7.2 离散型随机变量及其分布列-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

且P(B1A)=0.9,P(B1A2)=0.7,P(B1A3)=0.4, P(B)=P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P (A3) P(BIA3) 4 8 .8 =20×0.9+20×0.7+20×0.4=0.62. 故任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率为0.62. 例3：【解析】(I)设此人来自A,B,C三个地区分别为事件A, B,C,事件D为这个人患流感， 所以P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(C)=0.2, P(D1A)=0.06,P(D1B)=0.05,P(D1C)=0.04, 因此P(D)=P(A)P(DIA)+P(B)P(DIB)+P(C)P(DIC) =0.3×0.06+0.5×0.05+0.2×0.04=0.051. (2)P(AID)P(AD)=P(A)P(DIA)_0.3x0.066 P(D P(D) 0.051 171 跟踪训练3：【解析】设A表示“取到的是一只次品”，B,(i=1, 2,3)表示“所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的”，则 B1,B2,B3是样本空间的一个划分，且P(B1)=0.15,P(B2)= 0.80,P(B3)=0.05, P(AIB1)=0.02,P(AIB,)=0.01,P(AIB2)=0.03 (1)由全概率公式得P(A)=P(AIB,)P(B)+P(AIB2) P(B2)+P(AIB3)P(B3)=0.0125. (2)由贝叶斯公式可知该元件来自元件制造厂1的概率为 P(BIA) P(A1B)P(B)_0.02×0.15=0.24 P(A) 0.0125 由贝叶斯公式可知该元件来自元件制造厂2的概率为 P(B,1M）=P4B,）PB,）-0,01x0.8=0.64 P(A) 0.0125 由贝叶斯公式可知该元件来自元件制造厂3的概率为 P(B,M-PAIB,)P(B,2_0.03x0-05=0.12 P(A) 0.0125 随堂检测重反馈 1.CP(B)=P(BA)+P(BA)=0.4+0.2=0.6. 2.C设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B,事件 A:表示提出的一台产品是第i车间生产的，i=1,2,由题意可 得PA)=号=04，P(A)=号=06，P(B1A)=05, P(B1A2)=0.88,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B1A1)+ P(A2)P(B1A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.所以该产 品合格的概率为0.868. 3 设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A,“选到 能完整做对的5道题”为事件B,“选到有思路的2道题”为事 件C,“选到完全没有思路的1道题”为事件D,则P(B)=令， P(C)=子=子，P(D)=g,由金概*公式可得P(A)= P(B)P(AIB)+P(G)P(AIG+P氏(D)P(AID)=冬x1+子× 5 4岩设4=“从乙袋中取出的是白球”，B,=“从甲袋中取出的 两球恰有i个白球”，i=0,1,2.则2=BUB2UB。,且B,B2,B。 两两互斥.由全概率公式，得P(A)=P(B,)P(AIB,)+ C34,CC25,C P(B,)P(MIB,)+P(B,)PAIB,)=C×70+CX0+C× 613 10=25 7.2离散型随机变量及其分布列 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.唯一的实数X(o》 2.有限个 一一列举大写英文字母小写英文字母 知识点二 1.p: 2.表格 3.01 知识点三 两点 预习自测 1.C根据离散型随机变量的定义可得，选项C是离散型随机变 量，其结果可以一一列出，用随机变量X表示取到白球的个 数，则X的可能取值为0,1,2 2.A由离散型随机变量分布列的性质可知，2m+3m=1,所以 m=5 3.D抛掷2枚骰子，其中1枚是x点，另一枚是y点，其中x,y =1,26面专=+y5=4[或2款适D 题型探究提技能 例1：(1)B(2)见解析 【解析】(1)对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举 出来，是离散型随机变量；对于②，沿x轴进行随机运动的质 点，质点在x轴上的位置不能一一列举出来，不是离散型随机 变量；对于③，某派出所一天内接到的报警电话次数可以一一 列举出来，是离散型随机变量；对于④，某同学上学路上离开 家的距离Y,可以为某一区间内的任意值，不能一一列举出 来，不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机 变量的有2个. (2)①能用离散型随机变量表示.X可能的取值为0,1,2,3,4。 {X=0},表示抽出0件次品；{X=1},表示抽出1件次品； {X=2},表示抽出2件次品；X=3},表示抽出3件次品； {X=4},表示抽出4件次品. ②不能用离散型随机变量表示.实际容量与规定容量差是在 0附近的实数，不能一一列举出来. 跟踪训练1：C由于X表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚 骰子掷出的点数的差”，因此“X>4”只有一种情况，也就是“X =5”,.“X>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点. 例2：【解析】根据题意，X=0,1,2,3, P(X=0)= a7202P(X=1)=CSC-0-5 C号101 C3。-120-121 P(X=2)= 品品= C101 C%12012 所以X的分布列为 X 0 2 3 豆 5 1 12 跟踪训练2：【解析】将0，A,B,AB四种血型分别编号为1,2， 3,4,则X的可能取值为1,2,3,4. P(X=1)= P(X=3)= Cis -1 3 故X的分布列为 X 1 2 3 4 2 8 1 9 15 45 3 例3：【解析】(1)“上+2+3+4 a a a =1,∴.a=10 则P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2)=10+0=10 123 (2)由a=10 得P(号<X<子)=P(X=)+P(X=2)+P(X=3)=0 +品+品- 跟踪训练3：【解析】由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3 +m=1,.m=0.3. 首先列表为 0 2X+1 1 3 5 1X-11 1 0 1 2 3 从而由上表得 (1)2X+1的分布列为 2X+1 3 5 1 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)1X-11的分布列为 1X-11 0 1 3 0.1 0.3 0.3 0.3 随堂检测重反馈 L.CA,B,D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的 X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的， 2.C因为X等可能取1,2,3，…，n,所以X取每个值的概率均 为元由题意知P(X<4)=P(X=)+P(X=2)+P(X=3) =3=0.3,所以n=10. 3.D设失败率为P,则成功率为2印，分布列为 0 ◇ 2p 由p+2p=l,得p=3,所以P(X=1)=2p=号 。设二级品有k个，则一级品有2个，三级品有个，总数 为登个“X的分布列为 4 7 7 P(3≤X≤号)=P(X=I)= 16 7.3离散型随机变量的数字特征 7.3.1离散型随机变量的均值 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.x1P1+x2P2+…+xnPm 2.平均水平 3.aE(X)+b 知识点二 预习自测 1.C依题意和分布列的性质得，0.1+0.2+m+0.2=1,解得m =0.5,所以E(X)=0×0.1+2×0.2+4×0.5+6×0.2= 3.6. 2.20E(2X+10)=2×E(X)+10=20. 题型探究提技能 例1：【解析】由题意知X的可能取值为2,3,4,5. 当X=2时，表示前2次取的都是红球， A 1 ÷P(X=2)=元-109 当X=3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第 3次取得红球， ..P(X=3)= CCA 1 A =5 当X=4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4 次取得红球， .P(X=4)= CCA 3 A -109 当X=5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5 次取得红球， .P(X=5)= CCA=2 A 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 1 1 3 10 5 10 E(0=2×0+3×5+4×0+5×号=4 2 跟踪训练1：【解析】设“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题” 为事件B. 由题意知，X的可能取值为0,1,2 P(X=0)=PP(8=(1-子)x(1-号)=5 P(X=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)= x(1-专)+(-号)×号=号， P(X=2)=P(A)P(B)=5×5=15 248 8041 随堂检测重反馈 1.已知P(BA)=0.4,P(BA)=0.2,则P(B)的值为 A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5 2.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12， 两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2：3，今有一客户 从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为 () A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88 3.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3 道题中，有2道题有思路，还有1道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为子，没有思路的题 只好从4个选项中随机选一个答案.小王从这8道题中任选1题，则他做对的概率为 4.甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取两球放入乙袋，再从 乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 7.2 离散型随机变量及其分布列 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念 数学抽象 2.理解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的 数学抽象、数学运算 分布列. 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 在射击运动中，运动员射击一次的结果是命中的环数，是数字，可以用变量 做好规定即可，例如 “正面朝上”用1表 X表示.例如{X=0}表示脱靶，{X=1}表示命中1环，{X=10}表示命中 示，“反面朝上”用 10环.在掷一枚硬币的随机试验中，可能的结果有正面朝上和反面朝上两 0表示，这样试验的 结果就方便用变量X 个，它们不是数字如何用变量X来表示呢？ [提示] 来表示了.{X=1}表 示“正面朝上”，X 曰新知初探 =0}表示“反面朝 知识点一随机变量与离散型随机变量 上” [知识点反思1] 1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间2中的每个样本点ω，都有 离散型随机变量的 与之对应，我们称X为随机变量. 特征： 2.离散型随机变量：可能取值为 或可以 的随机变量， (1）可以用数值 表示； 我们称之为离散型随机变量，通常用 表示随机变量，例 (2)试验之前可以判 如X,Y,Z;用 表示随机变量的取值，例如x,y,2 断其可能出现的所有 值，但不能确定取 [知识点反思1] 何值； (3)试验结果能一一 列出 042 知识点二离散型随机变量的分布列及其性质 [知识点反思2] 1.定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取 (1)p:(i=1,2,3,…, 每一个值x的概率P(X=x)= ,i=1,2,…,n为X的概率分布 n)表示的是事件{X= x:发生的概奉，因此 列，简称分布列： p:≥0： 2.表示：离散型随机变量的分布列可以用 表示： (2)因为分布列给出 了随机变量能取的每 X X1 X2 Xn 一个值，而且随机变 P P P2 Pu 量取不同的值时的事 件是互斥的，所以P1 3.性质：①p:≥ ,i=1,2,…,n; +P2+…tPn=1; (3)离散型随机变量 ②p1+P2+…+Pn= ●[知识点反思2] 在某一范围内取值的 知识点三两点分布 概奉等于它取这个范 围内各个值的概奉 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失败”，定义 的和 「1，A发生， [知识点反思3] X= 如果P(A)=p,则P(A)=1-p,那么X的分布列如表所示. 如果随机变量X的试 0,A发生 验结果只有两种可 X 0 能，且它们的概奉之 1 和为1，则是两点分 P 1-p 布，否则不是两点分 布.在两点分布中，随 我们称X服从 分布或0-1分布. [知识点反思3] 机变量X只取0和1. 目预习自测 1.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个球，可以作为离散型随机变量的是 A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 2.若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 3m 2m 则m= 15 B.4 C3 D 3.抛掷2枚正方体骰子，所得点数之和记为专，那么专=4表示的随机试验结果是 A.2枚都是4点 B.1枚是1点，另1枚是3点 C.2枚都是2点 D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 043 题型探究提技能 题型一随机变量的概念及分类 例1(1)下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上对应的实数η； [方法总结1] ③某派出所一天内接到的报警电话次数X: 随机变量应满足的三 ④某同学上学路上离开家的距离Y. 个特征 其中是离散型随机变量的个数为 (1)试验结果可以用 A.1 B.2 C.3 D.4 数值表示； (2)下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出 (2)试验前可以判断 其可能出现的所 各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的 有值； 结果 (3)试验前不能确定 ①在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的 取何值 次品的件数X; ②任意抽取一瓶标有500L的果汁，其实际容量与规定容量差. P[方法总结1] )跟踪训练1 抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子 掷出的点数的差为X,则“X>4”表示试验的结果为 A.第一枚为5点，第二枚为1点 B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C.第一枚为6点，第二枚为1点 D.第一枚为4点，第二枚为1点 044 题型二求离散型随机变量的分布列 例2从01,23,4,5.67,89这10个自然数中，任取3个不同的数设X 为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列， [方法总结2] 求离散型随机变量的 >[方法总结2] 分布列的关键 (1)找出随机变量的 所有可能取值； (2)计算每一个取值 所对应的概奉，并利 用分布列的性质：所 有概奉之和为1对计 算结果进行检验 》跟踪训练2 某班有学生45人，其中0型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8 人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X,求X的分 布列。 [方法总结3] 分布列的性质及其 应用 题型三分布列的性质及应用 (1)利用分布列中各 概奉之和为1可求参 例3.设随机变量X的分布列为P(X=)=三(i=1,2,3,4),求： 数的值，此时要注意 (1)P(X=1或X=2); 检验，以保证每个概 奉值均为非负数； (2)求随机变量在某 个范围内的概奉时， [方法总结3] 根据分布列，将所求 范围内各随机变量对 应的概奉相加即可， 其依据是互斥事件的 概奉加法公式. .045 〉跟踪训练3 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X+1的分布列； (2)1X-1I的分布列. 随堂检测 重反馈 1.下列叙述中，X不可以做离散型随机变量的是 A.某座大桥一天经过的车辆数X B.某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X C.一天之内的温度X D.一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次 射击中的得分 2.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n,若P(X<4)=0.3,则n等于 () A.3 B.4 C.10 D.不确定 3.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=1)等于 () A.0 B.2 c号 房 4.一批产品分为一、二、三级，其中一级品为二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中 随机抽取一个检验，其级别为随机变量X,则P}≤X≤？)= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12]