7.2离散型随机变量及其分布列 学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修第三册 7.2离散型随机变量及其分布列（教用版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月15日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 一、问题探究1 考察下列随机试验及其引入的变量: 试验1:从100个电子元件(至少含3个次品)中随机抽取三个进行检验,变量表示三个元件中的次品数; 试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止,变量表示需要的抛掷次数. 这两个随机试验的样本空间各是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?变量有哪些共同的特征? 探究： （1）对于试验1,如果用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”,用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则样本空间 各样本点与变量的值的对应关系如图7.2-1所示. （2）对于试验2,如果用表示"正面朝上",表示"反面朝上",例如用表示第3次才出现"正面朝上",则样本空间 包含无穷多个样本点.各样本点与变量的值的对应关系如图7.2-2所示. 在上面两个随机试验中,每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量有如下共同点: ①取值依赖于样本点; ②所有可能取值是明确的. 二、随机变量的定义 一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点,都有唯一的实数与之对应,我们称为随机变量. 注：不难发现,随机变量的定义与函数的定义类似,这里的样本点相当于函数定义中的自变量,而样本空间相当于函数的定义域,不同之处在于Ω不一定是数集.随机变量的取值随着试验结果的变化而变化,这使我们可以比较方便地表示一些随机事件. 三、离散型随机变量 试验1中随机变量的可能取值为0,1,2,3,共有4个值; 试验2中随机变量的可能取值为1,2,3,...,有无限个取值,但可以一一列举出来. 像这样,可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量. 注：通常用大写英文字母表示随机变量,例如;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如. 现实生活中,离散型随机变量的例子有很多,例如,某射击运动员射击一次可能命中的环数,它的可能取值为0,1,2,...,10;某网页在24h内被浏览的次数,它的可能取值为0,1,2,...;等等. 现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子.例如,种子含水量的测量误差;某品牌电视机的使用寿命;测量某一个零件的长度产生的测量误差.这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量. 本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量. 四、问题探究2 根据问题引入合适的随机变量,有利于我们简洁地表示所关心的随机事件,并利用数学工具研究随机试验中的概率问题. 例如,掷一枚质地均匀的骰子,表示掷出的点数, 则事件"掷出点"可以表示为, 事件"掷出的点数不大于2"可以表示为, 事件"掷出偶数点"可以表示为,等等,由掷出各种点数的等可能性,可得 这一规律可以用表7.2-1表示. 五、概率分布列 1. 定义 一般地,设离散型随机变量的可能取值为,,...,,我们称取每一个值的概率 为的概率分布列,简称分布列. 2、 表示 （1） 离散型随机变量的分布列可以用表格表示(表7.2-2)； （2） 还可以用图形表示,例如,图7.2-3直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列,称为X的概率分布图. 3.性质 根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有下述两个性质: (1)非负数性：; (2)和为1性： . 注：利用分布列和概率的性质,可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率. 例如,在掷骰子试验中,由概率的加法公式,得事件"掷出的点数不大于2"的概率为 类似地,事件"掷出偶数点"的概率为 六、两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验,用表示"成功", 表示"失败",定义 如果,则,那么的分布列如表7.2-3所示 我们称服从两点分布或0-1分布. 注：实际上,为在一次试验中成功(事件发生)的次数(0或1).像购买的彩券是否中奖,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,都可以用两点分布来描述. 七、实例运用 例1．某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示．               等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及． 【答案】X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 【难度】0.85 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，根据题意得到概率，得到分布列. 【详解】X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5， “不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“优”. 根据古典概型的知识，可得X的分布列，如表所示． X 1 2 3 4 5 P ． 例2．一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】由条件确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2，根据古典概型的知识，可得X的分布列为 ，，． 用表格表示X的分布列，如表所示． X 0 1 2 P 例3．一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义，求X的分布列． 【答案】 X 0 1 P 【难度】0.85 【知识点】两点分布 【分析】由分布直接求解即可 【详解】根据X的定义，“抽到次品”，“抽到正品”，则 ，． 则X的分布列为： X 0 1 P 八、达标检测 练习1．一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【难度】0.71 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）（法1）先求对立事件“摸出的3个小球中没有标记数字3的小球”的概率，再利用对立事件概率公式计算目标概率；（法2）按照摸出的小球中标记数字为3的小球的个数分类，计算概率，然后再利用和事件的概率公式计算即可； （2）首先确定的所有可能取值，然后分别计算取每个值时的概率，计算时的概率时，（法1）利用分布列概率和等于1计算；（法2）按照摸出小球的情况分类计算即可；最后根据计算结果列出分布列. 【详解】（1）（法1）在8个小球中，有6个标记数字不为3的小球. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （法2）摸出的小球中只有1个标记数字为3的小球的概率为. 摸出的小球中有2个标记数字为3的小球的概率为. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （2）由（1）得. 若，则必须摸出3个标记数字为1的小球，则. （法1）则. （法2）若，则摸出小球的情况有3种. ① 摸出3个标记数字为2的小球，此时. ② 摸出2个标记数字为2的小球与1个标记数字为1的小球， 此时. ③ 摸出1个标记数字为2的小球与2个标记数字为1的小球， 此时. 则. 综上，的分布列见下表. 1 2 3 练习2．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 4 【难度】0.68 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 练习3．已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】（1）由概率之和为1，求解即可； （2）由，求解即可. 【详解】（1）由，得. （2）， . 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2离散型随机变量及其分布列（学生版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月15日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 一、问题探究1 考察下列随机试验及其引入的变量: 试验1:从100个电子元件(至少含3个次品)中随机抽取三个进行检验,变量表示三个元件中的次品数; 试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止,变量表示需要的抛掷次数. 这两个随机试验的样本空间各是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?变量有哪些共同的特征? 探究： （1）对于试验1,如果用0表示“元件为合格品”,1表示“元件为次品”,用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点,则样本空间 各样本点与变量的值的对应关系如图7.2-1所示. （2）对于试验2,如果用表示"正面朝上",表示"反面朝上",例如用表示第3次才出现"正面朝上",则样本空间 包含无穷多个样本点.各样本点与变量的值的对应关系如图7.2-2所示. 在上面两个随机试验中,每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量有如下共同点: ①取值依赖于样本点; ②所有可能取值是明确的. 二、随机变量的定义 一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点,都有 实数与之对应,我们称为 . 注：不难发现,随机变量的定义与函数的定义类似,这里的样本点相当于函数定义中的自变量,而样本空间相当于函数的 ,不同之处在于Ω不一定是数集.随机变量的取值随着试验结果的变化而变化,这使我们可以比较方便地表示一些随机事件. 三、离散型随机变量 试验1中随机变量的可能取值为0,1,2,3,共有4个值; 试验2中随机变量的可能取值为1,2,3,...,有无限个取值,但可以一一列举出来. 像这样,可能取值为 或可以 的随机变量,我们称为离散型随机变量. 注：通常用大写英文字母表示 ,例如;用小写英文字母表示随机变量的 ,例如. 现实生活中,离散型随机变量的例子有很多,例如,某射击运动员射击一次可能命中的环数,它的可能取值为0,1,2,...,10;某网页在24h内被浏览的次数,它的可能取值为0,1,2,...;等等. 现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子.例如,种子含水量的测量误差;某品牌电视机的使用寿命;测量某一个零件的长度产生的测量误差.这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量. 本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量. 四、问题探究2 根据问题引入合适的随机变量,有利于我们简洁地表示所关心的随机事件,并利用数学工具研究随机试验中的概率问题. 例如,掷一枚质地均匀的骰子,表示掷出的点数, 则事件"掷出点"可以表示为 , 事件"掷出的点数不大于2"可以表示为 , 事件"掷出偶数点"可以表示为 ,等等,由掷出各种点数的等可能性,可得 这一规律可以用表7.2-1表示. 五、概率分布列 1. 定义 一般地,设离散型随机变量的可能取值为,,...,,我们称取每一个值的概率 为的 ,简称 . 2、 表示 （1） 离散型随机变量的分布列可以用 表示(表7.2-2)； （2） 还可以用 表示,例如,图7.2-3直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列,称为X的概率 . 3.性质 根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有下述两个性质: (1)非负数性：; (2)和为1性： . 注：利用分布列和概率的性质,可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率. 例如,在掷骰子试验中,由概率的加法公式,得事件"掷出的点数不大于2"的概率为 . 类似地,事件"掷出偶数点"的概率为 . 六、两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验,用表示"成功", 表示"失败",定义 如果,则,那么的分布列如表7.2-3所示 我们称服从 或 分布. 注：实际上,为在一次试验中成功(事件发生)的次数(0或1).像购买的彩券是否中奖,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,都可以用两点分布来描述. 七、实例运用 例1．某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示．               等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及． 例2．一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． 例3．一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义，求X的分布列． 八、达标检测 练习1．一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 练习2．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 练习3．已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $