第四章　因式分解 习题课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第四章　因式分解 第1课时　因式分解 · 数 学 1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A.a（x-y）=ax-ay B.x2+2x+1=x（x+2）+1 C.（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D.x3-x=x（x+1）（x-1） D · 数 学 2.下列多项式可分解成（2x+1）（2x-1）的是（　　） A.4x2+1 B.4x2-1 C.-4x2+1 D.-4x2-1 B　 · 数 学 3.若4x2+mx+1=（2x-1）2成立，有下列说法： ①从左到右的变形是因式分解； ②从左到右的变形是整式乘法； ③m=4. 其中正确的说法是（　　） A.① B.② C.③ D.①③ A · 数 学 4.看谁连得准.（用线连一连） x2-y2 （x+1）2 9-25x2 y（x-y） x2+2x+1 （3-5x）（3+5x） xy-y2 （x+y）（x-y） 5.若多项式x2-3x+c可分解为（x-5）（x+2），则c的值为　　　　.  -10 · 数 学 6.计算下列各式： （1）（a+2b）（a-2b）=　　　　　　；  （2）（2a+b）2=　　　　　　　；  （3）8y（y+1）=　　　　　　　；  （4）a（x+y+1）=　　　　　　　.  a2-4b2 4a2+4ab+b2　 8y2+8y ax+ay+a　 · 数 学 根据上面的算式把下列多项式分解因式： （5）ax+ay+a=　　　　　　　　；  （6）a2-4b2=　　　　　　　　；  （7）4a2+4ab+b2=　　　　　　　　；  （8）8y2+8y=　　　　　　　　.  a（x+y+1） （a+2b）（a-2b） （2a+b）2　 8y（y+1） · 数 学 7.（2025成都期末）若x2+mx+n=（x+5）2，则m+n的值为　　　　.  8.（推理能力）小明在计算中发现，一个三位数的百位数字与个位数字交换位置后，新数与原数之差一定能被99整除，可是他无法说明，聪明的你能帮他解决此问题吗？ 35 解：设原三位数的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，则原数为100z+10y+x，新数为100x+10y+z，由于（100x+10y+z）-（100z+10y+x）=99x-99z=99（x-z），故新数与原数之差一定能被99整除. · 数 学 9.（运算能力）（2025河南期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n， 则x2-4x+m=（x+3）（x+n）. 即x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n. ∴解得 · 数 学 故另一个因式为x-7，m的值为-21. 仿照上面的方法解答下列问题： 已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式是2x-3，求另一个因式以及k的值. 解：设另一个因式为x+p， 由题意，得2x2+5x+k=（x+p）（2x-3）. 即2x2+5x+k=2x2+（2p-3）x-3p. 所以解得 所以另一个因式为x+4，k的值是-12. · 数 学 $第四章　因式分解 第3课时　提公因式法（2） · 数 学 1.将3（a+1）-x（a+1）分解因式，应提取的公因式是（　　） A.3-x　 B.x-3　 C.a-1　 D.a+1 2.把多项式m（m-n）2+4（n-m）分解因式，结果正确的是（　　） A.（n-m）（mn-m2+4） B.（m-n）（mn-m2+4）　 C.（n-m）（mn+m2+4） D.（m-n）（mn-m2-4） D　 A　 · 数 学 3.因式分解： （1）a（x-y）-2b（x-y）=__________________； （2）3m（a-b）+2n（b-a）=__________________； （3）p（a-1）+q（1-a）=__________________. 4.（2025山东一模）我们常常可以使用拼图的方法得出一个等式.利用如图所示的拼图分解因式：a2+3ab+2b2=　　　　　 　　.  （x-y）（a-2b）　 （a-b）（3m-2n） （a-1）（p-q） （a+2b）（a+b） · 数 学 5.因式分解： （1）x（m+n）-y（m+n）+（m+n）； （2）（a+b）（m-n）-（a-b）（n-m）. 解：（1）原式=（m+n）（x-y+1）. （2）原式=（a+b）（m-n）+（a-b）（m-n） =（m-n）·（a+b+a-b）=2a（m-n）. · 数 学 6.（2025清远期中）先因式分解，再求值：3（a-2）2-6（2-a），其中a=-2. 解：原式=3（a-2）（a-2+2）=3a（a-2）. 当a=-2时，原式=3×（-2）×（-2-2）=24. · 数 学 7.当a2-2a-4=0时，求2a2-4a+5的值. 解：∵a2-2a-4=0，∴a2-2a=4， ∴2a2-4a+5=2（a2-2a）+5=2×4+5=13. · 数 学 8.（运算能力、推理能力）（2025梅州期中）阅读理解：把多项式am+an+bm+bn分解因式. 方法一：am+an+bm+bn =（am+an）+（bm+bn） =a（m+n）+b（m+n） =（m+n）（a+b）； · 数 学 方法二：am+an+bm+bn =（am+bm）+（an+bn） =m（a+b）+n（a+b） =（a+b）（m+n）. 观察上述因式分解的过程，回答下列问题： （1）分解因式：m2x-3m+mnx-3n； 解：（1）m2x-3m+mnx-3n =m（mx-3）+n（mx-3） =（mx-3）（m+n）. · 数 学 （2）已知a，b，c为△ABC的三边，且a3-a2b+5ac-5bc=0，试判断△ABC的形状. （2）∵a3-a2b+5ac-5bc=0， ∴a2（a-b）+5c（a-b）=0.∴（a-b）（a2+5c）=0. ∵a，b，c为△ABC的三边，∴a2+5c≠0， ∴a-b=0.∴a=b.∴△ABC是等腰三角形. · 数 学 $第四章　因式分解 第6课时　《因式分解》单元复习 · 数 学 1.下列各组多项式中，没有公因式的是（　　） A.ax-bx和by-ay B.6x+12y和x+2y C.a+b和a-b D.a+b和b2+2ab+a2 C · 数 学 2.（2025东莞模拟）多项式xy2-y因式分解，正确的是（　　） A.x（y2-y） B.y（xy-1） C.y（xy+1） D.x（xy+y） 3.下列因式分解正确的是（　　） A.ax+ay=a（x+y）+1 B.3a+3b=3（a+b） C.a2+4a+4=（a+4）2 D.a2+b=a（a+b） B B · 数 学 4.（2025清远期末）把a2-4a分解因式正确的是（　　） A.a（a-4） B.（a-2）2 C.（a+2）（a-2） D.a（a+2）（a-2） A · 数 学 5.分解因式： x3-4x2+4x=　　　　　　　 　　.  6.分解因式：16x4-1=　　　　　　　 　　　　.  7.若（x-5）（x+2）是由x2-kx-10分解而来的，则 k=　　　　.  x（x-2）2 （4x2+1）（2x+1）（2x-1） 3 · 数 学 8.（2025深圳期中）因式分解： （1）x2+3x； （2）a（x-y）+16（y-x）； 解：（1）x2+3x=x（x+3）. （2）a（x-y）+16（y-x） =a（x-y）-16（x-y） =（x-y）（a-16）. · 数 学 （3）a2b-b； （4）a4-18a2+1. （3）a2b-b=b（a2-1）=b（a+1）（a-1）. （4）a4-18a2+1=a4-2a2+1-16a2 =（a2-1）2-16a2 =（a2-1+4a）（a2-1-4a）. · 数 学 9.先因式分解，再计算求值： 2x3-8x，其中x=3. 解：原式=2x（x2-4）=2x（x+2）（x-2）. 当x=3时，原式=2×3×（3+2）×（3-2） =2×3×5×1=30. · 数 学 10.先因式分解，再计算求值： x（x-y）2-y（y-x）2，其中x=，y=. 解：x（x-y）2-y（y-x）2=（x-y）2（x-y）=（x-y）3， 把x=，y=代入，得 原式==1. · 数 学 11.（2025重庆月考）如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： （1）a2b-ab2； （2）3a3b-6a2b2+3ab3. 解：根据题意得a-b=1，ab=12. （1）a2b-ab2=ab（a-b）=12×1=12. （2）3a3b-6a2b2+3ab3=3ab（a2-2ab+b2） =3ab（a-b）2=3×12×12 =36. · 数 学 12.将边长分别为a+b和a-b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果是　　　　　　　.  4ab · 数 学 13.（新教材北师8下P119改编）利用因式分解说明367-612能被140整除. 解：367-612=62×7-612=614-612=612（62-1）=612×35 =610×36×35=610×4×9×35=610×9×140， ∴367-612能被140整除. · 数 学 14.（2025上海月考）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形 式，则称这个数为“完美数”.例如：∵5=22+12，∴5是“完美数”；再如：M=x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2（x，y是整数），∴M也是“完美数”. （1）请你判断29是否为“完美数”； 解：（1）∵29=52+22，∴29是完美数. · 数 学 （2）已知S=x2+y2+4x-6y+k（x，y是整数，k是常数）要使S为“完美 数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由. （2）k=10时，S为“完美数”，理由如下： S=x2+y2+4x-6y+k =（x2+4x+4）+（y2-6y+9）+k-13 =（x+2）2+（y-3）2+k-13， ∵x，y是整数， ∴x+2，y-3也是整数， ∴当k-13=0，即k=13时，S是完美数. · 数 学 15.（运算能力）已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，试判断△ABC的形状. 解：∵a2+b2+c2=ab+ac+bc， ∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0. ∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0. ∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0. 即（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0， ∴a-b=0，b-c=0，a-c=0. ∴a=b=c.∴△ABC为等边三角形. · 数 学 16.（运算能力）（2025揭阳开学）阅读以下材料： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1. 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2， 再将“A”还原，得原式=（x+y+1）2. 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x-y）2-4（x-y）+4=　 　　　；  （x-y-2）2 · 数 学 （2）因式分解：（a2-4a+2）（a2-4a+6）+4； （2）解：令a2-4a=A， 原式=（A+2）（A+6）+4=A2+8A+12+4 =（A+4）2， 将“A”还原，原式=（a2-4a+4）2=（a-2）4. · 数 学 （3）求证：无论n为何值，式子（n2-2n-3）（n2-2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数. （3）证明：令n2-2n=N，原式=（N-3）（N+5）+17 =N2+2N-15+17=N2+2N+2 =（N+1）2+1， 将N=n2-2n 还原，原式=（n2-2n+1）2+1=（n-1）4+1， ∵无论n为何值 （n-1）4≥0， ∴ （n-1）4+1≥1，即式子 （n2-2n-3）（n2-2n+5）+17 的值一定是一个不小于1的数. · 数 学 $第四章　因式分解 第5课时　公式法（2） · 数 学 1.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A.a2+1　 B.a2+2a-1 C.a2-6a+9　 D.a2+8a+64 2.将下列多项式分解因式，结果中不含因式x-1的是（　　） A.x2-1　 B.x（x-2）+（2-x） C.x2-2x+1　 D.x2+2x+1 C D · 数 学 3.下列因式分解正确的是（　　） A.a4b-6a3b+9a2b=a2b（a2-6a+9） B.x2-x+= C.x2-2x+4=（x-2）2 D.4x2-y2=（4x+y）（4x-y） B · 数 学 4.因式分解： （1）a2+4a+4=　　　　　　　　；  （2）a2b+2ab2+b3=　　　　　　　　；  （3）a2+10a+25=　　　　　　　　.  5.（2025佛山月考）如果a2+ma+36是一个完全平方式，那么m的值为 　　　　.  （a+2）2 b（a+b）2 （a+5）2 ±12 · 数 学 6.因式分解： （1）xy3-2x2y2+x3y； （2）-a2-4b2+4ab； （3）（a+b）2-4a（a+b）+4a2. 解：（1）原式=xy（y2-2xy+x2）=xy（y-x）2. （2）原式=-（a2-4ab+4b2）=-（a-2b）2. （3）原式=（a+b-2a）2=（b-a）2. · 数 学 7.简便计算：562+442+56×88. 解：原式=562+2×56×44+442 =（56+44）2=1002=10 000. · 数 学 8.若+y2-4y+4=0，求xy的值. 解：∵+y2-4y+4=0，∴+（y-2）2=0. ∵≥0，（y-2）2≥0， ∴x-y=0，y-2=0，解得y=2，x=2，∴xy=4. · 数 学 9.（2025宁德期末）如图，将三个长和宽分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7.求代数式a3b+6a2b2+9ab3的值. 解：由题意得2（a+3b）=12，3ab=7， ∴a+3b=6，ab=， ∴a3b+6a2b2+9ab3=ab（a2+6ab+9b2） =ab（a+3b）2=×62=84. · 数 学 10.（运算能力）（2025阳江期中）若x，y是等腰三角形ABC的两条边，且满足4x2+10y2-12xy-4y+4=0，求△ABC的周长. 解：∵4x2+10y2-12xy-4y+4=0， ∴（2x-3y）2+（y-2）2=0. ∴2x-3y=0，y-2=0，解得x=3，y=2. 当3为腰，2为底时，△ABC的周长为8； 当2为腰，3为底时，△ABC的周长为7. · 数 学 $第四章　因式分解 第2课时　提公因式法（1） · 数 学 1.用提取公因式法将多项式8a3b2-4a2b因式分解时，应提取的公因式是 （　　） A.8a3b2 B.-4a2b2 C.4a2b D.-a3b 2.（2025唐山二模）把多项式a2-4a分解因式得（　　） A.a（a-4） B.a（a+4） C.（a+2）2 D.（a+2）（a-2） C A · 数 学 3.下列各式中，因式分解错误的是（　　） A.8xyz-6x2y2=2xy（4z-3xy） B.3x2-6xy+x=3x（x-2y） C.a2b2-ab3=ab2（4a-b） D.-a2+ab-ac=-a（a-b+c） 4.计算：33.8×+7.2×=　　　　　.  B 9 · 数 学 5.因式分解：3a2-6a. 6.指出下列多项式的公因式： （1）3a2y-3ay+6y； （2）-27a2b3+36a3b2+9a2b. 3a（a-2） （1）3y　 （2）-9a2b · 数 学 7.因式分解： （1）2x2y2-4y3z； （2）-8a2b-2ab+6b2. 解：（1）原式=2y2·x2-2y2·2yz=2y2（x2-2yz）. （2）原式=-（8a2b+2ab-6b2） =-（2b·4a2+2b·a-2b·3b）=-2b（4a2+a-3b）. · 数 学 8.（2025四川模拟）如图，长方形的长、宽分别为a，b，且a比b大3，面积为7，则a2b-ab2的值为　　　　.  21 · 数 学 9.已知x-y=，xy=，求x2y-xy2的值. 解：因为x-y=，xy=， 所以x2y-xy2=xy（x-y）=×=3 . · 数 学 10.（运算能力）（2025江门期末）已知x，y满足|x+y-2-|+（xy-2）2 =0. （1）x+y=　　　　，xy=　　　　；  （2）求x2y+xy2的值； 2+ 2 （2）x2y+xy2=xy（x+y）=2×（2+）=4+6. · 数 学 （3）求x2+y2的值. （3）∵x+y=2+，xy=2， ∴（x+y）2=（2+）2=3+4+4=7+4， 又∵（x+y）2=x2+2xy+y2， ∴x2+2xy+y2=7+4， ∴x2+2×2+y2=7+4， ∴x2+y2=7. · 数 学 $第四章　因式分解 第4课时　公式法（1） · 数 学 1.下列各式能用平方差公式分解因式的有（　　） ①x2+y2；②x2-y2；③-x2-y2； ④-x2+y2；⑤-x2+2xy-y2. A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个 B · 数 学 2.将代数式a2b-b3分解因式，结果正确的是（　　） A.2b（a+b）　 B.b（a-b） C.b（a2-b2）　 D.b（a+b）（a-b） 3.因式分解： （1）x2-25=　　　　　　　　　　；  （2）xy2-9x=　　　　　　　　　　.  4.若a+b=2，a-b=1，则a2-b2=　　　　.  D （x+5）（x-5） x（y+3）（y-3） 2　 · 数 学 5.如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为　　　　　　　.  2m+4 · 数 学 6.因式分解： （1）16x2-4； （2）9（a+b）2-（a-b）2； 解：原式=4（4x2-1）=4（2x+1）（2x-1）. 解：原式=-（a-b）2 =（3a+3b+a-b）（3a+3b-a+b）=（4a+2b）（2a+4b） =4（2a+b）（a+2b）. · 数 学 （3）-4m2+25n2； （4）a2（x-y）+9b2（y-x）. （3）解：原式=25n2-4m2=（5n+2m）（5n-2m）. （4）原式=a2（x-y）-9b2（x-y）=（x-y）（a2-9b2） =（x-y）（a+3b）（a-3b）. · 数 学 7.先因式分解，再求值：（a+b）2-（a-b）2，其中a=，b=. 解：原式= =2a·2b=4ab，将a=，b=代入得，原式=4××=2. · 数 学 8.（2025陕西期末）请利用因式分解说明993-99能被100整除. 解：993-99=99×992-99=99×（992-1） =99×（99+1）×（99-1） =99×100×98， ∵其中有一个因数为100， ∴993-99能被100整除. · 数 学 9.（应用意识）如图，在一个边长为a的正方形木板上，锯掉边长为b的四个小正方形，当a=18分米，b=6 分米时，求剩余部分的面积. 解：a2-4b 2=（a+2b）（a-2b） =（18+12）（18-12）=30×6=180（平方分米）. · 数 学 10.（推理能力、运算能力）（2025安徽一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m-n=3，则称这个正整数为“三方数”.例如：15=42-12，15就是一个“三方数”.将“三方数”从小到大排列. （1）第2个“三方数”是　　　　；第10个“三方数”是　　　　；  （2）请判断2 025是“三方数”吗？并说明理由. 21 　69 （2）2025是“三方数”.理由如下：设2 025=m2-（m-3）2， 整理得6m-9=2 025，解得m=339， ∴m-3=339-3=336，∴2 025=3392-3362， ∴2 025是“三方数”. · 数 学 $