛版数学七年级下册

10.1幂的运算 知 识 清 单 知识点1 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即(m、n为正整数). 【知识解读】 （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（m、n、p都是正整数）. （4） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的 底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（m、n都是正整数）. 素 养 提 升 考点1 同底数幂的乘法 例题讲解： 1．计算m2•m3的结果，正确的是（　　） A．m5 B．m6 C．m7 D．m8 2．计算的结果是（　　） A．23+n B．23n C．28n D．28+n 跟踪训练： 1．已知am＝3，an＝2，则am+n＝（　　） A．5 B．1 C．6 D．8 2．已知x+y＝2，则5x•5y的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．25 D．﹣25 3．若a，b是正整数，且满足2a+2a+2a+2a＝2b•2b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+2＝2b C．a+1＝b2 D．4a＝b2 4．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝b8 B．a+3＝8b C．3a﹣8＝b D．3a＝8b 5．（﹣a）2•a•（﹣a）3＝　 ． 6．我们规定：a⊗b＝10a×10b，例如3⊗4＝103×104＝107，那么7⊗8等于 　 ． 7．已知2x+y﹣2＝0，则32x×3y＝ 　 　 ． 8．已知：m+n﹣3＝0，则2m×2n的值为　 　 ． 9．若am＝an（a＞0，且a≠1，m，n是正有理数），则m＝n．利用该结论解决下面的问题： （1）如果32x＝38，求x的值； （2）如果2x+2x+1＝48，求x的值． 10．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013， 将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014， 将下式减去上式得：2S﹣S＝22014﹣1， 即S＝22014﹣1， 即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1． 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+22024； （2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n为正整数）． 11．如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定填空： （﹣2，4）＝　 　 （5，1）＝　 　 　 　 ． （2）已知，（9，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，求证：2a+b＝c． 知 识 清 单 知识点2 积的乘方 即积的乘方等于各因数乘方的积。即 (m为正整数). 【知识解读】 （1）公式的推广： (m为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： （3）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （4）如果底数是负数时按照乘方的计算方法：先确定符号（奇负偶正），再利用积的乘方法则运算 素 养 提 升 考点2 积的乘方 例题讲解： 1．下列计算中，正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．a3+a3＝a6 D．（a2）3＝a6 2．计算的结果是（　　） A． B． C．1 D．2 跟踪训练： 1．下列计算正确的是（　　） A．5a﹣2a＝3 B．a4•a3＝a12 C．（a3）2＝a6 D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b 2．计算的值等于（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 3．若10x＝2，10y＝3，则1002x+y的结果是 　 　 ． 4．若a＝45，b＝54，试用含a，b的代数式表示2020＝ ． 5．计算：（﹣3xy2）2＝ 　 ． 6．计算： （1）b•b3•b5． （2）． （3）（x﹣y）3（x﹣y）（y﹣x）2． 7．计算： （1）（﹣3a3）2•a3+（﹣4a）2•a7+（﹣5a3）3； （2）（y﹣x）•（x﹣y）2﹣（x﹣y）5； 知 识 清 单 知识点3 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即(其中m、n都是正整数). 【知识解读】 （1）公式的推广：(a≠0，m、n、p均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算 能将某些幂变形，从而解决问题. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 素 养 提 升 考点3 幂的乘方 例题讲解： 1．已知16x＝43x﹣1，则x＝　 　 ． 2．已知a＝255，b＝344，c＝433，把a，b，c从小到大排列 ．（用“＜”连接） 跟踪训练： 1．下列运算结果等于a3n的是（　　） A．a3•an B．（3a）n C． D． 2．下列各式中，计算正确的是（　　） A．（a2）3＝a6 B．a3•a2＝2a3 C．a2+a4＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 3．计算（3a3）2的结果是（　　） A．3a5 B．3a6 C．9a6 D．6a6 4．计算（5x3y4）2的结果为　 ． 5．若9m＝27n，则m与n满足的数量关系为　 ． 6．（1）规定a*b＝2a×2b，求： ①求1*2的值； ②若2*（x+1）＝32，求x的值． （2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值． 7．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b．如：3⊕32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36．请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值． （2）若2p＝3，2q＝4，3q＝9，求2p⊕2q的值． 8．阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：am+n＝am•an，amn＝（am）n＝（an）m，如下列探究： 探究一：比较215与312的大小． 解：因为215＝（25）3＝323，312＝（34）3＝813， 又因为32＜81，所以323＜813，所以215＜312， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 探究二：比较28和82的大小． 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6，所以28＞26，即28＞82， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： （1）比较244，422的大小； （2）比较724，436，348，260的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 知 识 清 单 知识点4 同底数幂的除法 同底数的幂相除，底数不变，指数相减，即 .（a≠0，m、n为正整数，且m＞n） 【知识解读】 （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 素 养 提 升 考点4 同底数幂的除法 例题讲解： 1．计算a•a4÷a2的结果为（　　） A．a3 B．a2 C．a7 D．a6 2．已知：x﹣y﹣4＝0，则2x÷2y＝　 　 ． 3．（1）已知5x＝m，5y＝n，求5x﹣y的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知3a＝2，3b＝4，求32a﹣b的值． 跟踪训练： 1．下列各式计算正确的是（　　） A．x5•（﹣x）2＝x10 B．（﹣x）6÷x2＝x4 C．（﹣x3）2＝x5 D．（﹣2x2y）3＝﹣2x6y3 2．下列运算正确的是（　　） A．x3+x2＝x5 B．x2÷x3＝x C．x3•x2＝x5 D．（x3）2＝x5 3．计算：（﹣x）9÷x3的结果是（　　） A．x3 B．﹣x3 C．x6 D．﹣x6 4．已知am＝5，an＝4，则代数式am﹣n的值为　 　 ． 5．已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为　 　 ． 6．若x﹣y﹣3＝0，则　 　 ． 7．计算题 （1）（x2•xm）3÷x2m+1 （2）（a2）3+（a3）2﹣a•a5 （3）（﹣3x）5÷（﹣3x）2+x4÷x （4）（x﹣y）4÷（y﹣x）3•（x﹣y）2． 8．按要求解答下列各小题． （1）已知10m＝6，10n＝2，求10m﹣n的值； （2）已知8×2m÷16m＝215，求m的值． 9．【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作[a，b]，如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如32＝9，记作[3，9]＝2． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果：[5，125]＝ 　 　 ；[﹣2，16]＝ 　 　 ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有am•an＝am+n，am÷an＝am﹣n，例如32×35＝32+5＝37，36÷32＝36﹣2＝34．（2）小颖发现[4，2]+[4，3]＝[4，6]也成立，并证明如下： 设[4，2]＝x，[4，3]＝y，则4x＝2，4y＝3， 因为4x×4y＝4x+y＝6，所以[4，6]＝x+y， 所以[4，2]+[4，3]＝x+y＝[4，6]， 仿照以上证明，计算[2025，4]+[2025，6]＝[2025，　 　 ]，写出计算过程； （3）猜想[5，18]﹣[5，3]＝[5，　 　 ]，并说明理由． 知 识 清 单 知识点5 零指数幂 任何不等于零的数的0次幂等于1，即（a≠0） 【知识解读】 底数a不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 素 养 提 升 考点5 零指数幂 例题讲解： 1．若（x﹣3）0＝1有意义，则（　　） A．x＝3 B．x≠3 C．x＝0 D．x≠0 2．如果等式（x﹣3）x+3＝1成立，则满足条件x为（　　） A．3或﹣3 B．4或3或﹣3 C．4或2或﹣3 D．4或﹣3 跟踪训练： 1．计算：（﹣2026）0＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2026 D．2026 2．下列算式中结果最小的是（　　） A．（2022﹣2025）0 B．（2022﹣2025）1 C．（2022﹣2025）2 D．（2022﹣2025）3 3．已知（a+1）0＝1，则a的值不可能为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣π 4．已知，则k的值为（　　） A．2 B．2或4 C．0或2或4 D．0或4 5．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式：（3﹣2x）x+2020＝1成立的x的值为 　 　 ． 6．阅读材料： ①1 的任何次幂都等于1； ②﹣1 的奇数次幂都等于﹣1； ③﹣1 的偶数次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1． 试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2023＝1成立的x的值． 知 识 清 单 知识点6 负整数指数幂 不等于零的数的-p（p是正整数）次幂等于这个数的p次幂的倒数，，即 （a≠0，p是正整数）. 【知识解读】 是的倒数，a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式. 例如（xy≠0），（a+b≠0）. 素 养 提 升 考点6 负整数指数幂 例题讲解： 1．下列各式的结果中，最大的是（　　） A．﹣（﹣3） B．（﹣3）﹣2 C．（﹣3）0 D．﹣|﹣3| 2．若a＝3﹣2，b＝﹣32，，，则它们的大小关系是（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜a＜d＜b D．d＜a＜c＜b 跟踪训练： 1．下列四个数中，最小的数是（　　） A．（﹣0.1）2 B．|﹣2|2 C．（﹣2）0 D． 2．下列算式中，运算结果为负数的是（　　） A．（﹣2026）2 B．﹣（﹣2026） C．﹣|﹣2026| D．2026﹣2 3．若a＝﹣32，b＝﹣3﹣2，，，则a、b、c、d的大小关系为（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＞d＞a＞c C．a＜d＜c＜b D．a＜b＜d＜c 4．下列结果正确的是（　　） A． B．10×110＝0 C．（﹣23.6）0＝1 D． 5．计算：　 　 ． 6．计算：　 　 ． 7．要使（x﹣4）﹣5有意义，则x的取值范围是 　 ． 8．计算： （1）； （2）a3•a3+（﹣a2）4+（2a4）2． 9．计算： （1）； （2）． 10．计算：． 11．计算：． 知 识 清 单 知识点7 科学计数法 一绝对值小于1的非零数可以记作的形式，其中1≤＜10。n是正整数。这种科学计数法，是绝对值小于1的非零数的科学记数法。 【知识解读】 科学计数法的关键就是找出a和n： a是原数的小数点向右移动后的结果， 符号;与原数符号相同； 范围：1≤丨a丨＜10 n是原数中第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前面的那个零）。 素 养 提 升 考点7 科学计数法 例题讲解： 1．世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为0.0000000035克．用科学记数法表示0.0000000035正确的是（　　） A．3.5×109 B．0.35×10﹣8 C．3.5×10﹣10 D．3.5×10﹣9 2．面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　） A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m 跟踪训练： 1．随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（　　） A．0.22×10﹣7 B．0.22×10﹣8 C．2.2×10﹣8 D．2.2×10﹣9 2．电池箔是用于制造电池各种工件的铝箔，在生活中有广泛的应用．我国企业研制的3μm（1m＝1000000μm）锂电铜箔，是目前全球能够实现量产的最薄锂电铜箔．数据“3μm”用科学记数法表示为（　　） A．0.3×10﹣6m B．3×10﹣6m C．3×10﹣7m D．3×10﹣8m 3．下列四个数中最小的是（　　） A．9.46×10﹣12 B．8.46×10﹣12 C．9.46×10﹣15 D．8.46×10﹣15 4．中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为　 ． 5．2026年3月17日，北京市生态环境监测中心报告，某监测站PM2.5瞬时浓度为0.000035克/立方米．这个浓度用科学记数法表示为　 克/立方米． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1幂的运算 知 识 清 单 知识点1 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即(m、n为正整数). 【知识解读】 （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（m、n、p都是正整数）. （4） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的 底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（m、n都是正整数）. 素 养 提 升 考点1 同底数幂的乘法 例题讲解： 1．计算m2•m3的结果，正确的是（　A　） A．m5 B．m6 C．m7 D．m8 【解答】解：运用同底数幂的乘法法则计算可得： m2•m3＝m2+3＝m5． 故选：A． 2．计算的结果是（　A　） A．23+n B．23n C．28n D．28+n 【解答】解：原式＝2n×8 ＝2n×23 ＝23+n， 故选：A． 跟踪训练： 1．已知am＝3，an＝2，则am+n＝（　C　） A．5 B．1 C．6 D．8 【解答】解：由条件可得：am+n＝am•an＝3×2＝6． 故选：C． 2．已知x+y＝2，则5x•5y的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．25 D．﹣25 【解答】解：∵x+y＝2， ∴5x•5y ＝5x+y＝25． 故选：C． 3．若a，b是正整数，且满足2a+2a+2a+2a＝2b•2b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+2＝2b C．a+1＝b2 D．4a＝b2【解答】解：根据同底数幂相等则指数相等的性质化简等式可得：4×2a＝2b+b， ∵4＝22， ∴22×2a＝22b， ∴2a+2＝22b， ∴a+2＝2b． 故选：B． 4．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝b8 B．a+3＝8b C．3a﹣8＝b D．3a＝8b 5．（﹣a）2•a•（﹣a）3＝　﹣a6 ．【解答】解：利用积的乘方转化成同底数幂的乘法， （﹣a）2•a•（﹣a）3 ＝﹣a2•a•a3 ＝﹣a2+1+3 ＝﹣a6， 故答案为：﹣a6． 【解答】解：∵8×2a＝23×2a＝23+a，（2b）8＝28b，而， ∴23+a＝28b， ∴3+a＝8b， 故选：B． 6．我们规定：a⊗b＝10a×10b，例如3⊗4＝103×104＝107，那么7⊗8等于 　1015 ． 【解答】解：7⊗8＝107×108＝1015， 故答案为：1015． 7．已知2x+y﹣2＝0，则32x×3y＝ 　9　 ． 【解答】解：∵2x+y﹣2＝0， ∴2x+y＝2， ∴32x×3y＝32x+y＝32＝9， 故答案为：9． 8．已知：m+n﹣3＝0，则2m×2n的值为　8　 ． 【解答】解：根据题意可知，m+n＝3， ∴2m×2n＝2m+n＝23＝8． 故答案为：8． 9．若am＝an（a＞0，且a≠1，m，n是正有理数），则m＝n．利用该结论解决下面的问题： （1）如果32x＝38，求x的值； （2）如果2x+2x+1＝48，求x的值． 【解答】解：（1）∵32x＝38， ∴2x＝8， 解得：x＝4； （2）∵2x+2x+1＝48， ∴2x+2•2x＝48， 3•2x＝48， 2x＝48÷3， 2x＝16， 2x＝24， 解得：x＝4． 10．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013， 将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014， 将下式减去上式得：2S﹣S＝22014﹣1， 即S＝22014﹣1， 即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1． 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+22024； （2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n为正整数）． 【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+22024， 将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+22025， 将下式减去上式得：2S﹣S＝22025﹣1， 即S＝22025﹣1， 即1+2+22+23+24+…+22024＝22025﹣1； （2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n， 将等式两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+1， 将下式减去上式得：3S﹣S＝3n+1﹣1， 即2S＝3n+1﹣1， 则S， 即1+3+32+33+34+…+3n． 11．如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定填空： （﹣2，4）＝　2　 （5，1）＝　0　 　﹣2　 ． （2）已知，（9，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，求证：2a+b＝c． 【解答】解：（1）根据题意可知，（﹣2，4）＝2， （5，1）＝0， ． 故答案为：2；0；﹣2； （2）证明：∵（9，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c， ∴9a＝5，3b＝6，3c＝30， ∵9a＝（32）a＝32a， ∴32a＝5， ∴32a×3b＝32a+b＝5×6＝30， 又∵3c＝30， ∴32a+b＝3c， ∴2a+b＝c． 知 识 清 单 知识点2 积的乘方 即积的乘方等于各因数乘方的积。即 (m为正整数). 【知识解读】 （1）公式的推广： (m为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： （3）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （4）如果底数是负数时按照乘方的计算方法：先确定符号（奇负偶正），再利用积的乘方法则运算 素 养 提 升 考点2 积的乘方 例题讲解： 1．下列计算中，正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（2a）3＝6a3 C．a3+a3＝a6 D．（a2）3＝a6 【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，选项计算错误，不符合题意； B．（2a）3＝23•a3＝8a3，选项计算错误，不符合题意； C．a3+a3＝2a3，选项计算错误，不符合题意； D．（a2）3＝a2×3＝a6，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 2．计算的结果是（　　） A． B． C．1 D．2 【解答】解： ． 故选：B． 跟踪训练： 1．下列计算正确的是（　　） A．5a﹣2a＝3 B．a4•a3＝a12 C．（a3）2＝a6 D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b 【解答】解：A.5a﹣2a＝3a，故原式计算错误，不符合题意； B．a4•a3＝a4+3＝a7，故原式计算错误，不符合题意； C．（a3）2＝a6，故原式计算正确，符合题意； D．﹣（a﹣b）＝﹣a+b，故原式计算错误，不符合题意． 故选：C． 2．计算的值等于（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 【解答】解：原式 ＝4． 故选：A． 3．若10x＝2，10y＝3，则1002x+y的结果是 　144　 ． 【解答】解：∵10x＝2，10y＝3， ∴1002x+y ＝（10x）4×（10y）2 ＝24×32 ＝144， 故答案为：144． 4．若a＝45，b＝54，试用含a，b的代数式表示2020＝a4b5 ． 【解答】解：原式＝（4×5）20 ＝420×520 ＝（45）4×（54）5 ＝a4b5． 故答案为：a4b5． 5．计算：（﹣3xy2）2＝ 　9x2y4 ． 【解答】解：（﹣3xy2）2＝ 9x2（y2）2＝9x2y4， 故答案为：9x2y4． 6．计算： （1）b•b3•b5． （2）． （3）（x﹣y）3（x﹣y）（y﹣x）2． 【解答】解：（1）b•b3•b5＝b1+3+5＝b9； （2）原式 ； （3）（x﹣y）3（x﹣y）（y﹣x）2 ＝（x﹣y）3（x﹣y）（x﹣y）2 ＝（x﹣y）6． 7．计算： （1）（﹣3a3）2•a3+（﹣4a）2•a7+（﹣5a3）3； （2）（y﹣x）•（x﹣y）2﹣（x﹣y）5； 【解答】解： （2）（﹣3a3）2•a3+（﹣4a）2•a7+（﹣5a3）3 ＝9a6•a3+16a2•a7﹣125a9 ＝9a9+16a9﹣125a9 ＝﹣100a9； （3）（y﹣x）•（x﹣y）2﹣（x﹣y）5； ＝﹣（x﹣y）（x﹣y）2﹣（x﹣y）5 ＝﹣（x﹣y）3﹣（x﹣y）5； 知 识 清 单 知识点3 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即(其中m、n都是正整数). 【知识解读】 （1）公式的推广：(a≠0，m、n、p均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算 能将某些幂变形，从而解决问题. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 素 养 提 升 考点3 幂的乘方 例题讲解： 1．已知16x＝43x﹣1，则x＝　1　 ． 【解答】解：∵16x＝（42）x＝42x，16x＝43x﹣1， ∴42x＝43x﹣1， ∴2x＝3x﹣1， 解得：x＝1． 2．已知a＝255，b＝344，c＝433，把a，b，c从小到大排列a＜c＜b ．（用“＜”连接）【解答】解：根据幂的性质将原式都变为指数相同的数可得： a＝255＝（25）11＝3211， b＝344＝（34）11＝8111， c＝433＝（43）11＝6411， ∴a＜c＜b． 故答案为：a＜c＜b． 跟踪训练： 1．下列运算结果等于a3n的是（　　） A．a3•an B．（3a）n C． D．【解答】解：A、a3•an＝a3+n，不符合题意； B、（3a）n＝3nan，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 故选：D． 2．下列各式中，计算正确的是（　　） A．（a2）3＝a6 B．a3•a2＝2a3 C．a2+a4＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 3．计算（3a3）2的结果是（　　）【解答】解：根据幂的运算法则与合并同类项的运算法则逐项分析判断如下： A、∵（a2）3＝a2×3＝a6， ∴该选项正确，符合题意； B、∵a3•a2＝a3+2＝a5≠2a3， ∴该选项错误，不符合题意； C、∵a2+a4≠a6， ∴该选项错误，不符合题意； D、∵（﹣2xy）3＝（﹣2）3x3y3＝﹣8x3y3≠﹣6x3y3， ∴该选项错误，不符合题意； 故选：A． A．3a5 B．3a6 C．9a6 D．6a6 【解答】解：（3a3）2＝9a6． 故选：C． 4．计算（5x3y4）2的结果为　25x6y8 ． 【解答】解：原式＝52•（x3）2•（y4）2＝25x6y8． 故答案为：25x6y8． 5．若9m＝27n，则m与n满足的数量关系为　2m＝3n ．【解答】解：根据题意可知，9m＝（32）m＝32m＝27n＝（33）n＝33n， ∴32m＝33n， ∴2m＝3n． 故答案为：2m＝3n． 6．（1）规定a*b＝2a×2b，求： ①求1*2的值； ②若2*（x+1）＝32，求x的值． （2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值． 【解答】解：（1）①由题意得1*2＝21×22＝2×4＝8； ②由题意得22×2（x+1）＝25，即22+（x+1）＝25， ∴2+x+1＝5， 解得x＝2； （2）∵x2n＝4， ∴（x3n）2﹣2（x2）2n＝（x2n）3﹣2（x2n）2＝43﹣2×42＝32． 7．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b．如：3⊕32＝31×2+31+2＝32+33＝9+27＝36．请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值． （2）若2p＝3，2q＝4，3q＝9，求2p⊕2q的值．【解答】解：（1） ∵xa⊕xb＝xab+xa+b， ∴22⊕23＝22×3+22+3＝26+25＝64+32＝96； （2） 根据题意可知， （3） 2p⊕2q ＝2pq+2p+q ＝（2p）q+2p×2q ＝3q+3×4 ＝9+12 ＝21． 8．阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：am+n＝am•an，amn＝（am）n＝（an）m，如下列探究： 探究一：比较215与312的大小． 解：因为215＝（25）3＝323，312＝（34）3＝813， 又因为32＜81，所以323＜813，所以215＜312， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 探究二：比较28和82的大小． 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6，所以28＞26，即28＞82， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： （1）比较244，422的大小； （2）比较724，436，348，260的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 【解答】解：（1）仿照探究二比较如下： ∵244＝（24）11＝1611，422＝（42）11＝1611， ∴244＝422； （2）∵724＝（72）12＝4912，436＝（43）12＝6412，348＝（34）12＝8112，260＝（25）12＝3212， ∴8112＞6412＞4912＞3212， ∴348＞436＞724＞260； （3）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52， ∴310×512＞312×510． 知 识 清 单 知识点4 同底数幂的除法 同底数的幂相除，底数不变，指数相减，即 .（a≠0，m、n为正整数，且m＞n） 【知识解读】 （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 素 养 提 升 考点4 同底数幂的除法 例题讲解： 1．计算a•a4÷a2的结果为（　　） A．a3 B．a2 C．a7 D．a6 【解答】解：a•a4÷a2＝a1+4÷a2＝a5÷a2＝a5﹣2＝a3． 故选：A． 2．已知：x﹣y﹣4＝0，则2x÷2y＝　16　 ． 【解答】解：∵x﹣y﹣4＝0， ∴x﹣y＝4， ∴2x÷2y＝2x﹣y＝24＝16， 故答案为：16． 3．（1）已知5x＝m，5y＝n，求5x﹣y的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知3a＝2，3b＝4，求32a﹣b的值． 【解答】解：（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知， 32a﹣b ＝32a÷3b ＝（3a）2÷3b ＝22÷4 ＝4÷4 ＝1． 跟踪训练： 1．下列各式计算正确的是（　　） A．x5•（﹣x）2＝x10 B．（﹣x）6÷x2＝x4 C．（﹣x3）2＝x5 D．（﹣2x2y）3＝﹣2x6y3【解答】解：A、x5•（﹣x）2＝x5•x2＝x5+2＝x7≠x10，选项计算错误，不符合题意； B、（﹣x）6÷x2＝x6÷x2＝x6﹣2＝x4，选项计算正确，符合题意； C、（﹣x3）2＝（﹣1）2×x3×2＝x6≠x5，选项计算错误，不符合题意； D、（﹣2x2y）3＝（﹣2）3•x2×3•y3＝﹣8x6y3≠﹣2x6y3，选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 2．下列运算正确的是（　　） A．x3+x2＝x5 B．x2÷x3＝x C．x3•x2＝x5 D．（x3）2＝x5 【解答】解：A．原式不能合并同类项，故本选项不符合题意； B．原式＝x﹣1，故本选项不符合题意； C．原式＝x5，故本选项符合题意； D．原式＝x6，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．计算：（﹣x）9÷x3的结果是（　　） A．x3 B．﹣x3 C．x6 D．﹣x6 【解答】解：根据积的乘方法则化简可得： （﹣x）9÷x3＝﹣x9÷x3＝﹣x9﹣3＝﹣x6． 故选：D． 4．已知am＝5，an＝4，则代数式am﹣n的值为　　 ． 【解答】解：∵am＝5，an＝4， ∴am﹣n＝am÷an， 故答案为：． 5．已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为　12　 ． 【解答】解：x2m﹣n＝（xm）2÷xn＝36÷3＝12． 故答案为：12． 6．若x﹣y﹣3＝0，则　64　 ． 【解答】解：根据题意可知，x﹣y＝3， ∴． 故答案为：64． 7．计算题 （1）（x2•xm）3÷x2m+1 （2）（a2）3+（a3）2﹣a•a5 （3）（﹣3x）5÷（﹣3x）2+x4÷x （4）（x﹣y）4÷（y﹣x）3•（x﹣y）2． 【解答】解： （1）（x2•xm）3÷x2m+1＝x6•x3m÷x2m+1＝xm+5； （2）（a2）3+（a3）2﹣a•a5＝a6+a6﹣a6＝a6； （3）（﹣3x）5÷（﹣3x）2+x4÷x＝（﹣3x）3+x3＝﹣27x3+x3＝﹣26x3； （4）（x﹣y）4÷（y﹣x）3•（x﹣y）2＝（y﹣x）4÷（y﹣x）3•（y﹣x）2＝（y﹣x）3． 8．按要求解答下列各小题． （1）已知10m＝6，10n＝2，求10m﹣n的值； （2）已知8×2m÷16m＝215，求m的值． 【解答】解：（1）10m﹣n＝10m÷10n＝6÷2＝3； （2）8×2m÷16m＝215， 23×2m÷（24）m＝215， 23+m﹣4m＝215， ∴3+m﹣4m＝15， 解得：m＝﹣4． 9．【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作[a，b]，如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如32＝9，记作[3，9]＝2． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果：[5，125]＝ 　3　 ；[﹣2，16]＝ 　4　 ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有am•an＝am+n，am÷an＝am﹣n，例如32×35＝32+5＝37，36÷32＝36﹣2＝34．（2）小颖发现[4，2]+[4，3]＝[4，6]也成立，并证明如下： 设[4，2]＝x，[4，3]＝y，则4x＝2，4y＝3， 因为4x×4y＝4x+y＝6，所以[4，6]＝x+y， 所以[4，2]+[4，3]＝x+y＝[4，6]， 仿照以上证明，计算[2025，4]+[2025，6]＝[2025，　24　 ]，写出计算过程； （3）猜想[5，18]﹣[5，3]＝[5，　6　 ]，并说明理由． 【解答】解：（1）∵53＝125，（﹣2）4＝16， 又∵如果ac＝b，那么[a，b]＝c， ∴[5，125]＝3，[﹣2，16]＝4； 故答案为3，4； （2）设[2025，4]＝x，[2025，6]＝y， 则2025x＝4，2025y＝6， ∵2025x×2025y＝2025x+y＝4×6＝24， 又∵如果ac＝b，那么[a，b]＝c， ∴[2025，24]＝x+y， ∴[2025，4]+[2025，6]＝x+y＝[2025，24]； 故答案为：24； （3）[5，18]﹣[5，3]＝[5，6]，理由如下： 设[5，18]＝x，[5，3]＝y，则5x＝18，5y＝3， ∵5x÷5y＝5x﹣y＝6， 又∵如果ac＝b，那么[a，b]＝c， ∴[5，6]＝x﹣y， ∴[5，18]﹣[5，3]＝x﹣y＝[5，6]． 故答案为：6． 知 识 清 单 知识点5 零指数幂 任何不等于零的数的0次幂等于1，即（a≠0） 【知识解读】 底数a不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 素 养 提 升 考点5 零指数幂 例题讲解： 1．若（x﹣3）0＝1有意义，则（　　） A．x＝3 B．x≠3 C．x＝0 D．x≠0【解答】解：由题可知， x﹣3≠0时，式子有意义， 解得x≠3． 故选：B． 2．如果等式（x﹣3）x+3＝1成立，则满足条件x为（　　） A．3或﹣3 B．4或3或﹣3 C．4或2或﹣3 D．4或﹣3 【解答】解：当x﹣3＝1时， 解得：x＝4， 符合题意； 当x﹣3＝﹣1时， 解得：x＝2， 此时x+3＝5，（﹣1）5＝﹣1， 不符合题意； 当x+3＝0时， 解得：x＝﹣3， 此时x﹣3＝﹣6≠0， 符合题意； 综上所述，满足条件x值为4或﹣3， 故A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 跟踪训练： 1．计算：（﹣2026）0＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2026 D．2026 【解答】解：根据任何非零数的0次幂等于1可得： （﹣2026）0＝1． 故选：B． 2．下列算式中结果最小的是（　　） A．（2022﹣2025）0 B．（2022﹣2025）1 C．（2022﹣2025）2 D．（2022﹣2025）3【解答】解：（2022﹣2025）0＝（﹣3）0＝1， （2022﹣2025）1＝（﹣3）1＝﹣3， （2022﹣2025）2＝（﹣3）2＝9， （2022﹣2025）3＝（﹣3）3＝﹣27， ∵﹣27＜﹣3＜1＜9， ∴结果最小的是（2022﹣2025）3， 故选：D． 3．已知（a+1）0＝1，则a的值不可能为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣π 4．已知，则k的值为（　　）【解答】解：A、当a＝1时，（a+1）0＝（1+1）0＝20＝1，故此选项不符合题意； B、当a＝1时，a+1＝0，（a+1）0≠1，故此选项符合题意； C、当a＝0时，（a+1）0＝（0+1）0＝10＝1，故此选项不符合题意； D、当a＝﹣π时，（a+1）0＝（﹣π+1）0＝1，故此选项不符合题意； 故选：B． A．2 B．2或4 C．0或2或4 D．0或4 【解答】解：分三种情况： 当k﹣2＝0时，解得k＝2，此时，不符合题意，舍去； 当，解得k＝4，此时k﹣2＝2，原式化为12＝1，满足题意； 当，解得k＝0，此时k﹣2＝﹣2，原式化为（﹣1）﹣2＝1，满足题意； 综上所述：当，则k的值为0或4， 故选：D． 5．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式：（3﹣2x）x+2020＝1成立的x的值为 　1或2或﹣2020　 ． 【解答】解：①当3﹣2x＝1时，解得：x＝1，此时x+2020＝2021，则（3﹣2x）x+2020＝12021＝1，所以x＝1． ②当3﹣2x＝﹣1时，解得：x＝2，此时x+2020＝2022，则（3﹣2x）x+2020＝（﹣1）2022＝1，所以x＝2． ③当x+2020＝0时，x＝﹣2020，此时3﹣2x＝﹣4037，则（3﹣2x）x+2020＝（﹣4037）0＝1，所以x＝﹣4037． 综上所述，当x＝1，或x＝2，或x＝﹣2020时，代数式（3﹣2x）x+2020的值为1． 故答案为：1或2或﹣2020． 6．阅读材料： ①1 的任何次幂都等于1； ②﹣1 的奇数次幂都等于﹣1； ③﹣1 的偶数次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1． 试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2023＝1成立的x的值． 【解答】解：当2x+3＝1时，x＝﹣1； 当2x+3＝﹣1时，x＝﹣2， ∴x+2023＝﹣2+2023＝2021， ∴（﹣1）2021＝﹣1，故这种情况不符合题意； 当x+2023＝0，2x+3≠0时，x＝﹣2023； 综上所述，x的值为﹣1或﹣2023． 知 识 清 单 知识点6 负整数指数幂 不等于零的数的-p（p是正整数）次幂等于这个数的p次幂的倒数，，即 （a≠0，p是正整数）. 【知识解读】 是的倒数，a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式. 例如（xy≠0），（a+b≠0）. 素 养 提 升 考点6 负整数指数幂 例题讲解： 1．下列各式的结果中，最大的是（　　） A．﹣（﹣3） B．（﹣3）﹣2 C．（﹣3）0 D．﹣|﹣3|【解答】解：﹣（﹣3）＝3，，（﹣3）0＝1，﹣|﹣3|＝﹣3， ∵， ∴最大的数是3，即﹣（﹣3）化简后结果最大， 故选：A． 2．若a＝3﹣2，b＝﹣32，，，则它们的大小关系是（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜a＜d＜b D．d＜a＜c＜b【解答】解：根据题意可知，a＝3﹣2，b＝﹣32＝﹣9，9，1， 又∵， ∴b＜a＜d＜c． 故选：B． 跟踪训练： 1．下列四个数中，最小的数是（　　） A．（﹣0.1）2 B．|﹣2|2 C．（﹣2）0 D． 【解答】解：∵（﹣0.1）2＝0.01，|﹣2|2＝4，（﹣2）0＝1，， ∴1＜4， ∴（﹣0.1）2（﹣2）0＜|﹣2|2， ∴最小的数是：（﹣0.1）2． 故选：A． 2．下列算式中，运算结果为负数的是（　　） A．（﹣2026）2 B．﹣（﹣2026） C．﹣|﹣2026| D．2026﹣2【解答】解：A．（﹣2026）2＝20262＞0，故本选项不符合题意； B．﹣（﹣2026）＝2026＞0，故本选项不符合题意； C．|﹣2026|＝2026，﹣|﹣2026|＝﹣2026＜0，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．若a＝﹣32，b＝﹣3﹣2，，，则a、b、c、d的大小关系为（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＞d＞a＞c C．a＜d＜c＜b D．a＜b＜d＜c 【解答】解：a＝﹣32＝﹣9，，，， ∵， ∴a＜b＜d＜c． 故选：D． 4．下列结果正确的是（　　） A． B．10×110＝0 C．（﹣23.6）0＝1 D． 【解答】解：根据负整数指数幂和零指数幂的运算规则逐项分析判断如下： A、，原选项计算错误，故不符合题意； B、10×110＝10×1＝10，原选项计算错误，故不符合题意； C、（﹣23.6）0＝1，计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，故不符合题意． 故选：C． 5．计算：　﹣1　 ． 【解答】解：原式＝1+（﹣2）＝﹣1． 故答案为：﹣1． 6．计算：　12　 ． 【解答】解：原式＝32+3＝9+3＝12． 故答案为：12． 7．要使（x﹣4）﹣5有意义，则x的取值范围是x≠4　 ． 【解答】解：由题意得：x﹣4≠0， 解得：x≠4， 故答案为：x≠4． 8．计算： （1）； （2）a3•a3+（﹣a2）4+（2a4）2． 【解答】解： （1）4﹣1×13﹣9＝﹣6； （2）a3•a3+（﹣a2）4+（2a4）2＝a6+a8+4a8＝a6+5a8． 9．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣18﹣30 ＝﹣48； （2）原式 ＝1﹣4﹣1 ＝﹣4． 10．计算：．【解答】解： ＝2﹣1+3+1 ＝5． 11．计算：． 【解答】解：原式＝﹣1+6﹣1+9＝13． 知 识 清 单 知识点7 科学计数法 一绝对值小于1的非零数可以记作的形式，其中1≤＜10。n是正整数。这种科学计数法，是绝对值小于1的非零数的科学记数法。 【知识解读】 科学计数法的关键就是找出a和n： a是原数的小数点向右移动后的结果， 符号;与原数符号相同； 范围：1≤丨a丨＜10 n是原数中第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前面的那个零）。 素 养 提 升 考点7 科学计数法 例题讲解： 1．世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为0.0000000035克．用科学记数法表示0.0000000035正确的是（　　） A．3.5×109 B．0.35×10﹣8 C．3.5×10﹣10 D．3.5×10﹣9 【解答】解：0.0000000035＝3.5×10﹣9． 故选：D． 2．面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　） A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m 【解答】解：22nm＝22×10﹣9m＝2.2×10﹣8m． 故选：C． 跟踪训练： 1．随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（　　） A．0.22×10﹣7 B．0.22×10﹣8 C．2.2×10﹣8 D．2.2×10﹣9 【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8． 故选：C． 2．电池箔是用于制造电池各种工件的铝箔，在生活中有广泛的应用．我国企业研制的3μm（1m＝1000000μm）锂电铜箔，是目前全球能够实现量产的最薄锂电铜箔．数据“3μm”用科学记数法表示为（　　） A．0.3×10﹣6m B．3×10﹣6m C．3×10﹣7m D．3×10﹣8m 【解答】解：∵1m＝1000000μm， ∴3μm＝0.000003米＝3×10﹣6m． 故选：B． 3．下列四个数中最小的是（　　） A．9.46×10﹣12 B．8.46×10﹣12 C．9.46×10﹣15 D．8.46×10﹣15【解答】解：∵对于科学记数法a×10n（n为负整数），指数越小，数越小；同指数下，系数越小，数越小， ∴8.46×10﹣15＜9.46×10﹣15＜8.46×10﹣12＜9.46×10﹣12， ∴四个数中最小的是8.46×10﹣15，对应选项D． 故选：D． 4．中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为　2.2×10﹣8 ．【解答】解：22纳米＝0.000000022米， 0.000000022＝2.2×10﹣8， 故答案为：2.2×10﹣8． 5．2026年3月17日，北京市生态环境监测中心报告，某监测站PM2.5瞬时浓度为0.000035克/立方米．这个浓度用科学记数法表示为　3.5×10﹣5 克/立方米． 【解答】解：0.000035＝3.5×10﹣5． 故答案为：3.5×10﹣5． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $