21.2.3 中位线（小模块.微专题.大压轴）（十四大题型）2025-2026学年人教版数学八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题21.2.3 中位线》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 与三角形中位线有关的求角 模块8 三角形中位线背景下的尺规作图问题 模块2 与三角形中位线有关的求线段长 微专题1构造三角形的中位线一一连接两点 模块3 与三角形中位线有关的求周长 微专题2构造三角形的中位线一一倍长法 模块4 与三角形中位线有关的求面积 微专题3已知角平分线与垂直关系构造三角形的中位线 模块5 与三角形中位线有关的证明 微专题4已知中点取其他边中点构造三角形的中位线 模块6三角形中位线的实际应用 压轴1 中位线背景下的规律探索 模块7中点四边形 压轴2 中位线背景下的动点问题 模块通关·举一反三 【模块一】与三角形中位线有关的求角 【例1】如图，四边形中，，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，熟练运用相关定理是解题的关键． 【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为__________． 【答案】18°/18度 【分析】根据三角形中位线定理可得，由AB＝CD，可得EG=FG，即可求解． 【详解】解：∵点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点， ∴， ∵AB＝CD， ∴EG=FG， ∴∠EFG=∠FEG， ∵∠EGF＝144°， ∴∠GEF=18°． 故答案为：18°. 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1-2】如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点M，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可． 【详解】如图，延长交于点M， ∵，E、F、G分别是的中点，，， ∴， ∴，，， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【变式1-3】在四边形中，，点E，F分别是边，的中点． (1)如图1，点P为对角线的中点，连接，，若，则______度； (2)如图2，直线分别与，的延长线交于点M，N．求证：． 【答案】(1)128 (2)见解析 【分析】(1)根据三角形中位线定理，易证明是等腰三角形，根据“等腰三角形的两个底角相等”的性质和三角形内角和定理，可求得的度数； (2)连接BD，取线段BD的中点G，连接GE，GF．首先根据三角形中位线定理，易证明是等腰三角形，，，，据此即可证得． 【详解】（1）解：点E，F分别是边，的中点，点P为对角线的中点， 是的中位线，是的中位线， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：连接，取线段的中点G，连接，． 点E，F分别是边，的中点，点G为对角线的中点， 是的中位线，是的中位线， ， ，，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的判定与性质，等腰三角形的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 【模块二】与三角形中位线有关的求线段长 【例2】．如图，在中，已知，，平分交边于点E，点、分别是、的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则，再证明是的中位线，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F，点分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形中位线定理，由角平分线和平行得出是等腰三角形再求出是解题的关键． 【变式2-1】如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键. 【变式2-2】如图，中，平分，平分的外角，于D，交于点F，于E，交的延长线于点G，，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先证明，得到，，进而得到，同理可证，，得到，，进而得到是的中位线，求出、的长，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 同理可证，， ，， 是的中位线， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，根据相关性质找出线段之间的数量关系是解题关键． 【变式2-3】如图，周长20，D，E在边上，和分别是和的平分线，，，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】证明，根据全等三角形的性质得出，，同理得出CD=CA，，结合图形求出，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得，CD=CA，， ∵周长20， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 【模块三】与三角形中位线有关的求周长 【例3】如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（    ） A．只与、的长有关 B．只与、的长有关 C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关. 【答案】B 【分析】利用三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：点、、、分别是线段、、、的中点， 则线段分别为、、、的中位线， ∴， 四边形的周长，只与、的长有关 故选：B 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是掌握三角形中位线的关性质． 【变式3-1】如图，平行四边形的对角线、相交于点O，交于点E．若，的周长为10，则平行四边形的周长为（　　） A．16 B．32 C．36 D．40 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，，，证明是的中位线，则，，求得，则，即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∵的周长等于10， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，求出是解题的关键． 【变式3-2】如图，D是内一点，，，，，E、F、G、H分别是、、、的中点，则四边形的周长是（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【详解】利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：，，， ， 分别是的中点， ，， 四边形的周长， ， 四边形的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式3-3】如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长是____________． 【答案】43 【分析】证明，得到，，根据三角形中位线定理求出，计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵M是的边的中点，， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：43． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【模块四】与三角形中位线有关的求面积 【例4】如图，在平行四边形ABCD中，E为的中点，，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与面积相等的（除外）三角形有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】找面积相等的三角形即找到等底等高的三角形即可． 【详解】 E为的中点，， F为中点， 四边形ABCD为平行四边形， ，， 是的中线，是的中线，是的中线， ， 能表示的与面积相等的（除外）三角形有5个， 故选：C． 【点睛】本题考查中位线的性质、平行四边形的性质、中线的性质，熟记三角形的中线把一个三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 【变式4-1】如图，在中，D，E分别是，的中点，是边上的一个动点，连接，，．若的面积为，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】连接，根据三角形的面积公式求出的面积，根据三角形中位线定理得到，得到的面积=的面积，同底等高的三角形面积相等，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵点E是的中点，的面积的为， ∴的面积的面积， ∵点D是的中点， ∴的面积的面积， ∵D，E分别是，的中点， ∴， ∴的面积的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式4-2】如图中，E，F分别是，的中点，过F作交于点G，若，且，，则阴影部分的面积为___________. 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理求出，根据题意得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， E，F分别是，的中点，， ， ，F是的中点， ，G是的中点， ， ， F是的中点， ，， ， ， E，F分别是，的中点， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式4-3】如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积． 【答案】 【分析】分别是的中点，可知是的中位线，可证四边形是平行四边形，在中，根据勾股定理，平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形与平行四边形的综合运用，掌握中位线，勾股定，平行四边形判定和性质是解题的关键． 【模块五】与三角形中位线有关的证明 【例5】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是边中点，连接并延长至点F，使，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线段中点的定义得到，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）证明是的中位线，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵点E是边中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形，对角线相交于点O， ∴点O是的中点， 又∵点E是边中点， ∴是的中位线， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形中位线定理，熟知对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 【变式5-1】如图，的中线，相交于点G，点P，Q分别是，的中点．求证： (1)四边形是平行四边形； (2) ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用三角形的中位线的性质可得且，且，即有且，问题得证； （2）根据平行四边形的性质即可证明． 【详解】（1）∵，是的中线， ∴是的中位线， ∴且． ∵点P，Q分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∴且． ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵P是中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握三角形的中位线的性质是解答本题的关键． 【变式5-2】如图所示，点为内一点，平分，且交于点，点为边的中点，点在上，且． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)请直接写出线段，，之间的数量关系：______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得． 结合点为边的中点，可得为的中位线， 则．再结合已知条件可得结论； （2） 由D、E分别是、的中点， 可得． 由， 可得， 结合，可得答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴． ∴． ∵点为边的中点， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）如图，由（1）得：． ∵D、E分别是、的中点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 【变式5-3】如图，在中，平分，于点，点是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：； (2)如图2，请直接写出线段、、的数量关系：_______ ． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题． （2）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中， 平分，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形， ∵， ， ， ． （2）解：结论：， 理由：如图2中，延长交的延长线于． ， ， ，， ， ， ， ， 为的中点， ， 点为的中点， ， ； 故答案为． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【模块六】三角形中位线的实际应用 【例6】如图，A，B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出的中点M，N，并测出的长，如果M，N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？说明你的理由． 【答案】用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长，解答见详解． 【分析】用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长便可求出AB，利用中位线性质可得DE=，MN=，可得AB=2MN=4DE即可． 【详解】解：用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长便可求出AB， ∵点D、E分别为CM，CN的中点， ∴DE=（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）， 又∵点M，N分别为的中点， ∴MN=（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）， ∴AB=2MN=4DE． ∴只要测量出DE长便可求AB． 【点睛】本题考查三角形中位线性质在生活中运用，掌握三角形中位线性质是解题关键． 【变式6-1】成都大运会主火炬塔位于东安湖体育公园，如图，小明想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取OA，OB的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段MN的长，于是小明在AO，BO延长线上分别选取P，Q两点，且满足OP＝ON，OQ＝OM，小明测得线段PQ＝90米，则A，B两点间的距离是_________米． 【答案】180 【分析】证明△OMN≌△OQP，根据全等三角形的性质求出MN，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵在△OMN和△OQP中， ∴△OMN≌△OQP（SAS）， ∴MN＝PQ＝90米， ∵点M，N分别为OA，OB的中点， ∴MN是△OAB的中位线， ∴AB＝2MN＝180米． 故答案为：180． 【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【变式6-2】某公园有一块三角形的空地△ABC（如图），为了美化公园，公园管理处计划栽种四种名贵花草，要求将空地△ABC划分成形状完全相同，面积相等的四块．”为了解决这一问题，管理员张师傅准备了一张三角形的纸片，描出各边的中点，然后将三角形ABC的各顶点叠到其对边的中点上，结果发现折叠后所得到的三角形彼此完全重合．你能说明这种设计的正确性吗？ 【答案】这种设计是正确的,理由见解析 【分析】根据三角形的中位线定理即可证明. 【详解】解：这种设计是正确的． 以证EF∥BC且EF＝为例． 延长FE至G，使EG＝FE，连结CG，FC． 可证得△AEF≌△CEG． ∴AF＝CG，∠AFE＝∠G， ∴AB∥CG． 在△BFC与△GCF中，BF＝AF＝CG，∠BFC＝∠GCF，CF＝FC， ∴△BFC≌△GCF， ∴FG＝BC，FG∥BC．即EF∥BC且EF＝． 同理可知△AFE≌△FBD≌△EDC≌△DEF． 【变式6-3】（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 【模块七】中点四边形 【例7】如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则可得四边形AMCD是平行四边形，从而AB=AM=DC；可证△ABC≌△DCB，则可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分别为中点，由三角形中位线定理，可得四边形EFGH是平行四边形，则可求得篱笆的总长度． 【详解】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD 则∠DCB=∠AMB ∵∠DCB=∠ABC ∴∠AMB=∠ABC ∴AM=AB    ∵AD∥BC，AM∥DC   ∴四边形AMCD是平行四边形 ∴AM=DC ∴AB=DC 在△ABC与△DCB中 ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴BD=AC=10m ∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点 ∴GH=EF=，EH=FG= ∴四边形EFGH是平行四边形 则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m) 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点较多，掌握它们是关键． 【变式7-1】．一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上．可以怎样裁？ 【答案】见解析 【分析】设E、F、G、H分别为的中点，连接，根据三角形中位线定理，推出，，得出四边形是平行四边形． 【详解】解：先找出平行四边形铁皮各边的中点，顺次连接各边中点，所得四边形即为要裁出的平行四边形铁皮；理由如下： 设E、F、G、H分别为的中点， 连接，如图所示： 则是的中位线， ∴，， 是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【变式7-2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点． 求证：MN和PQ互相平分． 【答案】见解析 【分析】连接MP，PN，NQ，QM，分别根据三角形中位线定理推出PM＝NQ， PM∥NQ，即可得出四边形MPNQ是平行四边形，从而利用平行四边形对角线的性质证明即可． 【详解】证明：连接MP，PN，NQ，QM， ∵AM＝MD，BP＝PD， ∴PM是△ABD的中位线， ∴PM∥AB，PM＝AB； 同理NQ＝AB，NQ∥AB， ∴PM＝NQ，且PM∥NQ． ∴四边形MPNQ是平行四边形． ∵MN与PQ为四边形MPNQ的对角线， ∴MN与PQ互相平分． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理以及平行四边形的判定与性质，理解并熟练运用中位线定理，和平行四边形的判定与性质是解题关键． 【变式7-3】如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论. 【答案】3个，证明见解析. 【详解】试题分析：最多可以有3个平行四边形，是四边形FMHN、四边形EMGN、四边形EFGH，利用三角形中位线定理分别进行证明即可得. 试题解析：最多可以有3个平行四边形，是四边形FMHN、四边形EMGN、四边形EFGH，证明如下： 在四边形ABCD中F，G，H，E，M，N分别是AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点， ∴FG∥AC，EH∥AC；FG＝AC，EH＝AC， ∴FG∥EH，FG＝EH， ∴四边形FGHE是平行四边形， MG∥CD，EN∥CD；MG＝CD，EN＝CD， ∴MG∥EN，MG＝EN ， ∴四边形MGNE是平行四边形， FM∥AD，NH∥AD；FM＝AD，NH＝AD， ∴FM∥NH；FM＝NH， ∴四边形FMHN是平行四边形， ∴最多可以有3个平行四边形. 【模块八】三角形中位线背景下的尺规作图问题 【例8】如图，在中，，，，D，E分别是的中点，连接．以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点M，N；以点D为圆心，长为半径作弧交于点P；以点P为圆心，长为半径作弧，交前面的孤于点Q；作射线交于点F．则的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，结合基本作图可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出． 【详解】解：在中，， ∴， ∵D，E分别是的中点， ∴，， ∴， 由作图可知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，基本作图，根据三角形中位线定理，结合基本作图可证得四边形是平行四边形是解决问题的关键． 【变式8-1】．如图，在中，，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，交BC于点D；③连接DE．则线段DE的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据作法得∶点D为BC的中点，然后根据三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解∶根据作法得∶MN为BC的垂直平分线，即点D为BC的中点， ∵BE为AC边上的中线．即点E为AC的中点， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，熟练掌握三角形中位线定理，尺规作图——作已知线段的垂直平分线的作法是解题的关键． 【变式8-2】33．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B． （1）请利用直尺和圆规作出△ABC关于直线AC对称的△AGC；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在AG边上找一点D，使得BD的中点E满足CE＝AD．请利用直尺和圆规作出点D和点E；（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）延长BC到G，使CG=BG，然后连接AG即可； （2）作AC的垂直平分线，交AC于F点，连接BF并延长，交AG于D点，作BD的垂直平分线，交BD于E点，连接CE，根据三角形的中位线定理，CE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠ECF，∠ADF=∠CEF，然后利用“角角边”可以证明△ADF和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可知CE=AD． 【详解】（1）△AGC如图； （2）所画图形见图： 步骤如下： ①作AC的垂直平分线，交AC于F点． ②连接BF并延长，交AG于D点． ③作BD的垂直平分线，交BD于E点，连接CE． 则D点和E点为所求． 【点睛】考查了复杂作图，主要利用了轴对称的性质，全等三角的判定与性质，熟记性质与判定并掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【变式8-3】如图，等腰三角形中，，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于D,E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线，交于点M；④分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于G,H两点；⑤作直线，交于点N，连接．则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据作图过程可得AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，由等腰三角形三线合一，得AM是边BC上的中线，可得MN是△ABC的中位线，进而可得MN的长． 【详解】解：根据作图过程可知：AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线， ∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC， ∴AM是边BC上的中线， ∴BM＝CM， ∵GH是边AB的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MNAC＝3． 故选：B． 【点睛】此题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】构造三角形的中位线一一连接两点 【例9】如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．连接交于O，由平行四边形的性质得到，，进而，利用三角形的中位线性质求解即可． 【详解】接：连接交于O，    ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：D． 【变式9-1】如图，在四边形中，点P是边上的动点，点Q是边上的定点，连接，，E，F分别是，的中点，连接，点P在由C到D运动过程中，线段的长度（　　） A．保持不变 B．逐渐变小 C．先变大，再变小 D．逐渐变大 【答案】A 【分析】连接，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】 解：连接， 点Q是边上的定点， 的大小不变， 分别是，的中点， ， 线段的长度保持不变． 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式9-2】如图，四边形中，与不平行，M，N分别是的中点，，则的长可能是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】连接，取的中点为E，连接，，结合题中条件可得，，根据三角形三边之间的关系，即可解答． 【详解】解：如图，连接，取的中点为E，连接，， M，N分别是，的中点，， ，， 在中，， ∴ 即， ∴的长可能是4． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，三角形三边之间的关系，作出正确的辅助线是解题的关键． 【变式9-3】已知：如图，是锐角三角形，分别以、为边向外侧作等边三角形和等边三角形，D、E、F分别是，，的中点，连结，．求证：． 【答案】证明见详解． 【分析】连接、，证明≌，可得 ，再通过三角形的中位线定理可证、分别是、的一半，从而可得． 【详解】证明：连接、， ∵、都是等边三角形， ∴ ，, ∴， 即， 在与中， ∵，，， ∴≌ ∴ ， ∵D、E、F分别是，，的中点 ∴ ， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，三角形的中位线定理，关键是证明 ． 【微专题二】构造三角形的中位线一一倍长法 【例10】如图，在中，，于点，，点是直线上一动点，连结．若点是的中点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】首先延长到F点，使，连接，作于H，使得线段成为的中线，借助含角的直角三角形三边关系，依次求出等线段的长度，计算求得的长度，由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”可知，当点P在H点的位置时， 的值最小，最后借助三角形中位线定理求的最小值． 【详解】解：延长到F点，使，连接，作于H，如图， 在中， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 同理得：， ∵，， ∴为的中位线， ∴，当点P在H点的位置时， 的值最小， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形三边关系，合理添加辅助线，借助三角形中位线定理求解是关键． 【变式10-1】如图，在中，，为边上的中线，为的角平分线，过点B作于点F，连接，则线段的长为______． 【答案】## 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．如图，延长交于，先证得得出，再由中位线定理即可得解． 【详解】解：如图，延长交于， 是角平分线，， ， ， ， ，， ， 又是中线， 是的中位线， ， 故答案为：． 【变式10-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AC上一点，连接BD．以BD直角边作等腰直角△BDE，∠DBE=90°，连接AE，点F为AE中点，若AB=4，BF=1，则AD的长为________． 【答案】 【分析】延长CE交AB的延长线于T．证明△ABD≌△CBE（SAS），推出AD=CE，∠BAD=∠BCE=45°，∠ADB=∠BEC，再证明△DBC≌△EBT（ASA），推出CD=ET，BC=BT，可得ET=2BF，再利用勾股定理，可得结论． 【详解】解：如图，延长CE交AB的延长线于T． ∵∠ABC=∠DBE=90°， ∴∠ABD=∠CBE， ∵BA=BC，BD=BE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=CE，∠BAD=∠BCE=45°，∠ADB=∠BEC， ∴∠BDC=∠BET， ∵BD=BE， ∴△DBC≌△EBT（ASA）， ∴CD=ET，BC=BT， ∴AB=BT， ∵AF=FE， ∴ET=2BF=2，即CD=ET=2， ∵∠ABC=90°，AB=BC=4， ∴AC=4， ∴AD=AC-CD=4-2， 故答案为：4-2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【变式10-3】如图，在中，延长至点F，使得，延长至点G，连结，取中点E，连结．若所在直线垂直于，则________． 【答案】 【分析】如图，延长，，交于点，由题意知，是的中位线，则，，，由，可得，证明，则，，，，在中，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长，，交于点， 由题意知，是的中位线， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【微专题三】已知角平分线与垂直关系构造三角形的中位线 【例11】如图，在中，平分，点E为的中点，连接，若，则的长为（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】如图所示，延长交于点F，证明，得到，进而求出，再证明DE为的中位线，即可得到． 【详解】解：如图所示，延长交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴DE为的中位线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式11-1】如图，边长分别为．P为的平分线上一点，且，M为的中点，则的值是___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线平分角，以及垂直得到的两个直角相等，证明，得到，为的中点，利用三角形的中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为的平分线， ∴， ∵于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．通过添加辅助线，构造三角形全等，是解题的关键． 【变式11-2】如图，中，，为的外角平分线，且于点D，E为的中点，若，则的长为（　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】延长，交于点F，根据题目条件判断，得出，，再根据三角形中位线的性质进行计算即可． 【详解】解：延长，交于点F ， 为的外角平分线，， ， 在和中， ， ， ，， E为的中点， ， ， ， ． 故选：A．    【点睛】本题考查了三角形全等，三角形中位线的判定及性质，掌握三角形中位线的判定及性质是解题的关键． 【变式11-3】如图，中，，分别平分、，，连接，则_______．    【答案】2 【分析】利用勾股定理求得，分别延长交于点F、G，证明和，推出，，，，得到是的中位线，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 分别延长交于点F、G，    ∵分别平分，，又， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，证明是的中位线是解题的关键． 【微专题四】已知中点取其他边中点构造三角形的中位线 【例12】已知：如图，、分别是的中线和角平分线，，，的长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点F，连接，，则，为中点，在中求出的长度，根据已知条件易知为中点，因此为中点，则． 【详解】解：取的中点F，连接， 是的中线， ∴，， ∵， ， ， ∴， 是的角平分线，， ，， ， ， 为中点， 为中点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中线和角平分线的性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 【变式12-1】如图在中，已知，于D，，若是的中点，则（   ） A．2.5 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】取中点，连接，由垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等”可得，再结合三角形中位线的性质“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”可得，即可获得答案． 【详解】解：取中点，连接，如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是的中点，是中点，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质以及三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解题关键． 【变式12-2】（1）回顾定理：如图1，在中，是的中位线．那么与的关系有___________． （2）运用定理：如图2，在四边形中，，，点F为的中点，点E为的中点．若，，求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）直接根据三角形中位线定理直接作答； （2）取的中点H，连接、，根据中位线定理可得，，即有，同理，，，有，即可得，再根据勾股定理即可作答． 【详解】解：（1）在中，是的中位线， ∴，， 故答案为：，； （2）取的中点H，连接、， ∵点E为的中点，点H为的中点， ∴，， ∴， 同理，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理以及勾股定理，掌握三角形中位线的性质是解答本题的关键． 【变式12-3】如图，已知四边形中，，点E、F分别是边的中点，连接，则的长是_________．    【答案】5 【分析】取的中点G，连接，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接，    ∵E、F分别是边的中点，G是的中点， ∴分别是的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 压轴突破·素养提升 【压轴一】中位线背景下的规律探索 【例13】如图，中，，，．点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；…；以此类推，则第2022个三角形的周长是 ______． 【答案】 【分析】由三角形的中位线定理得：分别等于的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推，利用规律可求出第2022个三角形的周长． 【详解】解：∵中，，，， ∴的周长是16， ∵点、、分别是边、、的中点， ∴分别等于的一半， ∴的周长是， 同理，的周长是， …， 以此类推，的周长是， ∴第2022个三角形的周长． 故答案是：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 【变式13-1】如图，的周长为64，．．分别为．．的中点，．．分别为．．的中点，的周长为16．如果．．分别为第1个．第2个．第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第个三角形的周长是________．    【答案】或 【分析】根据三角形中位线定理分别求出第个三角形的周长、第个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：、、分别为、、的中点， 、、都是的中位线， ，，， 的周长= ，即第个三角形的周长是 ， 同理可得，第个三角形的周长是，， 则第个三角形的周长是， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化规律，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【变式13-2】如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理得到的周长，的周长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为、、的中点， ，，， 的周长， 同理，的周长， 则的周长， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，正确找出三角形的周长的变化规律是解题的关键． 【变式13-3】如图，现有一张边长为1的正方形纸片，第1次沿着线段剪开，留下三角形；第2次取的中点，再沿着剪开，留下三角形；第3次取的中点，再沿着剪开，留下三角形……如此进行下去，在第n次后，被剪去图形的面积之和是____________． 【答案】 【分析】求出；；；以此类推求出，即可求出剩余图形的面积为：，进一步可求出减去图形的面积为：． 【详解】解：由题意可知：第1次沿着线段剪开之后，剩余； 第2次沿着线段剪开之后，剩余； 第3次沿着线段剪开之后，剩余； 以此类推：第n次沿着线段剪开之后，剩余； ∴剩余图形的面积为：， ∵正方形的面积为1， 减去图形的面积为：． 故答案为： 【点睛】本题考查图形规律问题，有关线段中线面积问题．正方形面积，解题的关键是找出其中的规律求出最后剩余的面积， 【压轴二】中位线背景下的动点问题 【例14】已知边长为4的等边，D，E，F分别为边，，的中点，P为线段上一动点，则的最小值为________ 【答案】4 【分析】连接，，设交于点J，根据等边三角形的性质及中位线的性质得出， ，由三角形三边关系即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，，设交于点J， ∵是等边三角形，D、E、F分别为边、、的中点， ∴，，， ∴， ， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及中位线的性质，三角形的三边关系等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【变式14-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是边AB、AC上的动点，F、G分别是ED、EC的中点，则FG的最小值是________． 【答案】 【分析】连接CD，过点C作CH⊥AB于点H，根据三角形中位线定理可得从而得到当CD最小，即点D与点H重合时，FG最小，再根据，求出CH的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接CD，过点C作CH⊥AB于点H， ∵F、G分别是ED、EC的中点， ∴， ∴当CD最小，即点D与点H重合时，FG最小， ∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC=6， ∵， ∴， ∴FG的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理， 【变式14-2】如图，点，的坐标分别为，，点为平面直角坐标系内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，取中点，连接，根据三角形任意两边之和大于第三边求最值即可． 【详解】解：连接，取中点，连接， ∵， ∴当取最大值时，三点共线，即在之间， 即， ∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，中位线定理，平面直角坐标系中的点与几何，勾股定理，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 【变式14-3】如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由，知当最小时，最小，当最大时，最大，当时，最小，此时也最小，可求出，故最小为；当与重合时，最大，此时也最大，过作于，可求得，故最大为；即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： 点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小，当最大时，最大， 当时，最小，此时也最小，如图： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 最小为； 当与重合时，最大，此时也最大，过作于，如图： 同上可得是等腰直角三角形，， ， ， ， 最大为； 的最大值与最小值的差为， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形中的动点问题，涉及三角形中位线，解题的关键是找出取最大，最小值时的位置． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题21.2.3 中位线》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 与三角形中位线有关的求角 模块8 三角形中位线背景下的尺规作图问题 模块2 与三角形中位线有关的求线段长 微专题1构造三角形的中位线一一连接两点 模块3 与三角形中位线有关的求周长 微专题2构造三角形的中位线一一倍长法 模块4 与三角形中位线有关的求面积 微专题3已知角平分线与垂直关系构造三角形的中位线 模块5 与三角形中位线有关的证明 微专题4已知中点取其他边中点构造三角形的中位线 模块6三角形中位线的实际应用 压轴1 中位线背景下的规律探索 模块7中点四边形 压轴2 中位线背景下的动点问题 模块通关·举一反三 【模块一】与三角形中位线有关的求角 【例1】如图，四边形中，，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若，，则的度数为 ． 【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为__________． 【变式1-2】如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在四边形中，，点E，F分别是边，的中点． (1)如图1，点P为对角线的中点，连接，，若，则______度； (2)如图2，直线分别与，的延长线交于点M，N．求证：． 【模块二】与三角形中位线有关的求线段长 【例2】．如图，在中，已知，，平分交边于点E，点、分别是、的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，平行四边形的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】如图，中，平分，平分的外角，于D，交于点F，于E，交的延长线于点G，，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2-3】如图，周长20，D，E在边上，和分别是和的平分线，，，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【模块三】与三角形中位线有关的求周长 【例3】如图，四边形中，点、、、分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（    ） A．只与、的长有关 B．只与、的长有关 C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关. 【变式3-1】如图，平行四边形的对角线、相交于点O，交于点E．若，的周长为10，则平行四边形的周长为（　　） A．16 B．32 C．36 D．40 【变式3-2】如图，D是内一点，，，，，E、F、G、H分别是、、、的中点，则四边形的周长是（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式3-3】如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长是____________． 【模块四】与三角形中位线有关的求面积 【例4】如图，在平行四边形ABCD中，E为的中点，，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与面积相等的（除外）三角形有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4-1】如图，在中，D，E分别是，的中点，是边上的一个动点，连接，，．若的面积为，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】如图中，E，F分别是，的中点，过F作交于点G，若，且，，则阴影部分的面积为___________. 【变式4-3】如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积． 【模块五】与三角形中位线有关的证明 【例5】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是边中点，连接并延长至点F，使，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【变式5-1】如图，的中线，相交于点G，点P，Q分别是，的中点．求证： (1)四边形是平行四边形； (2) ． 【变式5-2】如图所示，点为内一点，平分，且交于点，点为边的中点，点在上，且． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)请直接写出线段，，之间的数量关系：______． 【变式5-3】如图，在中，平分，于点，点是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：； (2)如图2，请直接写出线段、、的数量关系：_______ ． 【模块六】三角形中位线的实际应用 【例6】如图，A，B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出的中点M，N，并测出的长，如果M，N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？说明你的理由． 【变式6-1】成都大运会主火炬塔位于东安湖体育公园，如图，小明想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取OA，OB的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段MN的长，于是小明在AO，BO延长线上分别选取P，Q两点，且满足OP＝ON，OQ＝OM，小明测得线段PQ＝90米，则A，B两点间的距离是_________米． 【变式6-2】某公园有一块三角形的空地△ABC（如图），为了美化公园，公园管理处计划栽种四种名贵花草，要求将空地△ABC划分成形状完全相同，面积相等的四块．”为了解决这一问题，管理员张师傅准备了一张三角形的纸片，描出各边的中点，然后将三角形ABC的各顶点叠到其对边的中点上，结果发现折叠后所得到的三角形彼此完全重合．你能说明这种设计的正确性吗？ 【变式6-3】（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【模块七】中点四边形 【例7】如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】．一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上．可以怎样裁？ 【变式7-2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点． 求证：MN和PQ互相平分． 【变式7-3】如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论. 【模块八】三角形中位线背景下的尺规作图问题 【例8】如图，在中，，，，D，E分别是的中点，连接．以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点M，N；以点D为圆心，长为半径作弧交于点P；以点P为圆心，长为半径作弧，交前面的孤于点Q；作射线交于点F．则的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-1】．如图，在中，，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，交BC于点D；③连接DE．则线段DE的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式8-2】33．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B． （1）请利用直尺和圆规作出△ABC关于直线AC对称的△AGC；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在AG边上找一点D，使得BD的中点E满足CE＝AD．请利用直尺和圆规作出点D和点E；（不要求写作法，保留作图痕迹） 【变式8-3】如图，等腰三角形中，，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于D,E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线，交于点M；④分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于G,H两点；⑤作直线，交于点N，连接．则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 专题攻坚·多题归一 【微专题一】构造三角形的中位线一一连接两点 【例9】如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 【变式9-1】如图，在四边形中，点P是边上的动点，点Q是边上的定点，连接，，E，F分别是，的中点，连接，点P在由C到D运动过程中，线段的长度（　　） A．保持不变 B．逐渐变小 C．先变大，再变小 D．逐渐变大 【变式9-2】如图，四边形中，与不平行，M，N分别是的中点，，则的长可能是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式9-3】已知：如图，是锐角三角形，分别以、为边向外侧作等边三角形和等边三角形，D、E、F分别是，，的中点，连结，．求证：． 【微专题二】构造三角形的中位线一一倍长法 【例10】如图，在中，，于点，，点是直线上一动点，连结．若点是的中点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在中，，为边上的中线，为的角平分线，过点B作于点F，连接，则线段的长为______． 【变式10-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AC上一点，连接BD．以BD直角边作等腰直角△BDE，∠DBE=90°，连接AE，点F为AE中点，若AB=4，BF=1，则AD的长为________． 【变式10-3】如图，在中，延长至点F，使得，延长至点G，连结，取中点E，连结．若所在直线垂直于，则________． 【微专题三】已知角平分线与垂直关系构造三角形的中位线 【例11】如图，在中，平分，点E为的中点，连接，若，则的长为（　　） A． B．2 C．3 D． 【变式11-1】如图，边长分别为．P为的平分线上一点，且，M为的中点，则的值是___________． 【变式11-2】如图，中，，为的外角平分线，且于点D，E为的中点，若，则的长为（　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 【变式11-3】如图，中，，分别平分、，，连接，则_______．    【微专题四】已知中点取其他边中点构造三角形的中位线 【例12】已知：如图，、分别是的中线和角平分线，，，的长为（    ） A．10 B． C． D． 【变式12-1】如图在中，已知，于D，，若是的中点，则（   ） A．2.5 B．2 C． D． 【变式12-2】（1）回顾定理：如图1，在中，是的中位线．那么与的关系有___________． （2）运用定理：如图2，在四边形中，，，点F为的中点，点E为的中点．若，，求的长． 【变式12-3】如图，已知四边形中，，点E、F分别是边的中点，连接，则的长是_________．    压轴突破·素养提升 【压轴一】中位线背景下的规律探索 【例13】如图，中，，，．点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；…；以此类推，则第2022个三角形的周长是 ______． 【变式13-1】如图，的周长为64，．．分别为．．的中点，．．分别为．．的中点，的周长为16．如果．．分别为第1个．第2个．第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第个三角形的周长是________．    【变式13-2】如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】如图，现有一张边长为1的正方形纸片，第1次沿着线段剪开，留下三角形；第2次取的中点，再沿着剪开，留下三角形；第3次取的中点，再沿着剪开，留下三角形……如此进行下去，在第n次后，被剪去图形的面积之和是____________． 【压轴二】中位线背景下的动点问题 【例14】已知边长为4的等边，D，E，F分别为边，，的中点，P为线段上一动点，则的最小值为________ 【变式14-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是边AB、AC上的动点，F、G分别是ED、EC的中点，则FG的最小值是________． 【变式14-2】如图，点，的坐标分别为，，点为平面直角坐标系内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C． D． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $