2026年中考数学第二轮专题复习之填空题复习——16：《全等三角形》讲义

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 16.全等三角形   本专课时是中考数学几何模块的核心奠基考点，是四边形、圆、函数几何综合题的核心推理工具，完全适配二轮复习 “夯基础、练模型、提速度、破压轴” 的核心目标。 一、题型特点 梯度分层精准，完全贴合二轮复习进阶需求题目严格形成三级梯度，与中考命题逻辑、二轮查漏补缺的复习目标高度匹配：①基础保分层，聚焦全等三角形 5 大判定定理的直接应用，以 “添加全等条件” 为核心设问，逻辑简单、考点单一，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合等腰 / 等边 / 直角三角形、特殊四边形性质，以折叠、旋转为核心命题载体，是二轮复习的核心突破重点，也是学生失分重灾区；③压轴拉分层，绑定动点最值、新定义探究、多结论正误判断，是填空压轴题的高频题型，区分度极强。 模型化命题特征显著，可固化破题路径资料中 90% 的题目围绕中考全等专题 5 大必考模型命题，适配二轮复习 “模型化、高效率” 的复习需求，学生可通过模型识别实现 “见题识型、结论秒解”。核心高频模型包括：手拉手旋转全等模型、正方形 / 等边三角形半角模型、一线三垂直（K 型）全等模型、倍长中线 / 截长补短全等模型、角平分线双垂全等模型，其中折叠全等、平移全等为高频变式载体，比如资料第 6、16 题是半角模型集中考查，第 10、22、28 题是手拉手旋转全等核心应用。 跨模块融合度高，贴合中考综合考查趋势摒弃纯概念默写式考查，超 60% 的题目与初中几何核心知识点深度绑定：一是特殊平面图形，以正方形、菱形为最高频载体，融合矩形、平行四边形、等边三角形的边角性质；二是图形变换，以折叠、旋转为核心命题背景，考查全等的性质应用；三是延伸知识点，深度结合勾股定理、锐角三角函数、相似三角形、将军饮马 / 点圆最值模型，完全贴合新课标 “几何直观 + 逻辑推理 + 数学运算” 的核心素养考查要求。 设问方向固定，题型可针对性突破中考填空固定四大设问方向，与资料题型完全匹配：①全等条件补充型，考查判定定理的精准应用；②线段 / 角度计算型，占比超 60%，是核心考查题型；③多结论正误判断型，考查全等的综合推理能力；④新定义探究型，考查全等知识的迁移应用能力，二轮复习可按题型分类突破，精准提分。 二、答题要点 （一）通用核心答题要点 筑牢判定根基，固化底层解题逻辑必须烂熟全等三角形 5 大判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，明确核心准则：①所有判定必须满足 “对应边、对应角相等”；②HL 仅适用于直角三角形，需满足斜边 + 一条直角边对应相等；③AAA、SSA 绝对不能判定全等，这是破题的核心前提。审题第一步先从题干中锁定已有的相等元素，再匹配判定定理，补全缺失条件，避免无方向推导。 优先锁定隐含条件，快速凑齐全等要素填空题中 90% 的全等隐含条件集中在 5 类场景，必须优先提取：①公共边、公共角、对顶角天然相等；②平行线的内错角、同位角相等；③折叠 / 旋转前后的对应边、对应角完全相等；④特殊三角形、特殊四边形的等边、等角性质；⑤角平分线、中线、高线的性质。先抓隐含条件，再结合题干已知条件，可快速凑齐 3 组对应相等的判定元素。 模型识别优先，秒解破题路径审题第一时间匹配几何模型，直接套用固定结论，大幅缩短填空题答题时间： 遇旋转 + 共顶点等线段，直接用手拉手模型，证 SAS 全等，秒得对应边、对应角相等； 遇正方形 / 等边三角形 + 半角，直接用半角模型，通过旋转构造全等，秒得线段和差关系； 遇中点优先倍长中线构造 8 字全等，遇线段和差优先截长补短构造全等； 遇双垂直 + 等线段，直接用一线三垂直模型，证 AAS/ASA 全等； 遇角平分线，优先作双垂构造全等三角形。 方程思想为万能通法，通解所有计算型填空全等相关的线段计算题，90% 可通过 “设未知数 x”，结合全等的对应边相等性质，利用勾股定理、相似比例式、锐角三角函数列方程求解，无需复杂辅助线。比如资料第 5、11、19 题，均是通过设半径 / 边长为未知数，列勾股定理方程求解，是填空题最高效的通用解题方法。 （二）分题型精准答题要点 补充条件型填空：两步固定破题法，第一步从题干已知条件中，提取已有的 2 组对应相等元素（2 个角，或 1 边 1 角）；第二步匹配判定定理，补全缺失的 1 组相等元素，优先补充对应边，绝对不能补充出 SSA、AAA 的无效条件。 线段 / 角度计算型填空：三步标准化解法，第一步通过图形变换、特殊图形性质，锁定全等三角形；第二步通过全等性质，转化已知的线段、角度；第三步结合勾股定理、三角形 / 四边形内角和、锐角三角函数，计算最终结果。角度题优先用全等转化角，再用内角和推导；线段题优先用全等转化边，再用勾股定理计算。 多结论正误判断型填空：核心准则是 “逐个验证，先易后难”，先验证可通过全等性质直接判断的结论，再验证需要二次推导、计算的结论，每一个结论都必须找到全等的严谨依据，禁止凭图形直觉判断。 动点最值 + 全等综合型填空：标准化解题流程为 “先证全等转化线段→再定动点轨迹→最后匹配最值模型求解”。第一步通过旋转 / 折叠构造全等，把所求动线段转化为有一个定端点的线段；第二步锁定动点的运动轨迹（直线 / 圆）；第三步匹配垂线段最短、两点之间线段最短、点圆最值模型，计算最终结果。 （三）填空题专属速解技巧 特殊值法：动点题取特殊位置（中点、端点），快速验证计算结果； 排除法：多结论题先排除明显错误的结论，缩小验证范围； 模型结论秒解：直接套用半角、手拉手等模型的固定结论，无需完整推导，压缩答题时间。 三、避坑指南 （一）概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 严防全等判定定理误用：高频坑①误用 SSA 判定全等，这是中考填空第一大陷阱，两边及其中一边的对角相等，绝对不能判定全等，必须确认是两边及其夹角（SAS）；②误用 AAA 判定全等，三个角相等仅能证明相似，不能证明全等；③HL 定理误用，HL 仅适用于直角三角形，普通三角形不能使用，且必须是斜边 + 一条直角边对应相等；④忽略 “对应” 二字，相等的边、角必须是两个三角形的对应边、对应角，否则无法判定全等。 严防图形变换的全等性质误用：高频坑①折叠 / 旋转题中，对应边、对应角匹配错误，导致整题推导方向完全偏离；②旋转题中忽略旋转角相等，无法找到夹角相等的条件，错过 SAS 全等的破题关键；③折叠题中漏用 “折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分” 的性质，无法构造全等。 严防特殊图形性质误用：高频坑①漏用正方形、菱形、等边三角形的等边、等角性质，找不到全等的判定要素；②等腰三角形 “三线合一” 性质漏用，无法提取等角、等线段条件；③平行四边形对边平行、对角相等的性质用错，无法推导等角。 （二）审题类避坑：杜绝非知识性失分 严防无图题不分类讨论，漏写多解：题干仅给文字描述、无配图的题目，高频设置点的位置不同（三角形内 / 外）、线段在直线 / 线段上、三角形形状不同（锐角 / 钝角）等多解陷阱，学生仅画一种符合直觉的图形，漏写另一种解，填空题直接零分。 严防限定词漏看，答案不符合要求：高频坑①漏看 “只需填写一个条件”“填序号”“不添加辅助线” 等核心限定词；②混淆 “线段” 与 “直线 / 射线”，漏看 “点不与端点重合” 的限定，算出的结果超出范围；③设问方向看错，把求角度看成求线段，把求弦长看成求半弦长，计算全对但答案错误。 （三）逻辑推理类避坑：杜绝中档题、压轴题失分 严防全等对应顶点顺序错乱：对应顶点顺序不匹配，导致对应边、对应角完全搞反，相似比例式列错，线段长计算完全错误，比如△ABC≌△DEF，对应边是 AB=DE，而非 AB=EF，这是推导的核心前提。 严防二次全等的逻辑断裂：多数综合题需要先证一组全等，得到对应边 / 角相等，再证第二组全等，学生常跳过第一组全等的严谨推导，直接用未证明的条件，逻辑不成立，导致结论错误。 严防多结论题的直觉误判：没有通过全等严谨验证，仅凭图形直观判断结论正误。 严防最值题的轨迹模型识别错误：把全等转化后的线段轨迹判断错误，比如把直线轨迹看成圆轨迹，最值模型用错，导致求解方向完全偏离，压轴题零得分。 四、真题练习 1.（24-25·江苏模拟）如图，点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是_______（或或或）__________ 【答案】 （或或或） 【解析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【解答】 ，， ，， ①添加条件为：， 在和中， ， ； ②添加条件为：， 在和中， ， ； ③添加条件为：， ， 在和中， ， ； ④添加条件为： ， 在和中， ， ； 这个条件可以是（或或或）, 故答案为：（或或或）． 2.（24-25·浙江模拟）如图，已知，若要使得，则可添加的条件是________（答案不唯一）___________．（只需填写一个条件） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 此题考查了全等三角形的判定，添加条件，利用证明即可． 【解答】 解：可添加的条件是， ，，， ， 故答案为：（答案不唯一） 3.（24-25·广东模拟）如图，两车从路段的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达，两地，使得，两地到路段的距离相等，请添加一个条件_____（答案不唯一）_______，使得和全等（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握基本判定方法是解题关键．结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【解答】 解：由题意可得：，， 添加一个条件为， ，，， ， 故答案为：（答案不唯一）．  4.（24-25·四川中考）如图，在中，，点为的中点，过点作交的延长线于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【解析】 先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长． 【解答】 解：，， 点为的中点， ， 又， ， ， 中，，， ， ． 5.（24-25·山东中考）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．作射线交于点，则线段的长是       ．   【答案】 / 【解析】 过作于，再根据角平分线的性质和勾股定理列方程求解． 【解答】 设，   如图，过作于，在矩形中，，，由作图得平分，，，，，在中，有，即，解得故答案为． 6.（23-24湖北中考）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为___12_____． 【答案】 12 【解析】 本题考查了全等三角形的判定和性质, 等腰三角形的判定与性质, 延长 到 使 , 连接 , 通过 , 根据全等三角形的性质得到 , 等量代换得到 , 由等腰三角形的性质得到 , 推出 即可得解决问题. 【解答】 解：如图，延长 到 使 ，连接 在 与 中， 故答案为：12. 7.（23-24·四川中考）如图，在平行四边形中、分别是边上的动点，且．当的值最小时，则      ． 【答案】 【解析】 延长截取连接证明得出说明当最小时最小，根据两点之间线段最短，得出当、、三点共线时最小，即最小，再证明根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【解答】 解：延长截取连接如图所示： 四边形为平行四边形， 当最小时最小， 两点之间线段最短， 当、、三点共线时最小，即最小，且最小值为的长， 即 解得． 8.（23-24·江苏中考）如图，，，，，点分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的倍，则      ． 【答案】 【解析】 设，，根据折叠性质得，，过作于，设与相交于，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解值即可． 【解答】 解：，设，，沿翻折，得到，，， 过作于，设与相交于， 则，又，，， ，，，， ，，则， 是等腰直角三角形， ，则，， 在和中， ， ，，， ， ， 的面积是面积的倍，，则， 解得，（舍去），即． 9.（23-24·江苏中考）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为____ _______． 【答案】 【解析】 证明，得出，根据，得出，说明点在以为直径的圆上运动，取线段的中点，以点为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果． 【解答】 解：两条平行线、，点是上的定点，于点， 点为定点，的长度为定值， ， ，， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点，以点为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， 当与相切时最大， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10.（22-23·黑龙江中考）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是      ． 【答案】 【解析】 根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【解答】 解：为高上的动点． 将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ， 点在射线上运动， 如图所示， 作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ，， 在中，, 周长的最小值为， 故答案为：．  11.（22-23·辽宁中考）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在上分别截取，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点．若，，则的长为        ．   【答案】 / 【解析】 根据题干条件可得，所以，得到，又证明得，，所以，,设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据，即可求出答案． 【解答】 由题意可得，，，.，,是等腰直角三角形，连接，，，连接，，，，，又，，，连接，，，，设，，，，，，，，得，，解得（舍），，，，又，， 故答案是．       12.（22-23·湖北中考）年的国际数学家大会在中国北京举行，这是世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与分别相交于点，若，则的值是       ．   【答案】 【解析】 设，，则，证明，利用相似三角形的性质求出，可得，，利用勾股定理求出和，进而可得的长，再证明，可得，然后根据正方形的性质求出，即可得出答案． 【解答】 解：设，，则，，， ， ， ， ，， ， ， 整理得， 解得，（舍去）， 即， ，， ，， ， , ， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， 又， ， 故答案为． 13. （22-23·黑龙江中考）如图，在中，将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ①②③ ． ①与面积相同； ②； ③若，连接和，则； ④若，，，则． 【答案】 ①②③ 【解析】 延长，并截取，连接，证明，得出，，根据，，得出，证明，得出，即可判断①正确；根据三角形中位线性质得出，根据，得出，判断②正确；根据时，，得出，，，，根据四边形内角和得出 ，求出，判断③正确；根据②可知，，根据勾股定理得出，求出，判断④错误． 【解答】 解：延长，并截取，连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 根据旋转可知，，， ， ， ，， ，， ， ， ， 即与面积相同，故①正确； ，， 是的中位线， ， ， ，故②正确； 当时，， ，，，， ， ， 即，故③正确； ， 根据②可知，， 当时，，为中线， ， ， ， ，故④错误. 综上分析可知，正确的是①②③． 14.（22-23·内蒙古中考）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则  2      ，        ． 【答案】 【解析】 如图，证明，得到，利用勾股定理求出的长，等积法求出的长，证明，利用相似比求出的长，证明，求出的长，证明，求出的长，再利用勾股定理求出的长． 【解答】 解：正方形的边长为，点是的中点，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ，， ， ， ， 过点作，则：， ， ， ， ， ． 15.（23-24·四川中考）如图若则的度数为   100 °   ． 【答案】 【解析】 先利用全等三角形的性质，求出再利用三角形内角和求出的度数即可． 【解答】 解：由 16.（23-24·四川中考）如图，正方形的边长为分别是边上的动点．若则的最小值为           ． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：正方形的边长为， 将顺时针旋转得到则 点共线， 设则 即 整理得 当且仅当即也即时取最小值． 17.（25-26·全国模拟）如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为____18_______． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：如图，作、，交的延长线于点； ， 四边形为矩形，； ， ； 在与中， ，，， ， ，与的面积相等； 四边形为正方形， 四边形的面积正方形的面积； ，； ，即， 即四边形的面积为． 故答案为 18.（25-26·湖北模拟）如图，正方形边长为，为对角线，为上点，过点作，交、分别于点，，为的中点，连接．下列结论：①； ②； ③； ④若，则， 其中正确的结论是 ①②③④ ．（填写序号） 【答案】 ①②③④ 【解析】 先证明为等腰直角三角形，推算出，通过证明推算出是等腰直角三角形，进一步得到，通过即可证明，设，过作于，可得到，分别计算出和即可得到． 【解答】 解：四边形为正方形，，，，， 为等腰直角三角形， ， ，， ，故①正确； 为等腰直角三角形，为的中点， ，， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，故②正确； 在和中， ， ，故③正确； 设， ， ，， 过作于， ， ， ， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 19.（25-26·广西模拟）如图，在菱形中，连接，点在上，连接交于点，作于点，＝，＝，若＝，则的长为________. 【答案】 【解析】 连接交于，设，根据菱形的性质及∠得到平分∠，根据勾股定理求出 ，证明得到A，利用勾股定理求出，设，则，再利用勾股定理求出即可得到答案 【解答】 解：连接交于，如图所示： 设，则， ∵四边形是菱形， ∴⊥，．．∥， ∴a， ：Ⅱ， ：平分， ：⊥，   在和中，  ∴（）， 在中， 设，则 在中，由勾股定理得： 解得 20.（24-25·广西模拟）如图，在矩形中，点为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为_____4___. 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】   21.（24-25·江苏模拟）如图， 在菱形中， 点为的中点， 将菱形沿翻折， 使点 落在上的点 处． 若， 则折痕的长为______________． 【答案】 【解析】 由菱形，折叠的性质可知，，则，如图，作于，则，由勾股定理得，，如图，作的延长线于，证明，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【解答】 解：菱形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图，作于， ， 由勾股定理得，， 如图，作的延长线于， ， 又， ， ， ， 由勾股定理得， 故答案为：． 22.（2025-2026·安徽模拟）如图，菱形中，，是边上一点，是边上一点，，连接交于点． （1）若，则________（用表示）； （2）若，则的最大值是___3_____． 【答案】 【解析】 先证明 是等边三角形；得出 ，再利用三角形的内角和定理进一步可得答案； (2) 设 ， ，根据 ，根据二次函数性质，说明 有最大值，求出最大值为3即可. 【解答】（1） 四边形ABCD是菱形， 是等边三角形， 在 和 中， (ASA) 又 是等边三角形； 故答案为： (2) 设 当 时， 取最大值 此时 此时 为等边三角形， 此时 此时 平分 为等边三角形， 即 的最大值为3. 故答案为：3. 23.（25-26·江苏模拟）如图，在等边三角形 中，，连接 ， 交于点 ．若 ，则 _____________ 【答案】 【解析】 根据等边三角形和已知利用即可证明，有和，进一步，过点截取和，连接和，则和为等边三角形，设，则，，，，进一步证明，有，求得，则，设，则，，过点作于点，则，，，在中利用勾股定理求得即可． 【解答】 解：三角形 为等边三角形， ，， ， ， ，， 则， 过点作和，连接和，如图， 则和为等边三角形， ， ， 设，则，，，， ，， ， ， 则， 解得， 那么，，， 设，则，， 过点作于点，则，，， 在中，，则， 解得（负值舍去）， 那么，． 故答案为：． 24.（23-24·陕西模拟）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为________________． 【答案】 【解析】 本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取的中点，连接，易得，故，即当共线时，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可． 【解答】 解：如图，取的中点，连接， 四边形是菱形 在和中 连接 当共线时，最大，图中处 作于 ． 即的最大值为． 25.（24-25·山东模拟）如图正方形的边长为，、分别为、的中点，连接、，交点为．将沿对折，得到，延长与线段的延长线交于点，如下结论： ①；②；③；④；⑤， 其中正确的是_________①②③_________（填序号）． 【答案】 ①②③ 【解析】 利用正方形的性质证得，通过角的关系求得，即可得①正确；利用翻折的性质推得，求出的长度，通过即可证得②正确；证得，可得，利用勾股定理求得，代入，求出、的值，即可得证③正确；利用正方形的性质结合翻折的性质证得，设，在中，利用勾股定理构建方程，解方程，求出，通过即可证得④错误；通过即可得证⑤错误． 【解答】 解：四边形是正方形， ，， 、分别为、的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， 沿对折，得到， ，， 在和中， , , , ，故②正确； 在中，， ， 由①得：，， ，， ， ， ， 由②得：， ， ， 解得：，， ， ，， ，故③正确； 四边形是正方形， ， ， 沿对折，得到， ，，，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ，则， 在中，，故④错误； 由③得：，， ，故⑤错误． 故答案为：①②③． 26.（24-25·江苏模拟）在中，点为边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，若，，，，则点到的距离为___________． 【答案】 【解析】 过点作，结合等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理求得的长，然后利用三角形面积公式列方程求解． 【解答】 解：过点作， ， ， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 由折叠性质可得：，，， 又，， ， ， ，， 又， ， ， ·， ·， · ·， 解得：， ， 在中，， 在中，， 解得：（负值舍去）， ，， 设中边上的高为， ， ， 解得：， 即点到的距离为， 故答案为：． 27.（22-23·广东模拟）如图，在中，，点在边上，，，垂足为，若，则线段的长为____________. 【答案】 【解析】 作，判断出，得出即可． 【解答】 如图， 作， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， ． 28.（25-26·山东模拟）如图，在边长为的菱形中，，点为所在直线上的一个动点．连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应的线段，则线段的最小值为___3______． 【答案】 【解析】 连接，作，由旋转的性质可得，把求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短可得答案． 【解答】 解：连接，作交的延长线于， 菱形中，， ． ， 2 由旋转可得：， 又四边形是菱形 ， ， 即求的最小值转化为求的最小值． 在中，， , ， 当与重合时，最小值是， 的最小值是3. 故答案为：3 29.（25-26·黑龙江模拟）如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且，连接，交于点，若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 过点作于，过点作交延长线于点，先证明，得到，，设，表示出与，通过证明得到，进而列出关于的方程，解方程求出的值，得到的长，利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可得出答案． 【解答】 解：如图所示，过点作于，过点作交延长线于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ，， 设，则， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即，解得， ， ， ． 故答案为：． 30.（24-25·四川模拟）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、．以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有  ①②④ ．（填序号） 【答案】 ①②④ 【解析】 由，得，因为，，，所以，，则，可判断①正确；由，推导出，可证明，得，可判断②正确；设交于点，交于点，可证明，则，可根据勾股定理推导出，可求得，，，则，可判断③错误；当直线时，作交直线于点，连接，可证明，则，所以四边形是平行四边形，则为线段的中点，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】 解：， ， ，，， ，， ， 故①正确； ， ， ， ， 故②正确； 如图，设交于点，交于点， ，， ， ， ， ， ，，， ，，， ， 故③错误； 当直线时，如图，作交直线于点，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为线段的中点， 故④正确， 故答案为：①②④． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 16.全等三角形   本专课时是中考数学几何模块的核心奠基考点，是四边形、圆、函数几何综合题的核心推理工具，完全适配二轮复习 “夯基础、练模型、提速度、破压轴” 的核心目标。 一、题型特点 梯度分层精准，完全贴合二轮复习进阶需求题目严格形成三级梯度，与中考命题逻辑、二轮查漏补缺的复习目标高度匹配：①基础保分层，聚焦全等三角形 5 大判定定理的直接应用，以 “添加全等条件” 为核心设问，逻辑简单、考点单一，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合等腰 / 等边 / 直角三角形、特殊四边形性质，以折叠、旋转为核心命题载体，是二轮复习的核心突破重点，也是学生失分重灾区；③压轴拉分层，绑定动点最值、新定义探究、多结论正误判断，是填空压轴题的高频题型，区分度极强。 模型化命题特征显著，可固化破题路径资料中 90% 的题目围绕中考全等专题 5 大必考模型命题，适配二轮复习 “模型化、高效率” 的复习需求，学生可通过模型识别实现 “见题识型、结论秒解”。核心高频模型包括：手拉手旋转全等模型、正方形 / 等边三角形半角模型、一线三垂直（K 型）全等模型、倍长中线 / 截长补短全等模型、角平分线双垂全等模型，其中折叠全等、平移全等为高频变式载体，比如资料第 6、16 题是半角模型集中考查，第 10、22、28 题是手拉手旋转全等核心应用。 跨模块融合度高，贴合中考综合考查趋势摒弃纯概念默写式考查，超 60% 的题目与初中几何核心知识点深度绑定：一是特殊平面图形，以正方形、菱形为最高频载体，融合矩形、平行四边形、等边三角形的边角性质；二是图形变换，以折叠、旋转为核心命题背景，考查全等的性质应用；三是延伸知识点，深度结合勾股定理、锐角三角函数、相似三角形、将军饮马 / 点圆最值模型，完全贴合新课标 “几何直观 + 逻辑推理 + 数学运算” 的核心素养考查要求。 设问方向固定，题型可针对性突破中考填空固定四大设问方向，与资料题型完全匹配：①全等条件补充型，考查判定定理的精准应用；②线段 / 角度计算型，占比超 60%，是核心考查题型；③多结论正误判断型，考查全等的综合推理能力；④新定义探究型，考查全等知识的迁移应用能力，二轮复习可按题型分类突破，精准提分。 二、答题要点 （一）通用核心答题要点 筑牢判定根基，固化底层解题逻辑必须烂熟全等三角形 5 大判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，明确核心准则：①所有判定必须满足 “对应边、对应角相等”；②HL 仅适用于直角三角形，需满足斜边 + 一条直角边对应相等；③AAA、SSA 绝对不能判定全等，这是破题的核心前提。审题第一步先从题干中锁定已有的相等元素，再匹配判定定理，补全缺失条件，避免无方向推导。 优先锁定隐含条件，快速凑齐全等要素填空题中 90% 的全等隐含条件集中在 5 类场景，必须优先提取：①公共边、公共角、对顶角天然相等；②平行线的内错角、同位角相等；③折叠 / 旋转前后的对应边、对应角完全相等；④特殊三角形、特殊四边形的等边、等角性质；⑤角平分线、中线、高线的性质。先抓隐含条件，再结合题干已知条件，可快速凑齐 3 组对应相等的判定元素。 模型识别优先，秒解破题路径审题第一时间匹配几何模型，直接套用固定结论，大幅缩短填空题答题时间： 遇旋转 + 共顶点等线段，直接用手拉手模型，证 SAS 全等，秒得对应边、对应角相等； 遇正方形 / 等边三角形 + 半角，直接用半角模型，通过旋转构造全等，秒得线段和差关系； 遇中点优先倍长中线构造 8 字全等，遇线段和差优先截长补短构造全等； 遇双垂直 + 等线段，直接用一线三垂直模型，证 AAS/ASA 全等； 遇角平分线，优先作双垂构造全等三角形。 方程思想为万能通法，通解所有计算型填空全等相关的线段计算题，90% 可通过 “设未知数 x”，结合全等的对应边相等性质，利用勾股定理、相似比例式、锐角三角函数列方程求解，无需复杂辅助线。比如资料第 5、11、19 题，均是通过设半径 / 边长为未知数，列勾股定理方程求解，是填空题最高效的通用解题方法。 （二）分题型精准答题要点 补充条件型填空：两步固定破题法，第一步从题干已知条件中，提取已有的 2 组对应相等元素（2 个角，或 1 边 1 角）；第二步匹配判定定理，补全缺失的 1 组相等元素，优先补充对应边，绝对不能补充出 SSA、AAA 的无效条件。 线段 / 角度计算型填空：三步标准化解法，第一步通过图形变换、特殊图形性质，锁定全等三角形；第二步通过全等性质，转化已知的线段、角度；第三步结合勾股定理、三角形 / 四边形内角和、锐角三角函数，计算最终结果。角度题优先用全等转化角，再用内角和推导；线段题优先用全等转化边，再用勾股定理计算。 多结论正误判断型填空：核心准则是 “逐个验证，先易后难”，先验证可通过全等性质直接判断的结论，再验证需要二次推导、计算的结论，每一个结论都必须找到全等的严谨依据，禁止凭图形直觉判断。 动点最值 + 全等综合型填空：标准化解题流程为 “先证全等转化线段→再定动点轨迹→最后匹配最值模型求解”。第一步通过旋转 / 折叠构造全等，把所求动线段转化为有一个定端点的线段；第二步锁定动点的运动轨迹（直线 / 圆）；第三步匹配垂线段最短、两点之间线段最短、点圆最值模型，计算最终结果。 （三）填空题专属速解技巧 特殊值法：动点题取特殊位置（中点、端点），快速验证计算结果； 排除法：多结论题先排除明显错误的结论，缩小验证范围； 模型结论秒解：直接套用半角、手拉手等模型的固定结论，无需完整推导，压缩答题时间。 三、避坑指南 （一）概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 严防全等判定定理误用：高频坑①误用 SSA 判定全等，这是中考填空第一大陷阱，两边及其中一边的对角相等，绝对不能判定全等，必须确认是两边及其夹角（SAS）；②误用 AAA 判定全等，三个角相等仅能证明相似，不能证明全等；③HL 定理误用，HL 仅适用于直角三角形，普通三角形不能使用，且必须是斜边 + 一条直角边对应相等；④忽略 “对应” 二字，相等的边、角必须是两个三角形的对应边、对应角，否则无法判定全等。 严防图形变换的全等性质误用：高频坑①折叠 / 旋转题中，对应边、对应角匹配错误，导致整题推导方向完全偏离；②旋转题中忽略旋转角相等，无法找到夹角相等的条件，错过 SAS 全等的破题关键；③折叠题中漏用 “折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分” 的性质，无法构造全等。 严防特殊图形性质误用：高频坑①漏用正方形、菱形、等边三角形的等边、等角性质，找不到全等的判定要素；②等腰三角形 “三线合一” 性质漏用，无法提取等角、等线段条件；③平行四边形对边平行、对角相等的性质用错，无法推导等角。 （二）审题类避坑：杜绝非知识性失分 严防无图题不分类讨论，漏写多解：题干仅给文字描述、无配图的题目，高频设置点的位置不同（三角形内 / 外）、线段在直线 / 线段上、三角形形状不同（锐角 / 钝角）等多解陷阱，学生仅画一种符合直觉的图形，漏写另一种解，填空题直接零分。 严防限定词漏看，答案不符合要求：高频坑①漏看 “只需填写一个条件”“填序号”“不添加辅助线” 等核心限定词；②混淆 “线段” 与 “直线 / 射线”，漏看 “点不与端点重合” 的限定，算出的结果超出范围；③设问方向看错，把求角度看成求线段，把求弦长看成求半弦长，计算全对但答案错误。 （三）逻辑推理类避坑：杜绝中档题、压轴题失分 严防全等对应顶点顺序错乱：对应顶点顺序不匹配，导致对应边、对应角完全搞反，相似比例式列错，线段长计算完全错误，比如△ABC≌△DEF，对应边是 AB=DE，而非 AB=EF，这是推导的核心前提。 严防二次全等的逻辑断裂：多数综合题需要先证一组全等，得到对应边 / 角相等，再证第二组全等，学生常跳过第一组全等的严谨推导，直接用未证明的条件，逻辑不成立，导致结论错误。 严防多结论题的直觉误判：没有通过全等严谨验证，仅凭图形直观判断结论正误。 严防最值题的轨迹模型识别错误：把全等转化后的线段轨迹判断错误，比如把直线轨迹看成圆轨迹，最值模型用错，导致求解方向完全偏离，压轴题零得分。 四、真题练习 1.（24-25·江苏模拟）如图，点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是_______（或或或）__________ 【答案】 （或或或） 【解析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【解答】 ，， ，， ①添加条件为：， 在和中， ， ； ②添加条件为：， 在和中， ， ； ③添加条件为：， ， 在和中， ， ； ④添加条件为： ， 在和中， ， ； 这个条件可以是（或或或）, 故答案为：（或或或）． 2.（24-25·浙江模拟）如图，已知，若要使得，则可添加的条件是________（答案不唯一）___________．（只需填写一个条件） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 此题考查了全等三角形的判定，添加条件，利用证明即可． 【解答】 解：可添加的条件是， ，，， ， 故答案为：（答案不唯一） 3.（24-25·广东模拟）如图，两车从路段的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达，两地，使得，两地到路段的距离相等，请添加一个条件_____（答案不唯一）_______，使得和全等（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握基本判定方法是解题关键．结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【解答】 解：由题意可得：，， 添加一个条件为， ，，， ， 故答案为：（答案不唯一）．  4.（24-25·四川中考）如图，在中，，点为的中点，过点作交的延长线于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【解析】 先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长． 【解答】 解：，， 点为的中点， ， 又， ， ， 中，，， ， ． 5.（24-25·山东中考）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．作射线交于点，则线段的长是       ．   【答案】 / 【解析】 过作于，再根据角平分线的性质和勾股定理列方程求解． 【解答】 设，   如图，过作于，在矩形中，，，由作图得平分，，，，，在中，有，即，解得故答案为． 6.（23-24湖北中考）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为___12_____． 【答案】 12 【解析】 本题考查了全等三角形的判定和性质, 等腰三角形的判定与性质, 延长 到 使 , 连接 , 通过 , 根据全等三角形的性质得到 , 等量代换得到 , 由等腰三角形的性质得到 , 推出 即可得解决问题. 【解答】 解：如图，延长 到 使 ，连接 在 与 中， 故答案为：12. 7.（23-24·四川中考）如图，在平行四边形中、分别是边上的动点，且．当的值最小时，则      ． 【答案】 【解析】 延长截取连接证明得出说明当最小时最小，根据两点之间线段最短，得出当、、三点共线时最小，即最小，再证明根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【解答】 解：延长截取连接如图所示： 四边形为平行四边形， 当最小时最小， 两点之间线段最短， 当、、三点共线时最小，即最小，且最小值为的长， 即 解得． 8.（23-24·江苏中考）如图，，，，，点分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的倍，则      ． 【答案】 【解析】 设，，根据折叠性质得，，过作于，设与相交于，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解值即可． 【解答】 解：，设，，沿翻折，得到，，， 过作于，设与相交于， 则，又，，， ，，，， ，，则， 是等腰直角三角形， ，则，， 在和中， ， ，，， ， ， 的面积是面积的倍，，则， 解得，（舍去），即． 9.（23-24·江苏中考）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为____ _______． 【答案】 【解析】 证明，得出，根据，得出，说明点在以为直径的圆上运动，取线段的中点，以点为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果． 【解答】 解：两条平行线、，点是上的定点，于点， 点为定点，的长度为定值， ， ，， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点，以点为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， 当与相切时最大， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10.（22-23·黑龙江中考）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是      ． 【答案】 【解析】 根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【解答】 解：为高上的动点． 将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ， 点在射线上运动， 如图所示， 作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ，， 在中，, 周长的最小值为， 故答案为：．  11.（22-23·辽宁中考）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在上分别截取，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点．若，，则的长为        ．   【答案】 / 【解析】 根据题干条件可得，所以，得到，又证明得，，所以，,设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据，即可求出答案． 【解答】 由题意可得，，，.，,是等腰直角三角形，连接，，，连接，，，，，又，，，连接，，，，设，，，，，，，，得，，解得（舍），，，，又，， 故答案是．       12.（22-23·湖北中考）年的国际数学家大会在中国北京举行，这是世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与分别相交于点，若，则的值是       ．   【答案】 【解析】 设，，则，证明，利用相似三角形的性质求出，可得，，利用勾股定理求出和，进而可得的长，再证明，可得，然后根据正方形的性质求出，即可得出答案． 【解答】 解：设，，则，，， ， ， ， ，， ， ， 整理得， 解得，（舍去）， 即， ，， ，， ， , ， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， 又， ， 故答案为． 13. （22-23·黑龙江中考）如图，在中，将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ①②③ ． ①与面积相同； ②； ③若，连接和，则； ④若，，，则． 【答案】 ①②③ 【解析】 延长，并截取，连接，证明，得出，，根据，，得出，证明，得出，即可判断①正确；根据三角形中位线性质得出，根据，得出，判断②正确；根据时，，得出，，，，根据四边形内角和得出 ，求出，判断③正确；根据②可知，，根据勾股定理得出，求出，判断④错误． 【解答】 解：延长，并截取，连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 根据旋转可知，，， ， ， ，， ，， ， ， ， 即与面积相同，故①正确； ，， 是的中位线， ， ， ，故②正确； 当时，， ，，，， ， ， 即，故③正确； ， 根据②可知，， 当时，，为中线， ， ， ， ，故④错误. 综上分析可知，正确的是①②③． 14.（22-23·内蒙古中考）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则  2      ，        ． 【答案】 【解析】 如图，证明，得到，利用勾股定理求出的长，等积法求出的长，证明，利用相似比求出的长，证明，求出的长，证明，求出的长，再利用勾股定理求出的长． 【解答】 解：正方形的边长为，点是的中点，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ，， ， ， ， 过点作，则：， ， ， ， ， ． 15.（23-24·四川中考）如图若则的度数为   100 °   ． 【答案】 【解析】 先利用全等三角形的性质，求出再利用三角形内角和求出的度数即可． 【解答】 解：由 16.（23-24·四川中考）如图，正方形的边长为分别是边上的动点．若则的最小值为           ． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：正方形的边长为， 将顺时针旋转得到则 点共线， 设则 即 整理得 当且仅当即也即时取最小值． 17.（25-26·全国模拟）如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为____18_______． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：如图，作、，交的延长线于点； ， 四边形为矩形，； ， ； 在与中， ，，， ， ，与的面积相等； 四边形为正方形， 四边形的面积正方形的面积； ，； ，即， 即四边形的面积为． 故答案为 18.（25-26·湖北模拟）如图，正方形边长为，为对角线，为上点，过点作，交、分别于点，，为的中点，连接．下列结论：①； ②； ③； ④若，则， 其中正确的结论是 ①②③④ ．（填写序号） 【答案】 ①②③④ 【解析】 先证明为等腰直角三角形，推算出，通过证明推算出是等腰直角三角形，进一步得到，通过即可证明，设，过作于，可得到，分别计算出和即可得到． 【解答】 解：四边形为正方形，，，，， 为等腰直角三角形， ， ，， ，故①正确； 为等腰直角三角形，为的中点， ，， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，故②正确； 在和中， ， ，故③正确； 设， ， ，， 过作于， ， ， ， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 19.（25-26·广西模拟）如图，在菱形中，连接，点在上，连接交于点，作于点，＝，＝，若＝，则的长为________. 【答案】 【解析】 连接交于，设，根据菱形的性质及∠得到平分∠，根据勾股定理求出 ，证明得到A，利用勾股定理求出，设，则，再利用勾股定理求出即可得到答案 【解答】 解：连接交于，如图所示： 设，则， ∵四边形是菱形， ∴⊥，．．∥， ∴a， ：Ⅱ， ：平分， ：⊥，   在和中，  ∴（）， 在中， 设，则 在中，由勾股定理得： 解得 20.（24-25·广西模拟）如图，在矩形中，点为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为_____4___. 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】   21.（24-25·江苏模拟）如图， 在菱形中， 点为的中点， 将菱形沿翻折， 使点 落在上的点 处． 若， 则折痕的长为______________． 【答案】 【解析】 由菱形，折叠的性质可知，，则，如图，作于，则，由勾股定理得，，如图，作的延长线于，证明，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【解答】 解：菱形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图，作于， ， 由勾股定理得，， 如图，作的延长线于， ， 又， ， ， ， 由勾股定理得， 故答案为：． 22.（2025-2026·安徽模拟）如图，菱形中，，是边上一点，是边上一点，，连接交于点． （1）若，则________（用表示）； （2）若，则的最大值是___3_____． 【答案】 【解析】 先证明 是等边三角形；得出 ，再利用三角形的内角和定理进一步可得答案； (2) 设 ， ，根据 ，根据二次函数性质，说明 有最大值，求出最大值为3即可. 【解答】（1） 四边形ABCD是菱形， 是等边三角形， 在 和 中， (ASA) 又 是等边三角形； 故答案为： (2) 设 当 时， 取最大值 此时 此时 为等边三角形， 此时 此时 平分 为等边三角形， 即 的最大值为3. 故答案为：3. 23.（25-26·江苏模拟）如图，在等边三角形 中，，连接 ， 交于点 ．若 ，则 _____________ 【答案】 【解析】 根据等边三角形和已知利用即可证明，有和，进一步，过点截取和，连接和，则和为等边三角形，设，则，，，，进一步证明，有，求得，则，设，则，，过点作于点，则，，，在中利用勾股定理求得即可． 【解答】 解：三角形 为等边三角形， ，， ， ， ，， 则， 过点作和，连接和，如图， 则和为等边三角形， ， ， 设，则，，，， ，， ， ， 则， 解得， 那么，，， 设，则，， 过点作于点，则，，， 在中，，则， 解得（负值舍去）， 那么，． 故答案为：． 24.（23-24·陕西模拟）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为________________． 【答案】 【解析】 本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取的中点，连接，易得，故，即当共线时，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可． 【解答】 解：如图，取的中点，连接， 四边形是菱形 在和中 连接 当共线时，最大，图中处 作于 ． 即的最大值为． 25.（24-25·山东模拟）如图正方形的边长为，、分别为、的中点，连接、，交点为．将沿对折，得到，延长与线段的延长线交于点，如下结论： ①；②；③；④；⑤， 其中正确的是_________①②③_________（填序号）． 【答案】 ①②③ 【解析】 利用正方形的性质证得，通过角的关系求得，即可得①正确；利用翻折的性质推得，求出的长度，通过即可证得②正确；证得，可得，利用勾股定理求得，代入，求出、的值，即可得证③正确；利用正方形的性质结合翻折的性质证得，设，在中，利用勾股定理构建方程，解方程，求出，通过即可证得④错误；通过即可得证⑤错误． 【解答】 解：四边形是正方形， ，， 、分别为、的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， 沿对折，得到， ，， 在和中， , , , ，故②正确； 在中，， ， 由①得：，， ，， ， ， ， 由②得：， ， ， 解得：，， ， ，， ，故③正确； 四边形是正方形， ， ， 沿对折，得到， ，，，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ，则， 在中，，故④错误； 由③得：，， ，故⑤错误． 故答案为：①②③． 26.（24-25·江苏模拟）在中，点为边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，若，，，，则点到的距离为___________． 【答案】 【解析】 过点作，结合等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理求得的长，然后利用三角形面积公式列方程求解． 【解答】 解：过点作， ， ， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 由折叠性质可得：，，， 又，， ， ， ，， 又， ， ， ·， ·， · ·， 解得：， ， 在中，， 在中，， 解得：（负值舍去）， ，， 设中边上的高为， ， ， 解得：， 即点到的距离为， 故答案为：． 27.（22-23·广东模拟）如图，在中，，点在边上，，，垂足为，若，则线段的长为____________. 【答案】 【解析】 作，判断出，得出即可． 【解答】 如图， 作， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， ． 28.（25-26·山东模拟）如图，在边长为的菱形中，，点为所在直线上的一个动点．连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应的线段，则线段的最小值为___3______． 【答案】 【解析】 连接，作，由旋转的性质可得，把求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短可得答案． 【解答】 解：连接，作交的延长线于， 菱形中，， ． ， 2 由旋转可得：， 又四边形是菱形 ， ， 即求的最小值转化为求的最小值． 在中，， , ， 当与重合时，最小值是， 的最小值是3. 故答案为：3 29.（25-26·黑龙江模拟）如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且，连接，交于点，若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 过点作于，过点作交延长线于点，先证明，得到，，设，表示出与，通过证明得到，进而列出关于的方程，解方程求出的值，得到的长，利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可得出答案． 【解答】 解：如图所示，过点作于，过点作交延长线于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ，， 设，则， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即，解得， ， ， ． 故答案为：． 30.（24-25·四川模拟）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、．以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有  ①②④ ．（填序号） 【答案】 ①②④ 【解析】 由，得，因为，，，所以，，则，可判断①正确；由，推导出，可证明，得，可判断②正确；设交于点，交于点，可证明，则，可根据勾股定理推导出，可求得，，，则，可判断③错误；当直线时，作交直线于点，连接，可证明，则，所以四边形是平行四边形，则为线段的中点，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】 解：， ， ，，， ，， ， 故①正确； ， ， ， ， 故②正确； 如图，设交于点，交于点， ，， ， ， ， ， ，，， ，，， ， 故③错误； 当直线时，如图，作交直线于点，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为线段的中点， 故④正确， 故答案为：①②④． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $