18.1.1 矩形的性质（课件）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

矩形的性质 矩 形 18 华师大版·八年级数学下册 1 定义 边 角 对角线 对称性 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 平行四边形的两组对边分别平行. 性质定理 1 平行四边形的对边分别相等. 性质定理 2 平行四边形的对角相等. 性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的相关性质 平行四边形是中心对称图形. 知识回顾 【动手操作】如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，并轻轻推动，你会发现什么？ A B C D 角的大小改变了，但仍然保持平行四边形的形状. 新课导入 当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形. 平行四边形 矩形 一个角是直角 矩形的定义： 有一个角为直角的平行四边形是矩形（长方形）. 探索新知 矩形在生活中无处不在. ★矩形是特殊的平行四边形. ★平行四边形不一定是矩形. 作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般 平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 思 考 A B C D O 提示：可以从边、角、对角线等方面来考虑. 材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等. 活动 1 测量数学书的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果. 根据测量的结果，你有什么猜想？ 猜想1：矩形的四个角都是直角. 猜想2：矩形的对角线相等. 观察猜想 A B C D O 你能证明吗？ 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. 验证猜想 A B C D 证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形. ∴∠B = ∠D，∠C = ∠A，AB // DC. ∴∠B + ∠C = 180°. 又∵∠B = 90°，∴∠C = 90°. ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°， 对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. A B C D O 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°. 在△ABC和△DCB中 ∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB， ∴△ABC ≌ △DCB（SAS）， ∴AC = DB. 归 纳 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 几何语言： 矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°，AC = DB. 例 1 如图，矩形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果这四个小三角形周长的和是 86 cm，矩形的对角线长是 13 cm，那么该矩形的周长是多少？ 解 ∵△AOB、△BOC、△COD 和△AOD 这四个小三角形周长的和为 86 cm， ∴AB + BC + CD + DA + 2(OA + OB + OC + OD) = AB + BC + CD + DA + 2(AC + BD) = 86. 又∵AC = BD = 13 (矩形的对角线相等)， ∴AB + BC + CD + DA = 86－2(AC + BD) = 86－4×13 = 34 (cm). 即该矩形的周长是 34 cm. A B C D O 1. 如图，四边形 ABCD 是一个矩形，其中 AD ＝ 5， AB ＝ 12，则 AC 的长为______. A B D C 5 5 12 13 2. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， ∠AOD ＝ 70°，则 ∠BAC 的度数为 ( ) A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° B 3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC 与 BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） C A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠ACB＝∠ACD 活动 2 请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ A B C D l1 l2 2 条对称轴 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线. 【选自教材第114页 练习 第1题】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，试找出图中相等的线段和相等的角. A B C D O 解: 相等的线段: AB＝CD，BC＝AD，BD＝AC， OA＝OC＝OB＝OD. 相等的角: ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠CDA ＝ ∠DAB ＝ 90°， ∠OBA ＝∠OAB ＝∠ODC ＝∠OCD， ∠OAD ＝∠ODA ＝∠OBC ＝∠OCB， ∠BOC ＝∠AOD，∠AOB ＝∠COD. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 【选自教材第114页 练习 第2题】 2. 如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°. 求证：AC = 2AB. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC ＝BD，OA ＝OC ＝ AC，＝OB ＝OD ＝ BD. ∴ OA ＝OB. ∵ ∠AOD ＝120°，∴ ∠AOB ＝180°－∠AOD ＝60°. ∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB ＝OA. ∴ AC ＝2OA＝2AB. A B D C O 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 解: ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴ ∠BAD ＝90°. ∵ ∠BAF ＝60°， ∴ ∠DAF ＝∠BAD－∠BAF ＝90°－60°＝30°. 根据图形折叠的性质， 得∠DAE ＝∠FAE ＝ ∠DAF ＝ ×30°＝15°. 3. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上. 将该矩形沿 AE 折叠，恰好使点 D 落在边 BC 上的点 F 处. 如果∠BAF = 60°， 求∠DAE 的大小. 【选自教材第114页 练习 第3题】 A B C D F E 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 矩形的相关概念及性质 定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形 矩形具有平行四边形的一般性质 矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角 矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等 轴对称图形 对称轴为通过对边中点的直线 课堂小结 矩形性质的运用 矩 形 18 华师大版·八年级数学下册 20 矩形的相关概念及性质 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形具有平行四边形的一切性质 矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等. 轴对称图形 对称轴为通过对边中点的直线 知识回顾 例 2 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4， BE ⊥ AC，垂足为点 E . 求 BE 的长. A B D C E 说一说你的解题思路. △ABC 为直角三角形 它的面积既可以用底和高来求. 也可以用两条直角边来求. 列出等式，从而求出 BE 的长. 探索新知 A B D C E 解 在矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°， AC = = 5. 又∵S△ABC = AB·BC = AC·BE ， ∴BE = = = 2.4. 例 3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分线段 BO，垂足为点 E，BD = 15 cm. 求 AC、AB 的长. 解 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC = BD = 15 (矩形的对角线相等）. ∴AO = AC = 7.5. ∵AE 垂直平分 BO， ∴AB = AO = 7.5 . 即 AC 的长为 15 cm，AB 的长为 7.5 cm . A B C D O E 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， 若 AB ＝ 3，AC＝ 6，则 ∠AOD 的度数为( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 3 3 3 3 D 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， CD ＝ 1．若 AE 垂直且平分 OB，垂足为点 E，则 BD 的长是 ( ) A. 3 B. C. 2 D. 4 1 1 1 1 C 3. 如图，P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EF∥BC，分别交 AB、CD 于点 E、F，连结 PB、PD . 若 AE＝2，PF＝5，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 A B C D E F P N M S△ADC = S△ABC S△AMP = S△AEP S△PBE = S△PBN S△PFD = S△PDM S△PFC = S△PCN S△DFP = S△PBE A 4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DE ⊥ AC 于点 E，且 ∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2，求 ∠BDE 的度数． 解: ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC ＝ 90°，OA ＝ OD． ∵∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2， ∴∠ADE ＝ ∠ADC＝54°． ∵DE ⊥ AC，∴∠DEA＝ 90° ∴∠DAE＝90°－∠ADE＝36° ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝36°． ∴∠BDE＝∠ADE－∠ODA＝54°－36°＝18°． 【选自教材第115页 练习 第1题】 如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AD 上的一点. 试说明△BCE 的面积与矩形 ABCD 的面积之间的关系. A B C D E 解: ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴ AD∥BC，AB ⊥ BC， ∴ △BCE 的边 BC 上的高长等于 AB 的长， ∴ S△BCE ＝ BC·AB. ∵ S矩形ABCD ＝AB·BC，∴ S△BCE ＝ S矩形ABCD ， 即△BCE 的面积等于矩形 ABCD 面积的一半. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 【选自教材第115页 练习 第2题】 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠AOB = 60°，AB = 3.6. 求 AC、AD 的长.（精确到 0.1） 解: ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC ＝BD，OA ＝OC ＝ AC，OB ＝OD ＝ BD，∠BAD = 90°. ∴ OA ＝OB. ∵ ∠AOB ＝60°， ∴ △AOB为等边三角形. ∴ OA ＝AB = 3.6. ∴ AC ＝ BD = 2OA＝7.2. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AB2 + AD2 = BD2， 即 3.62 + AD2 = 7.22，∴ AD ≈ 6.2. A B D C O 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 3. 如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩形的两条 边长 AB、BC 分别为 8 和 15. 求点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和.（提示：记对角线 AC 与 BD 的交点为点 O， 连结 OP） 【选自教材第115页 练习 第3题】 A B C D O P 解: 如图，过点 P 作 PE ⊥ AC 于点 E，PF ⊥ BD 于点 F，连结 OP . ∵ 在矩形 ABCD 中，∠ABC ＝ 90°，AB ＝8，BC ＝15， ∴ BD ＝AC ＝ ＝ ＝17. E F 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 ∴ OA ＝OD ＝ AC ＝ . 又∵ S△AOD ＝ S△AOP + S△POD ， S△AOD ＝ S△ABD ，∴ S△ABD ＝ S△AOP + S△POD . ∴ ××15×8 ＝ ×·PE + ×·PF， ∴ PE + PF ＝ ，即点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和为 . A B C D O P E F 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 通过这节课的学习，你能熟练运用矩形的性质来解题吗？ 课堂小结 $