第四章　因式分解 习题课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

3　公 式 法 第1课时　利用平方差公式分解因式 第四章　因式分解 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2025•西安期末）在下列多项式中，不能用平方差公式进行因式分 解的是（　D　） A. a2－16b2 B. －1＋4m2 C. －36x2＋y2 D. －m2－1 2. （2025•长治长子期末）下列各式中，不是多项式a2b－4b的因式的 为（　D　） A. b B. a＋2 C. a－2 D. a－4 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 3. 如果多项式mx2－ 分解因式的结果为 ，那么m，n 的值分别为（　C　） A. 4，5 B. －4，5 C. 16，25 D. －16，25 4. （2025•北京）分解因式：7m2－28＝ 　7（m＋2）•（m－2）　. C 7（m＋2）•（m－2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 5. 在一个半径为R cm的大圆上，挖去9个半径为r cm的小圆，当R＝ 70，r＝10时，剩余部分的面积为 　4 000π　cm2（结果保留π）. 4 000π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 6. 分解因式： （1） －1＋4m2n2. 解：（2mn＋1）（2mn－1）. （2） a3b－9ab. 解：ab（a＋3）（a－3）. （3） a2－4（a－b）2. 解：（3a－2b）（2b－a）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （4） （3a＋2b）2－（a－b）2. 解：（4a＋b）（2a＋3b）. （5） 3a2（x＋y）3－27a4（x＋y）. 解：3a2（x＋y）（x＋y－3a）（x＋y＋3a）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 7. （2025•龙口期中）甲、乙两人对－x3＋x进行因式分解.甲的结果为 －x（x＋1）（x－1）；乙的结果为x（1＋x）（1－x）.下列判断 中，正确的是（　C　） A. 只有甲的结果正确 B. 只有乙的结果正确 C. 甲、乙两人的结果都正确 D. 甲、乙两人的结果都不正确 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 8. 已知x－y＝3，y－z＝2，x＋z＝4，则代数式x2－z2的值是（　C　） A. 9 B. 18 C. 20 D. 24 C 9. 新情境•游戏活动　 （2025•郑州惠济期末）小刚是一位密码编译爱 好者，在他的密码手册中，a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2 －b2分别对应济、爱、我、惠、游、美六个字，现将（x2－y2）a2－ （x2－y2）b2分解因式，结果呈现的密码信息可能是（　C　） A. 我爱美 B. 惠济游 C. 我爱惠济 D. 美我惠济 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 10. （2025•合肥期末）已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值 为 　10　. 11. 已知a，b，c是△ABC的三边长，则代数式（a－c）2－b2 　＜　0（填“＞”“＜”或“＝”）. 10　 ＜　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 12. 分解因式： （1） （x－1）2＋2（x－5）. 解：原式＝x2－9＝（x＋3）（x－3）. （2） x4（x－2）－16（x－2）. 解：原式＝（x－2）2（x2＋4）（x＋2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 13. 若3a＋b＝50，a－3b＝11，求－2（2a－b）2＋2（a＋2b）2的 值. 解：原式＝－2（3a＋b）（a－3b）.当3a＋b＝50，a－3b＝11时， 原式＝－2×50×11＝－1 100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 14. 利用因式分解简便计算： （1） 2.992－3.992. 解：原式＝（2.99－3.99）×（2.99＋3.99）＝－6.98. （2） 5652×11－4352×11. 解：原式＝（5652－4352）×11＝（565＋435）×（565－435）×11＝ 1 000×130×11＝1 430 000. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 15. 已知n为整数，求证： ［1－（－1）n］（n2－1）的计算结果总是 偶数. 解：当n是偶数时，原式＝ ×（1－1）×（n2－1）＝0.当n是奇数 时，原式＝ ×（1＋1）×（n＋1）（n－1）＝ （n＋1）（n－1）. 设n＝2k＋1（k为整数）.∴ （n＋1）（n－1）＝ ［（2k＋1） ＋1］［（2k＋1）－1］＝k（k＋1）.∵ 0和k（k＋1）（k为整数）都 是偶数，∴ ［1－（－1）n］（n2－1）的计算结果总是偶数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 14 16. 新考法•新定义题　 （2025•无锡锡山期中）若一个正整数x能表示 成a2－b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“优美 数”，a与b是x的一个平方差分解. 例如：∵ 5＝32－22， ∴ 5是“优美数”，3与2是5的平方差分解. ∵ M＝x2＋2xy＝x2＋2xy＋y2－y2＝（x＋y）2－y2（其中x，y是正整 数）， ∴ M也是“优美数”，x＋y与y是M的一个平方差分解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （1） 27是否是“优美数”？如果是，请写出27的所有平方差分解；如 果不是，请说明理由. 解：（1） 27是“优美数”.∵ 142－132＝（14＋13）×（14－13）＝ 27×1＝27，62－32＝（6＋3）×（6－3）＝9×3＝27，∴ 27是“优美 数”，14与13，6与3都是27的平方差分解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （2） 设两个连续正奇数为2n－1和2n＋1（其中n是正整数），由它们 构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请 举例说明. 解：（2） 能.　理由：（2n＋1）2－（2n－1）2＝8n（n是正整 数）.∵ 8n能被8整除，∴ 由它们构成的“优美数”能被8整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 $第四章【 因式分解 2提公因式法 01 目录 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 淘基础进阶 1.（2025·菏泽鄄城期末)多项式2xmyn-1-4xm-1y”(m,n均为大于 B 的整数)1各喷的公因式为( )B.2xm-1yn-1 C.2xmy D.4xmyn 2.在m(a-x)(x-b)-mn(a-x)(b-x)中，公因式为 (C) A.m B.m (a-x) C.m（a-x)（b-x) D.(a-x)(b-x) 345678901▣2314国1516 心返回目录 3.若(m+n)3-mn(m十n)=(m十n)·A,则A表示的多项式 为(D) A.m2+n2 B.m2-mn+n2 C.m2-3mn n2 D.m2+mn n2 4. (2025输林定边期末)已知x-y=子，xy=3,则y一w2 1214567891021314116 心返回目录 5.易错题 分解因式： (1)-2x2+22y2-4x3. 解：-1x2y2(2x-8+y). (2)6p(2x+3y)-4q(2x+3y)· 解：2(2x+3y)(3p-2q). (3)3x(a-b)-6y(b-a). 解：3(a-b)(x+2y). (4)8a(x-y)3-4b(y-x)2. 解：4（x-y)2(2ax-2ay-b). 123467891021314116 心返回目录 素能攀升 6.下列利用提公因式法因式分解正确的是(D) A.b(a-4)-c(4-a)=(a-4)(b-c) B.3x2（x-5)2+2x(x-5)2=3（x-5)2。（x2+2x) C.(2a-b)(a-c)+(b-2a)(b-c)=(2a-b) (a+b-2c) D.-5a(2x-3y)-15b(3y-2x)=-5(2x-3y)（a-3b) 123457891021314116 心返回目录 7.下列各组式子中，没有公因式的为(B) A.-a2+ab与a2b-ab2 B.mx+y与x+y C.(a+b)2与-a-b D.5m(a-b)与b一a 123456891021314116 心返回目录 8.(2025·湖州期末)某养鸡场准备用长为20 m的篱笆围成一个长和宽 分别为a m,bm的长方形场地.若a2b十ab2=240,则这个长方形场 地 B 的积为2( B.24m2 C.16m2 D.12m2 9.若m+2n=1,则3m2+6mn十6n的值为3 12345710213141516 心返回目录 10.已知a-1=b+c,则a(a-b-c)-b(a-b-c)十c(b 十 1 c-a)= 11.多项式(x+2)（2x一1)3或3+2)可以因式分解成2(x十 m (x十n),则m一n的值是 解：20252海徐期中已知y-(炒满是8y1十少4 28,x求）-值：x一y=2. 1234567891314国1516 心返回目录 13.利用提公因式法证明：对于任意正整数n,代数式2n+4一2n必有一 个因数30. 解：.2n+4-2n=2n×（24-1)=15×2n=30×2n-1,∴.对于任意正 整数n,代数式2n+4一2n必有一个因数30. 1234567891012国141516 心返回目录第四章整合拔尖 第四章　因式分解 01 知识体系构建 02 高频考点突破 03 综合素能提升 目 录 返回目录 考点一　因式分解与整式乘法 典例1　（2025•深圳期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解 且正确的是（　B　） A. a5b3＝ab•a4b2 B. x2－x－6＝（x－3）（x＋2） C. 2x2－y2＝（2x＋y）（2x－y） D. 2x（x＋y）－6y（x＋y）＝（x＋y）（2x－6y） B 返回目录 ［变式］ 等式x2＋（m＋k）x＋k＝（x＋2）（x＋4）是因式分解 吗？请求出km的值. 解：是因式分解.∵ （x＋2）（x＋4）＝x2＋6x＋8＝x2＋（m＋k） x＋k，∴ 解得 ∴ km＝8－2＝ . 返回目录 考点二　用提公因式法与公式法分解因式 典例2　分解因式： （1） 9x2－16y2. 解：（3x＋4y）（3x－4y）. （2） ax4－ay4. 解：a（x2＋y2）（x＋y）（x－y）. （3） 2m2＋16m＋32. 解：2（m＋4）2. （4） a2－4b2＋12bc－9c2. 解：（a＋2b－3c）（a－2b＋3c）. 返回目录 ［变式］ 分解因式： （1） a2（a－b）＋（b－a）. 解：（a－b）（a＋1）（a－1）. （2） a3（x－y）＋6a2（y－x）＋9a（x－y）. 解：a（x－y）（a－3）2. （3） （a2＋b2）2－4a2b2. 解：（a＋b）2（a－b）2. 返回目录 考点三　因式分解的应用 典例3　常用的因式分解方法有提公因式、公式法等.但有的多项式只用 上述方法就无法分解，如x2－4y2＋2x－4y，细心观察这个式子会发现 前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程如下： x2－4y2＋2x－4y ＝（x2－4y2）＋（2x－4y）…分组 ＝（x－2y）（x＋2y）＋2（x－2y）…组内分解因式 ＝（x－2y）（x＋2y＋2）…整体思想提公因式 这种因式分解的方法称为分组分解法，利用这种方法解决下列问题： 返回目录 （1） 分解因式：x2－6xy＋9y2－3x＋9y. 解：（1） 原式＝（x－3y）2－3（x－3y）＝（x－3y）（x－3y －3）. （2） 已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2－ac＋bc＝0，判断 △ABC的形状并说明理由. 解：（2） △ABC为等腰三角形.理由：∵ a2－b2－ac＋bc＝0，∴ （a ＋b）（a－b）－c（a－b）＝0，即（a－b）（a＋b－c）＝0. ∴ a－b＝0或a＋b－c＝0.∵ a＋b－c＞0，∴ a－b＝0，即a＝b. ∴ △ABC为等腰三角形. 返回目录 ［变式］ 若a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求a，b的值. 看到a2＋2a可想到如果添上常数1恰好就是a2＋2a＋1＝（a＋1）2，这 个过程称为“配方”. 同理，可得b2－4b＋4＝（b－2）2，恰好把常数5分配完. 原式可以化为（a＋1）2＋（b－2）2＝0. 由平方的非负性，可得a＋1＝0且b－2＝0，解得a＝－1，b＝2. 返回目录 （1） 若a2＋b2＋4a－8b＋20＝0，求a2＋b2的值. 解：（1） 整理等式，得a2＋4a＋4＋b2－8b＋16＝0，即（a＋2）2＋ （b－4）2＝0.∴ a＋2＝0，b－4＝0，解得a＝－2，b＝4.∴ a2＋b2＝ （－2）2＋42＝20. （2） 若4a2＋b2－20a＋6b＋34＝0，求2a－b的值. 解：（2） 整理等式，得4a2－20a＋25＋b2＋6b＋9＝0，即（2a－5） 2＋（b＋3）2＝0.∴ 2a－5＝0，b＋3＝0，解得a＝2.5，b＝－3.∴ 2a －b＝2.5×2＋3＝8. 返回目录 1. （2025•合肥庐阳期末）下列因式分解正确的是（　D　） A. 6ax－3ax2＝3（2ax－ax2） B. x（x－y）＋y（y－x）＝（x－y）（x＋y） C. x2＋2xy－4y2＝（x－2y）2 D. ay2－a＝a（y＋1）（y－1） D 1 2 3 4 5 6 返回目录 2. （2025•开封通许期末）若m＋n－3＝0，则2m2＋4mn＋2n2－6的值 为（　A　） A. 12 B. 2 C. 3 D. 0 3. 如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方 形的面积.通过分析图形，可以将多项式m2＋4mn＋3n2分解因式 为 　（m＋3n）（m＋n）　. （第3题） A （m＋3n）（m＋n）　 1 2 3 4 5 6 返回目录 4. 分解因式： （1） －12x2y＋6xy－18xy2. 解：－6xy（2x－1＋3y）. （2） 9a2（x－y）＋4b2（y－x）. 解：（x－y）（3a＋2b）（3a－2b）. （3） （a＋b）2－4（a＋b－1）. 解：（a＋b－2）2. （4） x2－2x－15. 解：（x＋3）（x－5）. 1 2 3 4 5 6 返回目录 5. 已知A＝3x2－12，B＝5x2y3＋10xy3，C＝（x＋1）（x＋3）＋1， 则多项式A，B，C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请 说明理由. 解：多项式A，B，C有公因式.∵ A＝3x2－12＝3（x＋2） （x－2），B＝5x2y3＋10xy3＝5xy3（x＋2），C＝（x＋1）（x＋3）＋1＝x2＋4x＋4＝（x＋2）2，∴ 多项式A，B，C的公因式为x＋2. 1 2 3 4 5 6 返回目录 6. 因式分解：（x2－2x－1）（x2－2x＋3）＋4. 解：设x2－2x＝y. 原式＝（y－1）（y＋3）＋4（第一步） ＝y2＋2y＋1（第二步） ＝（y＋1）2（第三步） ＝（x2－2x＋1）2（第四步）. 1 2 3 4 5 6 返回目录 （1） 第二步到第三步运用了（　C　） A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式 C 1 2 3 4 5 6 返回目录 （2） 因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最 后结果. 解：（2） 不彻底.　（x－1）4. （3） 请模仿以上方法对多项式（x2－4x）•（x2－4x＋8）＋16进行因 式分解. 解：（3） 设x2－4x＝y.原式＝y（y＋8）＋16＝y2＋8y＋16＝（y＋ 4）2＝（x2－4x＋4）2＝（x－2）4. 1 2 3 4 5 6 返回目录 $第四章 因式分解 专题特训八因式分解的应用 类型一简便计算 1.计算：(1-)×(1-)×(1-)×…×(1-0)= 101 200 234567□8 2.利用因式分解计算： 552-452 (1) 992十198十1 解：原式=(55十45)×(55-45) 100×10 100×10 =1 992+2×99×1+12 (99+1)2100×100 101 (2)9992+999+6852-3152 解：原式=999×(999+1)+(685-315)×(685+315)= 999×1000+370×1 000=1000×(999+370)=1 000×1369= 1369 000. 1345678 类型二化简求值 3.（2025成都金牛期末)已知x十2y=5,x一2y=一3，则代数式x2 一4y2-4x+8y的值是=3 4.利用因式分解求值：m(m+n)(m一n)一m（m+n)2,其中 m+n=1,m=号 解：原式=一2mn(m十n).当m十n=1,mn=号时，原式=- 2×3×1=-1. 125678 类型三 判断整除 5.(2025·宜宾段考)当n为正整数时，2(n+1)2+2(n十1)能被 4 蟹除愿式=2（n十1)（n+2)..'n为正整数，∴.n十1或n十2必有一 个数是偶数.∴.2（n十1)(n+2)是4的倍数.∴.当n为正整数时，2 (n+1)2+2(n+1)能被4整除 1234678 类型四 判断三角形的形状 6.已知a,b,c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2=ab十ac+bc. 求 邂：公是三角形.ac+bc,'.22+2b2+2c2=2ab+2c+ 2bc,即(2-2ab+b2)+（a2-2c+c2)+（b2-2bc+c2)=0. 整理，得(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0..a-b=0,a-c =0,b-c=0.∴.M=b,a=c,b=c.∴.a=b=c.∴.△ABC是等边 三角形. 1234578 类型五 比较大小 7.已知a=20 252 025×999,b=2024 2024×1000,请比较 a与b的大 解关系=20 252 025×999=2025×999×10 001=(2024+1)× (1 000 -1)×10 001=2 024×1 000×10 001-2 024×10 001+1 000 ×10 001- 10 001,b=20242024×1000=2024×1000×10 001,. 4b= 2 024×10 001+1 000i30sC68：(-2024+1 000 8.若A=x2+4y+y2-4,B=4x+4xy-6y-25,试比较A,B的 大 解关系A=x2+4y+y2-4,B=4x十4y-6y-25,∴.A-B=x2十 y2-4x+6y+21=（x-2)2+（y+3)2+8..（x-2)2+(y+ 3)2+8≥8，∴.A-B>0..A>B. 1234567司专题特训七　因式分解的方法 第四章　因式分解 类型一　提公因式法 1. 分解因式： （1） －5a2b3＋20ab2－5ab. 解：－5ab（ab2－4b＋1）. （2） 15x（x－y）－12（y－x）2. 解：3（x－y）（x＋4y）. 1 2 3 4 5 类型二　公式法 2. 分解因式： （1） 4a4－36a2b2. 解：4a2（a＋3b）（a－3b）. （2） （2025•绥化）2mx2－4mxy＋2my2. 解：2m（x－y）2. （3） （x2－3）2－36. 解：（x2＋3）（x＋3）（x－3）. （4） （m2－5）2＋8（m2－5）＋16. 解：（m－1）2（m＋1）2. 1 2 3 4 5 类型三　分组分解法 3. 分解因式： （1） x2－4y2＋x＋2y. 解：（x＋2y）（x－2y＋1）. （2） a2＋2a＋1＋b2－2b－2ab. 解：（a－b＋1）2. 1 2 3 4 5 类型四　十字相乘法 4. 如图，可以把x2＋3x＋2因式分解的过程用十字相乘的形式形象地表 示出来：先分解二次项系数，把结果分别写在十字交叉线的左上角和左 下角；再分解常数项，把结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角； 然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.这样，我们可以得到 x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）.请利用这种方法因式分解：x2－11x＋ 28＝ 　（x－4）（x－7）　； 2x2－3x－2＝ 　（2x＋1）（x－2）　. （x－4）（x－7）　 （2x＋1）（x－2）　 （第4题） 1 2 3 4 5 类型五　换元（整体）法 5. 分解因式：（a＋b）2＋2（a＋b）＋1. 解：设a＋b＝t. ∴ 原式＝t2＋2t＋1＝（t＋1）2＝（a＋b＋1）2. 这样的解题方法称为“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复 出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式.“换元法”是一 种重要的数学方法，不少问题能用“换元法”解决. 请用“换元法”分解因式： 1 2 3 4 5 （1） （m＋n）2－10（m＋n）＋25. 解：设m＋n＝t.∴ 原式＝t2－10t＋25＝（t－5）2＝（m＋n－5）2. （2） （x2－6x＋8）（x2－6x＋10）＋1. 解：设x2－6x＝t.∴ 原式＝（t＋8）（t＋10）＋1＝t2＋18t＋81＝ （t＋9）2＝（x2－6x＋9）2＝（x－3）4. 1 2 3 4 5 $3　公 式 法 第2课时　利用完全平方公式分解因式 第四章　因式分解 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2025•乐清期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的 是（　C　） A. 4a2＋4a－1 B. x2－2x－1 C. －m2＋m－ D. 4x4－x2＋ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 2. （2025•株洲荷塘期末）对下列多项式进行因式分解，结果中不含因 式a＋1的是（　C　） A. a2－1 B. a2＋a C. a2－2a＋1 D. （a＋2）2－2（a＋2）＋1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 3. 9（a－b）2＋12（a2－b2）＋4（a＋b）2因式分解的结果是（　A ） A. （5a－b）2 B. （5a＋b）2 C. （5a－2b）2 D. （3a－2b）（3a＋2b） 4. （2025•东营）分解因式：2m3－12m2＋18m＝ 　2m（m－3）2　. 5. （2025•鹰潭余江期末）已知a＋2b＝1，则代数式a2－4b2＋4b＋ 2 025的值为 　2 026　. A 2m（m－3）2　 2 026　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 6. 分解因式： （1） a2－16ab＋64b2. 解：（a－8b）2. （2） （2025•烟台）2x2－12xy＋18y2. 解：2（x－3y）2. （3） －a＋18a2－81a3. 解：－a（1－9a）2. （4） 49＋（a＋2b）2－14（a＋2b）. 解：（a＋2b－7）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 7. 已知一个正方形的面积是9a2＋12ab＋4b2（a＞0，b＞0），则该正 方形的周长为（　D　） A. 3a＋2b B. 6a＋4b C. 9a＋6b D. 12a＋8b 8. （2025•榆林横山期末）若非零实数a，b满足4a2＋b2＝4ab，则 的 值为（　A　） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 9. 新考法•开放题　 （2025•成都）多项式4x2＋1加上一个单项式后能运 用完全平方公式分解因式，那么加上的单项式可以为 　4x　（写出一 个即可）.（答案不唯一） 10. （a＋1）（a＋3）＋1分解因式的结果是 　（a＋2）2　. 11. 已知｜x－2y－1｜＋x2＋4xy＋4y2＝0，则x＋y＝ 　 　. 4x　 （答案不唯一） （a＋2）2　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 12. ★分解因式： （1） （x2＋4）2－16x2. 解：（x＋2）2（x－2）2. （2） －（a2＋2）2＋6（a2＋2）－9. 解：－（a＋1）2（a－1）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 13. 用因式分解计算： （1） 1 0012－202 202＋1012. 解：原式＝（1 001－101）2＝9002＝810 000. （2） 2 0242＋2 0252－4 048×2 025. 解：原式＝（2 024－2 025）2＝（－1）2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 14. 分解因式：（x＋y）2＋4（x－y）2－4（x2－y2）.小朝思考了半 天，也没有得出答案，就打电话给好朋友小辉.小辉只是在电话里说了 一句话，小朝就茅塞顿开了.你知道小辉说了什么吗？这个多项式又该 如何分解因式呢？ 解：先将x2－y2分解因式.原式＝（x＋y）2＋4（x－y）2－4（x＋ y）（x－y）＝［（x＋y）－2（x－y）］2＝（x＋y－2x＋2y）2＝ （3y－x）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 15. 新考法•过程性学习　 ① 分解因式：a2－6a＋5；② 求a2－6a＋5 的最值. 小明解答①的过程如下：a2－6a＋5＝a2－6a＋9－9＋5＝（a－3）2－ 4＝（a－5）（a－1）. 小丽解答②的过程如下：a2－6a＋5＝a2－6a＋9－9＋5＝（a－3）2 －4. ∵ （a－3）2≥0， ∴ （a－3）2－4≥－4，即a2－6a＋5≥－4. ∴ a2－6a＋5的最小值为－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （1） 根据小明的解答，将a2－12a＋20因式分解. 解：（1） a2－12a＋20＝（a2－12a＋36）－16＝（a－6）2－42＝ （a－2）•（a－10）. （2） 根据小丽的解答，求代数式a2－8a－9的最小值. 解：（2） a2－8a－9＝（a2－8a＋16）－25＝（a－4）2－25.∵ （a －4）2≥0，∴ （a－4）2－25≥－25，即a2－8a－9≥－25.∴ a2－8a －9的最小值为－25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 16. 分解因式：（a－b）2－2（a－b）＋1. 解：设a－b＝M. ∴ 原式＝M2－2M＋1＝（M－1）2. 再将a－b＝M还原，得原式＝（a－b－1）2. 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想. （1） 分解因式：（x＋y）（x＋y－4）＋4. 解：（1） 设x＋y＝M. ∴ 原式＝M（M－4）＋4＝M2－4M＋4＝ （M－2）2.再将x＋y＝M还原，得原式＝（x＋y－2）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 （2） 已知a为正整数，求证：（a－1）（a－2）（a－3）（a－4） ＋1为整数的平方. 解：（2） 原式＝（a－1）（a－4）（a－2）（a－3）＋1＝（a2－ 5a＋4）（a2－5a＋6）＋1.设a2－5a＋4＝N. ∴ 原式＝N（N＋2） ＋1＝N2＋2N＋1＝（N＋1）2.∵ a为正整数，∴ N＝a2－5a＋4＝（a －1）（a－4）也是整数.∴ N＋1也是整数.∴ （a－1）（a－2）（a －3）（a－4）＋1为整数的平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回目录 $1　因式分解 第四章　因式分解 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. ★（2025•济南平阴期末）下列等式中，从左到右的变形为因式分解 的是（　D　） A. 8a2b3c＝2a2•2b3•2c B. m2－5＝m C. （x－y）2＝x2－2xy＋y2 D. 3x3＋27x＝3x（x2＋9） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. 对于① x－3xy＝x（1－3y）；② （x＋3）（x－1）＝x2＋2x－3 从左到右的变形，下列结论中，正确的是（　C　） A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 有下列因式分解：① a2－ab＝a（a－b）；② 2b2－1＝（2b＋1） （2b－1）；③ b2－2b＋4＝（b－2）2；④ x2y＋xy2＋xy＝xy （x＋y）；⑤ a2＋10a＋25＝（a＋5）2.其中，正确的是 　①⑤　 （填序号）. ①⑤　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. 数形结合思想　 如图，大长方形的面积可以用式子表示为a2＋3ab ＋2b2，请将这个式子因式分解： 　a2＋3ab＋2b2＝（a＋b）（a＋ 2b） 　. （第4题） a2＋3ab＋2b2＝（a＋b） （a＋2b）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. 请利用a2＋ab＝a（a＋b）解决问题： （1） 简便运算：7.62＋7.6×2.4. 解：（1） 原式＝7.6×（7.6＋2.4）＝7.6×10＝76. （2） 判断n2＋n（n为整数）是奇数还是偶数. 解：（2） n2＋n＝n（n＋1）.若n为奇数，则n＋1为偶数；若n为偶 数，则n＋1为奇数.∴ n与n＋1始终一奇一偶.∴ n（n＋1）为偶数， 即n2＋n是偶数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. （2025•保定曲阳期末）若257＋513能被n整除，则n的值可能 是（　 B） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 将一个二次三项式因式分解，聪聪看错了一次项，分解成3（x－1） •（x－9），江江看错了常数项，分解成3（x－2）（x－4）.原多项式 应该为（　B　） A. 3x2－30x＋24 B. 3x2－18x＋27 C. 3x2－30x＋27 D. 3x2－18x＋24 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. 将多项式x2＋4mx＋5因式分解得到（x＋5）（x＋n），则m＋n的 值为 　 　. 9. （2025•烟台期末）代数公式可以用几何图形来推理论证.受此启发， 小明将如图①所示的边长为a的正方形剪去2个长为a、宽为b的长方形 和3个边长为b的正方形，拼成了如图②所示的长方形.观察图①②的涂 色部分，可以得到的式子为 　a2－2ab－3b2＝ （a＋b）（a－. （第9题） 　 a2－2ab－3b2＝（a＋b）（a－ 3b） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 利用简便方法计算： （1） 23×2.718＋59×2.718＋18×2.718. 解：原式＝2.718×（23＋59＋18）＝2.718×100＝271.8. （2） 57.6×1.6＋57.6×18.4＋57.6×（－19）. 解：原式＝57.6×（1.6＋18.4－19）＝57.6×1＝57.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. 21×3.12＋62×3.12＋17×3.12能被4整除吗？请说明理由. 解：能.　理由：∵ 原式＝3.12×（21＋62＋17）＝3.12×100＝312＝ 78×4，∴ 原式能被4整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 下面是一个正确的因式分解，但是其中部分式子被墨水污染看 不清了. 2x2＋3x－6＋ ＝（x－2）（2x＋5）. （1） 求被墨水污染的式子. 解：（1） ∵ （x－2）（2x＋5）－（2x2＋3x－6）＝2x2＋5x－4x －10－2x2－3x＋6＝－2x－4，∴ 被墨水污染的式子为－2x－4. （2） 若被墨水污染的式子的值不小于2，求x的取值范围. 解：（2） 根据题意，得－2x－4≥2，解得x≤－3.∴ x的取值范围是 x≤－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 新考法•阅读理解　 先阅读下面的解题过程，然后解答问题. 已知多项式2x3－x2＋m有一个因式为2x＋1，求m的值. 解法一：设2x3－x2＋m＝（2x＋1）（x2＋ax＋b），则2x3－x2＋m＝ 2x3＋（2a＋1）x2＋（a＋2b）x＋b. 比较系数，得 解得 ∴ m的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解法二：设2x3－x2＋m＝A（2x＋1）（A为整式）. 由于上式为恒等式，为方便计算，取x＝－ ，则2×3－2＋ m＝0，解得m＝ . （1） 已知关于x的多项式x2＋mx－15有一个因式为x－3，则m ＝ 　2　. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 已知x4＋mx3＋nx－16有因式x－1和x－2，求m，n的值. 解：（2） 设x4＋mx3＋nx－16＝A（x－1）（x－2）（A为整式）. 分别令x＝1和x＝2，得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） 已知x2＋2x＋1是多项式x3－x2＋ax＋b的一个因式，求a，b的 值，并将该多项式分解因式. 解：（3） 设x3－x2＋ax＋b＝（x＋p）•（x2＋2x＋1）.∵ （x＋p）（x2＋2x＋1）＝x3＋（2＋p）x2＋（1＋2p）x＋p， ∴ 解得 ∴ 多项式x3－x2＋ax＋b＝x3－x2 －5x－3.∴ x3－x2－5x－3＝（x－3）（x2＋2x＋1）＝（x－3）（x ＋1）2.∴ a＝－5，b＝－3，将该多项式分解因式为x3－x2－5x－3＝ （x－3）（x＋1）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $